届高三数学文理通用一轮复习《函数的单调性与最值》题型专题汇编.docx
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届高三数学文理通用一轮复习《函数的单调性与最值》题型专题汇编
《函数的单调性与最值》题型专题汇编
题型一 确定函数的单调性
命题点1 求函数的单调区间
1、函数f(x)=x2-2x的单调递增区间是____________.
答案 [1,+∞)(或(1,+∞))
2、函数y=
的单调递减区间为________.
答案 (2,+∞)
3、函数y=
的单调递减区间为( )
A.(1,+∞)B.C.D.
答案 A
解析 由2x2-3x+1>0,得函数的定义域为∪(1,+∞).
令t=2x2-3x+1,x∈∪(1,+∞).则y=
,
∵t=2x2-3x+1=22-,∴t=2x2-3x+1的单调递增区间为(1,+∞).
又y=
在(1,+∞)上是减函数,
∴函数y=
的单调递减区间为(1,+∞).
4、函数y=2x2-3x+1的单调递增区间为( )
A.(1,+∞)B.C.D.
答案 B
解析 令μ=2x2-3x+1=22-,
因为μ=22-在上单调递减,函数y=μ在R上单调递减.
所以y=2x2-3x+1在上单调递增.
5、函数f(x)=(a-1)x+2在R上单调递增,则函数g(x)=a|x-2|的单调递减区间是________
答案 (-∞,2]
解析 因为f(x)在R上单调递增,所以a-1>0,即a>1,
因此g(x)的单调递减区间就是y=|x-2|的单调递减区间(-∞,2].
6、函数f(x)=|x-2|x的单调递减区间是________.
答案 [1,2]
解析 f(x)=画出f(x)图象,由图知f(x)的单调递减区间是[1,2].
7、设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的单调递减区间是__________.
答案 [0,1]
解析 由题意知g(x)=该函数图象如图所示,其单调递减区间是[0,1].
命题点2 讨论函数的单调性
1、判断并证明函数f(x)=ax2+(其中1 解: 函数f(x)=ax2+(1 证明: 设1≤x1 由1≤x1 1 又因为10, 从而f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1), 故当a∈(1,3)时,f(x)在[1,2]上单调递增. 2、下列函数中,满足“∀x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0”的是( ) A.f(x)=2xB.f(x)=|x-1|C.f(x)=-xD.f(x)=ln(x+1) 答案 C 解析 由(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0可知,f(x)在(0,+∞)上是减函数,A,D选项中,f(x)为增函数;B中,f(x)=|x-1|在(0,+∞)上不单调;对于f(x)=-x,因为y=与y=-x 在(0,+∞)上单调递减,因此f(x)在(0,+∞)上是减函数. 3、下列函数中,在区间(0,+∞)内单调递减的是( ) A.y=-x B.y=x2-xC.y=lnx-xD.y=ex-x 解析: 选A.对于A,y1=在(0,+∞)内是减函数,y2=x在(0,+∞)内是增函数,则y=-x在(0,+∞)内是减函数;B,C选项中的函数在(0,+∞)上均不单调;选项D中,y′=ex-1,而当x∈(0,+∞)时,y′>0,所以函数y=ex-x在(0,+∞)上是增函数. 4、若f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,则当f(x)+f(x-8)≤2时,x的取值范围是( ) A.(8,+∞) B.(8,9] C.[8,9]D.(0,8) 解析: 2=1+1=f(3)+f(3)=f(9),由f(x)+f(x-8)≤2,可得f[x(x-8)]≤f(9), 因为f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,所以有故选B 5、已知定义在R上的函数f(x)满足: ①f(x+y)=f(x)+f(y)+1;②当x>0时,f(x)>-1. (1)求f(0)的值,并证明f(x)在R上是单调增函数. (2)若f (1)=1,解关于x的不等式f(x2+2x)+f(1-x)>4. 解析: (1)令x=y=0得f(0)=-1.在R上任取x1>x2,则x1-x2>0,f(x1-x2)>-1. 又f(x1)=f((x1-x2)+x2)=f(x1-x2)+f(x2)+1>f(x2),所以,函数f(x)在R上是单调增函数. (2)由f (1)=1,得f (2)=3,f(3)=5. 由f(x2+2x)+f(1-x)>4得f(x2+x+1)>f(3), 又函数f(x)在R上是增函数,故x2+x+1>3,解得x<-2或x>1, 故原不等式的解集为{x|x<-2或x>1}. 题型二 函数的最值 1、函数f(x)=-的值域为________. 解析: 因为所以-2≤x≤4,所以函数f(x)的定义域为[-2,4]. 又y1=,y2=-在区间[-2,4]上均为减函数, 所以f(x)=-在[-2,4]上为减函数,所以f(4)≤f(x)≤f(-2). 即-≤f(x)≤. 2、函数y=的值域为____________. 答案 [-1,1) 解析 由y=,可得x2=.由x2≥0,知≥0,解得-1≤y<1, 故所求函数的值域为[-1,1). 3、函数y=x+的最大值为________. 答案 解析 由1-x2≥0,可得-1≤x≤1.可令x=cosθ,θ∈[0,π], 则y=cosθ+sinθ=sin,θ∈[0,π],所以-1≤y≤,故原函数的最大值为. 4、函数y=|x+1|+|x-2|的值域为________. 答案 [3,+∞) 解析 函数y=作出函数的图象如图所示. 根据图象可知,函数y=|x+1|+|x-2|的值域为[3,+∞). 5、当-3≤x≤-1时,函数y=的最小值为________. 答案 解析 由y=,可得y=-. ∵-3≤x≤-1,∴≤-≤,∴≤y≤3.∴所求函数的最小值为. 6、函数f(x)=x-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为________. 答案 3 解析 由于y=x在[-1,1]上单调递减,y=log2(x+2)在[-1,1]上单调递增,所以f(x)在 [-1,1]上单调递减,故f(x)在[-1,1]上的最大值为f(-1)=3. 7、若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m( ) A.与a有关,且与b有关B.与a有关,但与b无关 C.与a无关,且与b无关D.与a无关,但与b有关 答案 B 解析 方法一 设x1,x2分别是函数f(x)在[0,1]上的最小值点与最大值点, 则m=x+ax1+b,M=x+ax2+b.∴M-m=x-x+a(x2-x1), 显然此值与a有关,与b无关.故选B. 方法二 由题意可知,函数f(x)的二次项系数为固定值,则二次函数图象的形状一定.随着b的变动,相当于图象上下移动,若b增大k个单位,则最大值与最小值分别变为M+k,m+k,而(M+k)-(m+k)=M-m,故与b无关.随着a的变动,相当于图象左右移动,则M-m的值在变化,故与a有关,故选B. 8、已知函数f(x)=若f (2)=4,且函数f(x)存在最小值,则实数a的取值范围为( ) A.(1,]B.(1,2]C.D.[,+∞) 答案 A 解析 因为f (2)=2m+8=4,所以m=-2,所以当x≤3时,f(x)=-2x+8. 此时f(x)≥f(3)=2. 因为函数f(x)存在最小值,所以当x>3时,f(x)单调递增,且loga3≥2, 所以即解得a∈(1,]. 9、已知函数f(x)=-(a>0,x>0). (1)求证: f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)若f(x)在上的值域是,求a的值. 解 (1)证明: 任取x1>x2>0,则f(x1)-f(x2)=--+=, ∵x1>x2>0,∴x1-x2>0,x1x2>0,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数. (2)由 (1)可知,f(x)在上为增函数,∴f=-2=,f (2)=-=2,解得a=. 10、已知函数f(x)=ax2-2x+1. (1)当x∈[1,2]时,f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围; (2)若函数g(x)=|f(x)|(a≥0)在[1,2]上是增函数,求实数a的取值范围. 解 (1)当x∈[1,2]时,ax2-2x+1>0恒成立, 所以当x∈[1,2]时,a>-+=-2+1恒成立, 又-2+1在x∈[1,2]上的最大值为1,所以a>1. (2)当a=0时,g(x)=|2x-1|在[1,2]上是增函数, 当a>0时,g(x)=, ①若1-≥0,即a≥1时,≤1, g(x)=在[1,2]上是增函数; ②若1-<0,即0 a.若[1,2]⊆,则解得0 b.若[1,2]⊆[x2,+∞),则解得a>1,无解, 综上所述,0≤a≤或a≥1. 题型三 函数单调性的应用 命题点1 比较函数值的大小 1、已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称,当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)<0恒成立,设a=f,b=f (2),c=f(3),则a,b,c的大小关系为( ) A.c>a>bB.c>b>aC.a>c>bD.b>a>c 答案 D 解析 根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x=1对称,且在(1,+∞)上是减函数, 因为a=f=f,且2<<3,所以b>a>c. 2、已知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒成立,设a=f,b=f (2),c=f(e),则a,b,c的大小关系为( ) A.c>a>b B.c>b>a C.a>c>bD.b>a>c 答案 D 解析 因为f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f=f.由x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)<0恒成立,知f(x)在(1,+∞)上单调递减. 因为1<2<<e,所以f (2)>f>f(e),所以b>a>c. 3、已知f(x)在R上是减函数,a,b∈R且a+b≤0,则下列结论正确的是( ) A.f(a)+f(b)≤-[f(a)+f(b)]B.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b) C.f(a)+f(b)≥-[f(a)+f(b)]D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b) 答案 D 解析 a+b≤0可转化为a≤-b或b≤-a,由于函数f(x)在R上是减函数, 所以f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a),两式相加得f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b). 命题点2 解函数不等式 1、已知函数f(x)=lnx+2x,若f(x2-4)<2,则实数x的取值范围是______________. 答案 (-,-2)∪(2,) 解析 因为函数f(x)=lnx+2x在定义域上单调递增,且f (1)=ln1+2=2,所以由f(x2-4)<2得f(x2-4) (1),所以0 2、已知函数f(x)为R上的减函数,则满足f<f (1)的实数x的取值范围是( ) A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,0)∪(0,1)D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 解析: 选C.由f(x)为R上的减函数且f<f (1),得即所以-1<x<0或0<x<1.故选C. 3、定义在[-2,2]上的函数f(x)满足(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0,x1≠x2,且f(a2-a)>f(2a-2),则实数a的取值范围为( ) A.[-1,2)B.[0,2) C.[0,1)D.[-1,1) 解析 因为函数f(x)满足(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,x1≠x2, 所以函数在[-2,2]上单调递增, 所以-2≤2a-2<a2-a≤2,解得0≤a<1,故选C. 命题点3 求参数的取值范围 1、函数y=loga(2-ax)在区间[0,1]上是减函数,则a的取值范围是( ) A.(0,1)B.(0,2)C.(1,2)D.(2,+∞) 答案 C 解析 题中隐含a>0,∴2-ax在区间[0,1]上是减函数.∴y=logau应为增函数, 且u=2-ax在区间[0,1]上应恒大于零,∴∴1 2、若f(x)=cosx-sinx在[0,a]上是减函数,则a的最大值是( ) A.B.C.D.π 答案 C 解析 ∵f(x)=cosx-sinx=-sin,∴当x-∈,即x∈时, y=sin单调递增,f(x)=-sin单调递减, ∴是f(x)在原点附近的单调减区间,结合条件得[0,a]⊆, ∴a≤,即amax=. 3、已知函数f(x)=lnx+x,若f(a2-a)>f(a+3),则正数a的取值范围是______. 答案 (3,+∞) 解析 ∵函数f(x)=lnx+x的定义域为(0,+∞),且为单调递增函数, ∴f(a2-a)>f(a+3)同解于解得a>3.所以a的取值范围是(3,+∞). 4、已知函数f(x)=(m≠1)在区间(0,1]上是减函数,则实数m的取值范围是___ 答案 (-∞,0)∪(1,4] 解析 由题意可得4-mx≥0,x∈(0,1]恒成立,所以m≤min=4.当0 5、设函数f(x)=若函数y=f(x)在区间(a,a+1)上单调递增,则实数a的取值范围是________. 答案 (-∞,1]∪[4,+∞) 解析 作出函数f(x)的图象如图所示,由图象可知f(x)在(a,a+1)上单调递增,需满足a≥4或a+1≤2,即a≤1或a≥4. 6、已知函数f(x)=若f(x)在(0,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为________. 答案 (1,2] 解析由题意,得12+a-2≤0,则a≤2,又y=ax-a(x>1)是增函数,故a>1,
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