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bs期权定价
第三节Black-Scholes 期权定价模型
一与期权定价有关的基本假设:
(一).关于金融市场的基本假设
假设一:
市场不存在摩擦.这就是说金融市场没有交易成本(包括佣金
费用,买卖价差,税赋,市场冲击等),没有保证金要求,也没有买空的限制.提
出市场无摩擦的假设在于简化金融资产定价的分析过程,其主要理由
有以下两点:
第一,对于大的金融机构来说,这一假设是一个较好的近
似,因为他们的交易成本很低,他们在保证金要求和卖空方面受的约束
很少,他们能够以买卖差的中间价进行交易等.由于金融机构是市场价
格的制定者,所以从描述性角度出发,上述假设是一个较为现实的假设.第
二,对于小的市场参与者来说,他们首先需要了解的是无摩擦条件下金
融市场将如何运作.在此基础上,才能对复杂场合下的市场规律进行进
一步深入分析.因此,从规范性角度出发,上述假设也是绝对必要的.
假设二:
市场参与者不承担对家风险.这就是说,对于市场参与者所涉
及的任何一个金融合同交易,合同对家不存在违约的可能.
假设三:
市场是完全竞争的这就是说,金融市场上任何一位参与者都是
价格的承受者,而不是价格的制定者.此假设被现代财务金融学普遍采
纳,相当于一条标准的公理.任何参与者都可以根据自己的愿望买入和
卖出任何数量的证券,而不至于影响该证券的市场价格.显然市场规模
越大,竞争性市场假设就越接近于现实.
假设四:
市场参与者厌恶风险,而且希望财富越多越好.
假设五:
市场不存在套利机会.如果市场上存在套利的机会,价格会迅
速准确的进行调整,使得这种套利机会很快消失.
(二).关于股利的假设
股利是影响期权价值的一个重要因素.不过,在研究期权定价问题时,
股利是一个广义概念.首先,这一概念包含了通常意义上的股利,即发
行标的股票公司向其股东定期支付的现金股利,我们称之为离散股利
对于标的资产为股票的合同其大小一般用 D 表示.一般来说,离散股
利的支付发生在期权有效期内某些特定的时刻,它们往往是可以预先
知道的.例如,公司将在每个季度末或每隔半年发放一定的股利.另一
方面,对于标的资产为货币,股票指数,期货等的非股票期权来讲,所谓
的的股利是指标的资产所有者在一段时间内,按一定的收益率所得到
的报酬,如利息收入,因此它是一种连续的支付,我们称之为连续股利,
其大小通常用股利支付率
二模型假设与概述
(一)模型假设
Black 和 Scholes 在推导 B-S 模型时做了以下假设:
(1)无风险利率 r 已知,且为一个常数,不随时间变化.
(2)标的资产为股票,其价格 st 的变化为一几何布朗运动,即
dst = μst dt + σ st dzt
或者说, st 服从正态分布
st = s0 exp{(μ - 0.5σ 2 )t + σ t1/ 2et }, 0 < t < T ……… 由(18)式容易得到
其中 et 为标准正态分布 N(0,1),且不同时刻的 et 相互独立.
(3)标的股票不支付股利.
(4)期权为欧式期权
(5)对于股票市场,期权市场和资金借贷市场来说,不存在交易费用,且
没有印花税.
(6)投资者可以自由借入或贷出资金,借入利率与贷出的利率相等,均
为无风险利率.而且,所有证券交易可以无限制细分,即投资者可以购
买任意数量的标的股票.
(7)对卖空没有任何限制(如不设保证金),卖空所得资金可由投资者自
由使用.
(二)模型的概述
在上述假设下,若记 st 为定价日标的股票的价格, X 为看涨期权合同的
执行价格, r 是按连续复利计算的无风险利率, T 为到期日, t 为当前定
价日, T - t 是定价日距到期日的时间(单位为年),σ 是标的股票价格的
波动率,则可得到 B-S 模型如下:
(1) 在定价日 t ( t < T ),欧式看涨期权的价值 ct 为
ct = st N (d1) - Xe-r(T -t) N (d2 ) …………………….(22)
式中:
d1 = [ln(st / X ) + (r + σ 2 / 2)(T - t)] /[σ (T - t)1/ 2 ] ……….(23)
d2 = d1 - σ (T - t)1/ 2 ………………………………………(24)
而 N (x) 是标准正态变量的累积分布函数,即
N (x) = p{X < x}
其中 X 服从 N (0,1) .
(2) 由看涨期权-看跌期权平价公式:
pt = ct - st + Xe-r(T -t) ,且注意到 N (x) 的
性质
N (x) + N (-x) = 1 ,
欧式看跌期权在定价日 t 的价值 pt 为
pt = -st N (-d1) + Xe-r(T -t) N (-d2 ) ……………..(25)
三模型的推导与推广
(一) Black 和 Scholes 的推导
tt
假设期权当前时刻的价值为 F ,显然 F 是标的股票当前市场价格 st 的
函数.Black 和 Scholes 首先构造了如下套期组合:
即在当前 t 时刻,以
tt
ttt
ttt
st 买入标的股票 ∂F / ∂st 股,同时以 F 卖空一份期权.显然,该组合的构造
成本 A = (∂F / ∂st )st - F .当时间变化一个微小区间 Vt (即从 t 到 t +Vt ),
∂F / ∂st 可近似看成是一个常数,则该组合价值 A 的变动 dA 为:
t
dA =
∂F
∂st
t
dst - dF …………………………(26)
注意到,由 B-S 模型的假设
dst = μst dt + σ st dzt
t
又由伊藤引理(11)式,期权价值 F 作为 st 的函数,应满足以下公式
+ 0.5σst
2 ∂ Ft
∂st
t
dF = (
t
∂F
∂t
+ μst
t
∂F
∂st
2
2
2
)dt + σ st
t
∂F
∂st
dzt
将上述两式代入(26)式得
t
dA = -[
t
∂F
∂t
+ 0.5σ 2st2
t
∂2F
∂st2
]dt ………………………(27)
在(27)式中随机项 dzt 已经不存在,这说明在[t, t +Vt] 这段时间上,该套期
组合价值的变动是确定的,不存在风险.因此,根据无套利定价原则,不
考虑交易成本等因素,在该时间段组合的收益应当是无风险利率 r ,即
tt
dA = rA dt = r(
t
∂F
∂st
t
st - F )dt …………………(28)
将(27),(28)结合化简得:
t
∂F
∂t
+ rst
t
∂F
∂st
+ 0.5σ 2st2
t
∂2F
∂st2
t
= rF ………………(29)
此式就是著名的 B-S 微分方程,它构成的包括期权在内的任何一种衍
生工定价模型的基础.这就是说,B-S 方程可以用于任何一种衍生工具
的定价,只要该衍生工具的标的资产价格变化服从几何布朗运动.对于
t
不同类型的衍生工具来说,其价值 F 有不同的边界条件.给定这些特定
的边界条件,就可以通过求解上述偏微分方程,得到该衍生工具的定价
模型.
t
对于欧式看涨期权来说,其价值 F = ct 在到期日 T 的边界条件为:
FT = cT = max(0, sT - X )
而对于欧式看跌期权来说,其价值
FT = pT = max(0, X - sT )
根据上述边界条件,Black 和 Scholes 得到了 B-S 方程的解,它们就是
B-S 期权定价模型。
(二)Black-scholes 期权定价公式的拓展
(1)无收益资产的欧式看跌期权的定价公式
Black-Scholes 期权定价模型给出的是无收益资产的欧式看涨期
权的定价公式根据欧式看涨期权和看跌期权之间的评价关系,可以
得到无收益资产的欧式看跌期权的定价公式:
p = ct + Xe-r(T -t) - St = Xe-r(T -t) N (-d2 ) - St N (-d1) ………………….(30
)
(2)无收益资产的美式期权的定价公式
在标的资产无收益的情况下,由于 Ct = ct ,所以式(22)也给出
了无收益资产的美式看涨期权的价值。
美式看跌期权与看涨期权之间不存在严密的平价关系,因此美
式看跌期权的定价还没有一个精确的解析公式,但可以用数值的方
法以及解析近似方法求出。
(3)有收益资产的期权的定价公式
到现在为止,我们一直假设期权的标的资产没有现金收益。
那
么,对于有收益资产,其期权定价公式是什么呢?
实际上,如果收
益可以准确的预测到,或者说是已知的,那么有收益资产的欧式期
权定价并不复杂。
在收益已知的情况下,我们可以把标的证券价格分解成两部分:
期权有效期内已知现金手一点现值部分和一个有风险部分。
当期权
到期时,这部分现值将由于标的资产支付现金收益而消失。
因此,
我们只要用 St 表示有风险部分的证券价格,σ 表示风险部分遵循随
机过程的波动率,就可以直接套用公式(22)和(30)分别计算出
有收益资产的欧式看涨期权和看跌期权的价值。
当标的证券已知收益的现值为 I 时,我们只要用( St - I )代替
式(22)和式(30)中的 St 即可求出固定收益证券欧式看涨期权和
看跌期权的价格。
当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率 q (单位:
年)时,我们只要将 Ste-q(T -t) 代替式(22)和式(30)中的 St 就
可以求出支付连续复利收益率证券的欧式看涨期权和看跌期权
的价格,在各种期权中,股票指数期权,外汇期权,和期货期
权的标的资产可以看做是支付连续红利率的,因而它们适用于
这一定价公式。
另外对于有收益资产的美式期权,由于有提前执行的可能,
我们无法得到精确的解析解,仍然需要用数值方法以及解析近
似方法求出。
(三)Black-Scholes 期权定价公式的计算
(1)Black-Scholes 期权定价模型的参数
我们已经知道,Black-Scholes 期权定价模型中的期权价格取
决于下列五个参数:
标的资产市场价格、执行价格、到期期限、
无风险利率和标的资产价格波动率(即标的资产收益率的标准
差)。
在这些参数当中,前三个都是很容易获得的确定数值,但
是无风险利率和标的资产价格波动率则需要通过一定的计算求
得估计值。
① 估计无风险利率
在发达的金融市场上,很容易获得无风险利率的估计值,但
是在实际应用的时候仍然需要注意几个问题。
首先,我们需要
选择正确的利率。
一般来说,在美国,人们大多选择美国国库
券利率作为无风险利率的估计值。
美国国库券所报出的利率通
常为贴现率(即利率占票面价值的比例),因此需要转化为通常
的利率,并且用连续复利的方式表达出来,才可以在 Black-
Scholes 公式中应用。
其次,要小心的选择国库券的到期日。
如
果利率期限结构曲线倾斜严重,那么不同的到期日的收益率很
可能相差很大,我们必须选择距离期权到期日最近的那个国库
券的利率作为无风险利率。
我们用一个例子来说明无风险利率的计算。
假设一个还有
84 天到期的国库券,其买入报价为 8.83,卖出报价为 8.77。
由
于短期国库券市场报价为贴现率,我们可以推算出其中间报价
对应的现金价格(面值为 100 美元)为:
PTB =100-[(8.83+8.77)/2]*(84/360)=97.947(美元)
进一步应用连续复利利率的计算公式得到相应的利率:
er(T -t) = 100/ PTB → e0.23r = 100/97.947 → r = 0.0902
② 估计标的资产价格的波动率
估计标的资产价格的波动率要比估计无风险利率困难的多,
也更为重要。
正如第十章所述,估计标的资产价格波动率有两
种方法:
历史波动率和隐含波动率。
1.历史波动率。
所谓历史波动率,就是从标的资产价格
的历史数据中计算出价格收益率的标准差。
以股票的
价格为例,表
(1)列出了计算股票价格波动率的一个简
单说明。
很显然,计算波动率的时候,我们运用了统
计学中计算样本均值和标准差的简单方法。
其中,
Rt 为股票价格百分比收益率, R (或者 μ )则为连续复利
收益率(估计方差),σ 就是相应的(估计)标准差
(波动率),即 Black-Scholes 公式计算时所用的参数。
在表
(1)中,共有 11 天的收盘价信息,因此得到 10 个
天数
pt
Rt
ln(Rt )
ln(Rt - R)2
0
100.00
1
101.50
1.0150
0.0149
0.000154
2
98.00
0.9655
-0.0351
0.001410
3
96.75
0.9872
-0.0128
0.000234
4
100.50
1.0388
0.0380
0.001264
5
101.00
1.0050
0.0050
0.000006
6
103.25
1.0223
0.0220
0.000382
7
105.00
1.0169
0.0168
0.000205
8
102.75
0.9786
-0.0217
0.000582
9
103.00
1.0024
0.0024
0.000000
10
102.50
0.9951
-0.0049
0.000053
总计
0.0247
0.004294
样本均值 μ =0.0247/10=0.00247
2
样本方差σ =0.004294/9=0.000477
样本标准差σ =0.021843
R = (1/ T )∑ ln Rt
收益率信息。
Rt = pt / pt-1
T
1
t=T
var(R) = [1/(T -1)]∑ (ln Rt -R)2
t=1
表
(1) 历史波动率计算
在 Black-Scholes 公式所用的参数中,有三个参数与时间有
关:
到期期限、无风险利率和波动率。
值得注意的是,这三个
参数的时间单位必须相同,或者同为天、周、或者同为年。
年
是经常被用到的时间单位,因此我们常常需要将天波动率转化
成年波动率。
在考虑年波动率时,有一个问题需要加以重视:
一年的天数究竟按照日历天数还是按照交易天数计算。
一般认
为,证券价格的波动主要来自交易日。
因此,在转换年波动率
时,应该按照一年 252 个交易日进行计算。
这样,表
(1)中的
天波动率相应的年波动率σ year = σ day * 252 = 0.3467
在我们的例子中,我们使用的是 10 天的历史数据。
在实际
计算时,这个天数的选择往往很不容易。
从统计的角度来看,
时间越长,数据越多,获得的精确度一般越高。
但是,资产价
格收益率的波动率却又常常随时间的变化,太长的时间段反而
可能降低波动率的精确度。
因此,计算波动率时,要注意选取
距离今天较近的时间,一般的经验法则则是设定度量波动率的
时期等于期权的到期期限。
因此,如果要为 9 个月的期权定价,
可使用 9 个月的历史数据。
2.隐含波动率
从 Black-Scholes 期权定价模型本身来说,公式中的波动率
指的是未来的波动率数据,这使得历史波动率始终存在较大的
缺陷。
为了回避这一缺陷,一些学者将目光转向隐含波动率计
算。
所谓隐含波动率,即根据 Black-Scholes 期权定价公式,将
公式中除了波动率以外的参数和市场上的期权报价待入,计算
得到的波动率数据。
显然,这里计算得到的波动率可以看做是
市场对未来波动率的预期。
当然,由于 Black-Scholes 期权定价
公式比较复杂,隐含波动率的计算一般需要通过计算机完成。
(2)利用 Black-Scholes 期权定价公式的一个例子
为了使广大读者进一步理解 Black-Scholes 期权定价模
型,我们下面用一个简单的例子来说明这一模型的计算过程。
例 3.1假设某种不支付红利股票的市价为 50 元,
无风险利率为 12%,该股票的年波动率
为 10%,求该股票协议价格为 50 元、
期限 1 年的欧式看涨期权和看跌期权的
价格。
在本题中,可以将相关参数表达如下:
St =50
=50
X r =0.12
σ =0.1
T =1
计算过程分为三步:
第一步,先算出 d1 和 d2 。
d1=[ln(50/50)+(0.12+0.01/2)*1]/[0.1*sqrt
(1)]=1.25
d2 = d1-0.1* sqrt
(1)=0.15
第二步,计算 N (d1) 和 N (d2 )
N (d1) = N (1.25) = 0.8944
N (d2 ) = N (1.15) = 0.8749
第三步,将上述结果以及已知条件代入公式(22),
这样,欧式看涨期权和看跌期权的价格分别为:
c = 50*0.8944 - 50*0.8749e-0.12*1 = 5.92 (美元)
p = 50*(1- 0.8749)e-0.12*1 - 50*(1- 0.8944) = 0.27 (美元)
在本例中,标的资产执行价格和市场价格正好相等,
但是看涨期权的价格却与看跌期权的价格相差悬殊。
其
中的原因在于利率和到期期限对期权价格的影响。
在本
例中,利率高达 12%,到期期限长达 1 年。
在这种情
况下,执行价格的现值将大大的降低。
对于欧式看涨期
权来说,这意味着内在价值的大幅上升,而对于欧式看
跌期权来说,却意味着内在价值的大幅降低。
因此,在
计算了执行价格的现值以后,看涨期权是实值期权而看
跌期权则是一个虚值期权。
事实上,实际中的市场短期
利率通常较低,期权到期期限一般不超过 9 个月,因此
如果标的资产市场价格与执行价格相等,同样条件下的
看涨期权价格和看跌期权价格一般比较接近。
(六)Black-Scholes 期权定价公式的应用
Black-Scholes 期权定价公式除了可以用来估计期权
价格,在其他一些方面也有很重要的应用,主要包括评
估组合保险成本、可转换债券定价和为认股权证估值。
(1)评估组合保险成本
证券组合保险是指事先能够确定最大损失的投资策略,比
如在持有相关资产的同时买入看跌期权就是一种组合保险。
假设你掌管着价值 1 亿元的股票投资组合,这个股票投
资组合与市场组合十分类似。
你担心类似于 1987 年 10 月 9 日
的股灾会吞噬你的股票组合,这时购买一份看跌期权也许是合
理的。
显然,期权的执行价格越低,组合保险的成本越小,不
过我们需要一个确切的评估,市场上可能根本就没有对应的期
权,要准确估算成本十分困难,此时 Black-Scholes 期权定价公
式就十分有用。
比如 10%的损失是可以接受的,那么执行价格
就可以设为 9000 万元,然后再将利率、波动率和保值期限的数
据代入公式,就可以合理估算保值成本了。
(2)给可转换债券定价
可转换债券是一种可有债券持有者转换成股票
的债券,因此可转换债券相当于一份普通的公司
债券和一份看涨期权的组合,即:
VCB = VB + VC
其中VCB 表示可转换债券的价值,VB 表示从可转换债券中剥
离出来的债券的价值,VC 代表从可转换债券中剥离出来的期权
的价值。
在实际中VC 的估计是十分复杂的,因为VC 对利率非常敏感,
而 Black-Scholes 期权定价公式假定无风险利率不变,对VC 显然
不适用。
其次,可转换债券中隐含的期权的执行与否会因为股
票股利和债券利息的问题复杂化。
而且,许多可转换债券的转
换比例会随时间变化。
绝大多数可转换债券是可赎回的,可赎回债券的分解更加
复杂。
对债券持有者而言,它相当于一份普通的公司债券、一
份看涨期权多头(转换权)和一份看涨期权空头(赎回权)的
组合。
可赎回的可转换债券对股票价格变动很敏感,而对利率
也非常敏感。
当利率下降的时候,公司可能会选择赎回债券。
当然,利率上升的时候债券价值也会上升。
(3)为认股权证估值
认股权证通常是与债券或优先股一起发行的,它的持有人
拥有在特定的时间以特定的价格认购一定数量的普通股,因此
认股权证其实是一份看涨期权,不过两者之间还是存在细微的
差别,看涨期权执行的时候,发行股票的公司并不会受影响,
而认股权证的执行存在解释效应,在估值的时候必须考虑这一
点。
参考文献:
《期权分析----理论与应用》茅宁著南京大学出版社
《数理统计与概率论》王志江 陶靖轩 沈鸿 编 中国计量出版社
《衍生产品》郑振龙主编武汉大学出版社2005 年 2 月第一版
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