数学人教版七年级下册用坐标表示平移.docx

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数学人教版七年级下册用坐标表示平移

第七章　平面直角坐标系

1.认识有序数对,感受它在确定点的位置中的作用.

2.认识平面直角坐标系,能根据点的位置写出点的坐标,根据点的坐标描出点的位置.

3.掌握点的坐标变化与点的左右或上下平移间的关系,并能解决与平移有关的问题.

4.能够建立适当的坐标系表示地理位置.

1.要正确理解有序实数对的含义,熟悉平面直角坐标系的组成.对于平面内点的表示和直线上的点的表示要正确区别,在用有序实数对表示点时,要注意数的先后顺序.

2.用坐标表示地理位置,注重平面直角坐标系与生产、生活的联系,确定坐标原点是解决此类问题的关键.

体验和领悟数学与生活的密切联系.

本章是研究函数及其图象的入门篇,介绍了平面直角坐标系以及相关知识.直角坐标系是由两个互相垂直的数轴组成的,它不但是联系有序实数对和平面内点的对应关系的桥梁,也是解决数学问题经常运用的工具.在本章将学到用坐标的方法表示地理位置和平移,通过用有序实数对确定位置,从中体会位置的确定与坐标变换之间的关系,探索在平移、轴对称、旋转等变换过程中,相应的点的坐标的变化规律.

【重点】

1.掌握平面内点的坐标的表示方法及求法.

2.能够建立适当的坐标系来描述点所处的位置.

【难点】　用坐标表示平面内的点的位置及判断坐标平面上点的坐标.

1.复习数轴的有关知识,加深对实数与数轴上的点一一对应的认识,要注意弄清有序实数对的概念.

2.突出识记各象限内点的坐标和坐标轴上点的坐标的特征.增强空间意识,掌握图形的基本规律.

3.有关平面直角坐标系的概念比较多,指导学生学习时,要注意运用数形结合的思想,紧密结合图形帮助学生理解这些概念,不要死记硬背定义.

7.1　平面直角坐标系

7.1.1　有序数对（1课时）

7.1.2　平面直角坐标系（1课时）

2课时

7.2　坐标方法的简单应用

7.2.1　用坐标表示地理位置（1课时）

7.2.2　用坐标表示平移（1课时）

2课时

单元概括整合

1课时

7.1　平面直角坐标系

1.了解有序实数对的含义及其在确定点的位置中的作用.

2.了解平面直角坐标系,感受点和坐标一一对应的关系.

通过生活实例领会有序实数在生活中的作用.

认识数学与生活的密切联系,培养学生用数学知识解决生活问题的意识.

【重点】

1.有序实数对对确定点的位置的作用.

2.借助于直角坐标系描述点的位置.

3.根据位置关系建立适当的直角坐标系描述事物位置.

【难点】

1.理解有序实数对和点的一一对应.

2.根据事物的位置建立直角坐标系.

7.1.1　有序数对

了解有序数对,感受它在确定点的位置中的作用.

通过对实际问题的分析,经历建立数学模型解决实际问题的过程.

体验有序数对在现实生活中应用的广泛性.逐步建立数学的应用意识.

【重点】　理解有序数对的意义和作用.

【难点】　有序数对表示点的位置的唯一性.

【教师准备】　课堂教学所用的教学图片.

【学生准备】　复习小学数学学过的有关数对的知识.

导入一:

出示围棋棋盘图片,提出问题:

怎么说明各个棋子的位置呢?

[设计意图]　帮助学生领会引入“有序数对”的必要,初步领会怎样用实数去描述事物的位置.

导入二:

出示飞行员方队图片,提出问题:

方队内的每位队员,怎样准确找到自己的位置呢?

[设计意图]　学生在想各种办法的时候,会联想到小学学过的“数对”,再次感受“数对”对于说明位置的准确性.

　　[过渡语]　刚才我们体验了怎样明确确定事物的位置,接下来我们就研究一下具体的办法吧!

1.有序数对.

生活体验

问题1:

如果你持有这张电影票,怎样找到自己的位置呢?

处理方式:

学生观察后可以随意说出,肯定学生根据座位号找到位置的回答.

问题2:

出示教材图7.1-1,根据要求做活动.

活动一　假如这是班级的座位图,请你任意选择一个位置当做自己的座位,怎样向同学说明你的位置?

处理方式:

学生在“选定”自己的位置后,根据学习经验会用“横排”“竖排”的概念描述自己的位置,可是这种描述还是文字性的,不是用数字的抽象描述,需要提示学生用“数字”的方式描述自己的位置.

活动二　教材第65页思考中的问题

提示:

可以利用排、列的方式确定教室里座位的位置;排数和列数的先后顺序对位置是有影响的;图略.（1,5）表示的位置是第1列第5排,（2,4）表示的位置是第2列第4排,（4,2）表示的位置是第4列第2排,（3,3）表示的位置是第3列第3排,（5,6）表示的位置是第5列第6排.

总结:

上面的问题都是通过像“9排7号”“第1列第5排”这样含有两个数的表达方式来表示一个确定的位置,其中两个数各自表示不同的含义,例如前边的表示“排数”,后边的表示“号数”.我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对,叫做有序数对,记作（a,b）.

2.例题讲解.

　（补充）如图所示,在A处观察B物体,横着相距3格,竖着相距2格,B点表示为（4,3）,在A处观察C物体,横着相距　　　　格,竖着相距　　　　格,C点表示为　　　　. 

〔解析〕　从A点看C点,横着相距6格,竖着相距1格,要确定C点的表示方法,应以B为标准,从B点数,向右数3个格,向下数1个格,故C点可表示为（7,2）.

〔答案〕　6　1　（7,2）

[知识拓展]　对“有序”要准确理解,即两个数的位置不能随意交换,（a,b）与（b,a）顺序不同,含义就不同.当a=b时,它们表示同一有序数对,当a≠b时,它们表示不同的有序数对.

有顺序的两个数a与b组成的数对,叫做有序数对,记作（a,b）.

1.如图所示,已知某城市A在地图上的位置如图所示,则城市A的位置在（　　）

A.东经120°,北纬30°

B.东经30°,北纬120°

C.东经110°,北纬30°

D.东经20°,北纬120°

解析:

地图上是通过用经度和纬度来表示城市的位置的,由图可知城市A所在的位置是东经120°,北纬30°.故选A.

2.如图所示,观察小岛A相对于灯塔O的位置,描述准确的是（　　）

A.北偏东60°

B.距灯塔20km处

C.北偏东30°且距灯塔20km处

D.北偏东60°且距灯塔20km处

解析:

由题意可知,观察小岛A相对于灯塔O的位置,需要方位角大小和小岛与O点的距离两个量.所以小岛A可以表示为北偏东60°且距灯塔20km处.故选D.

3.如图所示,进行“找宝”游戏,如果宝藏藏在（3,2）字母牌的下面,那么应该在字母L的下面寻找,如果宝藏藏在（4,5）字母牌的下面,那么应该在字母　　　　的下面寻找. 

解析:

先理解（4,5）表示4排5列,然后在图中找出对应的字母即可.因为（4,5）表示4排5列,而图中4排5列的字母为J,所以宝藏藏在J字母牌的下面.故填J.

4.在电影票上,将“7排6号”简记作（7,6）.

（1）6排7号可表示为　　　　. 

（2）（8,6）表示的意义是　. 

解析:

本题考查如何用有序数对表示位置.将“7排6号”表示为（7,6）,对比看出前数表示排号,后数表示位号,用小括号括起来,中间用“,”隔开.所以6排7号可表示为（6,7）.（8,6）表示的意义是8排6号.

答案:

（6,7）　8排6号

7.1.1　有序数对

1.有序数对

2.例题讲解

例题

一、教材作业

【选做题】

教材第65页练习.

【选做题】

教材68页习题7.1第1题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.在平面内,下列数据不能确定物体位置的是（　　）

A.3楼5号

B.北偏西40°

C.解放路30号

D.东经120°,北纬30°

2.如图所示的为一方队的示意图,A的位置为三列四行,表示为（3,4）,那么B的位置是（　　）

A.（4,5）B.（5,4）C.（4,2）D.（4,3）

3.如果电影票上的“3排4号”记作（3,4）,那么（4,3）表示　　　　排　　　　号. 

4.用有序数对（2,9）表示某住户住2单元9号房,那么（3,11）表示住户住几单元几号房?

5.如图所示,小海龟位于图中点A（2,1）处,按下述路线移动:

（2,1）→（2,4）→（7,4）→（7,7）→（1,7）→（1,1）→（2,1）.用粗线将小海龟经过的路线描出来,看一看像什么图形.

【能力提升】

6.下列关于有序数对的说法正确的是（　　）

A.（3,2）与（2,3）表示的位置相同

B.（a,b）与（b,a）表示的位置不同

C.（3,2）与（2,3）是表示不同位置的两个有序数对

D.（4,4）与（4,4）表示两个不同的位置

7.如图所示,将正整数按下图所示的规律排列下去,若用有序数对（n,m）表示n排从左到右第m个数.如（4,3）表示9,则（10,3）表示（　　）

A.46B.47

C.48D.49

8.如图所示,A表示三经路与一纬路的十字路口,B表示一经路与三纬路的十字路口,如果用（3,1）⇒（3,2）⇒（3,3）⇒（2,3）⇒（1,3）表示由A到B的一条路径,用同样的方式写出一条由A到B的路径:

（3,1）⇒（　　）⇒（　　）⇒（　　）⇒（1,3）. 

9.小明和小亮同去市科技馆参加科技报告会,小明的入场券写着5排6号,而小亮的入场券写着6排5号,若小明的座位记作（5,6）,那么小亮的座位记作　　　　. 

10.如图所示,点M表示王昊的座位,点N表示李乐的座位,点F表示赵明的座位.

（1）王昊的座位是第5组第3个,表示为M（5,3）;

（2）点C表示班上年龄最小的同学的座位,表示为C（　　,　　）; 

（3）把李乐的座位向左平移3个座位后,表示为（　　,　　）; 

（4）赵明西面相邻同学的座位表示为（　　,　　）;赵明南面相邻同学的座位表示为（　　,　　）. 

【拓展探究】

11.如图所示,从2街4巷到4街2巷,走最短的路线的走法共有多少种?

请写出来.

利用方格图和有序实数对表示出所有最短的路线的走法.

12.如图所示的为某城市的街道平面图,图中的线段表示道路.

（1）若A点所在的2街5大道的十字路口的位置可用（2,5）表示,那么B点可用什么方式表示?

（2）找出从A点到B点的一条最短线路,并用适当的方式表示这条最短线路.

（3）想一想,从A到B的最短线路共有多少条?

【答案与解析】

1.B（解析:

A.3楼5号,物体的位置明确,故本选项错误;B.北偏西40°,无法确定物体的具体位置,故本选项正确;C.解放路30号,物体的位置明确,故本选项错误;D.东经120°,北纬30°,物体的位置明确,故本选项错误.故选B.）

2.A（解析:

根据A的位置为三列四行,表示为（3,4）可知列写在前面,行写在后面,据此可以得到B的位置.由图形可以看出:

B点的位置为四列五行,故知B点可以表示为（4,5）.故选A.）

3.4　3（解析:

根据题意知前一个数表示排数,后一个数表示号数,所以（4,3）表示的座位是4排3号.）

4.解:

（3,11）表示住户住3单元11号房.

5.解:

如图所示,小海龟经过的路线图形像一面小旗.

6.C（解析:

本题考查了有序数对.由有序数对的定义知:

A.（3,2）与（2,3）是表示不同位置的两个有序数对,故此项错误;B.（a,b）与（b,a）当a≠b时是表示不同位置的两个有序数对,故此项错误;C.（3,2）与（2,3）是表示不同位置的两个有序数对,故此项正确;D.（4,4）与（4,4）是表示相同位置的两个有序数对,故此项错误.故选C.）

7.C（解析:

从图中可以发现,第n排的最后的数为

n（n+1）,所以第9排最后的数为

×9×（9+1）=45,（10,3）表示第10排第3个数,则第10排第3个数为45+3=48.故选C.）

8.（2,1）　（2,2）　（2,3）（解析:

此题首先根据题意明确横坐标表示经路,纵坐标表示纬路.然后结合图形画出路线,写出对应的坐标即可.根据题意,答案不唯一,可依次填（2,1）⇒（2,2）⇒（2,3）等.）

9.（6,5）（解析:

因为小明的入场券写着5排6号用（5,6）表示,即排数在前,列数在后,所以小亮的入场券写着6排5号,就可以表示为（6,5）.）

10.

（2）（2,1）　（3）（2,4）　（4）（2,6）　（3,5）（解析:

根据数对表示位置的方法观察图形可知王昊的座位是第5组第3个,表示为M（5,3）,则

（2）点C表示班上年龄最小的同学的座位,表示为C（2,1）,（3）把李乐的座位向左平移3个座位后,表示为（2,4）,（4）赵明西面相邻同学的座位表示为（2,6）;赵明南面相邻同学的座位表示为（3,5）.）

11.解:

从2街4巷到4街2巷,走最短的路线的走法有:

①（2,4）→（4,4）→（4,2）;②（2,4）→（3,4）→（3,2）→（4,2）;③（2,4）→（3,4）→（3,3）→（4,3）→（4,2）;④（2,4）→（2,3）→（4,3）→（4,2）;⑤（2,4）→（2,2）→（4,2）;⑥（2,4）→（2,3）→（3,3）→（3,2）→（4,2）.

12.解:

（1）因为B点所在的位置是5街3大道的十字路口,所以B点可用（5,3）表示.　

（2）答案不唯一,如（2,5）→（5,5）→（5,3）.　（3）从A到B的最短线路共有10条.

本课时通过生活实例帮助学生领会了“有序数对”对于描述事物位置的重要作用,使学生认识到仅靠语言描述事物位置还是不够的,并且初步学会了用“数对”描述事物的位置.

对于有序实数对的作用的准确性和唯一性没有做出特别重点的强调,在交代了有序数对定义后,没有让学生进行举例,少了生活体验这个环节.

有针对性地纠正本课时的不足之处,重点强调有序数对的准确性和唯一性,让学生从生活经验的角度体验有序数对的重要作用.可以再补充一个例题,强化学生对知识的掌握.

练习（教材第65页）

解:

“（2,5）→（2,4）→（2,3）→（2,2）→（3,2）→（4,2）→（5,2）”,“（2,5）→（2,4）→（3,4）→（3,3）→（3,2）→（4,2）→（5,2）”,“（2,5）→（3,5）→（4,5）→（4,4）→（4,3）→（4,2）→（5,2）”等,答案不唯一.

　如图所示的是中国象棋一次对局时的部分示意图,若“帅”所在的位置用有序数对（5,1）表示,请你用有序数对表示其他棋子的位置.

〔解析〕　由示例可知,有序数对（a,b）中a代表棋子所处的纵列数,b表示棋子所处的横排数.

解:

兵（2,5）,车（3,1）,仕（5,2）,马（6,4）,炮（8,3）,相（9,3）.

7.1.2　平面直角坐标系

认识平面直角坐标系,了解点的坐标的意义,会用坐标表示点,能画出点的坐标位置.

渗透对应关系,提高学生的数感.

体验数、符号是对描述现实生活的重要手段.

【重点】　平面直角坐标系和点的坐标.

【难点】　根据点的位置写出点的坐标,根据点的坐标描出点的位置.

　　【教师准备】　教材图7.1-3,7.1-4,7.1-5,7.1-6的投影图片.

　　【学生准备】　复习有序数对的定义和表示方法.

导入一:

如图是一条数轴,数轴上的点与实数是一一对应的.数轴上每个点都对应一个实数,这个实数叫做这个点在数轴上的坐标.例如,点A在数轴上的坐标为-4,点B在数轴上的坐标为2.反过来,知道数轴上一个点的坐标,这个点在数轴上的位置也就确定了.例如,数轴上坐标为5的点是点C.

导入二:

数学家笛卡儿潜心研究能否用代数中的计算来代替几何中的证明.有一天,在梦中他用金钥匙打开了数学宫殿的大门,遍地的珠子光彩夺目,他看见窗框角上有一只蜘蛛正忙着结网,顺着吐出的丝在空中飘动,一个念头闪过脑际:

眼前这一条条的横线和竖线不正是自己全力研究的直线和曲线吗?

由此笛卡儿发明了直角坐标系,你是不是很想知道什么是直角坐标系呢?

就让我们一起进入本节课的学习吧!

　　[过渡语]　数轴上的点是与实数一一对应的,但这种对应有个弊端,就是无法准确确定点的位置.直角坐标系就很好地解决了这个问题.

　　1.建立直角坐标系.

出示教材图7.1-3,回答问题:

（1）你如何表示A,B,C,D这四个点的位置?

（2）用一条数轴能否表示这四个点的位置?

（3）用两个原点互相重合、垂直的数轴,能表示这四个点的位置吗?

活动方式:

学生交流、讨论、动手操作.

问题预设:

第

（1）问学生可能会想到用上个课时的“有序数对”的知识进行说明,采取横纵标上数字的办法.对于学生的这种做法要给予积极的肯定,鼓励学生再去尝试其他的方法.第

（2）问,从A,B,C,D这四个点的位置看都不在同一条直线上,用一个数轴只能表示出两个点的位置.第（3）问首先介绍了利用两条数轴的方法,也就是原点重合、互相垂直,这也是直角坐标系建立的基本条件.两个这样的坐标轴放到图7.1-3上,注意相应的横线和竖线分别与坐标轴重合,这样就可以读出A,B,C,D四个点的坐标.

2.平面直角坐标系的相关概念.

（1）建立直角坐标系.

在平面内,两条互相垂直、原点重合的数轴,组成平面直角坐标系,如图所示.

水平的数轴称为x轴或横轴,竖直的数轴称为y轴或纵轴,两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点.

（2）平面直角坐标系的点.

把直角坐标系如下图建立起来,就可以读出A,B,C,D四个点的坐标.

问题1:

由点A分别向x轴和y轴作垂线,垂足M在x轴上的坐标是3,垂足N在y轴上的坐标是4,我们说点A的横坐标是3,纵坐标是4,有序数对（3,4）就叫做点A的坐标,记作A（3,4）.类似地,请你写出点B,C,D的坐标:

B（　　,　　）,C（　　,　　）,D（　　,　　）. 

处理方式:

学生交流讨论完成,老师巡视指导.

问题2:

原点O的坐标是什么?

x轴和y轴上的点的坐标有什么特点?

提示:

原点O的坐标为（0,0）;x轴上的点的纵坐标为0,例如（1,0）,（-1,0）,…;y轴上的点的横坐标为0,例如（0,1）,（0,-1）,….

（3）平面直角坐标系的象限.

问题:

什么是象限?

坐标原点属于哪个象限?

提示:

建立了平面直角坐标系以后,坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ四个部分（图7.1-5）,每个部分称为象限,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限.坐标轴上的点不属于任何象限.

3.例题讲解.

　（补充）如图所示,其中所画的平面直角坐标系符合要求的是（　　）

〔解析〕　A选项中x轴与y轴不互相垂直,故此选项不正确,B选项中两数轴的交点不对,故B选项也不正确;D选项中没有标明坐标原点及x轴与y轴,故也排除.故选C.

　（教材例题）在平面直角坐标系中描出下列各点:

A（4,5）,B（-2,3）,C（-4,-1）,D（2.5,-2）,E（0,-4）.

解:

先在x轴上找出表示4的点,再在y轴上找出表示5的点,过这两个点分别作x轴和y轴的垂线,垂线的交点就是点A.类似地,在图上描出点B,C,D,E.

4.坐标平面内的点与有序实数对的一一对应.

数轴上的点与实数是一一对应的.坐标平面内的点与一对有序实数是一一对应的吗?

对于坐标平面内任意一点M,都有唯一的一对有序实数（x,y）（即点M的坐标）和它对应;反过来,对于任意一对有序实数（x,y）,在坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的.

　　[知识拓展]　

（1）求点的坐标时,横坐标要写在前面,纵坐标写在后面,中间用逗号隔开,再把它们括起来.

（2）坐标轴上点的坐标:

x轴上到原点的距离为|a|的点的坐标为（±a,0）,y轴上到原点的距离为|b|的点的坐标为（0,±b）.可类比数轴上的点与实数的关系来研究.

（3）建立直角坐标系的方法不同,同一个点在不同的直角坐标系中的坐标是不同的.

1.平面直角坐标系的相关概念:

横轴、纵轴、原点、象限.

2.坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的.

1.点（-2,1）所在的象限是（　　）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

解析:

点（-2,1）的横坐标在x轴的负半轴上,纵坐标在y的正半轴上,所以点（-2,1）在第二象限.故选B.

　　2.在平面直角坐标系中,点P（-3,4）到x轴的距离为（　　）

A.3B.-3

C.4D.-4

解析:

点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值,到y轴的距离为点的横坐标的绝对值.因为|4|=4,所以点P（-3,4）到x轴距离为4.故选C.

　　3.如图所示,点A关于y轴的对称点的坐标是　　　　. 

解析:

首先根据平面直角坐标系可知点A的坐标为（-5,3）,再由平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标特点:

横坐标互为相反数,纵坐标相等,可得点A关于y轴的对称点的坐标是（5,3）.故填（5,3）.

4.如图所示,根据坐标平面内点的位置,分别写出图中点A,B,E的坐标.

解:

点的坐标分别为:

A（2,4）,B（1,3）,E（3,3）.

7.2.2　平面直角坐标系

1.建立直角坐标系

2.平面直角坐标系的相关概念

3.例题讲解

例1

例2

4.坐标平面内的点与有序实数对的一一对应

一、教材作业

【必做题】

教材第68页练习第1,2题.

【选做题】

教材第68页习题7.1第14题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.有以下三个说法:

①坐标的思想是法国数学家笛卡儿首先建立的;②除了平面直角坐标系,我们也可以用方向和距离来确定物体的位置;③平面直角坐标系内的所有点都属于四个象限.其中错误的是（　　）

A.只有①B.只有②

C.只有③D.①②③

2.在平面直角坐标系中,位于第三象限的点是（　　）

A.（0,-1）B.（1,-2）

C.（-1,-2）D.（-1,2）

3.若点A（2,n）在x轴上,则点B（n-2,n+1）在（　　）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

4.（2014·张家界中考）若点A（m+2,3）与点B（-4,n+5）关于y轴对称,则m+n=　　　　. 

5.如果点A的坐标为（-a2-3,b2+3）,那么点A在第几象限?

说说你的理由.

【能力提升】

6.若点P（x,y）满足xy=0,则点P在（　　）

A.原点处

B.四个象限中的某一个

C.y轴上

D.x轴上或y轴上或原点处

7.若点P（m,1-2m）的横坐标与纵坐标互为相反数,则点P一定在（　　）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

8.点A在y轴的左侧,到x轴,y轴的距离分别是2和3,则点A的坐标是（　　）

A.（-3,2）B.（-3,-2）

C.（3,2）或（-3,2）D.（-3,2）或（-3,-2）

9.已知点P在第四象限,它的横坐标与纵坐标的和为-3,则点P的坐标是　　　　.（写出符合条件的一个点即可） 

10.如图所示,平面直角坐标系中,已知点A（-3,-2）,B（0,3）,C（-3,2）,求△ABC的面积.

【拓展探究】

11.如图所示,动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第1次从原点运动到点（1,1）,第2次接着运动到点（2,0）,第3次接着运动到点（3,2）,…,按这样的运动规律,经过2015次运动后,动点P的坐标是　　　　. 

12.如图所示.

（1）写出五边形ABCDEF的顶点A,B,C,D,E,F的坐标;

（2）C,E两点的坐标有什么特征?

（3）直线CE与两条坐标轴有怎样的位置关系?

【答案与解析】

1.C（解析:

说法①②正确,说法③错误,因为平面直角