数学必修二第二章测试题含标准答案.docx
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数学必修二第二章测试题含标准答案
第二章综合检测题
时间120分钟,满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1.若直线a和b没有公共点,则a与b的位置关系是()
A.相交B.平行
C.异面D.平行或异面
2.平行六面体ABCD-ABCD中,既与AB共面也与CC共面11111的棱的条数为()
A.3B.4C.5D.6
3.已知平面α和直线l,则α内至少有一条直线与l()
A.平行B.相交C.垂直D.异面
4.长方体ABCD-ABCD中,异面直线AB,AD所成的角等111111于()
A.30°B.45°C.60°D.90°
5.对两条不相交的空间直线a与b,必存在平面α,使得()
∥α,b.a?
αα,b?
αBA.a?
C.a⊥α,b⊥αD.a?
α,b⊥α
6.下面四个命题:
①若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面;
②若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交;
∥b,则a,b与③若ac所成的角相等;
∥c.,则⊥ca④若a⊥b,b其中真命题的个数为()
A.4B.3C.2D.1
7.在正方体ABCD-ABCD中,E,F分别是线段AB,BC11111111上的不与端点重合的动点,如果AE=BF,有下面四个结论:
11∥∥平面ABCD.与AC异面;④⊥AA;②EFEFAC;③EF①EF1其中一定正确的有()
A.①②B.②③C.②④D.①④
8.设a,b为两条不重合的直线,α,β为两个不重合的平面,下列命题中为真命题的是()
∥bab与α所成的角相等,则aA.若,∥∥∥∥bβb,,则β,αaB.若aα∥∥βb,则αβαC.若a?
,b?
,aD.若a⊥α,b⊥β,α⊥β,则a⊥b
1/14
∥,l,直线ABll,点A∈α,A?
β9.已知平面α⊥平面,α∩β=∥∥,则下列四种位置关系中,不一定成立α,n直线AC⊥l,直线mβ)
的是(
∥m.ACAB⊥mBA.∥β.AC⊥βDC.AB、D中,E已知正方体ABCD-ABC10.(2012·大纲版数学(文科))1111所成角的余弦值为DF与BB、CC的中点,那么直线AEF分别为111)
(34B..A.-
5533.-.DC
54=ACABC的三个侧面与底面全等,且AB=11.已知三棱锥D-为面的二面角的余与面BCABC为棱,以面BCD3,BC=2,则以)
弦值为(311A.B.C.0D.-
23312.如图所示,点P在正方形ABCD所在平面外,PA⊥平面ABCD,PA=AB,则PB与AC所成的角是()
60°.B90°A.
30°D..C45°
分.把答案填255本大题共5小题,每小题分,共(二、填空题)
在题中的横线上________13.下列图形可用符号表示为.2/14
14.正方体ABCD-ABCD中,二面角C-AB-C的平面角等11111于________.
∥平面β,A,C∈α,B设平面.α,D∈β,直线AB与CD交15于点S,且点S位于平面α,β之间,AS=8,BS=6,CS=12,则SD=________.
16.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有如下四个结论:
①AC⊥BD;
②△ACD是等边三角形;
③AB与平面BCD成60°的角;
④AB与CD所成的角是60°.
其中正确结论的序号是________.
三、解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(10分)如下图,在三棱柱ABC-ABC中,△ABC与△ABC111111都为正三角形且AA⊥面ABC,F、F分别是AC,AC的中点.1111
∥;平面CBFF求证:
(1)平面AB111.
A⊥平面AB
(2)平面FACC1111本题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定][分析
3/14
理,寻找使结论成立的充分条件.⊥PAP-ABCD中,18.(本小题满分12分)如图所示,在四棱锥是E=90°,ABC,AD=5,∠DAB=∠3ABCD平面,AB=4,BC=的中点.CD
PAE;
(1)证明:
CD⊥平面所成的角与平面ABCDPB与平面PAE所成的角和PB
(2)若直线的体积.ABCD相等,求四棱锥P-所在的平面垂直于PCD分)2的等边△如图所示,边长为19.(12BC的中点.2,M为矩形ABCD所在的平面,BC=2
;AM证明:
⊥PM
(1)的大小.-D-
(2)求二面角PAMCBABC-A棱柱)(2010·(20.本小题满分12分辽宁文,19)如图,111.
B⊥C是菱形,BBCC的侧面BA11114/14
⊥平面CABC;
(1)证明:
平面AB111∥DC的值.平面BCD,求A且设
(2)D是AC上的点,ABD111111
2是边长为ABEDABAC=BC,=分21.(12)如图,△ABC中,2的中,BD,GF分别是EC1的正方形,平面ABED⊥底面ABC,若点.
∥ABCGF;底面
(1)求证:
;AC⊥平面EBC
(2)求证:
.
VADEBC的体积(3)求几何体转
(2)内的直线ABCAC;转化为证明分析[]
(1)GF平行于平面几何(3)BE内的两条相交直线BC和;EBCAC化为证明垂直于平面.
-是四棱锥体ADEBCCABED5/14
22.(12分)如下图所示,在直三棱柱ABC-ABC中,AC=3,111BC=4,AB=5,AA=4,点D是AB的中点.1
;⊥BC
(1)求证:
AC1∥CDB求证:
AC;平面
(2)11C所成角的余弦值.求异面直线AC与B(3)11
详解答案D]1[答案C
]2[答案故棱中不存在同时与两者平行的为异面直线,AB与CC[解析]1直线,因此只有两类:
D、CAB平行与CC相交的有:
CD第一类与111AA,AB相交的有:
BB、平行且与与CC1115条.第二类与两者都相交的只有BC,故共有C3[答案]平行的内不存在与l在平面与平面α斜交时,αl][解析1°直线A错;直线,∴D错;lα?
时,在α内不存在直线与异面,∴l2°∥lαl3°α时,在内不存在直线与相交.6/14
无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直.
4[答案]D
∥AD,则∠BAD是异面直线AB,AD所成的[解析]由于AD1111角,很明显∠BAD=90°.
5[答案]B
[解析]对于选项A,当a与b是异面直线时,A错误;对于选项B,若a,b不相交,则a与b平行或异面,都存在α,使a?
α,b∥∥b,C错误;对⊥α,一定有aB正确;对于选项C,a⊥α,bα,于选项D,a?
α,b⊥α,一定有a⊥b,D错误.
6[答案]D
[解析]异面、相交关系在空间中不能传递,故①②错;根据等∥c,而在空间中,a角定理,可知③正确;对于④,在平面内,a与c可以平行,可以相交,也可以异面,故④错误.
7[答案]D
[解析]如图所示.由于AA⊥平面ABCD,EF?
平面11111ABCD,则EF⊥AA,所以①正确;当E,F分别是线段AB,BC111111111∥∥∥AC,所以③不正确;当,则,又ACEFA的中点时,EFCAC1111E,F分别不是线段AB,BC的中点时,EF与AC异面,所以②不1111∥平面ABCD,EF?
平面CBDABCD,所以正确;由于平面A11111111∥平面ABCDEF,所以④正确.
D
8[答案]是假命题;Ab还可能相交或异面,所以选项A中,a,[解析]
,中,αB是假命题;选项Ca选项B中,,b还可能相交或异面,所以a,则α⊥βD是假命题;选项中,由于a⊥α,β还可能相交,所以C∥∥.
⊥bab⊥β,则⊥l,所以blββaβ或?
,则内存在直线a,又C
9[答案]解析[]如图所示:
7/14
∥∥∥∥∥.
l?
ABml,βl?
AC⊥m;ABlABm;AC⊥3本试题考查了正方体中异面直线的所命题意图]]10[答案
5成角的求解的运用.
DF,然后则角DFD即为[解析]首先根据已知条件,连接1异面直线所成的角,设边长为2,则可以求解得到,结合余弦定理得到结论.DD=25=DF=DF,11C
]11[答案
,∴⊥DEBC,可证⊥AE,BCBC[解析]取中点E,连AE、DED的平面角A-BC-∠AED为二面角C.,故选90°,∴∠AED=ED2=,AD=2=又AEB
12[答案]∥ACS,显见PB△SC,将其还原成正方体[解析]ABCD-PQRS.
60°为正三角形,∴∠ACS=
AB∩αβ=答案13[]答案14[]45°8/14
[解析]如图所示,正方体ABCD-ABCD中,由于BC⊥AB,1111BC⊥AB,则∠CBC是二面角C-AB-C的平面角.又△BCC是等1111腰直角三角形,则∠CBC=45°.
1
9
]15[答案,AC,BD解析[]如下图所示,连接
.ACBD,CD确定一个平面则直线AB∥∥,αBDβ,∴AC∵128ASCS9.SD==,∴=,解得则
SDSD6SB①②④答案]16[,⊥AE,AECE,则BD中点,][解析如图所示,①取BDE连接ACAEC平面,故?
,⊥平面,∴=∩,而⊥BDCEAECEEBDAECACBD⊥,故①正确.9/14
2.=,则aAE=CEa②设正方形的边长为2=且∠AEC-BD-C的平面角,由①知∠AEC=90°是直二面角Aa,90°,∴AC=ACD是等边三角形,故②正确.∴△BCDAB与平面BCD,故∠ABE是③由题意及①知,AE⊥平面45°,所以③不正确.所成的角,而∠ABE=N,AC的中点为M,④分别取BC,.
MN,连接ME,NE11∥,=AB=则MNaAB,且MN
2211∥,=CD=MEaCD,且ME
22所成的角.AB,CD∴∠EMN是异面直线2a,,ACAE=CE==aRt在△AEC中,211,故④正60°是正三角形,∴∠EMN=AC=a.∴△MEN∴NE=
22确.中,ABC
(1)在正三棱柱ABC-17[证明]111的中点,AC、F分别是AC、∵F111∥∥.
CFBF,AF∴BF1111F,∩BF=CBF∩AF=F,F又∵11111∥.
BFFC平面∴平面AB111.AAF⊥ABC,∴B⊥平面A
(2)在三棱柱ABC-BC中,AA1111111111,AA=A∩C又BF⊥A,AC11111111,平面?
ABFFA⊥平面∴BFACC,而B11111111.A⊥平面AB∴平面FACC1111]18[解析
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AC90°,得AB=4,BC=3,∠ABC=
(1)如图所示,连接AC,由5.
=.
AE5AD=,E是CD的中点,所以CD⊥又.
CD,CD?
平面ABCD,所以PA⊥∵PA⊥平面ABCD.PAE是平面AE内的两条相交直线,所以CD⊥平面PAE而PA,∥.AD相交于F,G,连接PF
(2)过点B作BGAECD,分别与,与为直线PBAE.于是∠BPF知,由
(1)CD⊥平面PAEBG⊥平面P.
⊥AEPAE所成的角,且BG平面ABCD所成的角.为直线PB与平面由PA⊥平面ABCD知,∠PBA,PBA=∠BPFAB=4,AG=2,BG⊥AF,由题意,知∠BFPA.=BFBPF∠PBA=,sin∠=,所以PAsin因为
PBPB∥∥,所以四边形ABC=90°知,BC,又BGADCD由∠DAB=∠2.
AG是平行四边形,故GD=BC=3.于是=BCDG=2,AF,所以BG⊥AB在Rt△BAG中,=4,AG25168AB22=于是.PA+AG==BF25,=BF==BG=AB
5BG5258.
51-P=16,所以四棱锥+的面积为S=×(53)×4ABCD又梯形
2ABCD的体积为58512811=.
×16×=×=V×SPA
1533519[解析]
(1)证明:
如图所示,取CD的中点E,连接PE,EM,EA,
11/14
为正三角形,∵△PCD3.==2sin60°sinPE⊥CD,PE=PD∠PDE∴PCD⊥平面ABCD,∵平面.AMPE⊥⊥平面PEABCD,而AM?
平面ABCD,∴∴是矩形,∵四边形ABCD由勾股定理可求得ABM均为直角三角形,∴△ADE,△ECM,△=3,,AM6=,EMAE=3222.
⊥EM=AE.EM∴∴+AMAM.PM,∴⊥平面PEMAM⊥∩又PEEM=E,∴AM,PM⊥AM可知
(2)解:
由
(1)EM⊥AM,D的平面角.-∴∠PME是二面角P-AM3PE.
45°,∴∠PME=1tan∴∠PME===
EM3.45°D-AM-的大小为P∴二面角解析20[]
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,⊥BCB是菱形,所以BC
(1)因为侧面BCC1111B,B∩BC=A又已知BC⊥AB,且1111ABCBC?
平面所以BC⊥平面ABC,又11111.
ABC所以平面ABC⊥平面111BC与平面DE是平面ABC于点E,连接DE,则
(2)设BC交1111CD的交线.B1∥CDBBC∩平面平面ABC,平面因为ABA平面BCD,AB?
11111111∥.
BDEDE=,所以A1的中点.AC是BC的中点,所以D为又E1111.
=DC即AD11AE,如下图所示.]
(1)证明:
连接解21[
为正方形,∵ADEB的中点,F是AEBD∴AE∩=F,且的中点,G是EC又∥平面ABC,?
平面ABC,GFGF∴?
AC,又AC∥.
平面GF∴ABCAB,证明:
∵ADEB为正方形,∴EB⊥
(2)EB,平面ABC=AB⊥平面又∵平面ABEDABC,平面ABED∩,?
平面ABED.
BE⊥AC∴BE⊥平面ABC,∴2AB=又∵AC=BC,2222=AB∴CACB+,.
⊥BCAC∴.
⊥平面,∴=∩又∵BCBEBACBCE13/14
22,,∵,连GHBC=AC==AB(3)取AB的中点H221ABCABED⊥平面∴CH⊥AB,且CH=,又平面
2111.×=⊥平面ABCD,∴V=×1GH∴
632AC底面三边长中,在直三棱柱ABC-ABC22[解析]
(1)证明:
111.
BCAB=5,∴AC⊥=3,BC=4,.B.∴AC⊥平面BCC又∵CC⊥AC111.
B,∴AC⊥BC∵BC?
平面BCC111B,连接DE,又四边形BCC证明:
设
(2)CB与CB的交点为E1111为正方形.∥.DEACD是AB的中点,E是BC的中点,∴∵11CDB,?
平面CDB,AC?
平面∵DE111∥.∴ACCDB平面11∥(3)解:
∵DE,AC1AC与BC所成的角.∴∠CED为1151,AC=ED在△CED中,=
1221152,=,CE=CB2==CDAB
1222222==∠CED.
∴cos55
222∴异面直线AC与BC所成角的余弦值为.
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