全国重点名校高一数学优质教学资料高一数学 32等差数列第一课时 大纲人教版必修.docx
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全国重点名校高一数学优质教学资料高一数学32等差数列第一课时大纲人教版必修
§3.2等差数列
课时安排
2课时
从容说课
等差数列是一种特殊的数列,其基本特征为:
从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一个常数。
关键是“等差”的特点的理解。
本节首先是由具体的例子引出等差数列的概念,然后由等差数列的定义,通过不完全归纳法得出了等差数列的通项公式。
这种推导过程可以培养观察分析、归纳猜想的能力。
本节的重点是等差数列的概念及等差数列的通项公式,通过对本节的学习,要深刻理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式及其应用。
第一课时
●课题
§3.2.1等差数列
(一)
●教学目标
(一)教学知识点
1.等差数列的定义.
2.等差数列的通项公式.
(二)能力训练要求
1.明确等差数列的定义
2.掌握等差数列的通项公式,会解决知道an,a1,d,n中的三个,求另外一个的问题
(三)德育渗透目标
1.培养学生观察能力.
2.进一步提高学生推理、归纳能力.
3.培养学生的应用意识.
●教学重点
1.等差数列的概念的理解与掌握.
2.等差数列的通项公式的推导及应用.
●教学难点
等差数列“等差”特点的理解、把握和应用.
●教学方法
启发式教学
启发学生逐步发现与认识等差数列的“等差”特点.
●教具准备
幻灯片一张
记作§3.2.1
1,2,3,4,5,6;①
10,8,6,4,2,…;②
21,21
,22,22
,23,23
,24,24
,25③
2,2,2,2,2,…④
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
[师]上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法——通项公式和递推公式.这两个公式从不同的角度反映数列的特点,下面我们看这样一些例子:
(打出幻灯片§3.2.1)
Ⅱ.讲授新课
[师]首先,请同学们仔细观察这些数列有什么共同的特点?
是否可以写出这些数列的通项公式?
(引导学生积极思考,努力寻求各数列通项公式,并找出其共同特点)
[师]大家是否已考虑成熟?
[生甲]数列①是一递增数列,后一项总比前一项多1,其通项公式为:
an=n(1≤n≤6).
[生乙]数列②是由一些偶数组成的数列,是一递减数列,后一项总比前一项少2,其通项公式为:
an=12-2n(n≥1).
[生丙]数列③是一递增数列,后一项总比前一项多
,其通项公式为:
an=20
n(1≤n≤9)
[生丁]数列④的通项公式为:
an=2(n≥1),是一常数数列.
[师]综合上述学生所说,它们的共同特点是什么呢?
[生]它们的共同特点是:
从第2项起,每一项与它的前一项的“差”都等于同一个常数.
[师]也就是说,这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点.具有这种特点的数列,我们把它叫做等差数列.
1.定义
等差数列:
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示.
如:
上述4个数列都是等差数列,它们的公差依次是1,-2,
,0.
2.等差数列的通项公式
[师]等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得.若一等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则据其定义可得:
(n-1)个等式
若将这n-1个等式左右两边分别相加,则可得:
an-a1=(n-1)d,即an=a1+(n-1)d
当n=1时,等式两边均为a1,即上述等式均成立,则对于一切n∈N*时上述公式都成立,所以它可作为数列{an}的通项公式.
或者由定义可得:
a2-a1=d即:
a2=a1+d;a3-a2=d,即a3=a2+d=a1+2d;a4-a3=d,即a4=a3+d=a1+3d;……;an-an-1=d,即an=an-1+d=a1+(n-1)d
[师]看来,若已知一数列为等差数列,则只要知其首项a1和公差d,便可求得其通项.
如数列①:
an=1+(n-1)×1=n(1≤n≤6),数列②:
an=10+(n-1)×(-2)=12-2n(n≥1),数列③:
an=22+(n-1)
=21
(n≥1),数列④:
an=2+(n-1)×0=2(n≥1)
由通项公式可类推得:
am=a1+(m-1)d,即a1=am-(m-1)d,则:
an=a1+(n-1)d=am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d.
如:
a5=a4+d=a3+2d=a2+3d=a1+4d
3.例题讲解
[例1]
(1)求等差数列8,5,2…的第20项.
分析:
由给出的三项先找到首项a1,求出公差d,写出通项公式,然后求出所要项.
解:
由题意可知:
a1=8,d=5-8=2-5=-3
∴该数列通项公式为:
an=8+(n-1)×(-3),即an=11-3n(n≥1),当n=20时,则a20=11-3×20=-49.
答案:
这个数列的第20项为-49.
(2)-401是不是等差数列-5,-9,-13…的项?
如果是,是第几项?
分析:
要想判断-401是否为这数列的一项,关键要求出通项公式,看是否存在正整数n,可使得an=-401.
解:
由题意可知:
a1=-5,d=-9-(-5)=-4,
∴数列通项公式为:
an=-5-4(n-1)=-4n-1.令-401=-4n-1,解之得n=100.
∴-401是这个数列的第100项.
[例2]在等差数列{an}中,已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.
①②
解:
由题意可知,
这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组,解这个方程组,得a1=-2,d=3.
即这个等差数列的首项是-2,公差是3.
[例3]在等差数列{an}中,已知a5=10,a15=25,求a25.
思路一:
根据等差数列的已知两项,可求出a1和d,然后可得出该数列的通项公式,便可求出a25.
解法一:
设数列{an}的首项为a1,公差为d,则根据题意可得:
这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组,解这个方程组,得a1=4,d=
.
∴这个数列的通项公式为:
an=4+
×(n-1),即an=
.∴a25=
×25+
=40.
思路二:
若注意到已知项为a5与a15,所求项为a25,则可直接利用关系式an=am+(n-m)d.这样可简化运算.
解法二:
由题意可知:
a15=a5+10d,
即25=10+10d,∴10d=15.
又∵a25=a15+10d,∴a25=25+15=40.
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