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奇偶性的概念
奇偶性的概念
学习目标
1.理解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.
知识点一 函数奇偶性的几何特征
思考 下列函数图象中,关于y轴对称的有哪些?
关于原点对称的呢?
答案 ①②关于y轴对称,③④关于原点对称.
梳理 一般地,图象关于y轴对称的函数称为偶函数,图象关于原点对称的函数称为奇函数.
知识点二 函数奇偶性的定义
函数奇偶性的概念:
(1)偶函数:
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.其实质是函数f(x)上任一点(x,f(x))关于y轴的对称点(-x,f(x))也在f(x)图象上.
(2)奇函数:
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.其实质是函数f(x)上任一点(x,f(x))关于原点的对称点(-x,-f(x))也在f(x)的图象上.
知识点三 奇(偶)函数的定义域特征及奇(偶)函数的性质
1.奇(偶)函数的定义域关于原点对称.
2.重要性质
(1)奇函数在区间[a,b]和[-b,-a](b>a>0)上有相同的单调性.
(2)偶函数在区间[a,b]和[-b,-a](b>a>0)上有相反的单调性.
1.关于y轴对称的图形都是偶函数的图象.(×)
2.若f(x)是奇函数,f
(1)=2,则f(-1)=-2.(√)
3.存在既是奇函数又是偶函数的函数,且不止一个.(√)
4.有些函数既非奇函数,又非偶函数.(√)
类型一 证明函数的奇偶性
例1
(1)证明f(x)=
既非奇函数又非偶函数;
(2)证明f(x)=(x+1)(x-1)是偶函数;
(3)证明f(x)=
+
既是奇函数又是偶函数.
考点 函数的奇偶性判定与证明
题点 判断简单函数的奇偶性
证明
(1)因为它的定义域为{x|x∈R且x≠1},所以对于定义域内的-1,其相反数1不在定义域内,所以f(x)=
既非奇函数又非偶函数.
(2)函数的定义域为R,因为函数f(x)=(x+1)(x-1)=x2-1,又因为f(-x)=(-x)2-1=x2-1=f(x),所以函数为偶函数.
(3)定义域为{-1,1},因为对定义域内的每一个x,都有f(x)=0,所以f(-x)=f(x)=-f(x)=0,故函数f(x)=
+
既是奇函数又是偶函数.
反思与感悟 利用定义法判断函数是否具有奇偶性时,首先应看函数定义域是否关于原点对称,即对于定义域内的任意一个x,则-x也一定属于定义域.
跟踪训练1
(1)证明f(x)=(x-2)
既非奇函数又非偶函数;
(2)证明f(x)=x|x|是奇函数.
考点 函数的奇偶性判定与证明
题点 判断简单函数的奇偶性
证明
(1)由
≥0,得定义域为[-2,2),关于原点不对称,故f(x)为非奇非偶函数.
(2)函数的定义域为R,因为f(-x)=(-x)|-x|=-x|x|=-f(x),所以函数为奇函数.
类型二 奇偶性的应用
命题角度1 奇(偶)函数图象的对称性的应用
例2 定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上的图象如图所示.
(1)画出f(x)的图象;
(2)解不等式xf(x)>0.
考点 函数图象的对称性
题点 中心对称问题
解
(1)先描出(1,1),(2,0)关于原点的对称点(-1,-1),(-2,0),连线可得f(x)的图象如图.
(2)xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号.结合图象可知,xf(x)>0的解集是(-2,0)∪(0,2).
引申探究
把本例中的“奇函数”改为“偶函数”,重做该题.
解
(1)f(x)的图象如图所示:
(2)xf(x)>0的解集是(-∞,-2)∪(0,2).
反思与感悟 可以用奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称,这一特性去画图,求值,求解析式,研究单调性.
跟踪训练2 已知奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图象如图所示.
(1)画出在区间[-5,0]上的图象;
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合.
考点 函数图象的对称性
题点 中心对称问题
解
(1)如图,在[0,5]上的图象上选取5个关键点O,A,B,C,D.
分别描出它们关于原点的对称点O′,A′,B′,C′,D′,
再用光滑曲线连接即得.
(2)由
(1)图可知,当且仅当x∈(-2,0)∪(2,5)时,f(x)<0.
∴使f(x)<0的x的取值集合为(-2,0)∪(2,5).
命题角度2 利用函数奇偶性的定义求值
例3 若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a=________,b=________.
考点 函数奇偶性的应用
题点 由二次函数为偶函数求参数值
答案
0
解析 因为偶函数的定义域关于原点对称,所以a-1=-2a,解得a=
,f(x)=
x2+bx+b+1.
又f(x)为偶函数,
所以f(-x)=
(-x)2+b(-x)+b+1=f(x)=
x2+bx+b+1对定义域内任意x恒成立,
即2bx=0对任意x∈
恒成立,
所以b=0.综上,a=
,b=0.
反思与感悟 函数奇偶性的定义有两处常用:
①定义域关于原点对称;②对定义域内任意x,恒有f(-x)=f(x)(或-f(x))成立,常用这一特点得一个恒成立的等式,或对其中的x进行赋值.
跟踪训练3 已知函数f(x)=
为奇函数,则a+b=________.
考点 函数奇偶性的应用
题点 其他已知函数奇偶性求参数值问题
答案 0
解析 由题意知
则
解得
当a=-1,b=1时,经检验知f(x)为奇函数,故a+b=0.
1.下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )
考点 函数的奇偶性概念
题点 函数奇偶性概念的理解
答案 B
2.函数f(x)=x(-1 A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 考点 函数的奇偶性判定与证明 题点 判断简单函数的奇偶性 答案 C 3.已知函数y=f(x)+x是偶函数,且f (2)=1,则f(-2)=________. 考点 函数奇偶性的应用 题点 利用奇偶性求函数值 答案 5 解析 函数y=f(x)+x是偶函数, ∴x=±2时函数值相等. ∴f(-2)-2=f (2)+2,∴f(-2)=5. 4.若函数f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)为偶函数,则m的值是________. 考点 函数奇偶性的应用 题点 由二次函数为偶函数求参数值 答案 2 解析 ∵f(x)为偶函数, ∴对于任意x∈R,有f(-x)=f(x), 即(m-1)(-x)2+(m-2)(-x)+(m2-7m+12) =(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12), ∴2(m-2)x=0对任意实数x均成立,∴m=2. 5.判断函数f(x)=x+ (a为常数)的奇偶性,并证明你的结论. 考点 函数的奇偶性判定与证明 题点 判断简单函数的奇偶性 解 f(x)为奇函数,证明如下: f(x)的定义域为{x|x≠0}. 对于任意x≠0,f(-x)=-x+ =- =-f(x). ∴f(x)为奇函数. 1.两个定义: 对于f(x)定义域内的任意一个x,如果都有f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔f(x)为奇函数;如果都有f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔f(x)为偶函数. 2.两个性质: 函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称;函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称. 3.证明一个函数是奇函数,必须对f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x).而证明一个函数不是奇函数,只要能举出一个反例就可以了. 一、选择题 1.已知一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b},则a+b等于( ) A.-1B.1C.0D.2 考点 函数奇偶性的应用 题点 由奇偶函数定义域的对称性求参数值 答案 A 解析 因为一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b}, 根据奇函数的定义域关于原点对称, 所以a与b有一个等于1,一个等于-2, 所以a+b=1+(-2)=-1, 故选A. 2.下列各图中,表示以x为自变量的奇函数的图象是( ) 考点 函数图象的对称性 题点 中心对称问题 答案 B 解析 A,D不是函数;C不关于原点对称. 3.f(x)是定义在R上的奇函数,下列结论中,不正确的是( ) A.f(-x)+f(x)=0B.f(-x)-f(x)=-2f(x) C.f(-x)·f(x)≤0D. =-1 考点 函数的奇偶性概念 题点 函数奇偶性概念的理解 答案 D 解析 由于f(x)是定义在R上的奇函数, ∴f(-x)=-f(x),① 由此可推A,B,C正确, 由于f(-x)可能为0,由①不能推出D. 4.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f (1)等于( ) A.-3B.-1C.1D.3 考点 函数奇偶性的应用 题点 利用奇偶性求函数值 答案 A 解析 ∵f(x)是奇函数, 当x≤0时,f(x)=2x2-x, ∴f (1)=-f(-1)=-[2×(-1)2-(-1)]=-3. 5.(2017·余姚中学质检)下列函数中是偶函数的是( ) A.y=- B.y=x2+x,x∈(-3,3] C.y=2xD.y=x-2 考点 函数的奇偶性判定与证明 题点 判断简单函数的奇偶性 答案 D 6.设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( ) A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 答案 C 解析 A中,令h(x)=f(x)·g(x),则h(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x)=-h(x),∴h(x)是奇函数,A错; B中,令h(x)=|f(x)|g(x),则h(-x)=|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x)=h(x),∴h(x)是偶函数,B错; C中,令h(x)=f(x)|g(x)|,则h(-x)=f(-x)·|g(-x)|=-f(x)|g(x)|=-h(x),∴h(x)是奇函数,C正确; D中,令h(x)=|f(x)·g(x)|,则h(-x)=|f(-x)·g(-x)|=|-f(x)·g(x)|=|f(x)·g(x)|=h(x). ∴h(x)是偶函数,D错. 7.函数f(x)=|x+1|-|x-1|为( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数也是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 考点 函数的奇偶性判定与证明 题点 判断简单函数的奇偶性 答案 A 解析 f(x)的定义域为R, 对于任意x∈R,f(-x)=|-x+1|-|-x-1| =|x-1|-|x+1|=-f(x), ∴f(x)为奇函数. 又f(-1)=-2,f (1)=2,f(-1)≠f (1), ∴f(x)不是偶函数. 8.设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(3)=0,则不等式 >0的解集为( ) A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3) 考点 单调性与奇偶性的综合应用 题点 利用奇偶性、单调性解不等式 答案 A 解析 ∵f(x)为奇函数,f(3)=0, ∴f(-3)=0. 又∵f(x)在(0,+∞)上为增函数, ∴f(x)在(-∞,0)上也为增函数. 由 =f(x)>0, ①当x>0时,得f(x)>f(3)=0,∴x>3; ②当x<0时,得f(x)>f(-3)=0,∴-3 综上可得,原不等式的解集为(-3,0)∪(3,+∞). 二、填空题 9.已知函数y=f(x)为偶函数,其图象与x轴有四个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和是________. 考点 函数图象的对称性 题点 轴对称问题 答案 0 解析 由于偶函数的图象关于y轴对称,所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称,因此,四个交点中,有两个在x轴的负半轴上,另两个在x轴的正半轴上,所以四个实根的和为0. 10.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是________. 答案 解析 依题意得f(-x)=f(x), ∴b=0,又a-1=-2a, ∴a= ,∴a+b= . 11.函数f(x)= 为________函数.(填“奇”或“偶”) 考点 函数的奇偶性判定与证明 题点 判断分段函数的奇偶性 答案 奇 解析 定义域关于原点对称,且 f(-x)= = =-f(x), 所以f(x)是奇函数. 三、解答题 12.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x3+x5; (2)f(x)=|x+1|+|x-1|; (3)f(x)= . 考点 函数的奇偶性判定与证明 题点 判断简单函数的奇偶性 解 (1)函数的定义域为R.∵f(-x)=(-x)3+(-x)5=-(x3+x5)=-f(x),∴f(x)是奇函数. (2)f(x)的定义域是R.∵f(-x)=|-x+1|+|-x-1|=|x-1|+|x+1|=f(x),∴f(x)是偶函数. (3)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,∴f(x)是非奇非偶函数. 13.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,求实数a的值. 考点 函数奇偶性的应用 题点 其他已知函数奇偶性求参数值问题 解 ∵函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数, ∴f(-x)=f(x), 即(-x)2-|-x+a|=x2-|x+a|, ∴|-x+a|=|x+a|,即|x-a|=|x+a|, ∴a=0. 四、探究与拓展 14.已知函数f(x)= ,若f(a)= ,则f(-a)=________. 考点 函数图象的对称性 题点 中心对称问题 答案 解析 根据题意,f(x)= =1+ ,而h(x)= 是奇函数,故f(-a)=1+h(-a)=1-h(a)=2-[1+h(a)]=2-f(a)=2- = . 15.已知函数f(x)= 是奇函数. (1)求实数m的值; (2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围. 考点 函数奇偶性的应用 题点 其他已知函数奇偶性求参数值问题 解 (1)因为f(x)为奇函数, 所以f(-1)=-f (1),即1-m=-(-1+2), 解得m=2. 经检验当m=2时函数f(x)是奇函数. 所以m=2. (2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增, 结合f(x)的图象(图略)知 所以1<a≤3, 故实数a的取值范围是(1,3].
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