牛吃草问题牛顿问题.docx
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牛吃草问题牛顿问题
牛顿问题
一、专题简析
牛顿问题,因由牛顿提出而得名,也有人称这一类问题叫做牛吃草问题。
牛吃草问题的关键是牧场上牧草的总数量在不断地变化,因此要解答好这类题首先要分析清草的变化情况,即常说的“新生草量”。
然后再找出牧场上“原有草量”,只要你请注意了这两点,就能很好地把问题解答出来。
2、典例分析
例1 牧场上有一片匀速生长的牧草,可供27头牛吃6天,或供23头牛吃9天,那么这片牧草可供多少头牛吃12天?
例2 一只船发现漏水时,已经进了一些水,水匀速进入船内。
如果派10人淘水,6小时淘完;如果派6人淘水,18小时淘完。
如果派22人淘水,多少小时可以淘完?
例3 某车站在检票前若干分钟就开始排队,每分钟来的旅客人数一样多.从开始检票到等候检票的队伍消失,同时开4个检票口需30分钟,同时开5个检票口需20分钟.如果同时打开7个检票口,那么需多少分钟?
附加问题:
在开始检票前几分钟,就有人在排队了?
例4 两个顽皮的孩子逆着自动滚梯行走,男孩每秒可走3级台阶,女孩每秒可走2级台阶,结果从滚梯一端到达另一端,男孩走了100秒,女孩走了300秒,该滚梯共有多少级?
例5 由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长大,反而以固定的速度在减少.已知某块草地上的草可供20头牛吃5天,或可供15头牛吃6天.照此计算,可供多少头牛吃10天?
例6 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着,两位性急的孩子要从扶梯上楼.已知男孩每分钟走80级梯级,女孩每分钟走60级梯级,结果男孩用了0.5分钟到达楼上,女孩用了0.6分钟到达楼上.问:
该扶梯共有多少级?
例7 有三块草地,面积分别为5,15和24公顷.草地上的草一样厚,而且长得一样快.第一块草地可供10头牛吃30天,第二块草地可供28头牛吃45天.问:
第三块草地可供多少头牛吃80天?
牛吃草问题练习
1.一片牧场长满牧草,每天牧草都匀速生长,这片牧场可供10头牛吃20天,或可供15头牛吃10天,问:
可供
2.一片均匀生长的牧草,如果9头牛吃,12天吃光所有的草,如果8头牛吃16天吃完所有的草。
如果13头牛吃,多少天可以把草吃完?
3.有一片牧场,草每天生长的速度相同。
草地上的草可供10头牛吃10周,或可供24只羊吃20周。
已知每周1头牛和3只羊的吃草量相同,那么10头牛和12只羊一起吃草,可以吃多少周?
4.一条船有一个漏洞,水以均匀的速度进入船内,发现漏水时,船已经进了一些水。
如果用12个人来淘水,3小时可以淘光,如果用5个人来淘水,10小时才能淘光。
现在要2小时淘光,需要安排多少人淘水?
5.一水库存原有水量一定,河水每天均匀入库。
用5台同样的抽水机连续20天可将水抽干;用6台同样的抽水机连续工作15天可将水抽干。
若想6天将水库里的水全部抽干,需要多少台同样的抽水机?
6.公路客运站早上5点开始售票,但早就有人排队等候买票了,每分钟来的旅客一样多,从开始售票到等候买票的队伍消失,如果同时开5个售票口需30分钟,如果同时开6个售票口需20分钟。
如果让队伍10分钟消失,那么要同时开几个售票口?
7.假设地球上新生成的资源增长速度是一定的,照这样计算,地球上的资源可供110亿人生活90年;或可供90亿人生活210年。
为了使人类能够不断繁衍,那么地球最多能养活多少亿人?
8.两个顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走。
男孩20秒走了27级,女孩走了24级,按此速度男孩子2分钟到达另一端,而女孩需3分钟才能到达。
问该自动扶梯共有多少级?
9.由于天气逐渐变冷,牧场上草每天以均匀的速度减少。
经计算,牧场上的草可供20头牛吃5天,或可供16头牛吃6天,则11头牛可以吃多少天?
10.商场的自动滚梯以均匀的速度由下往上行驶着,两个孩子嫌滚梯走的太慢,于是在行驶的滚梯上,男孩每秒钟向上走1级台阶,女孩每3秒向上走2级台阶,结果男孩用50秒到达搂上,女孩用了60秒到达搂上。
问商场的自动滚梯共有多少级?
11.有一片匀速生长的牧草,可供17头牛吃30天,或可供19头牛吃24天。
原来有若干头牛在草地上吃草,吃6天后卖了4头,余下的牛再吃2天便将草吃完,问原来有牛多少头?
12.有三片草地,面积分别为4公顷,8公顷和10公顷.草地上的草一样厚,而且长得一样快.第一片草地上的草可供24头牛吃6周,第二片草地上的草可供36头牛吃12周.问:
第三片草地上的草可供50头牛吃几天?
13.有一牧场,牧草每天匀速生长,可供9头牛吃12天,可供8头牛吃16天,现在开始只有4头牛吃,从第7天开始,又增加了若干头牛,再用6天吃光所有的草,问增加了几头牛?
二、典例分析
例1 牧场上有一片匀速生长的牧草,可供27头牛吃6天,或供23头牛吃9天,那么这片牧草可供多少头牛吃12天?
解:
27头牛6周的吃草量27×6=16223头牛9周的吃草量23×9=207
★每天新生的草量(207-162)÷(9-6)=15★原有的草量207-15×9=72
72÷12+15=21(头)
例2 一只船发现漏水时,已经进了一些水,水匀速进入船内。
如果派10人淘水,6小时淘完;如果派6人淘水,18小时淘完。
如果派22人淘水,多少小时可以淘完?
10人6小时淘水量10×6=606人18小时淘水量6×18=108
★漏进的新水(108-60)÷(18-6)=4★原有漏进的水60-4×6=36
36÷(22-4)=2时
例3 某车站在检票前若干分钟就开始排队,每分钟来的旅客人数一样多.从开始检票到等候检票的队伍消失,同时开4个检票口需30分钟,同时开5个检票口需20分钟.如果同时打开7个检票口,那么需多少分钟?
分析与解:
等候检票的旅客人数在变化,“旅客”相当于“草”,“检票口”相当于“牛”,可以用牛吃草问题的解法求解.
一个检票口一分钟能检票的人数看成“1份”。
30分钟的总量:
4×30=12020分钟的总量:
5×20=100
★每分钟新增的量:
(120-100)÷(30-20)=2
★原有的量:
120-2×30=60
100-2×20=60
60÷(7-2)=12(分)
附加问题:
在开始检票前几分钟,就有人在排队了?
60÷2=30(分)
例4 两个顽皮的孩子逆着自动滚梯行走,男孩每秒可走3级台阶,女孩每秒可走2级台阶,结果从滚梯一端到达另一端,男孩走了100秒,女孩走了300秒,该滚梯共有多少级?
男生走了:
3×100=300(级)女生走了:
2×300=600(级)
★每秒新增的量:
(600-300)÷(300-100)=1.5(级) (自动滚梯的速度)
原有的量(自动滚梯原有的级数):
300-1.5×100=150(级) 600-1.5×300=150(级)
例5 由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长大,反而以固定的速度在减少.已知某块草地上的草可供20头牛吃5天,或可供15头牛吃6天.照此计算,可供多少头牛吃10天?
分析与解:
与例1不同的是,不仅没有新长出的草,而且原有的草还在减少.但是,我们同样可以利用例1的方法,求出每天减少的草量和原有的草量.
★每天减少的量:
(20×5-15×6)÷(6-5)=10
★原有的量:
20×5+5×10=150
(150-10×10)÷10=5(头)
150÷10-10=5(头)
例6 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着,两位性急的孩子要从扶梯上楼.已知男孩每分钟走80级梯级,女孩每分钟走60级梯级,结果男孩用了0.5分钟到达楼上,女孩用了0.6分钟到达楼上.问:
该扶梯共有多少级?
每分钟减少的量:
(80×0.5-60×0.6)÷(0.6-0.5)=40(级/分)
(自动扶梯的速度)
★原有的量:
80×0.5+40×0.5=60(级)
★单位时间增加(减少)的量=两次总量之差÷时间之差
例7 有三块草地,面积分别为5,15和24公顷.草地上的草一样厚,而且长得一样快.第一块草地可供10头牛吃30天,第二块草地可供28头牛吃45天.问:
第三块草地可供多少头牛吃80天?
把一头牛吃一天的草量看成“1份”
第一块(5公顷30天的总量):
10×30=300
第二块(15公顷45天的总量):
28×45=1260
提示:
先“归一”,都变成1公顷:
1公顷30天的总量:
300÷5=601公顷45天的总量:
1260÷15=84
★1公顷每天增长的量:
(84-60)÷(45-30)=1.6
★1公顷原有的量:
60-1.6×30=12
应用“归一”的结果:
用到中第三块(24公顷80天):
★24公顷每天增长的量:
1.6×24=38.4
★24公顷原有的量:
12×24=288
288÷80+38.4=42(头)
原有的 增长的
牛吃草问题练习
1.一片牧场长满牧草,每天牧草都匀速生长,这片牧场可供10头牛吃20天,或可供15头牛吃10天,问:
可供多少头牛吃5天?
解牛顿问题的关键是,要求出牧场上的“老草”可供多少头牛吃一天,“新长出的草”可供多少头牛吃一天的.
因此,可按下列思路进行思考:
①根据“10头牛可吃20天”,可算出够10×20=200(头)牛1天吃完.
②根据“15头牛可吃10天”,可算出够15×10=150(头)牛1天吃完.这是因为草地上的草少长了10天(20天-10天),牛的头数相差50(200—150).由此可知每天长出的草可供5头牛(50÷10)吃1天.
③草地原来的草(不包括新生长的草),可供多少头牛吃1天呢?
(10-5)×20=5×20=100(头)
或:
(15-5)×10=10×10=100(头)
④现在涌来了25头牛,因为草地上新长出的草就足够养5头牛的.只要计算剩下的20头牛吃原有的草够多少天,便求得结果了.
100÷(25-5)=100÷20=5(天)
2.一片均匀生长的牧草,如果9头牛吃,12天吃光所有的草,如果8头牛吃16天吃完所有的草。
如果13头牛吃,多少天可以把草吃完?
3.有一片牧场,草每天生长的速度相同。
草地上的草可供10头牛吃10周,或可供24只羊吃20周。
已知每周1头牛和3只羊的吃草量相同,那么10头牛和12只羊一起吃草,可以吃多少周?
方法一:
假设一只羊一星期吃1份,则一只牛一星期吃3份,
则10星期后共吃:
3×10×10=300(份)
20星期后共吃:
24×20=480(份)
即10星期长了:
480-300=180(份)
所以一开始有:
300-180=120(份)
10头牛,12只羊等价羊数为:
10×3+12=42(只),
故每星期可吃:
42-18=24(份),
可吃:
120÷24=5(星期)
有一片牧场,草每天生长的速度相同。
草地上的草可供10头牛吃10周,或可供8头牛吃20周。
那么14头牛吃多少周?
4.一条船有一个漏洞,水以均匀的速度进入船内,发现漏水时,船已经进了一些水。
如果用12个人来淘水,3小时可以淘光,如果用5个人来淘水,10小时才能淘光。
现在要2小时淘光,需要安排多少人淘水?
假设每人每小时可以舀1份水,
则船每小时漏水:
(5×10-12×3)÷(10-3),
=14÷7,
=2(份);
船舱里原有的水有:
5×10-2×10,
=50-20,
=30(份);
现在要求2小时把水舀完,需要:
(30+2×2)÷2,
=17(人);
答:
现在要求2小时把水舀完,需要17人来舀.
5.一水库存原有水量一定,河水每天均匀入库。
用5台同样的抽水机连续20天可将水抽干;用6台同样的抽水机连续工作15天可将水抽干。
若想6天将水库里的水全部抽干,需要多少台同样的抽水机?
1台抽水机1天抽水量为1,
河水每天均匀入库量:
(20×5-15×6)÷(20-15),
=10÷5,
=2,
水库原有存水量:
20×5-2×20=60,
6天抽干,需要同样的抽水机的台数:
(60+2×6)÷6,
=72÷6,
=12(台),
答:
6天抽干,需要12台同样的抽水机,
6.公路客运站早上5点开始售票,但早就有人排队等候买票了,每分钟来的旅客一样多,从开始售票到等候买票的队伍消失,如果同时开5个售票口需30分钟,如果同时开6个售票口需20分钟。
如果让队伍10分钟消失,那么要同时开几个售票口?
假设1个检票口1分钟通过的人数是1份
5个检票口30分钟通过的人数=4×30=150份
6个检票口20分钟通过的人数=6×20=120份
每分钟新增加排队的人数=(150-120)÷(30-20)=3份
检票前就排队的人数=150-30×3=60份
10分钟新增加排队的人数=3×10=30份
要想10分钟后没有人排队等候检票,需要同时开的检票口数量=(60+30)÷10=9个
7.假设地球上新生成的资源增长速度是一定的,照这样计算,地球上的资源可供110亿人生活90年;或可供90亿人生活210年。
为了使人类能够不断繁衍,那么地球最多能养活多少亿人?
设每1亿人,每年消耗资源为1份
那么110亿人90年消耗资源:
110×90=9900份
90亿人210年消耗资源为:
90×210=18900份
每年新生资源:
(18900-9900)/(210-90)=75份
为使人类能够不断繁衍,那么每年消耗的资源数量不能超过再生的资源数量
所以地球最多能养活75亿
8.两个顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走。
男孩20秒走了27级,女孩走了24级,按此速度男孩子2分钟到达另一端,而女孩需3分钟才能到达。
问该自动扶梯共有多少级?
男孩每分钟可走27乘3=81级台阶
女孩每分钟可走24乘3=72级台阶
设:
自动扶梯每分钟下x级台阶
则2(81-x)=3(72-x)
162-2x=216-3x
x=54
所以,该扶梯54级
9.由于天气逐渐变冷,牧场上草每天以均匀的速度减少。
经计算,牧场上的草可供20头牛吃5天,或可供16头牛吃6天,则11头牛可以吃多少天?
(20×5-16×6)÷(6-5)=4(20+4)×5=120120÷(11+4)=8假设每头牛每天吃掉1份草,那么20头牛5天吃掉100份草,16头牛6天吃掉96份草,由于天气寒冷,每冻一天,草就多冻死一部分。
由于多冻一天就少吃4份,故每天冻死4份草。
说明原来草地上面的草一部分被牛吃了,一部分冻死了,故原来共120份,现在有11头牛,每天吃11份,还要冻死4份,实际减少15份,故120份只要8天就没有了。
10.商场的自动滚梯以均匀的速度由下往上行驶着,两个孩子嫌滚梯走的太慢,于是在行驶的滚梯上,男孩每秒钟向上走1级台阶,女孩每3秒向上走2级台阶,结果男孩用50秒到达搂上,女孩用了60秒到达搂上。
问商场的自动滚梯共有多少级?
11.有一片匀速生长的牧草,可供17头牛吃30天,或可供19头牛吃24天。
原来有若干头牛在草地上吃草,吃6天后卖了4头,余下的牛再吃2天便将草吃完,问原来有牛多少头?
12.有三片草地,面积分别为4公顷,8公顷和10公顷.草地上的草一样厚,而且长得一样快.第一片草地上的草可供24头牛吃6周,第二片草地上的草可供36头牛吃12周.问:
第三片草地上的草可供50头牛吃几天?
由题意4公顷草可供24头牛吃6周,我们可以推出8公顷草可以供48头牛吃6周.我们假设1头牛1周吃一个单位的草,所以在(12-6)周内草场上的增长量是36*12-48*6=144个单位,所以1周草场的增长量为144/6=24个单位.由此我们可以计算出8公顷的草场上原来有36*12-24*12=144个单位的草.从而有10公顷的草场上原来有144*(10/8)=180个单位的草,10公顷的草场1周草地增量为24*(10/8)=30个单位.综上所述,在10公顷的草场上一周之内长出来的草可以供30头牛吃.草场上原来的草可以供剩下的牛吃.以供吃180/(50-30)=9周.
13.有一牧场,牧草每天匀速生长,可供9头牛吃12天,可供8头牛吃16天,现在开始只有4头牛吃,从第7天开始,又增加了若干头牛,再用6天吃光所有的草,问增加了几头牛?
分析:
设每头牛每天吃一份的草,根据“可供9头牛吃12天,可供8头牛吃16天”,草的生长速度为:
(16×8-12×9)÷(16-12)=5份,原有草的份数为:
12×9-5×12=48份,4头牛前6天一共吃了:
4×6=24份,还剩下48+5×6-24=54份,后六天一共吃的草的份数为:
54+5×6=84份,6天吃完所有草需要牛的头数是:
84÷6=14头,增加了14-4=10头牛.据此解答即可.
解答:
解:
设每头牛每天吃一份的草,
草的生长速度为:
(16×8-12×9)÷(16-12)
=20÷4
=5(份)
原有草的份数为:
12×9-5×12
=108-60
=48(份)
4头牛前6一共吃了:
4×6=24(份)
还剩下:
48+5×6-24=54(份)
后六天一共吃的草的份数为:
54+5×6=84(份)
增加牛的头数是:
84÷6-4=10(头).
答:
增加了10头牛.
故答案为:
10.
设每头牛每天吃一份的草,
草的生长速度为:
(16×8-12×9)÷(16-12),
=20÷4,
=5份,
原有草的份数为:
12×9-5×12,
=108-60,
=48份,
4头牛前6一共吃了:
4×6=24份,
还剩下:
48+5×6-24=54份,
后六天一共吃的草的份数为:
54+5×6=84份,
增加牛的头数是:
84÷6-4=10(头).
答:
增加了10头牛.
设每头牛每天吃草1份
9头牛,12天吃9×12=108份
8头牛,16天吃8×16=128份
每天长草(128-108)÷(16-12)=5份
草地原来有草:
108-5×12=48份
一共吃了6+6=12天
一共吃草48+5×12=108份
前6天吃草4×6=24份
后6天吃草108-24=84份
后6天每天吃84÷6=14份
增加了14-4=10头
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