考点整合与训练第二章 函数概念与基本初等函数 第6节 对数与对数函数.docx

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考点整合与训练第二章函数概念与基本初等函数第6节对数与对数函数

第6节　对数与对数函数

最新考纲　1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数y＝ax（a>0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a>0，且a≠1）互为反函数.

知识梳理

1.对数的概念

如果ax＝N（a>0，且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.

2.对数的性质、换底公式与运算性质

（1）对数的性质：

①alogaN＝N；②logaab＝b（a>0，且a≠1）.

（2）对数的运算法则

如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么

①loga（MN）＝logaM＋logaN；

②loga＝logaM－logaN；

③logaMn＝nlogaM（n∈R）；

④logamMn＝logaM（m，n∈R，且m≠0）.

（3）换底公式：

logbN＝（a，b均大于零且不等于1）.

3.对数函数及其性质

（1）概念：

函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，＋∞）.

（2）对数函数的图象与性质

a>1

0

图象

性质

定义域：

（0，＋∞）

值域：

R

当x＝1时，y＝0，即过定点（1，0）

当x>1时，y>0；

当0

当x>1时，y<0；

当00

在（0，＋∞）上是增函数

在（0，＋∞）上是减函数

4.反函数

指数函数y＝ax（a>0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a>0，且a≠1）互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.

[微点提醒]

1.换底公式的两个重要结论

（1）logab＝；

（2）logambn＝logab.

其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.

2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.

3.对数函数y＝logax（a>0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），，函数图象只在第一、四象限.

基础自测

1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”）

（1）log2x2＝2log2x.（　　）

（2）函数y＝log2（x＋1）是对数函数.（　　）

（3）函数y＝ln与y＝ln（1＋x）－ln（1－x）的定义域相同.（　　）

（4）当x>1时，若logax>logbx，则a

解析　

（1）log2x2＝2log2|x|，故

（1）错.

（2）形如y＝logax（a＞0，且a≠1）为对数函数，故

（2）错.

（4）当x＞1时，logax＞logbx，但a与b的大小不确定，故（4）错.

答案　

（1）×　

（2）×　（3）√　（4）×

2.（必修1P73T3改编）已知a＝2－，b＝log2，c＝log，则（　　）

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>b>aD.c>a>b

解析　∵01.

∴c>a>b.

答案　D

3.（必修1P74A7改编）函数y＝的定义域是________.

解析　由log（2x－1）≥0，得0<2x－1≤1.

∴

∴函数y＝的定义域是.

答案　

4.（2018·嘉兴调研）计算log29×log34＋2log510＋log50.25＝（　　）

A.0B.2C.4D.6

解析　原式＝2log23×（2log32）＋log5（102×0.25）＝4＋log525＝4＋2＝6.

答案　D

5.（2019·武汉月考）已知函数y＝loga（x＋c）（a，c为常数，其中a>0，且a≠1）的图象如图，则下列结论成立的是（　　）

A.a>1，c>1

B.a>1，0

C.01

D.0

解析　由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以00，即logac>0，所以0

答案　D

6.（2018·全国Ⅰ卷）已知函数f（x）＝log2（x2＋a）.若f（3）＝1，则a＝________.

解析　由f（3）＝1得log2（32＋a）＝1，所以9＋a＝2，解得a＝－7.

答案　－7

考点一　对数的运算

【例1】

（1）计算：

÷100－＝________.

（2）计算：

＝________.

解析　

（1）原式＝（lg2－2－lg52）×100＝lg×10＝lg10－2×10＝－2×10＝－20.

（2）原式＝

＝

＝＝＝＝1.

答案　

（1）－20　

（2）1

规律方法　1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.

2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.

3.ab＝N⇔b＝logaN（a>0，且a≠1）是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.

【训练1】

（1）若lg2，lg（2x＋1），lg（2x＋5）成等差数列，则x的值等于（　　）

A.1B.0或C.D.log23

（2）（2019·成都七中检测）已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________.

解析　

（1）由题意知lg2＋lg（2x＋5）＝2lg（2x＋1），

∴2（2x＋5）＝（2x＋1）2，（2x）2－9＝0，2x＝3，x＝log23.

（2）设logba＝t，则t>1，因为t＋＝，

所以t＝2，则a＝b2.

又ab＝ba，所以b2b＝bb2，

即2b＝b2，又a>b>1，解得b＝2，a＝4.

答案　

（1）D　

（2）4　2

考点二　对数函数的图象及应用　

【例2】

（1）（2019·潍坊一模）若函数f（x）＝ax－a－x（a>0且a≠1）在R上为减函数，则函数y＝loga（|x|－1）的图象可以是（　　）

（2）当x∈（1，2）时，不等式（x－1）2

A.（0，1）B.（1，2）

C.（1，2]D.

解析　

（1）由f（x）在R上是减函数，知0

又y＝loga（|x|－1）是偶函数，定义域是（－∞，－1）∪（1，＋∞）.

∴当x>1时，y＝loga（x－1）的图象由y＝logax的图象向右平移一个单位得到.

因此选项D正确.

（2）由题意，易知a>1.

在同一坐标系内作出y＝（x－1）2，x∈（1，2）及y＝logax的图象.

若y＝logax过点（2，1），得loga2＝1，所以a＝2.

根据题意，函数y＝logax，x∈（1，2）的图象恒在y＝（x－1）2，x∈（1，2）的上方.

结合图象，a的取值范围是（1，2].

答案　

（1）D　

（2）C

规律方法　1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低点等）排除不符合要求的选项.

2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.

【训练2】

（1）已知函数f（x）＝loga（2x＋b－1）（a>0，a≠1）的图象如图所示，则a，b满足的关系是（　　）

A.0

C.0

（2）（2019·日照调研）已知函数f（x）＝若方程f（x）－a＝0恰有一个实根，则实数a的取值范围是________.

解析　

（1）由函数图象可知，f（x）在R上单调递增，又y＝2x＋b－1在R上单调递增，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为（0，logab），由函数图象可知－1

即logaa－1

综上有0

（2）作出函数y＝f（x）的图象（如图所示）.

方程f（x）－a＝0恰有一个实根，等价于函数y＝f（x）的图象与直线y＝a恰有一个公共点，

故a＝0或a≥2，即a的取值范围是{0}∪[2，＋∞）.

答案　

（1）A　

（2）{0}∪[2，＋∞）

考点三　对数函数的性质及应用　

多维探究

角度1　对数函数的性质

【例3－1】（2017·全国Ⅰ卷）已知函数f（x）＝lnx＋ln（2－x），则（　　）

A.f（x）在（0，2）上单调递增

B.f（x）在（0，2）上单调递减

C.y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称

D.y＝f（x）的图象关于点（1，0）对称

解析　由题意知，f（x）＝lnx＋ln（2－x）的定义域为（0，2），f（x）＝ln[x（2－x）]＝ln[－（x－1）2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，所以排除A，B；又f（2－x）＝ln（2－x）＋lnx＝f（x），所以f（x）的图象关于直线x＝1对称，C正确，D错误.

答案　C

角度2　比较大小或解简单的不等式

【例3－2】

（1）（一题多解）（2018·天津卷）已知a＝log2e，b＝ln2，c＝log，则a，b，c的大小关系为（　　）

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

（2）若loga（a2＋1）

A.（0，1）B.

C.D.（0，1）∪（1，＋∞）

解析　

（1）法一　因为a＝log2e>1，b＝ln2∈（0，1），c＝log＝log23>log2e＝a>1，所以c>a>b.

法二　log＝log23，如图，在同一坐标系中作出函数y＝log2x，y＝lnx的图象，由图知c>a>b.

（2）由题意得a>0且a≠1，故必有a2＋1>2a，

又loga（a2＋1）

同时2a>1，∴a>.综上，a∈.

答案　

（1）D　

（2）C

角度3　对数型函数性质的综合应用

【例3－3】已知函数f（x）＝loga（3－ax）.

（1）当x∈[0，2]时，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围；

（2）是否存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？

如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.

解　

（1）∵a>0且a≠1，设t（x）＝3－ax，

则t（x）＝3－ax为减函数，

x∈[0，2]时，t（x）的最小值为3－2a，

当x∈[0，2]时，f（x）恒有意义，

即x∈[0，2]时，3－ax>0恒成立.

∴3－2a>0.∴a<.

又a>0且a≠1，∴a的取值范围是（0，1）∪.

（2）t（x）＝3－ax，∵a>0，

∴函数t（x）为减函数.

∵f（x）在区间[1，2]上为减函数，∴y＝logat为增函数，

∴a>1，x∈[1，2]时，t（x）最小值为3－2a，f（x）最大值为f

（1）＝loga（3－a），

∴即

故不存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.

规律方法　1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.

2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.

3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.

【训练3】

（1）（2016·全国Ⅰ卷）若a>b>0，0

A.logac

C.accb

（2）若函数f（x）＝loga（a>0，a≠1）在区间内恒有f（x）>0，则f（x）的单调递增区间为________.

解析　

（1）由y＝xc与y＝cx的单调性知，C，D不正确；

∵y＝logcx是减函数，得logca

logac＝，logbc＝，∵0＜c＜1，∴lgc＜0.

又a＞b＞0，∴lga＞lgb，但不能确定lga，lgb的正负，

∴logac与logbc的大小不能确定.

（2）令M＝x2＋x，当x∈时，M∈（1，＋∞），f（x）>0，所以a>1，所以函数y＝logaM为增函数，

又M＝－，因此M的单调递增区间为.

又x2＋x>0，所以x>0或x<－，

所以函数f（x）的单调递增区间为（0，＋∞）.

答案　

（1）B　

（2）（0，＋∞）

[思维升华]

1.对数值取正、负值的规律

当a>1且b>1或00；

当a>1且01时，logab<0.

2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.

3.比较幂、对数大小有两种常用方法：

（1）数形结合；

（2）找中间量结合函数单调性.

4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定.

[易错防范]

1.在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝logax的定义域应为（0，＋∞）.对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分01两种情况讨论.

2.在运算性质logaMα＝αlogaM中，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为logaMα＝αloga|M|（α∈N*，且α为偶数）.

3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：

（1）务必先研究函数的定义域；

（2）注意对数底数的取值范围.

基础巩固题组

（建议用时：

40分钟）

一、选择题

1.已知函数f（x）＝则f（2＋log23）的值为（　　）

A.24B.16C.12D.8

解析　因为3<2＋log23<4，所以f（2＋log23）＝f（3＋log23）＝23＋log23＝8×2log23＝24.

答案　A

2.（2018·天津卷）已知a＝log3，b＝，c＝log，则a，b，c的大小关系为（　　）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

解析　log＝log3－15－1＝log35，因为函数y＝log3x在（0，＋∞）上为增函数，所以log35>log3>log33＝1，因为函数y＝在（－∞，＋∞）上为减函数，所以<＝1，故c>a>b.

答案　D

3.（2018·张家界三模）在同一直角坐标系中，函数f（x）＝2－ax，g（x）＝loga（x＋2）（a>0，且a≠1）的图象大致为（　　）

解析　由题意，知函数f（x）＝2－ax（a>0，且a≠1）为单调递减函数，当02，且函数g（x）＝loga（x＋2）在（－2，＋∞）上为单调递减函数，C，D均不满足；当a>1时，函数f（x）＝2－ax的零点x＝<2，且x＝>0，又g（x）＝loga（x＋2）在（－2，＋∞）上是增函数，排除B，综上只有A满足.

答案　A

4.（2019·肇庆二模）已知f（x）＝lg（10＋x）＋lg（10－x），则（　　）

A.f（x）是奇函数，且在（0，10）上是增函数

B.f（x）是偶函数，且在（0，10）上是增函数

C.f（x）是奇函数，且在（0，10）上是减函数

D.f（x）是偶函数，且在（0，10）上是减函数

解析　由得x∈（－10，10），

且f（x）＝lg（100－x2）.

∴f（x）是偶函数，

又t＝100－x2在（0，10）上单调递减，y＝lgt在（0，＋∞）上单调递增，故函数f（x）在（0，10）上单调递减.

答案　D

5.已知函数f（x）＝|lnx|，若f（m）＝f（n）（m>n>0），则＋＝（　　）

A.B.1C.2D.4

解析　由f（m）＝f（n），m>n>0，可知m>1>n>0，

∴lnm＝－lnn，则mn＝1.

所以＋＝＝＝2.

答案　C

二、填空题

6.lg＋2lg2－＝________.

解析　lg＋2lg2－＝lg＋lg22－2

＝lg－2＝1－2＝－1.

答案　－1

7.（2019·昆明诊断）设f（x）＝lg是奇函数，则使f（x）<0的x的取值范围是________.

解析　由f（x）是奇函数可得a＝－1，

∴f（x）＝lg，定义域为（－1，1）.

由f（x）<0，可得0<<1，∴－1

答案　（－1，0）

8.（2019·武汉调研）已知函数f（x）＝

若f（2－a）＝1，则f（a）＝________.

解析　当2－a<2，即a>0时，f（2－a）＝－log2（1＋a）＝1.

解得a＝－，不合题意.

当2－a≥2，即a≤0时，f（2－a）＝2－a－1＝1，即2－a＝2，解得a＝－1，所以f（a）＝f（－1）＝－log24＝－2.

答案　－2

三、解答题

9.设f（x）＝loga（1＋x）＋loga（3－x）（a>0，a≠1），且f

（1）＝2.

（1）求a的值及f（x）的定义域；

（2）求f（x）在区间上的最大值.

解　

（1）∵f

（1）＝2，∴loga4＝2（a>0，a≠1），∴a＝2.

由得－1＜x＜3，

∴函数f（x）的定义域为（－1，3）.

（2）f（x）＝log2（1＋x）＋log2（3－x）

＝log2[（1＋x）（3－x）]＝log2[－（x－1）2＋4]，

∴当x∈[0，1]时，f（x）是增函数；

当x∈时，f（x）是减函数，

故函数f（x）在上的最大值是f

（1）＝log24＝2.

10.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（0）＝0，当x>0时，f（x）＝logx.

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）解不等式f（x2－1）>－2.

解　

（1）当x<0时，－x>0，则f（－x）＝log（－x）.

因为函数f（x）是偶函数，所以f（－x）＝f（x）＝log（－x），

所以函数f（x）的解析式为

f（x）＝

（2）因为f（4）＝log4＝－2，f（x）是偶函数，

所以不等式f（x2－1）>－2转化为f（|x2－1|）>f（4）.

又因为函数f（x）在（0，＋∞）上是减函数，

所以|x2－1|<4，解得－

即不等式的解集为（－，）.

能力提升题组

（建议用时：

20分钟）

11.（2019·商丘二模）已知a>0且a≠1，函数f（x）＝loga（x＋）在区间（－∞，

＋∞）上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）＝loga||x|－b|的图象是（　　）

解析　∵函数f（x）＝loga（x＋）在区间（－∞，＋∞）上是奇函数，∴f（0）＝0，∴b＝1，又函数f（x）＝loga（x＋）在区间（－∞，＋∞）上是增函数，所以a>1.

所以g（x）＝loga||x|－1|，当x>1时，g（x）＝loga（x－1）为增函数，排除B，D；当0

答案　A

12.（2017·全国Ⅰ卷）设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则（　　）

A.2x<3y<5zB.5z<2x<3y

C.3y<5z<2xD.3y<2x<5z

解析　令t＝2x＝3y＝5z，

∵x，y，z为正数，∴t>1.

则x＝log2t＝，同理，y＝，z＝.

∴2x－3y＝－＝

＝>0，

∴2x>3y.

又∵2x－5z＝－＝＝<0，

∴2x<5z，∴3y<2x<5z.

答案　D

13.已知函数f（x）＝lg（mx2＋2mx＋1），若f（x）的值域为R，则实数m的取值范围是________.

解析　令g（x）＝mx2＋2mx＋1值域为A，∵函数f（x）＝lg（mx2＋2mx＋1）的值域为R，∴（0，＋∞）⊆A，当m＝0时，g（x）＝1，f（x）的值域不是R，不满足条件；当m≠0时，解得m≥1.

答案　[1，＋∞）

14.已知函数f（x）＝ln.

（1）求函数f（x）的定义域，并判断函数f（x）的奇偶性；

（2）对于x∈[2，6]，f（x）＝ln>ln恒成立，求实数m的取值范围.

解　

（1）由>0，解得x<－1或x>1，

∴函数f（x）的定义域为（－∞，－1）∪（1，＋∞），

当x∈（－∞，－1）∪（1，＋∞）时，

f（－x）＝ln＝ln＝ln＝－ln＝－f（x）.

∴f（x）＝ln是奇函数.

（2）由于x∈[2，6]时，f（x）＝ln>ln恒成立，

∴>>0恒成立，

∵x∈[2，6]，∴0

令g（x）＝（x＋1）（7－x）＝－（x－3）2＋16，x∈[2，6]，

由二次函数的性质可知，x∈[2，3]时函数g（x）单调递增，x∈[3，6]时函数g（x）单调递减，

即x∈[2，6]时，g（x）min＝g（6）＝7，

∴0

故实数m的取值范围为（0，7）.