杭州电子科技大学信息工程学院高数考试题目.docx
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杭州电子科技大学信息工程学院高数考试题目
杭州电子科技大学信息工程学院高数考试题目
2010年杭州电子科技大学信息工程学院学生考试卷A卷 课程名称考生姓名学号题号得分一、二、三高等数学考试日期时间共120分钟专业五、六、七总分任课教师姓名班级四一、填空题(每小题3分,共计15分)1. n?
?
?
lim(2?
1n)?
.2n2.方程y?
?
?
3. y?
0的通解为 .?
?
?
/2?
/2sinxdx?
.4.设 f(x)?
1?
x2,则f?
(x)?
. 5.设f?
(sin2x)?
cos2x,则f(x)= . 二、单项选择题 sinx?
x?
x?
0?
x?
x?
0,则x=0是f(x)的 ( )1.设f(x)?
?
0,?
1?
xcos,x?
0x?
连续点可去间断点跳跃间断点振荡间断点 2.下列各式中正确的是 ( ) 11 ?
?
x2dx?
1 ?
?
x2dx?
1 2020?
11?
x0x111?
/2 2dx?
2dx ?
20?
?
?
/2cosxdx?
?
cosxdx?
?
03.下列命题不正确的是 ( ) (A)非零常数与无穷大之积是无穷大 (B)常数0与无穷大之积是无穷小 (C)无界函数是无穷大 (D)无穷大的倒数是无穷小4.设f(x)在x?
x0处连续且f?
(x0)不存在,则y?
f(x)在(x0,f(x0))处( ) 没有切线 有一条不垂直x轴的切线 有一条垂直x轴的切线或者不存在切线或者有一条垂直于x轴的切线。
5.设微分方程y?
?
?
2y?
?
2y?
e (a、b为待定系数)xee?
x?
xcosx,则可设方程的一个特解形式为 ( ) (acosx?
bsinx) axe?
xcosx ?
x(acosx?
bsinx) (D)ae?
xcosx 三、试求下导数或微分(要有解题过程) 1.设y?
?
sinx0t1?
t2dt,求dy 2.设y?
xtanx,求y?
d2y3.设y?
f(u(x)),函数f(u)、u(x)二阶可导,求 dx2四、试求下列积分(要有解题过程)1.sinxdx ?
2. ?
e21dx x1?
lnx3. ?
?
?
?
?
?
1dx 2x?
2x?
21?
sinxdx 3?
4. 20五、求曲线y?
x?
5x2?
3x?
5的凹凸区间及拐点。
?
x?
acos3t六、计算星形线?
的全长。
3?
y?
asint七、证明题1.证明:
当x?
1时,21x?
3?
x122.设 f(x)在[0,1]上连续,且f(0)?
f
(1)?
0,f()?
1, 12证明:
存在?
?
(,1),使f(?
)?
?
2009高数期末A试卷 一、填空题(每小题3分,共计15分) d2sds1.方程2?
4?
4s?
0的通解:
.dtdt2.设函数y?
xe?
ex?
ee,则3.极坐标下,曲线?
4.函数I(x)?
dy?
dx?
sin?
所围成图形的面积为 .54(x?
0)有没有极小值?
(填有或无).xx2?
115.不定积分?
2exdx= . x 二、单项选择题 ?
x?
1,x?
1?
1.设f(x)?
?
x?
1,则在x=1处函数f(x) . ?
1,x?
1?
不连续连续但不可导可导且导数连续可导但导数不连续2.函数f(x)的不定积分是f(x)的 .导数 微分 某个原函数 全部原函数3.微分方程y?
?
y?
1的通解为 . y?
cey?
ce?
1y?
ce?
1y?
(c?
1)e xxxx4.极限 1sin?
n!
?
= . n?
?
?
n?
1lim不存在0 1 ?
?
de?
x5.导数f(t)dt?
.dx?
0 f(x) (B)f(e?
x) (C)f(e?
x)e?
x (D)?
f(e?
x)e?
x 三、试解下列各题(要有解题过程) 1.求极限lim(1?
tanx). x?
01x2.判定曲线y?
xarctanx的凹凸性. 3.设ey?
xy?
e?
0,求上述方程确定的隐函数y?
y(x)的微分dy.四、试解下列各题(要有解题过程) 1.求函数f(x)=x3?
3x?
1的单调区间. ?
x?
sint,?
2.设?
求在对应t?
的相应点处的切线方程. 6?
y?
cos2t,3.求解不定积分 x?
cos2xdx. 4.求解定积分 ?
10xdx. 2?
x1?
(x?
)ex的一个特解. 25.求微分方程y?
?
?
5y?
?
6y6.设图形D抛物线y2?
2x及直线x?
2所围成, 1?
(x?
)ex的一个特解. 2求图形D绕x轴旋转所得旋转体的体积.5.求微分方程y?
?
?
5y?
?
6y6.设图形D抛物线y2?
2x及直线x?
2所围成, 求图形D绕x轴旋转所得旋转体的体积. 六、证明题 ?
?
sinx,0?
x?
2?
?
1.设f(x)?
?
x,证明:
.?
f(x)?
1(0?
x?
)2?
2?
1,x?
0?
2.已知积分 ?
?
?
02?
?
sinxsinxdx?
a.dx?
a(a为常数),证明反常积分:
?
20xx杭州电子科技大学信息工程学院2008年学生期末考试(A)卷 二、填空题(每小题3分,共计15分) ?
1?
e?
x,x?
0,在x?
0处连续,则A?
;1.设f(x)?
?
?
A?
x,x?
02.定积分 ?
101?
x2dx?
; 3.设y?
arcsin4.设 x,则微分dy?
; f(x)?
?
?
sinx,则f(x)在[,]上的最小值为 ; 42x5.曲线y ?
1在[1,2]上与x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转所成旋转体的体积 .x二、单项选择题 1.设f(x)在[a,b]上连续,则在[a,b]上至少有一点?
,使得成立. bf(x)dxaf(b)?
f(a)f(?
)?
f?
(?
)?
b?
ab?
a?
f(?
)?
0 f?
(?
)?
02.设(A) f(x)连续可导,则下列等式中是正确的. ?
f?
(x)dx?
1f(x) (B)d(f(x)dx)?
f(x) ?
?
1?
?
dx?
0 (D)?
xf(sinx)dx?
?
f(sinx)dx(C)?
?
1x0203.设F(x)、f(x)是?
(x)在区间I的两个原函数,则存在常数C使下式( )成立. (A)F(x)?
f(x)?
C (B)F(x)?
f(x)?
C (C)F(x)?
Cf(x) (D) ?
f(x)dx?
F(x)?
C x3?
ax?
4?
6,则( ).4.若极限limx?
?
1x?
1a?
6 a?
?
6a?
3 a?
?
3
?
sinx?
x?
x,x?
0?
x?
0,则x=0是f(x)的( ).5.设f(x)?
?
0,?
1?
xcos, x?
0x?
连续点跳跃间断点可去间断点振荡间断点三、计算题(每题6分,共12分)(须有计算步骤)1.求方程ysinx?
cos(x?
y)?
0确定的隐函数的导数 dy.dxdyd2y1?
x2.设y?
arctan,求、.2dxdx1?
x四、计算题(每题6分,共36分)(须有计算步骤) ?
x?
ln(1?
t2)dy1.设函数y?
y(x)参数方程?
所确定,求及对应t?
0处的切线方程. dx?
y?
t?
arctant2.求极限limx?
0?
x20(et?
1)dt. 2ln(1?
x6)?
3.计算定积分 ?
2?
?
2x?
sinx?
cos5x?
dx. ?
?
04.计算反常积分 ?
e?
xdx. 5.求不定积分 x?
2?
x2?
2x?
2dx. ?
1?
cos?
所围成的图形的面积. 6.计算心形线?
五、(本题8分)求微分方程 dyysinx?
?
ydxxxx?
?
?
1的特解. 六、(本题9分)求函数y?
x?
ln(1?
x)的单调区间、极值及曲线的凹凸区间. 七、(本题5分)设偶函数. f(x)为(?
?
?
?
)上连续的奇函数,证明F(x)?
?
f(x)dx(a?
0)为 ax2008年上期杭州电子科技大学信息工程学院高等数学A卷答案 一1.0 2.二ADBCB三1. ?
101?
x2dx?
?
; 3. 412x?
x2dx 4. 2; 5?
?
2dydysinx?
ycosx?
sin(x?
y)(1?
)?
0…5分 四1. dxdxdydydx=dt=1?
1dx12?
tt2?
t.每一等号1分(共3分) 2dt1?
t2 dyycosx?
sin(x?
y)dx?
?
sinx?
sin(x?
y)………………dydxt?
0?
0………………….1分 2. dy1dx=(1?
x)?
…………….2分 1?
(1?
x 21?
x1?
x)(0,0)……………………1分 =(1?
x)2?
2=2………….2分 2?
x2(1?
x)22?
x2y?
0………………1分 d2y=?
4x……………………………2分 dx2(2?
x2)22.解:
ln(1?
x6)?
x6………………………………………………..1分 是0型不定式,用洛必达法则…………………………………………………1分 0x224所求极限lim?
0(et?
1)dt=xx?
0x6lim(e?
1)?
2x…………………………2分x?
06x54 =14x3limx(e?
1?
x4)…………1分 x?
0x4 =13……………………………………………1分 ?
3.解:
?
2?
?
x?
sinx?
cos5x?
?
dx=?
xsinxdx………………………………3分 2?
2?
21分 切点 切线方程 ?
=2 ?
20xsinxdx=?
2xcosx?
02?
2?
2cosxdx………….2分 0?
=2………………………1分4.解:
令 t?
x,x?
t2,dx?
2tdt………….2分 5. ?
x?
21x2?
2x?
2dx=?
2(2x?
2)?
3 x2?
2x?
2dx……………..3分 ?
?
?
?
xt0edx= 2?
?
?
0te?
dt…………………1 =?
1d(x2?
2x?
2)3…….12x2?
2x?
2?
?
(x?
1)2?
1dx= ?
2te?
t?
?
t0?
2?
?
?
0e?
dt……..1 =12ln(x2?
2x?
2)?
3arctan(x?
1)?
c…2分(缺C给1分)=?
2e?
t?
?
0…………………….1分 =2………………………………1分 6.解:
图形的面积A?
1?
2?
?
2d?
………………………………………………..2分 20 =12?
2?
0(1?
cos?
)2d?
?
?
?
(1?
cos?
)2d?
…………….1分 0 = ?
?
3?
……………………...3分 0(1?
2cosx?
cos2?
)d?
=2五解:
方程的通解为y?
e?
?
p(x)dx[?
q(x)e?
p(x)dxdx?
C]………2分 =e?
?
11xdx[?
sinxe?
xdxdx?
c]………2分 x =1x[?
sinxdx?
c]…………………1分 =c?
cosx…………………………1分 x 初始条件yx?
?
?
1得c?
?
?
1…………1分 从而方程的特解为y?
?
?
1?
cosxx…………………1分 六解:
定义域为(?
1,?
?
)……………1分 y?
?
1?
1?
x…………1分 1?
x1?
x分分分 y?
?
?
1…………………1分(1?
x2)驻点为x?
0……………………1分 当?
1?
x?
0时,y?
当x?
0时,y?
>0函数在[0,?
?
)上单调增加………………1分因此驻点x?
0处函数取到极小值,极小值为0………………………1分 因y?
?
?
0恒成立,故函数在(?
1,?
?
)为凹的……………………2分七证明:
F(?
x)?
?
?
xaf(x)dx?
?
x?
xaf(t)dt…………………………………..1分 令t?
?
u……………………………………………………1分则F(?
x)?
?
?
xaf(t)dt=?
?
f(?
u)du………………..1分 ?
a = = ?
x?
aaf(u)du…………………….1分 f(u)du?
?
f(u)du=?
f(u)du……………………1分 aaxx?
?
a =F(x) 2009年上期杭州电子科技大学信息工程学院高等数学B卷答案 一1. s?
(c1?
c2t)e?
2t2.exe?
1?
ex13?
4.有5.?
ex?
c 4二ADCBD ?
lim(1?
tanx)三1.解:
=lim?
(1?
tanx)x?
0x?
0?
1x1tanx?
?
?
tanxx----3分 2解:
求微分 eydy?
ydx?
xdy?
0,.……4分 =e……………………………………..2 分 ?
dy?
?
ydx……………………..1分ye?
x3.解:
定义域 (?
?
?
?
)………………………1分 四1解:
定义域 (?
?
?
?
),f?
(x)?
3(x2?
1),驻 y?
?
arctanx?
x…………………….1分 点x?
?
1.....2分21?
x 11?
x2 ,当x?
1时,f?
(x)?
0y?
?
?
?
2221?
x?
1?
x?
故函数f(x)的 = 2?
1?
x?
22?
0…………………………2分 单调增加区间为 (?
?
?
1],[1,?
?
)……………….2分 故曲线y?
xarctanx在定义域(?
?
?
?
)是上凹的..1分 当x?
1时,f?
(x)?
0,故 函数f(x)的 单调减少区间为 [?
1,1]………………….2分 2.解:
t?
?
6对应点为(11,)…………………………..1分22?
6dy?
2sin2tdy?
此点处切线斜率dxcostdx切线方程:
y?
2x?
t?
?
?
2sin2tcostt?
?
6?
?
2……………………..3分 3?
0…………………………………………….2分23.解:
x?
cos2xdx=?
xdtanx…………………………….2分 =xtanx?
?
tanxdx…………………..2分 cosx?
c……………….2分 =xtanx?
ln 4.解:
令t ?
2?
x,x?
2?
t2,dx?
?
2tdt,……………2分 ?
101xdx=?
2?
(2?
t2)dt………………..2分 22?
x131 =?
2(2t?
t)…………………1分 32
=82?
10………………………….1分 325.解:
?
?
1不是特征方程r?
5r?
6?
0的根,……………………………………….1分 故可设方程的特解为 y*?
(ax?
b)ex………………………………..2分 y*?
?
(ax?
b?
a)ex,y*?
?
?
(ax?
b?
2a)ex 12ax?
2b?
3a?
x?
…………………………………………2分 21a?
b?
12解:
V所 以 , 所 求 特 解 为 220……………………………………1 2分 6. ?
?
?
ydx?
?
2?
xdx………………….4分 01y*?
(x?
1)ex 2=?
x22?
4?
……………………………2分0五解:
当x?
?
?
2时,?
(x)?
?
x0f(t)dt=1;………………………….3分 当 x0x?
?
2?
x?
?
2时, ?
(x)?
?
当x?
于是, xf(t)dt=?
sinxdx=?
cosx?
1?
cosx;……………………3分 00时,?
(x)?
?
2 ?
x0?
f(t)dt=?
20f(t)dt?
?
?
f(t)dt?
?
()?
1……….3分 22x?
?
?
1,x?
?
?
2?
?
?
?
?
(x)?
?
1?
cosx,?
?
x?
22?
?
?
1,x?
?
2?
1..证明:
因limsinx?
?
?
1,所以f(x)在闭区间[0,]上连续,从而f(x)在[0,]上有最大 x?
0x22最小值………….1分 f?
(x)?
xcosx?
sinxx?
tanx?
?
cosx?
0,(0?
x?
)…………………………1分22xx2即 ?
f(x)在(0,)上没有驻点和不可导点………………………………..1分 2 因此, ?
f(x)在[0,]上的最大最小值必在两端点处取到:
………………………1分 2?
?
?
?
?
?
?
?
min?
f(0),f()?
?
f(x)?
max?
f(0),f()?
?
1,x?
[0,]…………….1分?
2?
2?
2?
?
22.证明:
?
?
?
0?
?
1sin2x2sinxd(?
)……………………2分=dx?
0xx2?
?
2sinxcosxsin2x?
?
?
dx……………….1分 =?
0?
0xx = ?
?
?
0sin2xd(2x)……………………..1分2x?
?
sinxsintdt?
?
dx?
a………………..1分 0tx = ?
?
?
0
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