初中数学乘法公式doc.docx
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初中数学乘法公式doc
乘法公式
概念总汇
1、平方差公式
平方差公式:
两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差,即
(a+b)(a-b)=a
2-b2
a
说明:
a
(1)几何解释平方差公式
b
如右图所示:
边长a的大正方形中有一个边长为b的小正方形。
b
第一种:
用正方形的面积公式计算:
a
2-b2;
第二种:
将阴影部分拼成一个长方形,这个长方形长为(a+b),宽为(a-b),
它的面积是:
(a+b)(a-b)
结论:
第一种和第二种相等,因为表示的是同一块阴影部分的面积。
所以:
a2-b2=(a+b)(a-b)。
(2)在进行运算时,关键是要观察所给多项式的特点,是否符合平方差公式的形式,即只
有当这两个多项式它们的一部分完全相同,而另一部分只有符合不同,才能够运用平方差公
式。
平方差公式的a和b,可以表示单项式,也可以表示多项式,还可以表示数。
应用平方
差公式可以进行简便的多项式乘法运算,同时也可以简化一些数字乘法的运算
2、完全平方公式
完全平方公式:
两个数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们积的两
倍,即
(a+b)
2
222
,(a-b)
=a+2ab+b=a
2-2ab+b2
这两个公式叫做完全平方公式。
平方差公式和完全平方公式也叫做乘法公式
说明:
b
(1)几何解释完全平方(和)公式
如图用多种形式计算右图的面积
第一种:
把图形当做一个正方形来看,所以
a2
它的面积就是:
(a+b)
第二种:
把图形分割成由2个正方形和2个相同的
ab
第1页共16页
长方形来看,其中大正方形的的边长是a,小正方形
的边长是b,长方形的长是a,宽是b,所以
2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
它的面积就是:
a
结论:
第一种和第二种相等,因为表示的是同一个图形的面积
所以:
(a+b)
2=a2+2ab+b2
(2)几何解释完全平方(差)公式
如图用多种形式计算阴影部分的面积
第一种:
把阴影部分当做一个正方形来看,所以
2
它的面积就是:
(a-b)
第二种:
把图形分割成由2个正方形和2个相同的
长方形来看,
S阴影S-S-2S
大正方形小正方形长方形
其中大正方形的的边长是a,小正方形的边长是b,长方形的长是(a-b),宽是b,所以
它的面积就是:
2b22abba22abb2
a
结论:
第一种和第二种相等,因为表示的是同一个图形的面积
所以:
ab
2a2abb
22
22222-b2。
要注意符号
(3)在进行运算时,防止出现以下错误:
(a+b),(a-b)
=a+b=a
的处理,不同的处理方法就有不同的解法,注意完全平方公式的变形的运用。
完全平方公式
的a和b,可以表示任意的数或代数式,因此公式的使用就不必限于两个二项式相乘,而可
以扩大到两个多项式相乘,但要注意在表示成完全平方公式的形式才能运用公式,完全平方
公式有着广泛的应用,尤其要注意完全平方公式和平方差公式的综合应用
方法引导
1、乘法公式的基本计算
例1利用平方差公式计算:
(1)(3x+5y)(3x-5y);
(2)(0.5b+a)(-0.5b+a)
(3)(-m+n)(-m-n)
难度等级:
A
第2页共16页
2222
解:
(1)(3x+5y)(3x-5y)=(3x)-(5y)=9x-25y
↓↓↓↓
2-b2(a+b)(a-b)=a
2-0.25b2
(2)(0.5b+a)(-0.5b+a)=(a+0.5b)(a-0.5b)=a
↓↓↓↓
2-b2(a+b)(a-b)=a
(3)(-m+n)(-m-n)=(-m)
2-n2=m2-n2
↓↓↓↓
2-b2(a+b)(a-b)=a
【知识体验】仔细观察例题,看出两个多项式之间的相同点和不同点,找到两个多项式
的第一项相同,而第二项互为相反数,符合运用平方差公式的条件,利用公式解题,得出结
果
【解题技巧】平方差公式的基本在于找到两个多项式的相同项和不同项,相同项就是a,
不同项就是b和-b,所以多项式中项的位置颠倒时,可以先调换位置,再运用平方差公式
【搭配练习】
用平方差公式计算
(1)(-0.25x-y)(-0.25x+y)
(2)(-2x+3y)(-2x-3y)
(3)(2x-5)(2x+5)-(2x+1)(2x-1)
例2利用完全平方公式计算
22
(1)(2a+3)
(2)(0.5m-0.2n)
2
(3)(-2x-3y)
(4)(1-3x)(3x-1)
难度等级:
A
2aaa2a
22
解:
(1)2a3222334129
(a+b)
2=a2+2ab+b2
(2)
20.520.50.20.20.250.20.04
22
22
0.5m0.2nmmnnmmnn
第3页共16页
ab
2
2
a2ab
2
b
(3)第一种解法:
2222334129
2222
2x3yxxyyxxyy
ab
2
2
a2ab
2
b
第二种解法:
223223222223324212922x3yxyxyxxyyxxyy
22
=a
(a+b)
2
+2ab+b
(4)13x3x13x13x1
3x1
2xxxxxx
2222
3231196196
1
ab
2
2
a2ab
2
b
【知识体验】仔细观察例题,题目都应该符合完全平方的形式,然后根据公式写出结果。
第一步确定首尾,分别平方;第二步确定中间项的系数和符号,得出结论。
【解题技巧】第三题给出了两种解法,第二解法实质上是利用了乘方的性质,利用互为
相反数的幂可以互相转化,改变了原本的形式,便于后续利用完全平方和的公式写出结果,
第一种虽然也可以得出正确结果,但涉及到符号问题较多,容易出现错误。
第四题表面上看
上去不可以用乘法公式,但仔细观察可以发现,这两个多项式的每一项只有符号不同,其他
都相同,那么也可以利用乘方的性质,把式子进行转化,后续得出的就是一个带有负号的完
全平方式,但有一点还要注意的是
2
3x1中,应该先按照完全平方公式展开,再去掉负
号
【搭配练习】
第4页共16页
利用完全平方公式计算
(1)
2
3a2
(2)
4b3c
2
(2)
2
0.1p0.3q(4)5m7n7n5m
2、简便计算
例3利用平方差公式简便计算
(1)103×97
(2)59.8×60.2
难度等级:
A
解:
(1)103×97=(100+3)(100-3)=100
2-32=10000-9=9991
2-0.22=3600-0.04=3599.96
(2)59.8×60.2=(60-0.2)(60+0.2)=60
【知识体验】既然是简便计算,就有巧算的变法,把两个因数分别进行改写,写成相同
的两个数的和与差相乘的形式,利用平方差公式求解。
【解题技巧】如果可以利用公式,那么103和97就分别是相同的两个数的和与差,那
么(103+97)÷2得到的就是第一个数,即公式中的a,(103-97)÷2得到的就是第二个数,
即公式中的b
【搭配练习】
利用平方差公式简便计算
(1)899×901+1
(2)982
(3)
14
1
8
13
7
8
例4利用乘法公式简便计算
(1)
2
997
(2)
22
1009(3)9410199
难度等级:
A
解:
(1)
222
2
997100031000210003100000060009994009
3
(2)
2
100910009
2
2
1000
2
1000
9
81
1000000
18000
81
1018081
第5页共16页
2
2
(3)9410199100610011001
2
10021006
2
6
2
100
2
1
22
1001200361001
1200361
1163
【知识体验】解题时要注意区分使用哪一种公式,平方差公式一定要是两数和与两数差
乘积的形式,完全平方公式一定是两数和或差的平方形式
【解题技巧】平方差公式是两个不同的数或式子相乘,完全平方公式是一个数或式子平
方的形式,当这两种公式混合在一起的时候要注意区别,分清属于哪一种
【搭配练习】
利用乘法公式简便计算
9972-1001×999
例题讲解
(一)题型分类全析
例1:
下列计算正确的是()
232
A.4x2x3x18x12x4x
B.
xy
2y2x3y
x
3
C.
2
4a14a1116aD.
x
2
22
2yx2xy4y
难度等级:
A
【思维直现】根据单项式与多项式的乘法法则,(-4x)·(2x
2+3x-1)=-8x3-12x2+4x,所
223223
以A错;利用多项式乘法法则,计算(x+y)(x,所以B也不对;
+y),得x+xy+xy+y
2-(4a)2=1-16a2,所以C是正确的;由完全利用平方差公式,有(-4a-1)(4a-1)=(-1-4a)(-1+4a)=(-1)
2=x2-4y+4y2,所以D错.因此,选C.
平方公式,得(x-2y)
解:
C
【阅读笔记】整式的乘法包括幂的乘法,单项式与单项式的乘法,单项式与多项式的乘
法,多项式与多项式的乘法,乘法公式;在解决问题时,要对号入住,看到题目,就要想到
用什么样的法则。
【题评解说】本题是常规题,都是考察学生的基本概念和基本法则。
在做题时可以每道
都做一遍,验证正确或错误的选项。
第6页共16页
【建议】如果遇到无法确定的时候,就说明知识点没有掌握清楚,此时的做题原则,就
是排除法,先选出与待选答案相反结论的选项,在排查剩余选项。
【搭配练习】
1、下列关系式中,正确的是()
A.(a-b)
2=a2-b2B.(a+b)(a-b)=a2-b2
2=a2+b2D.(a+b)2=a2-2ab+b2
C.(a+b)
2、下列计算正确的是()
2-3b2B.(-a+3b)(a-3b)=-a2-9b2
A.(a+3b)(a-3b)=a
C.(-a-3b)(a-3b)=-a2+9b2D.(-a-3b)(a+3b)=a2-9b2
例2:
多项式4x21加上一个单项式后,使它能成为一个整式的完全平方,则加上的
多项式可以是(填上你认为正确的一个即可,不必考虑所有的可能情况)
难度等级:
B
2=a2±2ab+b2的特点,若4x21表示了a2+b2的
【思维直现】根据完全平方公式(a±b)
话,则有a=2x,b=1,所以,缺少的一项为±2ab=±2(2x)·1=±4x,此时,4x21±4x=(2x
2;如果认为4x21表示了2ab+b2的话,则有a=2x2,b=1,所以,缺少的一项为a2=(2x)
±1)
24422
,此时,4x
+4x21=(2x
,从另外一个角度考虑,“一个整式的完全平方”中所=4x+1)
2=(2x)2,1=12,所指的“整式”既可以是上面所提到的多项式,也可以是单项式.注意到4x
以,保留二项式4x21中的任何一项,都是“一个整式的完全平方”,故所加单项式还可
以是-1或者-4x
2,此时有4x21-1=4x2=(2x)2,或者4x21-4x2=12.综上分析,可知所加
上的单项式可以是.
解:
±4x、4x
4、-1或-4x2
【阅读笔记】成为一个整式的完全平方,并不一定指的是多项式形式的完全平方,还有
可能是单项式的完全平方。
因为整式是单项式和多项式的统称。
虽然经常见到的多项式形式
的完全平方,但单项式的完全平方也是成立的
【题评解说】本题是开放性的题目,主要考察学生对于完全平方公式的熟悉程度。
如果
能把所有的情况都想清楚,当然更好。
【建议】题目的要求一定要看清楚,只要填写正确的一个即可,其他情况不做强制要求。
【搭配练习】
第7页共16页
若一个多项式的平方的结果为4a2+12ab+m2,则m=()
A.9b2B.±3b2C.3bD.±3b
例3计算:
(1)
a
12
a
2
1
4
a
1
2
(2)xyzxyzxyzxyz
2
(3)a3b2c
难度等级:
B
【思维直现】仔细观察式子,都可以利用平方差公式和完全平方公式。
在使用之前,要
运用乘法的交换律和加法的结合律,还需要用到添括号法则,把式子变成符合公式的标准形
式
解:
(1)
a
1211112
aaaaa
24222
1
4
1214
2aa
a
44
1
16
(2)xyzxyzxyzxyz
xyzxyzxyzxyz
2
x
yz
2
2
x
y
z
2
2
x
222
yzxyz
22
yzyz
y
2
2
yz
2
z
y
2
2yz
2
z
2
y2yz
2
z
2
y
2
yz
2
z
4yz
(3)
a
2322322322
3b2cabcababcc
2
2
a
6ab
2
9b
4ac
12bc
2
4c
2
a
2
9b
2
4c
6ab4ac12bc
或者
a
23223232
22
3b2cabcaabcbc
2
第8页共16页
2
a
6ab4ac
2
9b
12bc
2
4c
2
a
2
9b
2
4c
6ab4ac12bc
【阅读笔记】乘法公式主要就是平方差和完全平方,展开式子的时候会分成一个单项式
和一个单项式、一个单项式和一个多项式或一个多项式和一个多项式,而且运用一次公式后,
可能还会需要第二次展开,层层递进。
【题评解说】题1只需要交换第二个式子和第三个式子,其余的都很容易看出做法;题
2在使用平方差公式时,最主要的是多项式的变形;题3的多项式是三项,所以在使用完全
平方公式的时候,要把多项式进行拆分,拆成一个单项式和一个多项式的形式
【建议】按照法则,一步一步,每经过一个步骤,对照公式中a、b的形式和结论来求
出最后结果
【搭配练习】
计算:
(1)(c-2b+3a)(2b+c-3a)
(2)(a-
1
6
b)(2a+
1
3
2
b)(3a
+
1
12
2
b
);
2
(3)(2a-3b+1)
例4请你观察右边图形,依据图形面积间的关系,不需要添加辅助
线,便可得到一个你非常熟悉的公式,这个公式是.
难度等级:
A
【思维直现】图中所表示的整个正方形的面积是x
2,两个小正方形
的面积分别是y
2与(x-y)2,利用这些数据关系,结合图形便可以写出
以下乘法公式:
(x-y)
2=x2-2xy+y2;
解:
(x-y)
2=x2-2xy+y2
【阅读笔记】乘法公式不只有代数式子,根据几何图形的特征,研究其中蕴含的数学公
式,是“数形结合思想”的具体体现。
【题评解说】本题是数形结合的典型试题,从不同的角度去理解题目,理解其中的含义。
【建议】在进行知识点讲解的时候,需要从代数和几何两个方面,推出乘法公式
例5.计算:
11111
(1)
(1)
(1)
(1)
24815
22222
.
第9页共16页
难度等级:
C
【思维直现】观察本题容易发现可以利用平方差公式,但缺少因式
1
(1)
2
,如果能通
过恒等变形构造一个因式
1
(1)
2
,则运用平方差公式就会迎刃而解。
解:
1
1
2
1
1111
11
248215
222
21
1
2
1
1
2
1
1
2
2
1
1
4
2
1
1
8
2
1
15
2
21
1
2
1
1
2
1
1
2
2
1
1
4
2
1
1
8
2
1
15
2
21
1
2
2
1
1
2
2
1
1
4
2
1
1
8
2
1
15
2
21
1
4
2
1
1
4
2
1
1
8
2
1
15
2
21
1
8
2
1
1
8
2
1
15
2
21
1
16
2
1
15
2
212
1
16
2
1
15
2
2
2
1
15
2
1
15
2
【阅读笔记】在进行多项式乘法运算时,应先观察给出的算式是否符合或可转化成某公
式的形式,如果符合则应用公式计算,若不符合则运用多项式乘法法则计算。
【题评解说】本题还是考察的平方差公式的运用。
当题目有可能转化成所熟悉的式子时,
要创造条件,但同时也不能改变题意,要求能够灵活地,熟练地运用所学解决问题。
【建议】转换成平方差形式的时候,要说明转化的原因,并且举出例子。
【搭配练习】
计算
2+1)(34+1)(38+1)+1
1、(3+1)(3
1
2、(1-2
2
)(1-
1
2
3
)(1-
1
2
4
)⋯(1-
1
2
9
)(1-
1
2
10
)
第10页共16页
例6:
已知ab3,
1
ab,求:
2
2+b2
(2)a2+ab+b2(3)a4+b4
(1)a
难度等级:
A
【思维直现】从已知条件出发很难得知题目的真正意图,再看看结论,和完全平方公式
相似,那么完全平方公式的变形就可以满足了,题
(1)就是在
2
a的基础上减去了2ab;
b
题
(2)可以看做
2
ab的基础上减去了ab,或是在题
(1)的基础上加上了ab;题(3)
就是在题
(1)结论的基础上,把
2b
2
a平方后减去
22
2ab,而
22
2ab即是
2
2ab。
解:
(1)∵ab3,
ab
1
2
∴
ab
2a2abb
22
即
1
222
3a2b
2
2b2
2
∴a318
(2)∵ab3,
ab
1
2
∴
ab
2a22abb
2
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