第一章 有理数 单元总结 学年七年级数学上册同步精品课堂解析版.docx
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第一章有理数单元总结学年七年级数学上册同步精品课堂解析版
第一章有理数
单元总结
【思维导图】
【知识要点】
知识点一有理数基础概念
⏹有理数(概念理解)
有理数的分类(两种)(见思维导图)
⏹数轴
规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
✓数轴的三要素:
原点、正方向、单位长度(重点)
任何有理数都可以用数轴上的点表示,有理数与数轴上的点是一一对应的。
✓数轴上的点表示的数从左到右依次增大;原点左边的数是负数,原点右边的数是正数.
⏹相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数.(绝对值相等,符号不同的两个数叫做互为相反数)
⏹绝对值
正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。
(互为相反数的两个数的绝对值相等。
)
⏹比较大小
(1)数轴上两个点表示的数,右边的总比左边的大。
正数大于0,负数小于0,正数大于负数。
(2)方法总结:
两个正数比较大小,与小学一致;正数与零比较,正数大于零;正数与负数比较,正数大于负数;负数与零比较,负数小于零;两个负数比较,绝对值大的反而小。
【典例分析】
1.
=7,则x=___7或-7____.
【解析】绝对值概念的理解。
2.按从小到大的顺序用“<”号把下列各数连接起来:
_-3<-1.6<0<1.6<3___.
1.6,﹣1.6,0,3,﹣3.
【解析】
方法一:
在数轴上标出,右边的数字大于左边的。
方法二:
利用绝对值比较大小(注意两个负数如何比较大小)。
3.若∣2x-4∣+(3y+9)2=0,则x+y=_____-1________
【解析】本题考查非负数的应用及代数式的求值。
根据已知条件可知,2x-4=0和3y+9=0,求得x,y的值。
4.当m=___-1___时,代数式3m-1与2(1-m)的值互为相反数。
【解析】本题考查相反数的概念和解一元一次方程,根据已知条件,列出方程求解即可。
知识点二有理数的加减法
⏹有理数的加法(重点)
有理数的加法法则:
(先确定符号,再算绝对值)
◆同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;
◆异号两数相加,绝对值不相等时,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;
◆互为相反数的两个数相加得0;(如果两个数的和为0,那么这两个数互为相反数)
◆一个数同0相加,仍得这个数。
有理数的加法运算律:
◆两个数相加,交换加数的位置,和不变。
即
;
◆三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变。
即
。
⏹有理数的减法
有理数的减法法则:
减去一个数等于加上这个数的相反数。
即
。
注:
两个变化:
减号变成加号;减数变成它的相反数。
⏹有理数的加减混合运算
规则:
运用减法法则将加减混合运算统一为加法进行运算
步骤:
(1)减法化加法;
(2)省略括号和加号;
(3)运用加法运算律使计算简便;
(4)运用有理数加法法则进行计算。
注:
运用加法运算律时,可按如下几点进行:
(1)同号的先结合;
(2)同分母的分数或者比较容易通分的分数相结合;
(3)互为相反数的两数相结合;
(4)能凑成整数的两数相结合;
(5)带分数一般化为假分数或者分为整数和分数两部分,再分别相加。
【典例分析】
1.若|a|=3,|b|=1,且a>b,那么a-b的值是(D)
A.4B.2C.-4D.4或2
【解析】本题考查了学生对绝对值的性质及有理数减法的理解,关键在绝对值等于一个正数的值有两个。
【详解】有题意可得,a=±3,b=±1
而a>b所以分两种情况:
1)a=3,b=1,所以a-b=2
2)a=3,b=-1,所以a-b=4所以选D
2.将6-(+3)+(-2)改写成省略括号的和的形式是(A)
A.6-3-2B.-6-3-2C.6-3+2D.6+3-2
【解析】本题考察了有理数加减混合运算,将算式写成省略括号的形式必须统一成加法后,才能省略括号和加号。
知识点三有理数的乘除法
⏹有理数的乘法(重点)
有理数的乘法法则:
(1)两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。
(2)任何数同0相乘,都得0.
倒数:
乘积是1的两个有理数互为倒数。
0没有倒数。
(数
的倒数是
)
多个有理数相乘的法则及规律:
(1)几个不是0的数相乘,负因数的个数是奇数时,积是负数;负因数的个数是偶数时,积是正数。
确定符号后,把各个因数的绝对值相乘。
(2)几个数相乘,有一个因数为0,积为0;反之,如果积为0,那么至少有一个因数是0.
注:
带分数与分数相乘时,通常把带分数化成假分数,再与分数相乘。
⏹有理数的乘法运算律
乘法交换律:
两个数相乘,交换因数的位置,积相等。
即
。
乘法结合律:
三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等。
即
。
乘法分配律:
一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加。
即
。
⏹有理数的除法
有理数除法法则:
(1)除以一个不为0的数,等于乘以这个数的倒数。
即
。
(2)两数相除(被除数不为0),同号得正,异号得负,并把绝对值相除。
0除以任何不为0的数,都得0。
步骤:
先确定商的符号,再算出商的绝对值。
⏹有理数的乘除混合运算
运算顺序:
从左往右进行,将除法化成乘法后,进行约分计算。
(注:
带分数应首先化为假分数进行运算)
⏹有理数的四则混合运算
运算顺序:
先乘除,后加减,有括号要先算括号里面的。
注:
除法一般先化为乘法,带分数化为假分数,合理使用运算律
【典例分析】
1.(2019·黑龙江初一期末)计算
(1)
(2)
【答案】1.
(1)-19;
(2)
.
【分析】
(1)原式利用除法法则变形,再利用乘法分配律计算即可求出值;
(2)原式先计算乘方运算,再计算乘除运算即可求出值.
【详解】
(1)原式=
×24=-16+12-15=-19;
(2)原式=
.
知识点四有理数的乘方
⏹乘方(重点)
一般地,
个相同的因数
相乘,即
,记作
,读作
的
次方。
求
个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂。
在
中,
叫做底数,
叫做指数。
读作
的
次方,也可以读作
的
次幂。
乘方的规律:
负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。
正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0.
⏹有理数的混合运算
运算顺序:
(1)先乘方,再乘除,最后加减;
(2)同级运算,从左到右进行;
(3)如有括号,先算括号里的,按小括号、中括号、大括号的顺序。
⏹科学记数法
把一个大于10的数记成
的形式,其中
是整数数位只有一位的数(即
),
是正整数,这样的记数方法叫科学记数法。
(用科学记数法表示一个数时,10的指数比原数的整数位数少1.)
把
还原成原数时,只需把
的小数点往前移动
位。
⏹近似数和有效数字
在实际问题中,由“四舍五入”得到的数或大约估计的数都是近似数。
(近似数小数点后的末位数是0的,不能去掉0.)
一个近似数从左边第一位非0的数字起,到末位数字止,所有的数字都是这个数的有效数字。
一个近似数有几个有效数字,就称这个近似数保留几个有效数字。
精确度:
表示一个近似数与准确数的接近程度。
一个近似数,四舍五入到哪一位,就称这个数精确到哪一位。
【典例分析】
1.下列等式正确的是(C)
①0.000126=1.26×10-4②3.10×104=31000
③1.1×10-5=0.000011④12600000=1.26×106
A.①②B.②④C.①②③D.①③④
【解析】试题分析:
根据科学记数法的意义,能够把较大或较小的数用科学记数法表示,或把科学记数法表示的数,还原即可,由0.000126=1.26×10-4,故①正确;3.10×104=31000,故②正确;1.1×10-5=0.000011,故③正确;12600000=1.26×107,故④不正确.
故选:
C
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
2.2.30×
精确到______位,有____个有效数字
【答案】万3
【分析】
用科学记数法表示的a×10n的形式,它的有效数字只与前面的a有关,与10的多少次方无关;
精确度只需看a的末位数字实际在哪一位,则精确到了哪一位.
【详解】
近似数2.30×106精确到的位数为万位,有效数字的个数为三个,分别是2、3、0.
故答案为:
万,3.
【点睛】
此题主要考查了确定近似数的精确度和有效数字.对于用科学记数法表示的数,有效数字的计算方法以及与精确到哪一位是需要识记的内容.
3.计算:
.
【答案】5
【分析】先去掉绝对值符号、对负整数指数幂、零指数幂分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果.
【详解】解:
原式
.
【点睛】
本题主要考查了实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、绝对值考点的运算.
4.计算:
(﹣1)1001+(π﹣2)0+(
)2.
【答案】
【分析】直接利用零指数幂的性质以及指数幂的性质分别化简得出答案.
【详解】原式=﹣1+1+
=
.
【点睛】此题主要考查了实数运算,正确化简各数是解题关键.
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