小学数学比例解行程问题含答案.docx
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小学数学比例解行程问题含答案.docx
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小学数学比例解行程问题含答案
比例解行程问题
知识框架
比例的知识是小学数学最后一个重要内容,从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角色。
从一个工具性的知识点而言,比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势,往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上,使得一道看似很难的题目变得简单明了。
比例的技巧不仅可用于解行程问题,对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。
我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况,我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用v甲,v乙;t甲,t乙;s甲,s乙来表示,大体可分为以下两种情况:
1.当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时,经过同一段时间后,他们走过的路程之比就等于他们的速度之比。
s甲v甲t甲,这里因为时间相同,即t甲t乙t,所以由t甲s甲,t乙s乙
s乙v乙t乙v甲v乙
得到ts甲s乙,s甲v甲,甲乙在同一段时间t内的路程之比等于速度比
v甲v乙s乙v乙
2.当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时,走过相同的路程时,2个物体所用的时间之比等于他们速度的反比。
s甲v甲t甲,这里因为路程相同,即s甲s乙s,由s甲v甲t甲,s乙v乙t乙
s乙v乙t乙
得sv甲t甲v乙t乙,v甲t乙,甲乙在同一段路程s上的时间之比等于速度比的反比。
v乙t甲
例题精讲
【例1】甲、乙两人同时A地出发,在A、B两地之间匀速往返行走,甲的速度大于乙的速度,甲每次到达A地、B地或遇到乙都会调头往回走,除此以外,两人在AB之间行走方向不会改变,已知两
人第一次相遇的地点距离B地1800米,第三次的相遇点距离B地800米,那么第二次相遇的地点距离B地。
【考点】行程问题之比例解行程【难度】3星【题型】填空
【解析】设甲、乙两人的速度分别为v1、v2,全程为s,第二次相遇的地点距离B地x米。
由于甲的速度大于乙的速度,所以甲第一次遇到乙是甲到达B地并调头往回走时遇到乙的,这时甲、乙合走了两个全程,第一次相遇的地点与B地的距离为v12ssv1v2s,那v1v2v1v2
么第一次相遇的地点到B地的距离与全程的比为v1v2;
v1v2两人第一次相遇后,甲调头向B地走,乙则继续向B地走,这样一个过程与第一次相遇前
相似,只是这次的“全程”为第一次相遇的地点到B地的距离,即1800米。
根据上面的分析可知第二次相遇的地点到B地的距离与第一次相遇的地点到B地的距离的比为v1v2;v1v2类似分析可知,第三次相遇的地点到B地的距离与第二次相遇的地点到B地的距离的比为v1v2;那么,800x,得到x1200,故第二次相遇的地点距离B地1200米。
v1v2x1800
答案】1200
巩固】甲、乙两人都从A地经B地到C地。
甲8点出发,乙8点45分出发。
乙9点45分到达B地时,甲已经离开B地20分。
两人刚好同时到达C地。
问:
到达C地时是什么时间?
考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答解析】10点33分。
解:
到达B地甲用85分,乙用60分,也就是说,甲走85分的路程,乙要少走2520
分。
由此推知,从B到C,乙要比甲少走20分,即乙要走602048分。
所以两人同时到C地
25的时间为10点33分。
答案】10点33分
例2】某人沿公路前进,迎面来了一辆汽车,他问司机:
“后面有骑自行车的人吗?
”司机回答:
“10
分前我超过一个骑自行车的人。
”这人继续走了10分,遇到了这个骑自行车的人。
如果自行车的速度是人步行速度的三倍,那么汽车速度是人步行速度的多少倍?
考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
解析】7倍。
提示:
汽车行10分的路程,等于步行10分与骑车20分行的路程之和。
答案】7倍
巩固】从甲地到乙地全部是山路,其中上山路程是下山路程的2。
一辆汽车上山速度是下山速度的一半,
3
从甲地到乙地共行7时。
这辆汽车从乙地返回甲地需要多少时间?
考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答解析】8时。
解:
根据题意,上山与下山的路程比为2∶3,速度比为1:
2,所用时间比为3
21:
322:
4:
3。
因为从甲地到乙地共行7时,所以上山用4时,下山用3时。
2
2倍,所以从乙到丙用3×2=6
如下图所示,从乙地返回甲地时,因为下山的速度是上山的
时),从丙到甲用4÷2=2(时),共用6+2=8(时)。
答案】8时
干分后,甲火车从A站出发开往B站。
上午9:
00两列火车相遇,相遇的地点离A,B两站的距
离的比是15∶16。
甲火车从A站发车的时间是几点几分?
答案】8点15分
巩固】甲、乙两列火车的速度比是5∶4。
乙车先从B站开往A站,当走到离B站72千米的地方时,甲车从A站发车开往B站。
如果两列火车相遇的地方离A,B两站距离的比是3∶4,那么A,B两站之间的距离为多少千米?
考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答解析】315千米。
解:
从甲火车出发算起,到相遇时两车走的路程之比为5∶4=15∶12,而相遇点距A,
B两站的距离之比是3∶4=15∶20,说明相遇前乙车走的72千米占全程的20128,所以全
152035
程为728315(千米)
35
答案】315千米
例4】甲、乙两班学生到离校24千米的飞机场参观,但只有一辆汽车,一次只能乘坐一个班的学生.为了尽快到达飞机场,两个班商定,由甲班先坐车,乙班先步行,同时出发,甲班学生在途中某地下车后步行去飞机场,汽车则从某地立即返回接在途中步行的乙班学生.如果甲、乙两班学生步行速度相同,汽车速度是他们步行速度的7倍,那么汽车应在距飞机场多少千米处返回接乙班学生,才能使两班同时到达飞机场?
考点】行程问题之比例解行程【难度】3星【题型】解答解析】设学生步行时速度为“1”,那么汽车的速度为“7”,有如下示意图.
我们让甲班先乘车,那么当乙班步行至距学校l处,甲班已乘车至距学校7l处.此时甲班下车步行,汽车往回行驶接乙班,汽车、乙班将相遇.
汽车、乙班的距离为7l-l=6l,两者的速度和为7+1=8,所需时间为6l÷8=0.75l,这段时间乙班学生又步行0.75l的路程,所以乙班学生共步行l+0.75l=1.75l后乘车而行.
应要求甲、乙班同时出发、同时到达,且甲、乙两班步行的速度相等,所以甲班也应在步行1.75l路程后达到飞机场,有甲班经过的全程为7l+1.75l=8.75l,应为全程.
所以有7l=24÷8.75×7=19.2千米,即在距学校19.2千米的地方甲班学生下车步行,此地距飞机场24-19.2=4.8千米.
即汽车应在距飞机场4.8千米的地方返回接乙班学生,才能使两班同时到达飞机场.
答案】4.8千米巩固】小明和小光同时从解放军营地回校执行任务,小光步行速度是小明的4倍,营地有一辆摩托车,
3只能搭乘一人,它的速度是小明步行速度的16倍。
为了使小光和小明在最短时间内到达,小明和小光需要步行的距离之比是多少?
考点】行程问题之比例解行程【难度】3星【题型】解答解析】11∶15。
解:
设开始时小光乘车,小明步行;车行至B点,小光下车步行,车调头去接小明;车
到A点接上小明后调头,最后小明、小光同时到达学校(见下图)。
由题中条件,车速是小明速度的16倍,是小光速度的12倍。
设从营地到A点的距离为a。
当车接到小明时,小明走了a,车行了16a,因为车开到B后又返回到A,所以A到B的距离为7.5a。
车放下小光后,直到又追上小光,比小光多行15a。
由于车速是小光的12倍,所以小光走的
距离是车追上距离的1,即15a。
小明和小光步行的距离之比是a:
15a11:
15
111111
答案】11:
15
C、A、B爬行,然后返回自己出发的洞穴。
如果甲、乙、丙三只蚂蚁爬行的路径
相同,爬行的总距离都是7.3米,所用时间分别是6分钟、7分钟和8分钟,蚂蚁乙从洞穴B到达洞穴C时爬行了()米,蚂蚁丙从洞穴C到达洞穴A时爬行了()米。
考点】行程问题之比例解行程【难度】3星【题型】填空解析】2.4;2.1答案】2.4;2.1
巩固】在一圆形跑道上,甲从A点、乙从B点同时出发反向而行,6分后两人相遇,再过4分甲到达
B点,又过8分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分?
解析】由题意知,甲行4分相当于乙行6分.(抓住走同一段路程时间或速度的比例关系)从第一次相遇到再次相遇,两人共走一周,各行12分,而乙行12分相当于甲行8分,所以甲环行一周需12+8=20(分),乙需20÷4×6=30(分).
答案】30分
例6】小芳从家到学校有两条一样长的路,一条是平路,另一条是一半上坡路,一半下坡路.小芳上学走这两条路所用的时间一样多.已知下坡的速度是平路的1.6倍,那么上坡的速度是平路速度的多少倍?
考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答解析】设小芳上学路上所用时间为2,那么走一半平路所需时间是1.由于下坡路与一半平路的长度相同,根据路程一定,时间比等于速度的反比,走下坡路所需时间是11.65,因此,走上坡路
8
51111
需要的时间是2511,那么,上坡速度与平路速度的比等于所用时间的反比,为1:
118:
11,
888
所以,上坡速度是平路速度的8倍.
11
答案】8倍
11
巩固】每天早晨,小刚定时离家步行上学,张大爷也定时出家门散步,他们相向而行,并且准时在途中相遇.有一天,小刚提早出门,因此比平时早7分钟与张大爷相遇.已知小刚步行速度是每分钟70米,张大爷步行速度是每分钟40米,那么这一天小刚比平时早出门多少分钟?
考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
解析】比平时早7分钟相遇,那么小刚因提早出门而比平时多走的路程为小刚和张大爷7分钟合走的路程,所以当张大爷出门时小刚已经比平时多走了(70+40)×7=770米,因此小刚比平时
早出门770÷70=11分钟.
答案】11分钟
例7】一辆车从甲地开往乙地,如果把车速提高20%,那么可以比原定时间提前1时到达;如果以原速行驶100千米后再将车速提高30%,那么也比原定时间提前1时到达。
求甲、乙两地的距离。
考点】行程问题之比例解行程【难度】3星【题型】解答
55
解析】
360千米。
解:
时间与速度成反比,车速提高20%,所用时间为原来的5,原来需要115666
时)。
同理,车速提高了
30%,所用时间是原来的10。
因为提前1小时到达,所以车速提高后
13
巩固】王叔叔开车从北京到上海,从开始出发,车速即比原计划的速度提高了1/9,结果提前一个半小时到达;返回时,按原计划的速度行驶280千米后,将车速提高1/6,于是提前1小时40分到达北京.北京、上海两市间的路程是多少千米?
考点】行程问题之比例解行程【难度】3星【题型】解答解析】从开始出发,车速即比原计划的速度提高了1/9,即车速为原计划的10/9,则所用时间为原计划
的1÷10/9=9/10,即比原计划少用1/10的时间,所以一个半小时等于原计划时间的1/10,原计划时间为:
1.5÷1/10=15(小时);按原计划的速度行驶280千米后,将车速提高1/6,即此后车速为原来的7/6,则此后所用时间为原计划的1÷7/6=6/7,即此后比原计划少用1/7的时间,所以1小时40分等于按原计划的速度行驶280千米后余下时间的1/7,则按原计划的速度行驶280千米后余下的时间为:
5/3÷1/7=35/3(小时),所以,原计划的速度为:
84(千米/时),北京、上海两市间的路程为:
84×15=1260(千米).
答案】1260千米
例8】一列火车出发1小时后因故停车0.5小时,然后以原速的3前进,最终到达目的地晚1.5小
4
时.若出发1小时后又前进90公里再因故停车0.5小时,然后同样以原速的3前进,则到达
4
目的地仅晚1小时,那么整个路程为多少公里?
考点】行程问题之比例解行程【难度】3星【题型】解答
解析】出发1小时后因故停车0.5小时,然后以原速的3前进,最终到达目的地晚1.5小时,
4
所以后面以原速的3前进的时间比原定时间多用1.50.51小时,
4
而速度为原来的3,所用时间为原来的4,
43
所以后面的一段路程原定时间为1(41)3小时,原定全程为4小时;
3
出发1小时后又前进90公里再因故停车0.5小时,然后同样以原速的3前进,则到达目的地
4
仅晚1小时,所以后面以原速的3前进的时间比原定时间多用10.50.5小时
4
所以后面的一段路程原定时间为0.5(41)1.5小时,
3
类似分析可知又前进90公里后的那段路程需要:
31.51.5小时而原定全程为4小时,所以整个路程为901.54240公里.
答案】240公里
巩固】甲、乙两人同时从山脚开始爬山,到达山顶后就立即下山,他们两人的下山速度都是各自上山速度的1.5倍,而且甲比乙速度快。
两人出发后1小时,甲与乙在离山顶600米处相遇,当乙到达山顶时,甲恰好到半山腰。
那么甲回到出发点共用多少小时?
考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答解析】甲如果用下山速度上山,乙到达山顶时,甲恰好到半山腰,
说明甲走过的路程应该是一个单程的1×1.5+1/2=2倍,就是说甲下山的速度是乙上山速度的2倍。
两人相遇时走了1小时,这时甲还要走一段下山路,这段下山路乙上山用了1小时,所以甲下山要用1/2小时。
甲一共走了1+1/2=1.5(小时)
答案】1.5小时
例9】甲、乙两人从相距490米的A、B两地同时步行出发,相向而行,丙与甲同时从A出发,在甲、乙二人之间来回跑步(遇到乙立即返回,遇到甲也立即返回).已知丙每分钟跑240米,甲每分钟走40米,当丙第一次折返回来并与甲相遇时,甲、乙二人相距210米,那么乙每分钟走米;甲下一次遇到丙时,甲、乙相距米.
考点】行程问题之比例解行程【难度】4星【题型】填空解析】如图所示:
甲乙
丙
假设乙、丙在C处相遇,然后丙返回,并在D处与甲相遇,此时乙则从走C处到E处.根据题意可知DE210米.由于丙的速度是甲的速度的6倍,那么相同时间内丙跑的路程是甲走的路程的6倍,也就是从A到C再到D的长度是AD的6倍,那么CD(6ADAD)22.5AD,AC3.5AD,可见CD5AC.那么丙从C到D所用的时间是从A到C所用时间的5,那么这
77段时间内乙、丙所走的路程之和(CD加CE)是前一段时间内乙、丙所走的路程之和(AC加BC,
55
即全程)的5,所以CDCE4905350,而CDCEDE210,可得CD280,CE70.77
相同时间内丙跑的路程是乙走的路程的280704倍,所以丙的速度是乙的速度的4倍,那么乙的速度为240460(米/分),即乙每分钟走60米.
当这一次丙与甲相遇后,三人的位置关系和运动方向都与最开始时相同,只是甲、乙之间的距离
2103
改变了,变为原来的2103,但三人的速度不变,可知运动过程中的比例关系都不改变,那么
4907
当下一次甲、丙相遇时,甲、乙之间的距离也是此时距离的3,为210390米.
77
答案】90米
巩固】A,B两地相距125千米,甲、乙二人骑自行车分别从A,B两地同时出发,相向而行.丙骑摩托
车以每小时63千米的速度,与甲同时从A出发,在甲、乙二人间来回穿梭(与乙相遇立即返回,与甲相遇也立即返回).若甲车速度为每小时9千米,且当丙第二次回到甲处时(甲、丙同时出发的那一次为丙第零次回到甲处),甲、乙二人相距45千米.问:
当甲、乙二人相距20千米时,甲与丙相距多少千米?
解析】我们设乙的速度为9x,即甲的x倍.
1”,则乙走了“x”,丙走了“7”,所以有“7”+“x”
当乙、丙第一次相遇的时候,设甲走了“
前行
“6”
×
9=“3”
丙又行了“6”
-“3”“21”
,乙又行了
“3”x“3x”所以,甲、乙此时相距
639
4
44
44
21”
3“x”
3
“3(7
3125
x)”
(7x)3
7x
125
千米.
4
4
4
47x
4
7x
6”.这样丙第一次回到甲时,甲又向
2
37x
12545,
所以7
2
x
16,7x
4
解得x
7
所以乙的速度为9x
977
47x
7
x
257x
5
9
9
千米/小时.
当第三次甲、丙相遇时,甲、
乙相距
3
7x
45
3
445
3
4527千米.
4
7x
4
5
5
当第四次甲、丙相遇时,甲、乙相距
丙第三次和第四次相遇的某个时刻.
381
32781千米,而题中甲、乙相距20千米,此时应在甲、
55
千米即可.
又因为丙的速度是甲的7倍,所以丙倒退的路程应为甲的7倍,于是甲、丙相距
18701(71)1170117.1千米
当甲、乙二人相距20千米时,甲与丙相距17.1千米.
评注:
甲从A地往B地出发,乙从B地往C出发,丙从A地开始在甲乙之间来回往返跑动
当甲丙第
1次相遇时所需的时间为
t,(甲、
丙同时出发时,
算第0次相遇)
则甲丙第
2次相遇时还所需的时间为
v丙v
甲v丙
v乙
乙t
v丙v甲v丙
v乙
则甲丙第
3次相遇时还所需的时间为
v丙
v甲v丙
2
v乙
t
v丙
v甲v丙
v乙
则甲丙第
n次相遇时还所需的时间为
v丙
v甲v丙
v乙
n1
t
v丙
v甲v丙
v乙
由此可知,丙在相邻的2次相遇之间所走路程为等比数列答案】17.1千米
例10】从甲地到乙地,需先走一段下坡路,再走一段平路,最后再走一段上坡路。
其中下坡路与上坡路的距离相等。
陈明开车从甲地到乙地共用了3小时,其中第一小时比第二小时多走15千米,第二小时比第三小时多走25千米。
如果汽车走上坡路比走平路每小时慢30千米,走下坡路比走平路每小时快15千米。
那么甲乙两地相距多少千米?
考点】行程问题之比例解行程【难度】5星【题型】解答解析】⑴由于3个小时中每个小时各走的什么路不明确,所以需要先予以确定.
从甲地到乙地共用3小时,如果最后一小时先走了一段平路再走上坡路,也就是说走上坡路的路程不需要1小时,那么由于下坡路与上坡路距离相等,而下坡速度更快,所以下坡更用不了1小
时,这说明第一小时既走完了下坡路,又走了一段平路,而第二小时则是全在走平路.这样的话,
由于下坡速度大于平路速度,所以第一小时走的路程小于以下坡的速度走1小时的路程,而这个
路程恰好比以平路的速度走1小时的路程(即第二小时走的路程)多走15千米,所以这样的话第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于15千米,不合题意,所以假设不成立,即第三
小时全部在走上坡路.如果第一小时全部在走下坡路,那么第二小时走了一段下坡路后又走了一段平路,这样第二小时走的路程将大于以平路的速度走1小时的路程,而第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于15千米,也不合题意,所以假设也不成立,故第一小时已走完下坡路,还走了一段平路.所以整个行程为:
第一小时已走完下坡路,还走了一段平路;第二小时走完平路,还走了一段上
坡路;第三小时全部在走上坡路.
⑵由于第二小时比第三小时多走
25千米,而走平路比走上坡路的速度快每小时
30千米.所以第
二小时内用在走平路上的时间为
51
25305小时,其余的1小时在走上坡路;
66
因为第一小时比第二小时多走了
15千米,而1小时的下坡路比上坡路要多走
6
1
30157.5千
6
米,那么第一小时余下的下坡路所用的时间为157.5151小时,所以在第一小时中,有
2
112小时是在下坡路上走的,剩余的1小时是在平路上走的.
2633
因此,陈明走下坡路用了2小时,走平路用了157小时,走上坡路用了117小时.
336666
⑶因为下坡路与上坡路的距离相等,所以上坡路与下坡路的速度比是2:
74:
7.那么下坡路的
36
小时903060千米.
答案】245千米
巩固】一座石台的下底面是边长为10米的正方形,它的一个顶点A处有一个虫子巢穴,虫甲每分爬6厘米,虫乙每分爬10厘米,甲沿正方形的边由A→B→C→D→A不停的爬行,甲先爬行2厘米后,乙沿甲爬行过的路线追赶甲,当乙遇到甲后,乙就立即沿原路返回巢穴,然后乙再沿甲爬行过的路线追赶甲⋯⋯在甲爬行的一圈内,乙最后一次追上甲时,乙爬行了多长时间?
考点】行程问题之比例解行程【难度】3星【题型】解答解析】213分。
解:
见下表,其中“乙下次要比甲多爬行的路程”=“甲已爬行路程”×2。
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- 小学 数学 比例 行程 问题 答案