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光纤光栅的理论研究
第1章光纤光栅光学性质的研究
光纤光栅是一种全光纤的滤波器件,它的光学性质决定了它的广泛应用。
研究光纤光栅光学性质的基本理论是耦合波理论。
基于耦合波理论的传输矩阵法是一种快速数值模拟非均匀光纤光栅光学特性的方法。
在本章,系统地总结了应用耦合波理论研究光纤光栅的光学性质的方法。
光栅反射带宽是其作为滤波器的主要性能指标,本章研究了光栅参数对光栅反射带宽的影响。
其它主要研究包括寻找传输矩阵法中分割段数的最优值,各种参数对线性啁啾光纤光栅光学性质的影响,包括反射谱和时延特性受光栅长度、光纤折射率微扰幅度、啁啾系数和光波从不同方向入射时的影响,以及各种切趾函数对光纤光栅的作用。
第一节研究光纤光栅的基本理论:
耦合波理论
1
光纤光栅中的折射率分布
光纤光栅中的折射率微扰是由制作时所用紫外光的场分布决定的。
一般全息曝光和相位掩模板法制作光纤光栅时的场分布具有余弦函数的形式,所以光栅的折射率微扰也具有余弦函数形式,一般可以写为:
(2.1-1)
是折射率微扰的平均值,可以看成一个光栅周期内折射率变化的直流部分,n是光栅条纹的可见度,L是光栅的周期,f(z)可以用来描述光栅的啁啾。
光纤光栅的光学性质就决定于上式中各个参数的选择,我们将它们统称为光栅参数。
光纤光栅的光学性质就由这些光栅参数决定,通过选择它们沿光纤方向不同的变化形式,可以得到适用于不同目的的光栅。
图2.1-1是几中常见的光纤光栅的折射率微扰的分布示意图:
1.均匀光纤光栅:
各个光栅参数沿光纤方向是常量,这种光栅可以得到解析的理论分析结果,是耦合波理论分析光纤光栅光学性质的出发点。
2.线性啁啾光纤光栅:
光栅周期L沿光纤方向是线性变化的量,应用于色散补偿等方面。
3.折射率微扰平均值沿光纤方向是一个高斯型分布:
实际制作的光纤光栅很多都属于这种类型。
4.相移光栅:
在光栅周期性结构中存在一个相位移动,一般是。
可以应用于透射型滤波器。
5.moire光栅:
折射率微扰幅度的轮廓是一个余弦函数,而平均值是一个常数。
6.超结构光栅:
由间隔一定的微均匀光纤光栅(几百个周期结构)组成。
2耦合波理论
研究电磁场在光纤光栅这样的周期性波导中传播的基本理论是耦合波理论[1]。
假设电磁场横向分量在光纤中的传播可以看成没有折射率微扰时标准光纤的模式的叠加:
(2.1-2)
式中Aj(z)和Bj(z)分别是第j个模分别沿+z和-z方向传播时缓变的幅度函数。
是第j个模的横向分量的场分布,可以是束缚模、包层模和辐射模。
在理想的、没有折射率微扰的光纤中,这些模相互正交没有能量交换。
在紫外光的照射下,光纤芯部的折射率发生改变。
这种变化很小,一般为10-4,是一种微扰。
折射率微扰的引入使得模式之间发生能量交换,即发生模式耦合。
一个模式沿光纤方向幅度的变化是所有模式相互作用的结果[2]:
(2.1-3)
式中
是横向耦合因子,可以表示为:
(2.1-4)
其中De(z)是相对介电常数受到的微扰,它和光纤有效折射率变化之间的关系为
(2.1-5)
很明显如果没有微扰,耦合因子就等于零,模式之间的能量交换就不存在。
类似,但比较小,一般忽略不计。
将式2.1-5带入式2.1-4,耦合因子可以被表示成:
(2.1-6)
其中
,在这里我们只对纤芯积分,这是由于折射率变化主要发生在纤芯,而在包层折射率微扰几乎没有。
由式我们可以把skj看成直流耦合因子,而kkj是交流耦合因子。
光纤光栅的主要作用是把波长为布拉格波长附近的光波耦合到模式相同但传播方向相反的模式。
在单模光纤中束缚模只有一种,如果入射波为A(Z)反射波是B(Z),式2.1-3所描述的耦合波方程可以简化为下式:
(2.1-7)
式中
(2.1-8)
而d是传播常数失配,定义为:
,lD=2neffL定义为光栅的布拉格波长。
对于单模布拉格光栅,我们有如下关系:
,
。
式中h是一个接近1的数值,物理含义是光纤芯部中电磁场的能量占总能量的百分比。
式2.1-6,2.1-7,2.1-8是我们研究光纤光栅光学特性的出发点。
第二节均匀光纤光栅的光学特性
均匀光纤光栅是最简单的光纤光栅,其耦合波方程有解析解,因此有很高的理论研究价值,光纤光栅的很多基本光学特性都可以从均匀光纤光栅的分析出发。
在很多应用中光纤光栅的反射带宽是一个重要的性能指标,本节我们主要研究了折射率微扰幅度和光栅长度对反射带宽的影响。
1
均匀光纤光栅的反射谱
如果光栅沿z方向均匀,即
是一个常数并且
,k,s,
,L均为常数。
用适当的边界条件可以解式2.1-7给出的耦合波方程。
设光栅长L,范围是从-L/2到L/2,并且前向波和反射波满足边界条件:
。
反射系数r和反射率r可以由下式求出:
,
(2.2-1)
对于均匀光纤光栅,r和r可以得到如下解析解:
(2.2-2)
(2.2-3)
图2.2-1是从式2.2-3得到的均匀光纤光栅反射谱模拟。
两条曲线的参数分别为:
dn=10-4与dn=2.5´10-5,neff=1.46,L=2cm,L=532nm,在计算中选择=1。
由反射率的表达式可以得到最大反射率为
,此时
,并且由此式我们知道峰值反射率和耦合因子与和光栅长度的乘积有关。
反射率最高处的电磁场波长为
,从此式可以看出反射率最高处波长和布拉格波长还有一点差别,这是折射率微扰的平均值不为零造成的,由此式可以知道折射率微扰平均值越大,最高反射率处的波长也越大。
在我们制作光纤光栅的过程中可以观察到随着曝光量的增加,反射峰的峰值波长也逐渐向长波长方向移动,其原因也就是曝光量的增加导致折射率微扰幅度的增加。
2均匀光纤光栅的反射带宽
测量光纤光栅的反射带宽最方便的是反射峰的全高半宽,但是这个值从理论上不能得到一个解析表达式。
然而主峰两侧反射率等于零的两波长处的差值可以作为光栅带宽评价标准。
从均匀光栅反射率公式2.2-3可以知道,如果式中分子等于零,反射率则为零。
此时我们有:
(2.2-4)
式中m是一个整数。
当m=0时,式2.2-3的分母也为零,但反射率不为零。
m=±1时r=0,这对应着主峰两侧第一对零点。
这两个波长之间的距离为:
(2.2-5)
从式中可以知道光纤长度L越大,带宽越窄,而光栅越强(折射率微扰越大)带宽越宽。
在
情况下,可以得到
,所以光栅长度是决定光栅带宽的主要因素;而
情况下,
,所以折射率微扰是主要因素,因为光波在达到光栅末尾前就已经全部被反射了。
因此应用中需要宽带宽时,可以从缩短短光栅长度和增大光栅强度两方面出发,而用长光栅和弱光栅则可以制作出满足窄带宽的光纤光栅。
3均匀光纤光栅的时延和色散
在光纤光栅的某些应用中,我们比较关心它的时延和色散特性,例如在色散补偿、脉冲整形和半导体外腔激光器中。
由于式2.2-2所描述的的反射系数是一个复数,从中可以得到光波经过光栅反射后相位变化情况。
图2.2-3显示了相位q随波长的关系。
和相位相关联的是光栅的时延和色散特性。
光波经光栅反射后的时延定义为:
(2.2-4)
而色散则是光栅对不同波长的光有不同的时延,色散定义为:
(2.2-5)
图2.2-4是均匀光栅的时延和色散曲线。
由图可以看出在反射峰值色散为零,而在反射带边才有比较大的色散,但是宽度很窄,因此均匀光纤光栅的反射不适于色散补偿。
色散关于布拉格波长是奇对称。
4包层模的耦合
在布拉格波长的短波方向有一些间隔均匀的透射峰,而相应的反射谱中却没有相应的反射峰。
这是由于光栅的作用使基模和一些包层模发生耦合。
[3]对包层模的耦合进行了详细的讨论。
图2.2-5是测量一长5mm,最大折射率微扰为2´10-3的高斯型光纤光栅得到的透射率谱[2],a)是将含有光栅的裸光纤部分浸泡在折射率匹配液中来模拟没有边界的包层,结果在l<1540nm的波长范围内出现了连续、平滑的透射结构。
这是由于束缚模耦合到了连续的辐射模。
b)是裸光纤被浸在丙三醇(glycerin)中,它的折射率要大于包层折射率,这样形成了一个类似F-P腔的结构,因此和a)情况不同的是有部分的辐射模被反射到束缚模中,因此有一些F-P腔模式决定的小锯齿。
c)是裸光纤直接暴露在空气中测量的透射率谱,在这种情况下,基模和一个个分离的包层模耦合。
第三节非均匀光纤光栅的快速计算方法-传输矩阵法
在大多数应用中,使用的并非均匀光纤光栅而是非均匀的准周期光栅。
也许最主要的原因是均匀光栅有比较强的边模,使它在许多应用中性能下降。
还有很多其它原因使我们想通过沿光纤轴方向改变光栅的参数来改变它的光学性质。
例如通过调节沿光纤方向的耦合系数的强度来实现应用中希望的top-hat型反射峰,在密集波分复用系统应用中,作为滤波器的光纤光栅的反射峰形状的好坏是一个很关键的因素。
光纤光栅用于色散补偿中需要光栅周期或者光纤有效折射率沿光纤方向发生变化,这种啁啾光纤光栅可以用于连续工作或锁模脉冲工作的半导体外腔激光器。
还有相移光栅,超结构(super-structure)光纤光栅等等都是非均匀光栅。
对于非均匀光栅,光栅参数沿光纤方向发生变化,从耦合波方程不能得到反射系数和反射率的解析解,只能用数值方法解决。
目前最常用的两种数值方法是直接积分法和矩阵法[4]。
直接积分法对耦合波方程进行数值积分,很耗费计算时间。
矩阵法是将准周期光栅分成很多小段,每一段认为是一均匀光栅。
在这种方法中对每一段均匀光栅解耦合波方程,得到和这一段光栅相联系的矩阵,然后把这些矩阵相乘。
矩阵法实现很容易,计算速度快而且精确。
我们在本节介绍了矩阵法计算原理,讨论了光栅分割的段数对计算结果的影响。
设一段非均匀光栅长L,将它分为M份,其中第m段起始处的前向场和后向场分别为Rm,Sm,而其末端是第m+1段的起始,即此处的前向场和后向场分别为Rm+1,Sm+1,从耦合波方程2.1-7可以得到
(2.3-1)
其解法和均匀光栅的类似。
上式中Fm是一个2´2的矩阵,其矩阵元为:
(2.3-2)
其中
,dz是这一段光栅的长度,在这四个矩阵元中,k和
是z的函数。
这样可以将对应于各段的式2.3-1联乘,得到Z=L处的场用Z=0处的场表示:
,
(2.3-3)
式中F是每小段中矩阵的连积。
若前向波从第一段入射,则边界条件为SM=0,从上式可以得到
,这样就可以通过矩阵元得到反射率:
(2.3-4)
对于相移光栅,可以在分段时将断点取在相移点。
电磁场在这一点的两侧满足:
即
(2.3-5)
所以可以将这一点也看成一段,并且它的传输矩阵为
,带入式2.3-3计算即可。
在这个方法中,被分割的每一段光栅的长度对计算结果影响很大,很显然这个长度不能小于一个光栅周期,即M满足
。
被分割的段数由要求的精度决定,不能取的过小,否则计算结果不能正确地反应光栅参数沿光纤方向的变化,反之M越大计算所耗费的时间就越长。
图2.3-1是M取不同值时对一个啁啾光纤光栅的模拟,可见M=20时,反射谱的形状就和M=100很接近,因此在一般计算过程中M取20-100之间的数值就足够了。
第四节线性啁啾光纤光栅的参数对其光学特性的影响
线性啁啾光纤光栅是比较重要的一种非均匀光纤光栅,它可以应用于色散补偿和外腔半导体激光器等方面,研究它的各种参数对光学特性的影响对制作和应用具有指导意义。
在本节我们研究了不同的光栅长度、强度、啁啾系数以及不同入射方向情况下光栅的反射和时延。
如果光纤光栅的周期沿光纤方向是一个变化的值,那么它就是一种啁啾光纤光栅。
折射率微扰分布可以写为:
(2.4-1)
在这里我们为分析问题方便,假设折射率微扰幅度和调制度都是常量。
也可以把上式中周期的变化看成初相位的变化,折射率微扰为:
(2.4-2)
式2.4-1和2.4-2是等价的,在任何一点两式确定的dn都相等。
这样就有:
,对之微分并利用D=2neff,我们可以得到:
。
dlD/dz是沿光纤轴方向布拉格波长的变化率,所以我们在第一节中说df/dz是描述光纤光栅啁啾性质的量。
如果光栅周期是z的线性函数,那么就称这种光栅为线性啁啾光栅。
线性啁啾光栅可以用一个无量纲的参数¾¾啁啾系数F来表征,其定义式为[5]:
(2.4-3)
对于线性啁啾光纤光栅F其实表征的是光栅周期在整个光栅长度的变化率。
由式2.4-3可以推得:
(2.4-4)
如果光栅起始处的布拉格波长为lB,由2.4-1可知在波长为l的光波的反射点在:
(2.4-4)
光波入射并反射出来的时延为:
(2.4-5)
其中c是真空中的光速。
这个式子说明线性啁啾光栅的时延和波长是线性关系。
但这是很简陋的分析,并不实用。
比较准确的分析应该由式2.2-4和2.2-5出来计算啁啾光栅的时延和色散。
知道了啁啾光纤光栅折射率的分布,利用上一节的计算方法我们可以分析啁啾光纤光栅的光学性质。
我们分别从光栅长度、光栅强度、啁啾系数和不同入射方向对线性啁啾光纤光栅的光学性质的影响进行了研究。
1不同光栅长度
图2.4-1是不同光纤光栅长度情况下的啁啾光纤光栅的反射和时延。
光栅长度分别是1cm,3cm和10cm,其它参数见表2.4-1。
可见随着光栅长度的增大,峰值反射率也逐渐增大,反射带宽逐渐减小,这是因为F一定时,啁啾光栅首尾两端布拉格波长差随着光栅长度的增大而减小,因此带宽会减小,L®¥时,就蜕变成均匀光栅。
光栅长度增大时,时延曲线也逐渐变陡,这意味着更大的色散,反射带宽内色散的波动也更加剧烈。
对图2.4-1中反射带宽内不同长度的时延曲线进行线性拟和后得到的色散值分别是37ps/nm,334ps/nm和3700ps/nm,它们之间的比值为1:
9:
100,这和光栅长度平方的比值一样,2.4-5式所得到色散也是和光栅的长度的平方成正比的。
表2.4-1
光栅长度
折射率微扰幅度
F
不同光栅长度(cm)
1,3,10
3
3
不同折射率微扰
10-4
0.5´10-4,1´10-4,2´10-4
10-4
不同F
-100
-100
-10,-50,-100
2不同光栅强度
图2.4-2是不同光纤光栅强度情况下的啁啾光纤光栅的反射和时延。
从图可以看出随光纤光栅的折射率微扰的增大,反射带宽增大,峰值反射率增大,反射谱中的波折幅度减小。
时延随折射率微扰的增大没有什么变化,只是波动幅度增大了。
3不同啁啾系数
4
图2.4-3是在不同啁啾参数情况的啁啾光纤光栅的反射和时延。
从图中可以看出随F绝对值的增大,反射谱的峰值减小,带宽增加,而且反射谱顶部出现越来越大的波动。
观察时延曲线则可以发现,随F绝对值的增大,时延随波长的振荡幅度变得平缓,而且斜率也下降,因此对应的色散将减小,图2.4-3中F=50和100对应的时延进行线性拟和后得到的色散为714ps/nm和342ps/nm,这和2.4-5式得出的色散和F是反比关系相一致。
5不同入射方向
图2.4-4是光波经不同方向入射到同一个线性啁啾光纤光栅后的反射和时延。
光波从相反方向入射光纤光栅时,其对应的F相反。
从左图可以看出反射谱是重合的,而时延有所差别。
F<0时,由2.4-4式知道,沿光栅方向不同点对应的布拉格波长逐渐增大,因此短波先被反射,所以图中随波长的增大时延增大,而且短波部分的光波没有在光栅内来回反射,因此时延曲线中这一波长部分没有出现振荡,而长波部分的光在光栅内来回反射,不同波长反射的次数会有所不同,因此出现了起伏。
相反F>0时,沿光栅方向不同点对应的布拉格波长逐渐减小,因此长波先被反射,所以图中随波长的增大时延减小。
第五节光纤光栅的切趾
如图2.2-1所示,均匀光栅的反射主峰两侧有一些边峰,而且随着折射率微扰的增强边峰的高度也变得越来越高,这是我们不希望出现的;图2.4-1、2.4-2所示的啁啾光栅的反射谱和时延中有一些波动,这些是由于折射率微扰条纹的幅度均匀造成的。
在均匀幅度的光栅内,由于光栅两端对光波有反射作用,形成一个类似于F-P腔结构,它对不同波长有不同的反射,因而在反射谱中存在许多峰结构。
这个缺点限制了光纤光栅在一些高要求的系统中的应用。
然而采取切趾技术来制作光纤光栅,使得光栅折射率微扰幅度在光栅两端逐渐变小是可以消除这些弊端的,这就是切趾技术(apodization)。
在本节中,几种常用的切趾函数被加以介绍,并对切趾后的光纤光栅的反射和时延进行了模拟。
由式2.1-1可知,
是表示沿光栅方向折射率微扰的幅度。
在切趾时一般保持
是一个常数,为了达到切趾目的,n(z)应该在光栅中心为1,而在两端接近零。
数学上有许多这样的函数,我们列出几种常见的切趾函数:
1.Gaussprofile:
,FWHM是指高斯轮廓的全高半宽,一般要选光栅长度为FWHM的几倍。
2.Raisedcosineprofile:
3.Cosineprofile:
4.
Sincprofile:
,
5.Positivetanhprofile:
,在这里a是正值,决定了
处曲线的斜率,因而决定了切趾的程度。
6.Blackman:
为了进行对比,图2.5-1给出了
范围内这些函数的曲线,对于高斯函数,FWHM=L/3,对于正双曲正切切趾函数,a=4。
图2.5-2给出了用几种切趾函数进行切趾后光栅的反射谱,为了观察切趾前后的效果,我们也给出了均匀光栅的反射谱,所用参数为:
L=1cm,n=3´10-5,neff=1.46。
可见光栅进行切趾以后,边模可以有效的降低,但是同时付出了反射率和反射带宽的代价,这是由于切趾缩短了光栅的有效长度。
不同的切趾函数对光栅的束缚程度不一样,由图2.5-1可看出束缚程度有松到紧的次序为:
positive-tanh®cosine®Gaussian®sinc®raisedcosine®Blackman。
可以定义一个切趾参数[5]:
(2.5-1)
切趾参数越小,切趾函数的束缚程度也越大,光栅的有效长度也就越短。
表2.5-1给出了不同切趾函数的切趾参数。
对啁啾光栅进行切趾后,不仅反射谱中波动可以被消除,其时延曲线中的波动幅度也会改善。
图2.5-3给出了对线性啁啾光栅进行切趾后的反射谱。
可以看出切趾后带宽减小,反射率也有所下降。
图2.5-4是相应的时延曲线,可见切趾后时延曲线波动消除了很多。
图2.5-3切趾函数对啁啾光纤光栅反射谱的影响
第六节小结
在本章中,我们从耦合波理论出发,分析了光纤光栅的光纤性质。
得到如下结论:
Ø光纤光栅中折射率沿光纤方向是周期性变化的,它的光学性质可以用耦合波理论分析,我们给出了传播方向相反的两束缚模的耦合波方程。
Ø对于均匀光纤光栅,应用耦合波理论可以得到它的反射系数和反射率的解析解。
均匀光纤光栅对于波长为其布拉格波长的光波具有反射作用,其峰值反射率的大小由光栅长度和耦合因子的乘积决定。
反射带宽由光栅长度和强度决定,在光栅比较弱时(折射率微扰较小),反射带宽和光纤长度成反比,光栅比较强时,反射带宽和折射率微扰幅度成正比。
均匀光纤光栅的色散在反射谱的带边才比较大,这一宽度很小。
在布拉格波长的短波方向的一系列透射是传播的束缚模和反向传播的包层模耦合引起的。
Ø
用矩阵法可以解决非均匀光纤光栅的光学性质。
将非均匀光纤光栅分成一系列微光纤光栅,每一段都认为是均匀光栅。
解每一段的耦合波方程都得到一传输矩阵,将所有传输矩阵连乘得到整个光栅首尾波场的传输矩阵,利用它可以分析非均匀光栅的光学性质。
Ø啁啾光纤光栅的反射带宽要比均匀光纤光栅的带宽大。
线性啁啾光纤光栅的反射谱和时延曲线中有波动。
光栅长度增大,其它参数不变时,反射谱峰值增加,带宽减小,时延曲线变陡,即色散增大。
光栅强度增大时,反射谱峰值和带宽增大,色散保持不变。
啁啾系数F增大时,带宽增大,而峰值减小,时延曲线变得平缓,色散减小。
Ø对光纤光栅进行切趾可以消除光栅反射谱中的边模,改善啁啾光纤光栅反射谱和时延曲线中的波动。
有多种切趾函数可以使用。
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