概率论与数理统计吴赣昌主编课后习题答案之欧阳体创编.docx
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概率论与数理统计吴赣昌主编课后习题答案之欧阳体创编
习题1试说明随机试验应具有的三个特点.
时间:
2021.02.03
创作:
欧阳体
习题2将一枚均匀的硬币抛两次,事件A,B,C分别表示“第一次出现正面”,“两次出现同一面”,“至少有一次出现正面”,试写出样本空间及事件A,B,C中的样本点.
1.2随机事件的概率
1.3古典概型与几何概型
1.4条件概率
1.5事件的独立性
复习总结与总习题解答
习题3.证明下列等式:
习题5.
习题6.
习题7
习题8
习题9
习题10
习题11
习题12
习题13
习题14
习题15
习题16
习题17
习题18
习题19
习题20
习题21
习题22
习题23
习题24
习题25
习题26
第二章随机变量及其分布
2.1随机变量
习题1随机变量的特征是什么?
解答:
①随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数.
②随机变量的取值是随机的,事先或试验前不知道取哪个值.
③随机变量取特定值的概率大小是确定的.
习题2试述随机变量的分类.
解答:
①若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来,则称X为离散型随机变量;否则称为非离散型随机变量.②若X的可能值不能一一列出,但可在一段连续区间上取值,则称X为连续型随机变量.
习题3盒中装有大小相同的球10个,编号为0,1,2,⋯,9, 从中任取1个,观察号码是“小于5”,“等于5”,“大于5”的情况,试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果,并写出该随机变量取每一个特定值的概率.
解答:
分别用ω1,ω2,ω3表示试验的三个结果“小于5”,“等于5”,“大于5”,则样本空间S={ω1,ω2,ω3}, 定义随机变量X如下:
X=X(ω)={0,ω=ω11,ω=ω2,2,ω=ω3
则X取每个值的概率为
P{X=0}=P{取出球的号码小于5}=5/10,
P{X=1}=P{取出球的号码等于5}=1/10,
P{X=2}=P{取出球的号码大于5}=4/10.
2.2离散型随机变量及其概率分布
习题1设随机变量X服从参数为λ的泊松分布,且P{X=1}=P{X=2}, 求λ.
解答:
由P{X=1}=P{X=2}, 得
λe-λ=λ^2/2e^-λ,解得λ=2.
习题2
设随机变量X的分布律为 P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5,
试求
(1)P{12 (2)P{1≤X≤3}; (3)P{X>3}. 解答: (1)P{12 (2)P{≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3} =115+215+315=25; (3)P{X>3}=P{X=4}+P{X=5}=415+515=35. 习题3 已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值,相应概率依次为12c,34c,58c,716c, 试确定常数c, 并计算P{X<1∣X≠0}. 解答: 依题意知,12c+34c+58c+716c=1, 即3716c=1,解得 c=3716=2.3125. 由条件概率知 P{X<1∣X≠0}=P{X<1,X≠0}P{X≠0}=P{X=-1}P{X≠0} =12c1-34c=24c-3=26.25=0.32. 习题4 一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只,以X表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X的分布律. 解答: 随机变量X的可能取值为3,4,5. P{X=3}=C22⋅1C53=110, P{X=4}=C32⋅1C53=310, P{X=5}=C42⋅1C53=35, 所以X的分布律为 X 3 4 5 pk 1/10 3/10 3/5 习题5某加油站替出租车公司代营出租汽车业务,每出租一辆汽车,可从出租公司得到3元.因代营业务,每天加油站要多付给职工服务费60元,设每天出租汽车数X是一个随机变量,它的概率分布如下: X 10 20 30 40 pi 0.15 0.25 0.45 0.15 求因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率. 解答: 因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为: P{3X>60}, 即P{X>20}, P{X>20}=P{X=30}+P{X=40}=0.6. 就是说,加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为0.6. 习题6设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1, 当生产过程中出现废品时立即进行调整,X代表在两次调整之间生产的合格品数,试求: (1)X的概率分布; (2)P{X≥5}; (3)在两次调整之间能以0.6的概率保证生产的合格品数不少于多少? 解答: (1)P{X=k}=(1-p)kp=(0.9)k×0.1,k=0,1,2,⋯; (2)P{X≥5}=∑k=5∞P{X=k}=∑k=5∞(0.9)k×0.1=(0.9)5; (3)设以0.6的概率保证在两次调整之间生产的合格品不少于m件,则m应满足 P{X≥m}=0.6,即P{X≤m-1}=0.4.由于 P{X≤m-1}=∑k=0m-1(0.9)k(0.1)=1-(0.9)m, 故上式化为1-0.9m=0.4, 解上式得 m≈4.85≈5, 因此,以0.6的概率保证在两次调整之间的合格品数不少于5. 习题7设某运动员投篮命中的概率为0.6, 求他一次投篮时,投篮命中的概率分布. 解答: 此运动员一次投篮的投中次数是一个随机变量,设为X, 它可能的值只有两个,即0和1. X=0表示未投中,其概率为 p1=P{X=0}=1-0.6=0.4, X=1表示投中一次,其概率为 p2=P{X=1}=0.6. 则随机变量的分布律为 X 0 1 P 0.4 0.6 习题8某种产品共10件,其中有3件次品,现从中任取3件,求取出的3件产品中次品的概率分布. 解答: 设X表示取出3件产品的次品数,则X的所有可能取值为0,1,2,3. 对应概率分布为 P{X=0}=C73C103=35120, P{X=1}=C73C31C103=36120, P{X=2}=C71C32C103=21120, P{X=3}=C33C103=1120. X的分布律为 X 0123 P 3512036120211201120 习题9一批产品共10件,其中有7件正品,3件次品,每次从这批产品中任取一件,取出的产品仍放回去,求直至取到正品为止所需次数X的概率分布. 解答: 由于每次取出的产品仍放回去,各次抽取相互独立,下次抽取时情况与前一次抽取时完全相同,所以X的可能取值是所有正整数1,2,⋯,k,⋯. 设第k次才取到正品(前k-1次都取到次品), 则随机变量X的分布律为 P{X=k}=310×310×⋯×310×710=(310)k-1×710,k=1,2,⋯. 习题10设随机变量X∼b(2,p),Y∼b(3,p), 若P{X≥1}=59, 求P{Y≥1}. 解答: 因为X∼b(2,p), P{X=0}=(1-p)2=1-P{X≥1}=1-5/9=4/9,所以p=1/3. 因为Y∼b(3,p), 所以 P{Y≥1}=1-P{Y=0}=1-(2/3)3=19/27. 习题11纺织厂女工照顾800个纺绽,每一纺锭在某一段时间τ内断头的概率为0.005, 在τ这段时间内断头次数不大于2的概率. 解答: 以X记纺锭断头数, n=800,p=0.005,np=4, 应用泊松定理,所求概率为: P{0≤X≤2}=P{⋃0≤xi≤2{X=xi}=∑k=02b(k;800,0.005) ≈∑k=02P(k;4)=e-4(1+41! +422! )≈0.2381. 习题12设书籍上每页的印刷错误的个数X服从泊松分布,经统计发现在某本书上,有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同,求任意检验4页,每页上都没有印刷错误的概率. 解答: \becauseP{X=1}=P{X=2}, 即 λ11! e-λ=λ22! e-λ⇒λ=2, ∴P{X=0}=e-2, ∴p=(e-2)4=e-8. 2.3随机变量的分布函数 习题1F(X)={0,x<-20.4,-2≤x<01,x≥0, 是随机变量X的分布函数,则X是___________型的随机变量. 解答: 离散. 由于F(x)是一个阶梯函数,故知X是一个离散型随机变量. 习题2设F(x)={0x<0x20≤1,1x≥1 问F(x)是否为某随机变量的分布函数. 解答: 首先,因为0≤F(x)≤1,∀x∈(-∞,+∞). 其次,F(x)单调不减且右连续,即 F(0+0)=F(0)=0, F(1+0)=F (1)=1, 且 F(-∞)=0,F(+∞)=1, 所以F(x)是随机变量的分布函数. 习题3已知离散型随机变量X的概率分布为P{X=1}=0.3,P{X=3}=0.5,P{X=5}=0.2, 试写出X的分布函数F(x),并画出图形. 解答: 由题意知X的分布律为: X 135 Pk 0.30.50.2 所以其分布函数F(x)=P{X≤x}={0,x<10.3,1≤x<30.8,3≤x<51,x≥5. F(x)的图形见图. 习题4设离散型随机变量X的分布函数为 F(x)={0,x<-10.4,-1≤x<10.8,1≤x<31,x≥3, 试求: (1)X的概率分布; (2)P{X<2∣X≠1}. 解答: (1) X -113 pk 0.40.40.2 (2)P{X<2∣X≠1}=P{X=-1}P{X≠1}=23. 习题5设X的分布函数为 F(x)={0,x<0x2,0≤x<1x-12,1≤x<1.51,x≥1.5, 求P{0.4 解答: P{0.4 P{X>0.5}=1-P{X≤0.5}=1-F(0.5)=1-0.5/2=0.75, P{1.7 (2)-F(1.7)=1-1=0. 习题6设随机变量X的分布函数为 F(x)=A+Barctanx(-∞ 试求: (1)系数A与B; (2)X落在(-1,1]内的概率. 解答: (1)由于F(-∞)=0,F(+∞)=1, 可知 {A+B(-π2)A+B(π2)=1=0⇒A=12,B=1π, 于是 F(x)=12+1πarctanx, -∞ (2)P{-1 (1)-F(-1) =(12+1πarctan1)-[12+1πarctanx(-1)] =12+1π⋅π4-12-1π(-π4)=12. 习题7在区间[0,a]上任意投掷一个质点,以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例,试求X的分布函数. 解答: F(x)=P{X≤x}={0,x<0xa,0≤x 2.4连续型随机变量及其概率密度 习题1设随机变量X的概率密度为 f(x)=12πe-(x+3)24(-∞ 解答: 应填3+X2. 由正态分布的概率密度知μ=-3,σ=2由Y=X-μσ∼N(0,1), 所以Y=3+X2∼N(0,1). 习题2已知X∼f(x)={2x,0 解答: P{X≤0.5}=∫-∞0.5f(x)dx=∫-∞00dx+∫00.52xdx=x2∣00.5=0.25, P{X=0.5}=P{X≤0.5}-P{X<0.5}=∫-∞0.5f(x)dx-∫-∞0.5f(x)dx=0. 当X≤0时,F(x)=0; 当0 当X≥1时,F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt+∫1x0dt=t2∣01=1,故 F(x)={0,x≤0x2,0 习题3设连续型随机变量X的分布函数为 F(x)={A+Be-2x,x>00,x≤0,试求: (1)A,B的值; (2)P{-1 解答: (1)\becauseF(+∞)=limx→+∞(A+Be-2x)=1, ∴A=1; 又 \becauselimx→0+(A+Be-2x)=F(0)=0, ∴B=-1. (2) P{-1 (1)-F(-1)=1-e-2. (3)f(x)=F′(x)={2e-x,x>00,x≤0. 习题4服从拉普拉斯分布的随机变量X的概率密度f(x)=Ae-∣x∣, 求系数A及分布函数F(x). 解答: 由概率密度函数的性质知,∫-∞+∞f(x)dx=1, 即 ∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=1, 而∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=∫-∞0Aexdx+∫0+∞Ae-xdx =Aex∣-∞0+(-Ae-x∣0+∞)=A+A=2A 或 ∫-∞+∞Ae-xdx=2∫0+∞Ae-xdx=-2Ae-x∣0+∞=2A, 所以2A=1, 即A=1/2. 从而f(x)=12e-∣x∣,-∞ 当x<0时,F(x)=∫-∞x12e-∣t∣dt=12∫-∞xetdt=12et∣-∞x=12ex; 当x≥0时,F(x)=∫-∞x12e-∣x∣dt=∫-∞012etdt+∫0x12e-tdt =12et∣-∞0-12e-t∣0x=12-12e-x+12=1-12e-x, 从而F(x)={12ex,x<01-12e-x,x≥0. 习题5某型号电子管,其寿命(以小时计)为一随机变量,概率密度 f(x)={100x2,x≥1000,其它, 某一电子管的使用寿命为X, 则三个电子管使用150小时都不需要更换的概率. 解答: 设电子管的使用寿命为X, 则电子管使用150小时以上的概率为 P{X>150}=∫150+∞f(x)dx=∫150+∞100x2dx =-100x∣150+∞=100150=23, 从而三个电子管在使用150小时以上不需要更换的概率为 p=(2/3)3=8/27. 习题6设一个汽车站上,某路公共汽车每5分钟有一辆车到达,设乘客在5分钟内任一时间到达是等可能的,试计算在车站候车的10位乘客中只有1位等待时间超过4分钟的概率. 解答: 设X为每位乘客的候车时间,则X服从[0,5]上的均匀分布.设Y表示车站上10位乘客中等待时间超过4分钟的人数.由于每人到达时间是相互独立的.这是10重伯努力概型. Y服从二项分布,其参数 n=10,p=P{X≥4}=15=0.2, 所以 P{Y=1}=C101×0.2×0.89≈0.268. 习题7 设X∼N(3,22). (1)确定C, 使得P{X>c}=P{X≤c}; (2)设d满足P{X>d}≥0.9, 问d至多为多少? 解答: 因为X∼N(3,22), 所以X-32=Z∼N(0,1). (1)欲使P{X>c}=P{X≤c}, 必有1-P{X≤c}=P{X≤c}, 即 P{X≤c}=1/2, 亦即Φ(c-32)=12, 所以 c-32=0, 故c=3. (2)由P{X>d}≥0.9可得1-P{X≤d}≥0.9, 即 P{X≤d}≤0.1. 于是Φ(d-32)≤0.1,Φ(3-d2)≥0.9.查表得3-d2≥1.282, 所以d≤0.436. 习题8 设测量误差X∼N(0,102), 先进行100次独立测量,求误差的绝对值超过19.6的次数不小于3的概率. 解答: 先求任意误差的绝对值超过19.6的概率p, p=P{∣X∣>19.6}=1-P{∣X∣≤19.6} =1-P{∣X10∣≤1.96=1-[Φ(1.96)-Φ(-1.96)] =1-[2Φ(1.96)-1]=1-[2×0.975-1]=1-0.95=0.05. 设Y为100次测量中误差绝对值超过19.6的次数,则Y∼b(100,0.05). 因为n很大,p很小,可用泊松分布近似,np=5=λ, 所以 P{Y≥3}≈1-50e-50! -51e-51! -52e-52! =1-3722-5≈0.87. 习题9某玩具厂装配车间准备实行计件超产奖,为此需对生产定额作出规定.根据以往记录,各工人每月装配产品数服从正态分布N(4000,3600).假定车间主任希望10%的工人获得超产奖,求: 工人每月需完成多少件产品才能获奖? 解答: 用X表示工人每月需装配的产品数,则X∼N(4000,3600). 设工人每月需完成x件产品才能获奖,依题意得P{X≥x}=0.1, 即 1-P{X 所以1-F(x)=0.1, 即 1-Φ(x-400060)=0.1, 所以Φ(x-400060)=0.9. 查标准正态人分布表得Φ(1.28)=0.8997, 因此 x-400060≈1.28, 即x=4077件, 就是说,想获超产奖的工人,每月必须装配4077件以上. 习题10某地区18岁女青年的血压(收缩压,以mm-HG计)服从N(110,122). 在该地区任选一18岁女青年,测量她的血压X. (1)求P{X≤105},P{100 (2)确定最小的x, 使P{X>x}≤0.005. 解答: 已知血压X∼N(110,122). (1)P{X≤105}=P{X-11012≤-512≈1-Φ(0.42)=0.3372, P{100 =Φ(0.833)-Φ(-0.833)=2Φ(0.833)-1≈0.595. (2)使P{X>x}≤0.05, 求x, 即1-P{X≤x}≤0.05, 亦即 Φ(x-11012)≥0.95, 查表得x-10012≥1.645, 从而x≥129.74. 习题11设某城市男子身高X∼N(170,36), 问应如何选择公共汽车车门的高度使男子与车门碰头的机会小于0.01. 解答: X∼N(170,36), 则X-1706∼N(0,1). 设公共汽车门的高度为xcm,由题意P{X>x}<0.01, 而 P{X>x}=1-P{X≤x}=1-Φ(x-1706)<0.01, 即Φ(x-1706)>0.99, 查标准正态表得x-1706>2.33, 故x>183.98cm. 因此,车门的高度超过183.98cm时,男子与车门碰头的机会小于0.01. 习题12某人去火车站乘车,有两条路可以走.第一条路程较短,但交通拥挤,所需时间(单位: 分钟)服从正态分布N(40,102); 第二条路程较长,但意外阻塞较少,所需时间服从正态分布N(50,42), 求: (1)若动身时离开车时间只有60分钟,应走哪一条路线? (2)若动身时离开车时间只有45分钟,应走哪一条路线? 解答: 设X,Y分别为该人走第一、二条路到达火车站所用时间,则 X∼N(40,102),Y∼N(50,42). 哪一条路线在开车之前到达火车站的可能性大就走哪一条路线. (1)因为P{X<60}=Φ(60-4010)=Φ (2)=0.97725, P{Y<60}=Φ(60-504)=Φ(2.5)=0.99379, 所以有60分钟时应走第二条路. (2)因为P{X<45}=Φ(45-4010)=Φ(0.5)=0.6915, P{X<45}=Φ(45-504)=Φ(-1.25)=1-Φ(1.25)=1-0.8925=0.1075 所以只有45分钟应走第一条路. 2.5随机变量函数的分布 习题1已知X的概率分布为 X -2 -1 0 1 2 3 pi 2a 1/10 3a a a 2a 试求: (1)a; (2)Y=X2-1的概率分布. 解答: (1)\because2a+1/10+3a+a+a+2a=1, ∴a=1/10. (2) Y -1 0 3 8 pi 3/10 1/5 3/10 1/5 习题2设X的分布律为P{X=k}=12k,k=1,2,⋯, 求Y=sinπ2X的分布律. 解答: 因为 sinxnπ2={1,当n=4k-10,当n=2k-1,当n=4k-3, 所以Y=sin(π2X)只有三个可能值-1,0,1. 容易求得 P{Y=-1}=215,P{=0}=13,P{Y=1}=815 故Y的分布律列表表示为 Y -101 P 21513815 习题3 设随机变量X服从[a,b]上的均匀分布,令Y=cX+d(c≠0), 试求随机变量Y的密度函数. 解答: fY(y)={fX(y-dc)⋅1∣c∣,a≤y-dc≤b0,其它, 当c>0时,fY(y)={1c(b-a),ca+d≤y≤cb+d0,其它,当c<0时,fY(y)={-1c(b-a),cb+d≤y≤ca+d0,其它. 习题4设随机变量X服从[0,1]上的均匀分布,求随机变量函数Y=eX的概率密度fY(y). 解答: f(x)={1,0≤x≤10,其它, f=ex,x∈(0,1)是单调可导函数,y∈(1,e), 其反函数为x=lny, 可得 f(x)={fX(lny)∣ln′y,1 习题5设X∼N(0,1),求Y=2X2+1的概率密度. 解答: 因y=2x2+1是非单调函数,故用分布函数法先求FY(y). FY(y)=P{Y≤y}=P{2X2+1≤y}(当y>1时) =P{-y-12≤X≤y-12=∫-y-12y-1212πe-x2dx, 所以fY(y)=F′Y(y)=22πe-12⋅y-12⋅122y-1,y>1, 于是 fY(y)={12π(y-1)e-y-14,y>10,y≤1. 习题6设连续型随机变量X的概率密度为f(x), 分布函数为F(x), 求下列随机变量Y的概率密度: (1)Y=1X; (2)Y=∣X∣. 解答: (1)FY(y)=P{Y≤y}=P{1/X≤y}. ①当y>0时,FY(y)=P{1/X≤0}+P{0<1/X≤y} =P{X≤0}+P{X≥1/y}=F(0)+1-
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- 概率论 数理统计 吴赣昌 主编 课后 习题 答案 欧阳 创编