小学奥数课本五年级上册0501上.docx
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小学奥数课本五年级上册0501上
华罗庚学校数学课本(五年级·修订版)
上册目录
第一讲数的整除问题
数的整除问题,内容丰富,思维技巧性强。
它是小学数学中的重要课题,也是小学数学竞赛命题的内容之一。
一、基本概念和知识
1.整除——约数和倍数
例如:
15÷3=5,63÷7=9
一般地,如a、b、c为整数,b≠0,且a÷b=c,即整数a除以整除b(b不等于0),除得的商c正好是整数而没有余数(或者说余数是0),我们就说,a能被b整除(或者说b能整除a)。
记作b|a.,否则,称为a不能被b整除,(或b不能整除a),记作b
a。
如果整数a能被整数b整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的约数。
例如:
在上面算式中,15是3的倍数,3是15的约数;63是7的倍数,7是63的约数。
2.数的整除性质
性质1:
如果a、b都能被c整除,那么它们的和与差也能被c整除。
即:
如果c|a,c|b,那么c|(a±b)。
例如:
如果2|10,2|6,那么2|(10+6),
并且2|(10—6)。
性质2:
如果b与c的积能整除a,那么b与c都能整除a.即:
如果bc|a,那么b|a,c|a。
性质3:
如果b、c都能整除a,且b和c互质,那么b与c的积能整除a。
即:
如果b|a,c|a,且(b,c)=1,那么bc|a。
例如:
如果2|28,7|28,且(2,7)=1,
那么(2×7)|28。
性质4:
如果c能整除b,b能整除a,那么c能整除a。
即:
如果c|b,b|a,那么c|a。
例如:
如果3|9,9|27,那么3|27。
3.数的整除特征
①能被2整除的数的特征:
个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义:
一方面,个位数字是偶数(包括0)的整数,必能被2整除;另一方面,能被2整除的数,其个位数字只能是偶数(包括0).下面“特征”含义相似。
②能被5整除的数的特征:
个位是0或5。
③能被3(或9)整除的数的特征:
各个数位数字之和能被3(或9)整除。
④能被4(或25)整除的数的特征:
末两位数能被4(或25)整除。
例如:
1864=1800+64,因为100是4与25的倍数,所以1800是4与25的倍数.又因为4|64,所以1864能被4整除.但因为2564,所以1864不能被25整除.
⑤能被8(或125)整除的数的特征:
末三位数能被8(或125)整除。
例如:
29375=29000+375,因为1000是8与125的倍数,所以29000是8与125的倍数.又因为125|375,所以29375能被125整除.但因为8375,所以829375。
⑥能被11整除的数的特征:
这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差(大减小)是11的倍数。
例如:
判断123456789这九位数能否被11整除?
解:
这个数奇数位上的数字之和是9+7+5+3+1=25,偶数位上的数字之和是8+6+4+2=20.因为25—20=5,又因为115,所以11123456789。
再例如:
判断13574是否是11的倍数?
解:
这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是:
(4+5+1)-(7+3)=0.因为0是任何整数的倍数,所以11|0.因此13574是11的倍数。
⑦能被7(11或13)整除的数的特征:
一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差(以大减小)能被7(11或13)整除。
例如:
判断是否是7的倍数?
解:
把分为1059和282两个数.因为1059-282=777,又7|777,所以7|1059282.因此是7的倍数。
再例如:
判断能否被13整除?
解:
把分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数,因为821—2=819,又13|819,所以13|2821,进而13|3546725.
二、例题
解:
∵45=5×9,
∴根据整除“性质2”可知
∴y可取0或5。
∴满足条件的六位数是519930或919935。
例2李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔,共付人民币9□.2□元.已知□处数字相同,请问每支钢笔多少元?
解:
∵9□.2□元=9□2□分
28=4×7,
∴根据整除“性质2”可知
4和7均能整除9□2□。
4|2□可知□处能填0或4或8。
因为79020,79424,所以□处不能填0和4;
因为7|9828,所叫□处应该填8。
又∵9828分=98.28元
98.28÷28=3.51(元)
答:
每支钢笔3.51元。
个条件的整数。
∴根据能被11整除的数的特征可知:
1+2+3+4+5的和与5a之差应是11的倍数,
即11|(15—5a).或11|(5a—15)。
但是15—5a=5(3—a),5a—15=5(a—3),又(5,11)=1,因此111(3—a)或11|(a—3)。
又∵a是数位上的数字。
∴a只能取0~9。
所以只有a=3才能满足11|(3—a)或11|(a—3),
即当a=3时,11|15—5a。
符合题意的整数只有1323334353。
互不相同),且它能被11整除,你能找到一个符合条件的整数吗?
解:
∵91=7×13,且(7,13)=1。
根据一个数能被7或13整除的特征可知:
因为(7,10)=1,(13,10)=1,所以7,13也就是7,13,因此,用一次性质(特征),就去掉了两组;反复使用性质996次,最后转化成:
原数能被7以及13整除,当且仅当能被7以及13整除
又∵91的倍数中小于1000的只有91×4=364的百位数字是3,∴=364
例5在865后面补上三个数字,组成一个六位数,使它能分别被3、4、5整除,且使这个数值尽可能的小。
5整除,所以它应满足以下三个条件:
第一,数字和(8+6+5+a+b+c)是3的倍数。
第三,末位数字c是0或5。
又∵能被4整除的数的个位数不可能是5。
∴c只能取O.因而b只能取自O,2,4,6,8中之一。
∴a+b除以3余2。
为满足题意“数值尽可能小”,只需取a=0,b=2。
∴要求的六位数是865020。
分析∵26=2×13,
∴y可能取0、2、4、5、6、8。
当y=0时,
=7×13x+9x+13+6
∴根据整除“性质1”,有13|9x+6,
经试验可知只有当x=8时,13|9x+6,
∴当y=0时,符合题意的六位数是819910。
所以13整除9x+6—2,
即13|9x+4。
经试验可知只有当x=1时,13|9x+4。
∴当y=2时,符合题意的六位数是119912。
同理,当y=4时,13|9x+6-4,
即13|9x+2,
经试验可知当x=7时,13|9x+2。
∴当y=4时,符合题意的六位数是719914。
同理,当y=6时,13|9x+6—6。
即13|9x.
∴当y=6时,找不到符合题意的六位数。
同理,当y=8时,13|9x+6-8,
即13|9x-2。
经试验只有当x=6时,13|9x-2。
∴当y=8时,符合题意的六位数是619918。
答:
满足本题条件的六位数共有819910、119912、719914和619918四个。
习题一
样的五位数。
4.将自然数1、2、3、4、5、6、7、8、9依次重复写下去组成一个1993位数,试问:
这个数能否被3整除?
5.一本陈年老账上记着:
72只桶,共□67.9□元.这里□处字迹已不清.请把□处数字补上,并求桶的单价。
6.证明:
任意一个三位数连着写两次得到一个六位数,这个六位数一定能同时被7、11、13整除.
第二讲质数、合数和分解质因数
一、基本概念和知识
1.质数与合数
一个数除了1和它本身,不再有别的约数,这个数叫做质数(也叫做素数)。
一个数除了1和它本身,还有别的约数,这个数叫做合数。
要特别记住:
1不是质数,也不是合数。
2.质因数与分解质因数
如果一个质数是某个数的约数,那么就说这个质数是这个数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
例:
把30分解质因数。
解:
30=2×3×5。
其中2、3、5叫做30的质因数。
又如12=2×2×3=22×3,2、3都叫做12的质因数。
二、例题
例1三个连续自然数的乘积是210,求这三个数.
解:
∵210=2×3×5×7
∴可知这三个数是5、6和7。
例2两个质数的和是40,求这两个质数的乘积的最大值是多少?
解:
把40表示为两个质数的和,共有三种形式:
40=17+23=11+29=3+37。
∵17×23=391>11×29=319>3×37=111。
∴所求的最大值是391。
答:
这两个质数的最大乘积是391。
例3自然数123456789是质数,还是合数?
为什么?
解:
123456789是合数。
因为它除了有约数1和它本身外,至少还有约数3,所以它是一个合数。
例4连续九个自然数中至多有几个质数?
为什么?
解:
如果这连续的九个自然数在1与20之间,那么显然其中最多有4个质数(如:
1~9中有4个质数2、3、5、7)。
如果这连续的九个自然中最小的不小于3,那么其中的偶数显然为合数,而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必只有一个个位数是5,因而5是这个奇数的一个因数,即这个奇数是合数.这样,至多另4个奇数都是质数。
综上所述,连续九个自然数中至多有4个质数。
例5把5、6、7、14、15这五个数分成两组,使每组数的乘积相等。
解:
∵5=5,7=7,6=2×3,14=2×7,15=3×5,
这些数中质因数2、3、5、7各共有2个,所以如把14
(=2×7)放在第一组,那么7和6(=2×3)只能放在第二组,继而15(=3×5)只能放在第一组,则5必须放在第二组。
这样14×15=210=5×6×7。
这五个数可以分为14和15,5、6和7两组。
例6有三个自然数,最大的比最小的大6,另一个是它们的平均数,且三数的乘积是42560.求这三个自然数。
分析先大概估计一下,30×30×30=27000,远小于42560.40×40×40=64000,远大于42560.因此,要求的三个自然数在30~40之间。
解:
42560=26×5×7×19
=25×(5×7)×(19×2)
=32×35×38(合题意)
要求的三个自然数分别是32、35和38。
例7有3个自然数a、b、c.已知a×b=6,b×c=15,
a×c=10.求a×b×c是多少?
解:
∵6=2×3,15=3×5,10=2×5。
(a×b)×(b×c)×(a×c)
=(2×3)×(3×5)×(2×5)
∴a2×b2×c2=22×32×52
∴(a×b×c)2=(2×3×5)2
a×b×c=2×3×5=30
在例7中有a2=22,b2=32,c2=52,其中22=4,32=9,52=25,像4、9、25这样的数,推及一般情况,我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数。
如.12=1,22=4,32=9,42=16,…,112=121,122=144,…其中1,4,9,16,…,121,144,…都叫做完全平方数.
下面让我们观察一下,把一个完全平方数分解质因数后,各质因数的指数有什么特征。
例如:
把下列各完全平方数分解质因数:
9,36,144,1600,275625。
解:
9=3236=22×32144=32×24
1600=26×52275625=32×54×72
可见,一个完全平方数分解质因数后,各质因数的指数均是偶数。
反之,如果把一个自然数分解质因数之后,各个质因数的指数都是偶数,那么这个自然数一定是完全平方数。
如上例中,36=62,144=122,1600=402,275625=5252。
例8一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数.求a的最小值与这个平方数。
分析∵a与1080的乘积是一个完全平方数,
∴乘积分解质因数后,各质因数的指数一定全是偶数。
解:
∵1080×a=23×33×5×a,
又∵1080=23×33×5的质因数分解中各质因数的指数都是奇数,
∴a必含质因数2、3、5,因此a最小为2×3×5。
∴1080×a=1080×2×3×5=1080×30=32400。
答:
a的最小值为30,这个完全平方数是32400。
例9问360共有多少个约数?
分析360=23×32×5。
为了求360有多少个约数,我们先来看32×5有多少个约数,然后再把所有这些约数分别乘以1、2、22、23,即得到23×32×5(=360)的所有约数.为了求32×5有多少个约数,可以先求出5有多少个约数,然后再把这些约数分别乘以1、3、32,即得到32×5的所有约数。
解:
记5的约数个数为Y1,
32×5的约数个数为Y2,
360(=23×32×5)的约数个数为Y3.由上面的分析可知:
Y3=4×Y2,Y2=3×Y1,
显然Y1=2(5只有1和5两个约数)。
因此Y3=4×Y2=4×3×Y1=4×3×2=24。
所以360共有24个约数。
说明:
Y3=4×Y2中的“4”即为“1、2、22、23”中数的个数,也就是其中2的最大指数加1,也就是360=23×32×5中质因数2的个数加1;Y2=3×Y1中的“3”即为“1、3、32”中数的个数,也就是23×32×5中质因数3的个数加1;而Y1=2中的“2”即为“1、5”中数的个数,即23×32×5中质因数5的个数加1.因此
Y3=(3+1)×(2+1)×(1+1)=24。
对于任何一个合数,用类似于对23×32×5(=360)的约数个数的讨论方式,我们可以得到一个关于求一个合数的约数个数的重要结论:
一个合数的约数个数,等于它的质因数分解式中每个质因数的个数(即指数)加1的连乘的积。
例10求240的约数的个数。
解:
∵240=24×31×51,
∴240的约数的个数是
(4+1)×(1+1)×(1+1)=20,
∴240有20个约数。
请你列举一下240的所有约数,再数一数,看一看是否是20个?
习题二
1.边长为自然数,面积为105的形状不同的长方形共有多少种?
2.11112222个棋子排成一个长方阵.每一横行的棋子数比每一竖列的棋子数多1个.这个长方阵每一横行有多少个棋子?
3.五个相邻自然数的乘积是55440,求这五个自然数。
4.自然数a乘以338,恰好是自然数b的平方.求a的最小值以及b。
5.求10500的约数共有多少个?
第三讲最大公约数和最小公倍数
一、基本概念和知识
1.公约数和最大公约数
几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数;其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数。
例如:
12的约数有:
1,2,3,4,6,12;
18的约数有:
1,2,3,6,9,18。
12和18的公约数有:
1,2,3,6.其中6是12和18的最大公约数,记作(12,18)=6。
2.公倍数和最小公倍数
几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数。
例如:
12的倍数有:
12,24,36,48,60,72,84,…
18的倍数有:
18,36,54,72,90,…
12和18的公倍数有:
36,72,….其中36是12和18的最小公倍数,记作[12,18]=36。
3.互质数
如果两个数的最大公约数是1,那么这两个数叫做互质数。
二、例题
例1用一个数去除30、60、75,都能整除,这个数最大是多少?
分析∵要求的数去除30、60、75都能整除,
∴要求的数是30、60、75的公约数。
又∵要求符合条件的最大的数,
∴就是求30、60、75的最大公约数。
解:
∵
(30,60,75)=5×3=15
这个数最大是15。
例2一个数用3、4、5除都能整除,这个数最小是多少?
分析由题意可知,要求的数是3、4、5的公倍数,且是最小的公倍数。
解:
∵[3,4,5]=3×4×5=60,
∴用3、4、5除都能整除的最小的数是60。
例3有三根铁丝,长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段,每根都不能有剩余,每小段最长多少厘米?
一共可以截成多少段?
分析∵要截成相等的小段,且无剩余,
∴每段长度必是120、180和300的公约数。
又∵每段要尽可能长,
∴要求的每段长度就是120、180和300的最大公约数.
(120,180,300)=30×2=60
∴每小段最长60厘米。
120÷60+180÷60+300÷60
=2+3+5=10(段)
答:
每段最长60厘米,一共可以截成10段。
例4加工某种机器零件,要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件,第二道工序每个工人每小时可完成10个,第三道工序每个工人每小时可完成5个,要使加工生产均衡,三道工序至少各分配几个工人?
分析要使加工生产均衡,各道工序生产的零件总数应是3、10和5的公倍数.要求三道工序“至少”要多少工人,要先求3、10和5的最小公倍数。
[3,10,5]=5×3×2=30
∴各道工序均应加30个零件。
30÷3=10(人)
30÷10=3(人)
30÷5=6(人)
答:
第一道工序至少要分配10人,第二道工序至少要分配3人,第三道工序至少要分配6人。
例5一次会餐供有三种饮料.餐后统计,三种饮料共用了65瓶;平均每2个人饮用一瓶A饮料,每3人饮用一瓶B饮料,每4人饮用一瓶C饮料.问参加会餐的人数是多少人?
分析由题意可知,参加会餐人数应是2、3、4的公倍数。
解:
∵[2,3,4]=12
∴参加会餐人数应是12的倍数。
又∵12÷2+12÷3+12÷4
=6+4+3=13(瓶),
∴可见12个人要用6瓶A饮料,4瓶B饮料,3瓶C饮料,共用13瓶饮料。
又∵65÷13=5,
∴参加会餐的总人数应是12的5倍,
12×5=60(人)。
答:
参加会餐的总人数是60人。
例6一张长方形纸,长2703厘米,宽1113厘米.要把它截成若干个同样大小的正方形,纸张不能有剩余且正方形的边长要尽可能大.问:
这样的正方形的边长是多少厘米?
分析由题意可知,正方形的边长即是2703和1113的最大公约数.在学校,我们已经学过用短除法求两个数的最大公约数,但有时会遇到类似此题情况,两个数除了1以外的公约数一下不好找到.但又不能轻易断定它们是互质数.怎么办?
在此,我们以例6为例介绍另一种求最大公约数的方法。
对于例6,可做如下图解:
从图中可知:
在长2703厘米、宽1113厘米的长方形纸的一端,依次裁去以宽(1113厘米)为边长的正方形2个.在裁后剩下的长1113厘米,宽477厘米的长方形中,再裁去以宽(477厘米)为边长的正方形2个.然后又在裁剩下的长方形(长477厘米,宽159厘米)中,以159厘米为边长裁正方形,恰好裁成3个,且无剩余.因此可知,159厘米是477厘米、1113厘米和2703厘米的约数.所以裁成同样大的,且边长尽可能长的正方形的边长应是159厘米.所以,159厘米是2703和1113的最大公约数。
让我们把图解过程转化为计算过程,即:
2703÷1113,商2余477;
1113÷477,商2余159;
477÷159,商3余0。
或者写为
2703=2×1113+477,
1113=2×477+159,
477=3×159。
当余数为0时,最后一个算式中的除数159就是原来两个数2703和1113的最大公约数.
可见,477=159×3,
1113=159×3×2+159=159×7,
2703=159×7×2+477
=159×7×2+159×3=159×17。
又∵7和17是互质数,
∴159是2703和1113的最大公约数。
我们把这种求最大公约数的方法叫做辗转相除法.辗转相除法的优点在于它能在较短的时间内求出任意两个数的最大公约数。
例7用辗转相除法求4811和1981的最大公约数。
解:
∵4811=2×1981+849,
1981=2×849+283,
849=3×283,
∴(4811,1981)=283。
补充说明:
如果要求三个或更多的数的最大公约数,可以先求其中任意两个数的最大公约数,再求这个公约数与另外一个数的最大公约数,这样求下去,直至求得最后结果.也可以直接观察,依次试公有的质因数。
例8求1008、1260、882和1134四个数的最大公约数是多少?
解:
∵(1260,1008)=252,
(882,1134)=126,
又(252,126)=126,
∴(1008,1260,882,1134)=126。
求两个数的最小公倍数,除了用短除法外,是否也有其他方法呢?
请看例9.
例9两个数的最大公约数是4,最小公倍数是252,其中一个数是28,另一个数是多少?
∴x=4×y28=4×7
∴28x=4×y×4×7
又∵4是x和28的最大公约数,(y,7)=1,
∴4×y×7是x和28的最小公倍数。
∴x×28=4×252
∴x=4×252÷28=36
∴要求的数是36。
通过例9的解答过程,不难发现:
如果用a和b表示两个自然数,那么这两个自然数的最大公约数与最小公倍数关系是:
(a,b)×[a,b]=a×b。
这样,求两个数的最小公倍数的问题,即可转化成先求两个数的最大公约数,再用最大公约数除两个数的积,其结果就是这两个数的最小公倍数。
例10求21672和11352的最小公倍数。
解:
∵(21672,11352)=1032
(1032可以用辗转相除法求得)
∴[21672,11352]=21672×11352÷1032
=238392。
答:
21672和11352的最小公倍数是238392.
习题三
1.甲数是乙数的三分之一,甲数和乙数的最小公倍数是54,甲数是多少?
乙数是多少?
2.一块长方形地面,长120米,宽60米,要在它的四周和四角种树,每两棵之间的距离相等,最少
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