第四章 MATLAB的数值计算功能.docx
- 文档编号:29316779
- 上传时间:2023-07-22
- 格式:DOCX
- 页数:20
- 大小:28.86KB
第四章 MATLAB的数值计算功能.docx
《第四章 MATLAB的数值计算功能.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第四章 MATLAB的数值计算功能.docx(20页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
第四章MATLAB的数值计算功能
第四章MATLAB的数值计算功能
Chapter4:
NumericalcomputationofMATLAB
一、多项式(Polynomial)`.
1.多项式的表达与创建(ExpressionandCreatingofpolynomial)
(1)多项式的表达(expressionofpolynomial)_
Matlab用行矢量表达多项式系数(Coefficient),各元素按变量的降幂顺序排列,如多项式为:
P(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2…an-1x+an
则其系数矢量(Vectorofcoefficient)为:
P=[a0a1…an-1an]
如将根矢量(Vectorofroot)表示为:
ar=[ar1ar2…arn]
则根矢量与系数矢量之间关系为:
(x-ar1)(x-ar2)…(x-arn)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2…an-1x+an
(2)多项式的创建(polynomialcreating)
a)系数矢量的直接输入法
利用poly2sym函数直接输入多项式的系数矢量,就可方便的建立符号形式的多项式。
例:
创建多项式x3-4x2+3x+2
poly2sym([1-432])
ans=
x^3-4*x^2+3*x+2
b)由根矢量创建多项式
通过调用函数p=poly(ar)产生多项式的系数矢量,再利用poly2sym函数就可方便的建立符号形式的多项式。
注:
(1)根矢量元素为n,则多项式系数矢量元素为n+1;
(2)函数poly2sym(pa)把多项式系数矢量表达成符号形式的多项式,缺省情况下自变量符号为x,可以指定自变量。
(3)使用简单绘图函数ezplot可以直接绘制符号形式多项式的曲线。
例1:
由根矢量创建多项式。
将多项式(x-6)(x-3)(x-8)表示为系数形式
a=[638]%根矢量
pa=poly(a)%求系数矢量
ppa=poly2sym(pa)%以符号形式表示原多项式
ezplot(ppa,[-50,50])
pa=
1-1790-144
ppa=
x^3-17*x^2+90*x-144
注:
含复数根的根矢量所创建的多项式要注意:
(1)要形成实系数多项式,根矢量中的复数根必须共轭成对;
(2)含复数根的根矢量所创建的多项式系数矢量中,可能带有很小的虚部,此时可采用取实部的命令(real)把虚部滤掉。
进行多项式的求根运算时,有两种方法,一是直接调用求根函数roots,poly和roots互为逆函数。
另一种是先把多项式转化为伴随矩阵,然后再求其特征值,该特征值即是多项式的根。
例3:
由给定复数根矢量求多项式系数矢量。
r=[-0.5-0.3+0.4i-0.3-0.4i];
p=poly(r)
pr=real(p)
ppr=poly2sym(pr)
p=
1.00001.10000.55000.1250
pr=
1.00001.10000.55000.1250
ppr=
x^3+11/10*x^2+11/20*x+1/8
c)特征多项式输入法
用poly函数可实现由矩阵的特征多项式系数创建多项式。
条件:
特征多项式系数矢量的第一个元素必须为一。
例2:
求三阶方阵A的特征多项式系数,并转换为多项式形式。
a=[638;756;135]
Pa=poly(a)%求矩阵的特征多项式系数矢量
Ppa=poly2sym(pa)
Pa=
1.0000-16.000038.0000-83.0000
Ppa=
x^3-16*x^2+38*x-83
注:
n阶方阵的特征多项式系数矢量一定是n+1阶的。
注:
(1)要形成实系数多项式,根矢量中的复数根必须共轭成对;
(2)含复数根的根矢量所创建的多项式系数矢量中,可能带有很小的虚部,此时可采用取实部的命令(real)把虚部滤掉。
进行多项式的求根运算时,有两种方法,一是直接调用求根函数roots,poly和roots互为逆函数。
另一种是先把多项式转化为伴随矩阵,然后再求其特征值,该特征值即是多项式的根。
例4:
将多项式的系数表示形式转换为根表现形式。
求x3-6x2-72x-27的根
a=[1-6-72-27]
r=roots(a)
r=
12.1229
-5.7345
-0.3884
MATLAB约定,多项式系数矢量用行矢量表示,根矢量用列矢量表示。
>>
1.多项式的乘除运算(Multiplicationanddivisionofpolynomial)
多项式乘法用函数conv(a,b)实现,除法用函数deconv(a,b)实现。
例1:
a(s)=s2+2s+3,b(s)=4s2+5s+6,计算a(s)与b(s)的乘积。
a=[123];b=[456];
c=conv(a,b)
cs=poly2sym(c,’s’)’s’——是指定变量为s
c=
413282718
cs=
4*s^4+13*s^3+28*s^2+27*s+18
例2:
展开(s2+2s+2)(s+4)(s+1)(多个多项式相乘)
c=conv([1,2,2],conv([1,4],[1,1]))
cs=poly2sym(c,’s’)%(指定变量为s)
c=
1716188
cs=
s^4+7*s^3+16*s^2+18*s+8
例2:
求多项式s^4+7*s^3+16*s^2+18*s+8分别被(s+4),(s+3)除后的结果。
c=[1716188];
[q1,r1]=deconv(c,[1,4])%q—商矢量,r—余数矢量
[q2,r2]=deconv(c,[1,3])
cc=conv(q2,[1,3])%对除(s+3)结果检验
test=((c-r2)==cc)
q1=
1342
r1=
00000
q2=
1446
r2=
0000-10
cc=
17161818
test=
11111
1.其他常用的多项式运算命令(Othercomputationcommandofpolynomial)
pa=polyval(p,s)按数组运算规则计算给定s时多项式p的值,p为多项式系数矢。
pm=polyvalm(p,s)按矩阵运算规则计算给定s时多项式p的值。
[r,p,k]=residue(b,a)部分分式展开,b,a分别是分子分母多项式系数矢量,r,p,k分别是留数、极点和直项矢量
p=polyfit(x,y,n)用n阶多项式拟合x,y矢量给定的数据。
polyder(p)多项式微分。
注:
对于多项式b(s)与不重根的n阶多项式a(s)之比,其部分分式展开为:
式中:
p1,p2,…,pn称为极点(poles),r1,r2,…,rn称为留数(residues),k(s)称为直项(directterms),假如a(s)含有m重根pj,则相应部分应写成:
例5:
对一组实验数据进行多项式最小二乘拟合(leastsquarefit)
x=[12345];%实验数据
y=[5.543.1128290.7498.4];
p=polyfit(x,y,3)%做三阶多项式拟合
x2=1:
.1:
5;
y2=polyval(p,x2);%根据给定值计算多项式结果
plot(x,y,’o’,x2,y2)
一.线性代数(LinearAlgebra)
解线性方程(Linearequation)就是找出是否存在一个唯一的矩阵x,使得a,b满足关系:
ax=b或xa=b
MALAB中x=a\b是方程ax=b的解,x=b/a是方程式xa=b的解。
通常线性方程多写成ax=b,“\”较多用,两者的关系为:
(b/a)’=(a’\b’)
系数矩阵a可能是m行n列的,有三种情况:
*方阵系统:
(Squarematrix)m=n可求出精确解(a必须是非奇异(nonsingular),即满秩(fullrank))
*超定系统:
(Overdetermindsystem)m>n可求出最小二乘解
*不定系统:
(Underdetermindsystem)m 1.方阵系统: (Squarearray) 最常见的是系数矩阵为方阵a,常数项b为列矢量,其解x可写成x=a\b,x和b大小相同。 例1: 求方阵系统的根。 a=[1167;5139;1718] b=[16134]’ x=a\b a= 1167 5139 1718 b= 16 13 4 x= 3.9763 5.4455 -8.6303 例2: 假如a,b为两个大小相同的矩阵,求方阵系统的根。 a=[459;18195;1413] b=[1512;31519;7610] x=a\b C=a*x a= 459 18195 1413 b= 1512 31519 7610 x= -3.6750-0.73332.9708 3.72501.4667-2.1292 -0.32500.06671.1958 C= 1.00005.000012.0000 3.000015.000019.0000 7.00006.000010.0000 若方阵a的各个行矢量线性相关(linearcorrelation),则称方阵a为奇异矩阵。 这时线性方程将有无穷多组解。 若方阵是奇异矩阵,则反斜线运算因子将发出警告信息。 2.超定系统(Overdetermindsystem) 实验数据较多,寻求他们的曲线拟合。 如在t内测得一组数据y: ty 0.00.82 0.30.72 0.80.63 1.10.60 1.60.55 2.20.50 这些数据显然有衰减指数趋势: y(t)~c1+c2e-t 此方程意为y矢量可以由两个矢量逐步逼近而得,一个是单行的常数矢量,一个是由指数e-t项构成,两个参数c1和c2可用最小二乘法求得,它们表示实验数据与方程y(t)~c1+c2e-t之间距离的最小平方和。 例1: 求上述数据的最小二乘解。 将数据带入方程式y(t)~c1+c2e-t中,可得到含有两个未知数的6个等式,可写成6行2列的矩阵e. t=[00.30.81.11.62.2]’; y=[0.820.720.630.600.550.50]’; e=[ones(size(t))exp(-t)]%求6个y(t)方程的系数矩阵 c=e\y%求方程的解 e= 1.00001.0000 1.00000.7408 1.00000.4493 1.00000.3329 1.00000.2019 1.00000.1108 c= 0.4744 0.3434 带入方程得: y(t)~0.4744+0.3434e-t 用此方程可绘制曲线: t=[00.30.81.11.62.2]’; y=[0.820.720.630.600.550.50]’; t1=[0: 0.1: 2.5]’;y1=[ones(size(t1)),exp(-t1)]*c plot(t1,y1,’b’,t,y,’ro’) 如果一个矩阵的行矢量是线性相关的,则它的最小二乘解并不唯一,因此,a\b运算将给出警告,并产生含有最少元素的基解。 3.不定系统: (Underdetermindsystem) 不定系统为线性相关系统,其解都不唯一,MATLAB会计算一组构成通解的基解,而方程的特解则用QR分解法决定。 两种解法: 最少元素解a\b,最小范数解pinv(a)*b. 例: 用两种方法求解欠定系统。 对a和矢量b分别用a\b和pinv(a)*b求解: a=[111;11-1] b=[106]’ p=a\b q=pinv(a)*b a= 111 11-1 b= 10 6 p= 8.0000 0 2.0000 q= 4.0000 4.0000 2.0000 三.逆矩阵及行列式(Reversanddeterminantofmatrix) 1.方阵的逆和行列式(Reversanddeterminantofsquarematrix) 若a是方阵,且为非奇异阵,则方程ax=I和xa=I有相同的解X。 X称为a的逆矩阵,记做a-1,在MATLAB中用inv函数来计算矩阵的逆。 计算方阵的行列式则用det函数。 DETDeterminant. INVMatrixinverse. 例: 计算方阵的行列式和逆矩阵。 a=[3-31;-35-2;1-21]; b=[14135;5112;6145]; d1=det(a) x1=inv(a) d2=det(b) x2=inv(b) d1= 1 x1= 1.00001.00001.0000 1.00002.00003.0000 1.00003.00006.0000 d2= -1351 x2= 0.1207-0.0037-0.1118 -0.0348-0.02960.1058 -0.04740.08730.0377 四.矩阵分解(Matrixdecomposition) MATLAB求解线性方程的过程基于三种分解法则: (1)Cholesky分解,针对对称正定矩阵; (2)高斯消元法,针对一般矩阵; (3)正交化,针对一般矩阵(行数≠列数) 这三种分解运算分别由chol,lu和qr三个函数来分解. 1.Cholesky分解(CholeskyDecomposition) 仅适用于对称和上三角矩阵 例: cholesky分解。 a=pascal(6) b=chol(a) a= 111111 123456 136101521 1410203556 15153570126 162156126252 b= 111111 012345 0013610 0001410 000015 000001 2.LU分解(LUfactorization). 用lu函数完成LU分解,将矩阵分解为上、下两个三角阵,其调用格式为: [l,u]=lu(a)l代表下三角阵,u代表上三角阵。 例: LU分解。 a=[472422;11440;303841] [l,u]=lu(a) a= 472422 11440 303841 l= 1.000000 0.23401.00000 0.63830.59091.0000 u= 47.000024.000022.0000 038.3830-5.1489 0030.0000 3.QR分解(Orthogonal-triangulardecomposition). 函数调用格式: [q,r]=qr(a),q代表正规正交矩阵,r代表三角形矩阵。 原始阵a不必一定是方阵。 如果矩阵a是m×n阶的,则矩阵q是m×m阶的,矩阵r是m×n阶的。 例: QR分解. A=[22462020;30364644;398452]; [q,r]=qr(A) q= -0.4082-0.7209-0.5601 -0.5566-0.28980.7786 -0.72360.6296-0.2829 r= -53.8981-44.6027-66.3289-34.1014 0-38.55640.5823-25.9097 0011.880022.4896 4.特征值与特征矢量(Eigenvaluesandeigenvectors). MATLAB中使用函数eig计算特征值和特征矢量,有两种调用方法: *e=eig(a),其中e是包含特征值的矢量; *[v,d]=eig(a),其中v是一个与a相同的n×n阶矩阵,它的每一列是矩阵a的一个特征值所对应的特征矢量,d为对角阵,其对角元素即为矩阵a的特征值。 例: 计算特征值和特征矢量。 a=[342515;18359;41219] e=eig(a) [v,d]=eig(a) a= 342515 18359 41219 e= 68.5066 15.5122 -6.0187 v= -0.6227-0.4409-0.3105 -0.49690.6786-0.0717 -0.6044-0.58750.9479 d= 68.506600 015.51220 00-6.0187 EIGEigenvaluesandeigenvectors. 五.数据分析(DataAnalyaia) MATLAB对数据分析有两条约定: (1)若输入量X是矢量,则不论是行矢量还是列矢量,运算是对整个矢量进行的; (2)若输入量X是数组,(或称矩阵),则命令运算是按列进行的。 即默认每个列是有一个变量的不同“观察“所得的数据组成。 1.基本统计命令(表4-1) 例: 做各种基本统计运算。 A=[5-10-60;263-3;-95-1011;-22170-19;-16-44] Amax=max(A)%找A各列的最大元素 Amin=min(A)%找A各列的最小元素 Amed=median(A)%找A各列的中位元素 Amean=mean(A)%找A各列的平均值 Astd=std(A)%求A各列的标准差 Aprod=prod(A)%求A各列元素的积 Asum=sum(A)%求A各列元素的和 S=cumsum(A)%求A各列元素的累积和 P=cumprod(A)%求A各列元素的累积积 I=sort(A)%使A的各列元素按递增排列 A= 5-10-60 263-3 -95-1011 -22170-19 -16-44 Amax= 517311 Amin= -22-10-10-19 Amed= -16-40 Amean= -5.00004.8000-3.4000-1.4000 Astd= 10.83979.62815.079411.1490 Aprod= -1980-3060000 Asum= -2524-17-7 S= 5-10-60第一行就是原数据, 7-4-3-3第二行是前两行之和, -21-138以此类推。 -2418-13-11 -2524-17-7 P= 5-10-60 10-60-180 -90-3001800 1980-510000 -1980-3060000 I= -22-10-10-19 -95-6-3 -16-40 2604 517311 >> 求矩阵元素的最大值、最小值可用: Amax=max(max(A))或Amax=max(A(: )), Amin=min(min(A))或Amin=min(A(: )) 六.插值: (Interpolation) 在已知数据之间计算估计值的过程。 1.一维插值(1DInterpolation) 由interp1实现,用多项式技术计算插值点。 Yi=interp1(x,y,xi,method)y—函数值矢量,x—自变量取值范围,xi—插值点的自变量矢量, Method—插值方法选项。 MATLAB6.1的4种方法: *临近点插值: method=‘nearest’ *线性插值: method=‘linear’ *三次样条插值: method=‘spline’ *立方插值: method=‘pchip’or‘cubic’ 选择插值方法时主要考虑因素: 运算时间、占用计算机内存和插值的光滑程度。 比较: 运算时间、占用计算机内存光滑程度。 *临近点插值: 快少差 *线性插值: 稍长较多稍好 *三次样条插值: 最长较多最好 *立方插值: 较长多较好 例1: 一维插值函数插值方法的对比。 x=0: 10; y=sin(x); xi=0: 0.25: 10; strmod={'nearest','linear','spline','cubic'}%将插值方法定义为单元数组 str1b={'(a)method=nearest','(b)method=linear',... '(c)method=spline','(d)method=cubic'}%将图标定义为单元数组 fori=1: 4 yi=interp1(x,y,xi,strmod{i}); subplot(2,2,i) plot(x,y,'ro',xi,yi,'b'),xlabel(str1b(i)) end strmod= 'nearest''linear''spline''cubic' 例2: 三次样条插值 x0=0: 10; y0=sin(x0); x=0: .25: 10; y=spline(x0,y0,x); plot(x0,y0,'or',x,y,'k') 与interp1结果一样 2.二维插值(2DInterpolation) 用于图形图象处理和三维曲线拟合等领域,由interp2实现,一般格式为: ZI=interp2(X,Y,Z,XI,YI,method)X,Y—自变量组成的数组,尺寸相同。 XI,YI—插值点的自变量数组 Method—插值方法选项,4种 *临近点插值: method=‘nearest’ *线性插值: method=‘linear’该方法是interp2函数的缺省方法 *三次样条插值: method=‘spline’ *立方插值: method=‘pchip’or‘cubic’ 例: 二维插值4种方法的对比。 [x,y,z]=peaks(7);figure
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 第四章 MATLAB的数值计算功能 第四 MATLAB 数值 计算 功能
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)