《复变函数》考试试题与答案各种总结docx.docx
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《复变函数》考试试题与答案各种总结docx
---
《复变函数》考试试题
(一)
一、
判断题(20分):
1.
若f(z)在z0的某个邻域内可导,则函数
f(z)在z0解析.
2.
有界整函数必在整个复平面为常数.
3.若{zn}收敛,则{Rezn}与{Imzn}都收敛.
4.若f(z)在区域D内解析,且f'(z)0,则f(z)C(常数)
5.若函数f(z)在z0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数
6.若z0是f(z)的m阶零点,则z0是1/f(z)的m阶极点.
limf(z)
7.若
z
z0
存在且有限,则
z0是函数f(z)
的可去奇点.
()
()
()
.()
.()
()
()
8.若函数f(z)在是区域D内的单叶函数,则f'(z)0(zD).()
9.
若f(z)在区域
D内解析,则对D内任一简单闭曲线
C
f
zdz
0
.
()
C
(
)
10.若函数f(z)
在区域D内的某个圆内恒等于常数,则
f(z)
在区域D内恒等于常数.(
)
二.填空题(20
分)
1、|zz0|
dz
__________.(n为自然数)
1(z
z)n
0
2.
sin2z
cos2z
_________.
3.
函数sinz的周期为___________.
f(z)
z2
1
1,则f(z)的孤立奇点有__________.
4.
设
5.幂级数nzn的收敛半径为__________.
n0
6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________.
limzn
limz1
z2...
zn
7.若n
,则n
n
______________.
Res(e
z
8.
n,0)
________,其中n为自然数.
z
----
---
9.
sinz
的孤立奇点为________.
z
若z0是f(z)
limf(z)
___
10.
的极点,则zz0
.
三.
计算题(40分):
f(z)
1
1.设(z1)(z2),求f(z)在D{z:
0|z|1}内的罗朗展式.
1
dz.
|z|1cosz
2.
3.
设
f(z)
32
7
1d
{z:
|z|3},试求f'(1i).
C
z
,其中C
z
1
w
1的实部与虚部.
4.
求复数z
四.证明题.(20分)
1.函数f(z)在区域D内解析.证明:
如果|f(z)|在D内为常数,那么它在D内
为常数.
2.试证:
f(z)
z(1
z)在割去线段0
Rez
1的z平面内能分出两个单值解析分支,
并求出支割线
0Rez
1
上岸取正值的那支在
z
1
的值.
《复变函数》考试试题
(一)参考答案
一.
判断题
1.×2.√
3.√
4.√
5.√
6.√
7.×8.×9.×10.×
二.填空题
2
i
n
1
2.1;
3.2k
,(k
z);4.
zi;5.
1
1.
n
;
0
1
6.整函数;
7.
;
1
;
9.
0;
10..
8.
(n1)!
三.计算题.
1.解因为0z1,所以0z1
f(z)
1
1
1
z
zn
1
(z)n.
(z1)(z2)1z
2(1
)
n0
2n02
2
----
---
2.
解
因为
z
2
1
Resf(z)
lim
lim
cosz
sinz
1
z
z
z
2
2
2
Resf(z)
lim
z
2
lim
1
1.
cosz
sinz
z
z
z
2
2
2
所以
1
dz
2
i(Resf(z)
Resf(z)
0
.
z
2cosz
z
2
z
2
3.
解令(
)
3
2
7
1,
则它在z平面解析,由柯西公式有在z
3内,
f(z)
c
(
)dz
2
i
(z).
z
所以f(1
i)
2
i
(z)z
1i
2
i(13
6i)
2
(
6
13i).
4.
解令z
a
bi,
则
w
z1
1
2
1
2(a
1
bi)
1
2(a
1)
2b
2.
z1
z1
2
2
2
b
2
2
b
(a1)b
(a1)
(a1)
z
1
2(a
1)
z
1
2b
b2.
故Re(z
1)
1
(a
1)2
b2,Im(
z
1)
(a
1)2
四.证明题.
1.
证明设在D内f(z)
C.
令f(z)uiv,
2
u2
v2
c2.
则f(z)
两边分别对x,y求偏导数,
得
uux
vvx
0
(1)
uuy
vvy
0
(2)
因为函数在D内解析,
所以ux
vy,uy
vx.
代入
(2)
则上述方程组变为
uux
vvx
0.
消去ux得,
(u2
v2)vx
0.
vuxuvx
0
1)
若u2
v2
0,则
f(z)
0为常数.
2)
若vx
0,
由方程
(1)
(2)及C.
R.方程有ux
0,
uy
0,vy
0.
所以u
c1,v
c2.(c1,c2为常数).
----
---
所以f
(z)c1
ic2为常数.
2.证明f(z)
z(1
z)的支点为z
0,1.于是割去线段0
Rez
1的z平面内变点就
不可能单绕0
或1转一周,故能分出两个单值解析分支.
由于当z从支割线上岸一点出发
连续变动到z
0,1时,只有z的幅角增加
.所以
f(z)z(1
z)的幅角共增加
.由已知所取分支在支割线上岸取正值
于是可认为该分
2
z
1的幅角为
故f(
1)
i
2i.
支在上岸之幅角为0,
因而此分支在
2e2
2
《复变函数》考试试题
(二)
一.
判断题.(20分)
1.
若函数f(z)
u(x,y)iv(x,y)在D内连续,则u(x,y)与v(x,y)都在D内连续.
(
)
2.
cosz与sinz在复平面内有界.
(
)
3.
若函数f(z)在z解析,则f(z)在z连续.
(
)
0
0
4.
有界整函数必为常数.
一定不存在.
(
)
5.
如0是函数
f(z)
的本性奇点,则
limf(z)
(
)
z
zz0
6.
若函数f(z)在z0可导,则f(z)在z0解析.
(
)
7.
若f(z)在区域D内解析,则对D内任一简单闭曲线C
f(z)dz
0.
C
(
)
8.
若数列{zn}收敛,则{Rezn}与{Imzn}都收敛.
(
)
9.
若f(z)在区域D内解析,则|f(z)|也在D内解析.
(
)
10.
存在一个在零点解析的函数
1
)0
1
1
1,2,....
f(z)使f(
且f()
n
n
1
2n
2n
(
)
二.填空题.(20分)
1.
设z
i,则|z|__,argz
__,z__
2.设f(z)
(x2
2xy)i(1
sin(x2
y2),zx
iyC,则lim
f(z)________.
z1
i
3.
|zz0|1(z
dz
_________.
z)
n
0
(n为自然数)
----
---
4.幂级数nzn的收敛半径为__________.
n0
5.若z0是f(z)的m阶零点且m>0,则z0是f'(z)的_____零点.
6.函数ez的周期为__________.
7.
方程2z5
z3
3z80在单位圆内的零点个数为________.
8.
设f(z)
1
,则f(z)的孤立奇点有_________.
2
1
z
9.函数f(z)|z|的不解析点之集为________.
10.Res(z4
1,1)____.
z
三.计算题.(40分)
1.求函数sin(2z3)的幂级数展开式.
2.在复平面上取上半虚轴作割线.试在所得的区域内取定函数z
在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右
沿的点zi处的值.
i
3.计算积分:
I|z|dz,积分路径为
(1)单位圆(|z|1)
i
的右半圆.
sinzdz
z2
(z)2
4.求2.
四.证明题.(20分)
1.设函数f(z)在区域D内解析,试证:
f(z)在D内为常数的充要条件是f(z)在
D内解析.
2.试用儒歇定理证明代数基本定理.
《复变函数》考试试题
(二)参考答案
一.
判断题.
1.√2.×3.√
4.√5.×6.×7.×8.√
9.×10.×.
二.
填空题
----
---
1.1,
,i;
2.3
(1
sin2)i;
3.
2i
n
1
4.1;
5.m1.
0
n
;
2
1
6.
2ki,(k
z).
7.0;
8.i;
9.
R;
10.0.
三.
计算题
1.
解sin(2z3)
(1)n(2z3)2n1
(
1)n22n
1z6n
3
.
n0
(2n
1)!
n0
(2n
1)!
2.
解令z
rei.
2k
i
则f(z)
z
re
2
(k
0,1).
又因为在正实轴去正实值,所以
k
0.
所以f(i)
i
e4.
3.
单位圆的右半圆周为
z
ei
i
dei
ei
所以zdz
2
2
i
2
2
4.
解
.
22
2i.
即u,v满足C.
R.,
且
ux,vy,uy,vx
连续,故f(z)在D内解析.
(充分性)令f(z)
u
iv
则
f(z)
u
iv,
因为f(z)与f(z)在D内解析,
所以
uxvy,uy
vx,
且ux(v)y
vy,uy
(vx)
vx.
比较等式两边得
uxvy
uy
vx
0.
从而在D内u,v均为常数,故f(z)在D内为常数.
2.即要证“任一
n
次方程
a0zn
a1zn
1
an1z
an
0
(a0
0)有且只有
n个
根”.
证明令f(z)
a0zn
a1zn1
an
1z
an
0,
取R
max
a1
an
1,
当z
a0
在C:
zR上时,
有
(z)
a1Rn1
an1
R
an
(a1
an)Rn1
a0
Rn.
f(z).
由儒歇定理知在圆
z
R内,
方程a0zn
a1zn1
an1zan
0
与a0zn
0
有相
----
---
同个数的根.而a0zn0在zR内有一个n重根z0.因此n次方程在zR内有n个根.
《复变函数》考试试题(三)
一.判断题.(20分).
1.
cosz与sinz的周期均为2k.
(
)
2.
若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件,
则f(z)在z0解析.
()
3.
若函数f(z)在z0处解析,则f(z)在z0连续.
(
)
4.
若数列{zn}收敛,则{Rezn}与{Imzn}都收敛.
(
)
5.若函数f(z)是区域D内解析且在D内的某个圆内恒为常数,则数f(z)在区
域D内为常数.
()
6.
若函数f(z)在z0解析,则f(z)在z0的某个邻域内可导.
(
)
7.
如果函数f(z)在D
{z:
|z|1}上解析,且|f(z)|1(|z|1)
则
|f(z)|1(|z|1).
(
)
8.
若函数f(z)在z0
处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.
(
)
9.
若z0是f(z)的m阶零点,则z0是1/f(z)的m阶极点.
(
)
10.
若z0是f(z)的可去奇点,则Res(f(z),z0)0.
(
)
二.填空题.(20分)
1.设f(z)
1
,则f(z)的定义域为___________.
2
z
1
2.函数ez的周期为_________.
3.
若zn
n
2
i(11)n,则limzn__________.
1
n
n
n
4.
sin2z
cos2z
___________.
dz
5.
|zz0|1(zz)
n
(n为自然数)
_________.
0
6.
幂级数
nxn的收敛半径为__________.
n
0
设f(z)
1
f
z
的孤立奇点有
z21,则
7.
()
__________.
8.
设ez
1,则z
___.
----
---
9.
若z是f(z)的极点,则limf(z)___.
0
zz0
z
10.
Res(en,0)____.
z
三.计
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