知识点241余角和补角解答张松柏.docx
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知识点241余角和补角解答张松柏
一.解答题(共122小题)
1.计算:
已知∠a=57°30′,它的余角是多少?
考点:
余角和补角。
专题:
计算题。
分析:
根据余角的定义,两个锐角和为90°的角互余.
解答:
解:
由题意得:
∠a=57°30′,
故其余角为(90°﹣∠α)=32°30′.
答:
∠α的余角为32°30′.
点评:
本题考查的知识点是两个角的互余,互余的两个角的和为90°.
2.一个角的余角与这个角的补角的和比平角的
多1°,求这个角.
考点:
余角和补角。
专题:
计算题;方程思想。
分析:
首先根据余角与补角的定义,设这个角为x°,则它的余角为(90°﹣x),补角为(180°﹣x),再根据题中给出的等量关系列方程即可求解.
解答:
解:
设这个角为x°,则它的余角为(90°﹣x),补角为(180°﹣x),
则(90°﹣x+180°﹣x)﹣
×180°=1,
x=67°.
答:
这个角为67°.
点评:
此题综合考查余角与补角,属于基础题中较难的题,解答此类题一般先用未知数表示所求角的度数,再根据一个角的余角和补角列出代数式和方程求解.
3.互补的两角之差是28°,求其中一个角的余角.
考点:
余角和补角。
分析:
设一个角为x,则它的补角为180°﹣x,再根据互补的两角之差是28°可得出x的值,进而也能求出它的余角.
解答:
解:
设一个角为x,则它的补角为180°﹣x,
又∵两角之差是28°,
∴x﹣(180°﹣x)=28°,
∴x=104°,180°﹣x=76°
它的余角为14°
点评:
本题考查余角和补角的知识,难度不大,注意设出未知数后细心运算.
4.已知∠1和∠2互补,∠3和∠2互余,求证:
∠3=
(∠l一∠2).
考点:
余角和补角。
专题:
证明题。
分析:
根据题意得出∠2+∠3=90°,∠1+∠2=180°,消去常数可得出答案.
解答:
证明:
由题意得:
∠2+∠3=90°,∠1+∠2=180°,
∴2(∠2+∠3)=∠1+∠2,
故可得:
∠3=
(∠l一∠2).
点评:
本题考查了余角和补角的知识,有一定难度,关键是将已知等式变形为要证的等式的形式.
5.如图Rt∠COD的顶点O在直线AB上,OE⊥AB,指出图中所有互余的角,并选择其中一对说明理由.
考点:
余角和补角;垂线。
分析:
在找互余的两角时,可先确定较小(或较大)角,从最小(或最大)角的余角开始找,能做到不重合、不遗漏.
解答:
解:
∵OE⊥AB,∠COD的顶点O在直线AB上,
∴∠AOE=∠BOE=∠COD=90°,∠AOC+∠BOD=90°,
∴互余的角有∠AOC与∠COE,∠AOC与∠BOD,∠DOE与∠COE,∠DOE与∠BOD.
理由:
∵OE⊥AB,
∴∠AOC+∠COE=90°.
点评:
主要考查了余角和补角的概念以及运用.互为余角的两角的和为90°,互为补角的两角之和为180度.解此题的关键是能准确的从图中找出角之间的数量关系.
6.若∠1与∠2互余,∠3与∠1互补,∠2=27°18′,求∠3的度数.
考点:
余角和补角。
专题:
计算题。
分析:
根据∠1与∠2互余,可知∠1=90°﹣∠2;由∠3与∠1互补,可知∠3=180°﹣∠1,代入∠2的度数计算即可.
解答:
解:
∵∠1与∠2互余,∠2=27°18′
∴∠1=62°42′,
∵∠3与∠1互补,
∴∠3=117°18′.
答:
∠3的度数为117°18′.
点评:
本题主要考查角的运算,涉及到余角和补角的定义,要求学生熟练掌握并区分两定义的差别.
7.一个角的补角加上24°,恰好等于这个角的5倍,求这个角的度数.
考点:
余角和补角。
专题:
计算题。
分析:
互补即两角的和为180°,本题把这个角的度数看成一个未知数,就可得到一个方程,从而转化为方程问题解决.
解答:
解:
设这个角的度数为x°,
180﹣x+24=5x,
解得,x=34.
∴这个角的度数是34°.
点评:
考查补角的定义.此题把角的关系结合方程问题一起解决,即把相等关系的问题转化为方程问题,利用方程组来解决.既有一定的综合性,是道不错的题.
8.已知互余两角的差为20°,求这两个角的度数.
考点:
余角和补角。
专题:
计算题。
分析:
设这个角为α(α>45°),则其余角的可以表示出来为90°﹣α,根据题意,互余两角的差为20°,列出等式,即可解出α和其余角90°﹣α.
解答:
解:
设这个角为α(α>45°),则它的余角为90°﹣α,
根据题意,α﹣(90°﹣α)=20°;
得,α=55°,则其余角为35°.
答:
这两个角分别为55°和35°.
点评:
此题主要考查的是角与角之间的运算关系.
9.已知一个角的余角等于这个角的补角的
,试求这个角的度数.
考点:
余角和补角。
专题:
计算题。
分析:
利用题中的“一个角的余角等于这个角的补角的
”作为相等关系列方程求解.
解答:
解:
设这个角是x,则90°﹣x=
(180°﹣x),
解得x=60°.
答:
求这个角的度数为60°.
点评:
主要考查了余角和补角的概念以及运用.互为余角的两角的和为90°,互为补角的两角之和为180°.解此题的关键是能准确的从图中找出角之间的数量关系,从而计算出结果.
10.一个角的8倍等于这个角的补角,则这个角等于多少度.
考点:
余角和补角。
专题:
计算题。
分析:
利用题中“一个角的8倍等于这个角的补角”作为相等关系列方程求解即可.
解答:
解:
设这个角为x,据题意得:
8x=180﹣x
解得x=20°.
答:
这个角等于20度.
点评:
主要考查了余角和补角的概念以及运用.互为余角的两角的和为90°,互为补角的两角之和为180°.解此题的关键是能准确的从图中找出角之间的数量关系,从而计算出结果.
11.
(1)在直线l上顺次取A、B、C三点,使得AB=4cm,BC=3cm.如果O是线段AC的中点,求线段OB的长度.
(2)已知∠α的余角等于15°,求∠α的补角.
考点:
余角和补角;比较线段的长短。
专题:
计算题。
分析:
(1)根据题意,先求线段AB、BC的和,根据中点的定义求得AO的长度,再根据OB=AB﹣AO即可求解.
(2)同一个的补角等于它的余角加上90度.
解答:
解:
(1)∵AB=4cm,BC=3cm,∴AC=AB+BC=7cm.
∵O是线段AC的中点,∴AO=
AC=
×7=3.5cm.
∴OB=AB﹣AO=4﹣3.5=0.5cm.
(2)∵∠α的余角等于15°,∴∠α的补角是15°+90°=105°.
点评:
此题综合考查余角与补角,属于基础题,注意运用同一个的补角等于它的余角加上90度.
12.
(1)计算:
(43°13′28″÷2﹣10°5′18″)×3;
(2)一个角的余角与这个角的补角的和比平角的
多1°,求这个角.
考点:
余角和补角;度分秒的换算。
专题:
计算题。
分析:
先算乘除,后算加减.计算除法时,度的余数化为分,分的余数化为秒再计算.计算乘法时,秒满60时转化为分,分满60时转化为度.两个度数相加,度与度,分与分对应相加,分的结果若满60,则转化为度.
解答:
解:
(1)原式=(21°36'44''﹣10°5'18'')×3
=11°31'26''×3
=34°34'18'';
(2)设这个角为x,列方程得:
(90°﹣x)+(180°﹣x)=
×180°+1°,
解得x=67°.
答:
这个角是67°.
点评:
此类题是进行度、分、秒的加法、减法计算,相对比较简单,注意以60为进制即可.
13.已知∠A=132°15′18″,∠B=85°30′13″.
(1)求∠A+2∠B;
(2)求∠B的余角与∠A的补角的和的3倍.
考点:
余角和补角;角的计算。
专题:
计算题。
分析:
(1)直接相加即可;
(2)先将求∠B的余角与∠A的补角的和的3倍用代数式表示出来,再逐步化简运算并求值.
解答:
解:
(1)∠A+2∠B=132°15′18″+2×85°30′13″
=132°15′18″+171°26″
=303°15′44″.
(2)根据题意,得
3[(90°﹣∠B)+(180°﹣∠A)]
=3[(90°﹣85°30′13″)+(180°﹣132°15′18″)]
=3(4°29′47″+47°44′42″)
=3×52°14′29″=156°43′27″
∴∠B的余角与∠A的补角的和的3倍是156°43′27″.
点评:
此题综合考查余角与补角的定义及角的运算.
14.如果一个锐角的补角比这个角的余角的2倍还多40°,那么这个角的余角是多少度?
考点:
余角和补角。
专题:
计算题。
分析:
这类题目要先设出这个角的度数.设这个角为x,分别写出它的余角和补角,根据题意写出等量关系,解之即可得到这个角的度数.
解答:
解:
解法一:
设这个角为x°,则其余角为(90﹣x)°,补角为(180﹣x)°
∴180﹣x=2(90﹣x)+40,
∴x=40°
∴90﹣x=50°
答:
这个角的余角是50度.
解法二:
设这个角的余角为x°,则其补角为(90+x)°
∴90+x=2x+40,
∴x=50°
答:
这个角的余角是50度.
点评:
考查了角的互余和互补关系与角度之间的运算.
15.
(1)175°16′30″﹣47°30′÷6+4°12′50″×3;
(2)一个角的补角加上10°等于这个角的余角的3倍,求这个角.
考点:
余角和补角;度分秒的换算。
专题:
计算题。
分析:
(1)答题首先知道1°=60′=360″,然后利用实数运算法则计算结果,
(2)设这个角为α,由180°﹣α+10°=3(90°﹣α),解得α.
解答:
解:
(1)175°16′30″﹣47°30′÷6+4°12′50″×3
=175°16′30″﹣7°55′+12°38′30″=180°.
(2)设这个角为α,由180°﹣α+10°=3(90°﹣α),
解得α=40°,
答:
这个角为40°.
点评:
本题主要考查角的比较与运算,还考查了余角和补角的知识点,比较简单.
16.
(1)已知∠α的补角是∠α的4倍,求∠α的度数.
(2)互为余角的两角之差为35°,求较大角的补角.
考点:
余角和补角。
专题:
计算题。
分析:
(1)首先根据补角的定义,设∠α为x,则它的补角为(180°﹣x),再根据题中给出的等量关系列方程即可求解.
(2)首先根据余角的定义,设这两个角中的较大角为α,大小为x;则另一角为(90°﹣x);再根据题中给出的等量关系列方程即可求解.
解答:
解:
(1)设∠α为x,则它的余角为(90°﹣x),补角为(180°﹣x),根据题意有:
(180﹣x)=4x,解得x=36°,故∠α=36°.
(2)设这两个角中的较大角为α,较小为x,则另一角的大小为(90°﹣x);
根据题意有:
x﹣(90°﹣x)=35°,解得x=62.5°,
答:
较大角的补角为180﹣x=117.5°.
点评:
此题综合考查余角与补角,解答此类题一般先用未知数表示所求角的度数,再根据一个角的余角和补角列出代数式和方程求解.
17.若互为余角的两个角的差为20°,求较小角的补角的度数.
考点:
余角和补角。
专题:
计算题。
分析:
首先根据余角与补角的定义,设较小的角为x°,则它的余角为(x+20)度,补角为(180°﹣x),再根据题中给出的等量关系列方程即可x,再代入(180°﹣x)即可求较小角的补角的度数.
解答:
解:
设较小角为x度,则它的余角为(x+20)度.
∴x+(x+20)=90
则2x=70
得x=35(度)
故较小角的补角=180°﹣35°=145°
答:
较小角的补角为145度.
点评:
此题综合考查余角与补角,属于基础题中较难的题,解答此类题一般先用未知数表示所求角的度数,再根据一个角的余角和补角列出代数式和方程求解.
18.已知∠α,用两种不同的方法,画出∠α的余角∠β和∠α的补角∠γ.
考点:
余角和补角。
专题:
作图题。
分析:
(1)作∠α的余角:
①在顶点处作一边的垂线,这条垂线与另一边组成的锐角为∠α的余角;
②在顶点处作另一边的垂线,与一边组成的锐角即为∠α的余角.
(2)作∠α的补角:
①过∠α的一边做其反向延长线,延长线与另一边所组成的角为∠α的补角;
②过另一条边作其反向延长线,延长线与一边所组成的钝角即为∠α的补角.
解答:
解:
∠α的余角如图
(1)、
(2),∠α的补角如图(3)、(4):
点评:
考查了余角和补角的定义以及在图中角的作法.
19.一个角的余角和它的补角之比是3:
7,求这个角是多少度?
考点:
余角和补角。
专题:
计算题。
分析:
首先根据余角与补角的定义,设这个角为x°,则它的余角为(90°﹣x),补角为(180°﹣x),再根据题中给出的等量关系列方程即可求解.
解答:
解:
设这个角的度数为x,则它的余角为(90°﹣x),补角为(180°﹣x);
依题意,得:
7(90°﹣x)=3(180°﹣x),
解得x=22.5°;
答:
这个角的度数为22.5°.
点评:
此题综合考查余角与补角,解答此类题一般先用未知数表示所求角的度数,再根据一个角的余角和补角列出代数式和方程求解.
20.
(1)先化简,再求值.3x2y﹣[2x2y﹣(xyz﹣2xz2)﹣3x2y]﹣2xyz,其中x=1,y=﹣2,z=﹣1
(2)一个角的补角与这个角的余角的和是平角的
还多1°,求这个角.
考点:
余角和补角;整式的加减—化简求值。
专题:
计算题。
分析:
(1)此题括号比较多,应利用去括号法则,先逐层去括号,再合并同类项,然后把数值代入化简以后的式子;
(2)首先根据余角与补角的定义,设这个角为x°,则它的补角为(180°﹣x°),余角为(90°﹣x°),再根据题中给出的等量关系列方程即可求解.
解答:
(1)解:
原式=3x2y﹣[2x2y﹣xyz+2xz2﹣3x2y]﹣2xyz
=3x2y﹣2x2y+xyz﹣2xz2+3x2y﹣2xyz
=4x2y﹣xyz﹣2xz2.
当x=1,y=﹣2,z=﹣1时,
原式=4×1×(﹣2)﹣1×(﹣2)×(﹣1)﹣2
=﹣12;
(2)解:
设这个角为x°,
则(180﹣x)+(90﹣x)=
×180+1,
化简得270﹣2x=135+1,
解得x=67.
答:
这个角为67°.
点评:
本题主要考查了整式的加减运算,求代数式的值的方法,余角与补角的定义等知识.
21.一个角的补角比它的余角的二倍还多18度,这个角有多少度?
考点:
余角和补角。
专题:
计算题。
分析:
首先根据余角与补角的定义,设这个角为x°,则它的余角为(90°﹣x),补角为(180°﹣x),再根据题中给出的等量关系列方程即可求解.
解答:
解:
设这个角的度数为x,则它的余角为(90°﹣x),补角为(180°﹣x),
依题意,得180°﹣x=2(90°﹣x)+18°
解得x=18°
答:
这个角的度数为18°.
点评:
此题综合考查余角与补角,属于基础题中较难的题,解答此类题一般先用未知数表示所求角的度数,再根据一个角的余角和补角列出代数式和方程求解.
22.已知∠1和∠2互为补角,∠2度数的一半比∠1大45°,试求出∠1与∠2的度数.
考点:
余角和补角。
专题:
计算题。
分析:
利用补角的定义列出方程和题中意义列出方程联立方程组求解即可.
解答:
解:
根据题意可知∠1+∠2=180°①
∠2﹣∠1=45°②
①②联立方程组求解得
∠1=30°,∠2=150°.
故∠1=30°,∠2=150°.
点评:
主要考查了余角和补角的概念以及运用.互为余角的两角的和为90°,互为补角的两角之和为180度.解此题的关键是能准确的从图中找出角之间的数量关系,从而计算出结果.
23.如图,射线OC、OD在∠AOB的内部,∠AOC=
∠AOB,OD平分∠BOC,∠BOD与∠AOC互余,求∠AOB的度数、(提示:
设∠AOC=x度)
考点:
余角和补角;角平分线的定义。
专题:
计算题。
分析:
首先根据余角的定义,设这个角为x°,结合角平分线的性质,可以求出∠AOB的度数.
解答:
解:
设∠AOC=x度,
∵∠AOC=
∠AOB,∴∠AOB=5x度
∴∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=4x度
∵OD平分∠BOC,∴∠BOD=∠COD=2x度
∵∠BOD与∠AOC互余,∴2x+x=90,
解得x=30
∴∠AOB=5×30=150度.
答:
∠AOB的度数为150度.
点评:
此题把角的关系结合方程问题一起解决,即把相等关系的问题转化为方程问题,利用两角互余和为90°,即可.
24.一个角的余角的补角比这个角的补角的一半大90°,求这个角的度数.
考点:
余角和补角。
专题:
计算题。
分析:
互补即两角的和为180°,互余的两角和为90°,设这个角的余角为∠A,则这个角的为90°﹣∠A,根据题意解方程即可.
解答:
解:
设这个角的余角为∠A,则这个角的为90°﹣∠A,
这个角的补角为180°﹣(90°﹣∠A)=90°+∠A,则180°﹣∠A=
(90°+∠A)+90°,
解得∠A=30°.
所以90°﹣∠A=60°,
答:
这个角为60°.
点评:
此题把角的关系结合方程问题一起解决,即把相等关系的问题转化为方程问题,利用方程组来解决.既有一定的综合性,是道不错的题.
25.如图,已知AO⊥OC,OB⊥OD,∠COD=38°,求∠AOB的度数.
考点:
余角和补角;角的计算。
专题:
计算题。
分析:
根据垂直的定义得到∠AOC=∠DOB=90°,由互余关系得到∠BOC=90°﹣∠COD=90°﹣38°=52°.
解答:
解:
∵AO⊥OC,OB⊥OD,
∴∠AOC=∠DOB=90°,
而∠COD=38°,
∴∠BOC=90°﹣∠COD=90°﹣38°=52°.
点评:
本题考查了余角的概念:
若两个,角的和为90°,那么这两个角互余.
26.如图,点A、O、E在同一条直线上,OB、OC、OD都是射线,∠1=∠2,∠1与∠4互为余角.
(1)∠2与∠3的大小有何关系?
请说明理由.
(2)∠3与∠4的大小有何关系?
请说明理由.
(3)说明∠3的补角是∠AOD.
考点:
余角和补角。
专题:
计算题。
分析:
(1)根据题意和图可断定∠2与∠3互余.因为A、O、E在同一直线上知∠1+∠2+∠3+∠4=180°,又知∠1+∠4=90°,从而推出结论;
(2)由
(1)知∠1+∠4=∠2+∠3,又因为∠1=∠2,则∠3=∠4;
(3)由
(2)中∠3=∠4知∠3的补角就是∠4的补角.因为∠4的补角是∠AOD,所以∠3的补角是∠AOD.
解答:
解:
(1)∠2与∠3互余.(1分)
理由:
由A、O、E在同一直线上知∠1+∠2+∠3+∠4=180°.
由∠1与∠4互余知∠1+∠4=90°,则∠2+∠3=90°,所以∠2与∠3互余.(3分)
(2)∠3=∠4.(4分)
理由:
由
(1)知∠1+∠4=∠2+∠3,又∠1=∠2,则∠3=∠4.(6分)
(3)由
(2)中∠3=∠4知∠3的补角就是∠4的补角.因为∠4的补角是∠AOD,
所以∠3的补角是∠AOD.(9分)
点评:
本题考查了余角和补角的定义,解题时牢记定义是关键.
27.已知:
AOB为一直线,O在AB上,OE⊥OF,求证:
∠1和∠2互余.
考点:
余角和补角;垂线。
专题:
证明题。
分析:
首先根据平角定义可得∠AOB=180°,再根据垂直定义可得∠EOF=90°,最后利用角的和差关系可得到∠1和∠2互余.
解答:
证明:
∵AOB为一直线,
∴∠1+∠2+∠FOE=180°,
∵OE⊥OF,
∴∠EOF=90°,
∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°,
∴∠1和∠2互余.
点评:
此题主要考查了平角,垂直,以及角的和差关系,题目比较基础,关键是把握和为90°的两角互余.
28.一个角的余角比它的2倍角的补角还少15°,求这个角的度数.
考点:
余角和补角。
专题:
计算题。
分析:
首先根据余角与补角的定义,设这个角为x°,则它的余角为(90°﹣x),补角为(180°﹣x),再根据题中给出的等量关系列方程即可求解.
解答:
解:
设这个角的度数为x,则它的余角为(90°﹣x),补角为(180°﹣x),
依题意,得:
(90°﹣x)=180°﹣2x﹣15°,
解得x=75°,
∴这个角的度数为75°.
点评:
本题综合考查了余角与补角,解答此类题一般先用未知数表示所求角的度数,再根据一个角的余角和补角列出代数式和方程求解,难度适中.
29.如图,直线AB与CD相交于O,OF,OD分别是∠AOE,∠BOE的平分线.
(1)写出∠DOE的补角;
(2)若∠BOE=62°,求∠AOD和∠EOF的度数;
(3)试问射线OD与OF之间有什么特殊的位置关系?
为什么?
考点:
余角和补角;角的计算;垂线。
分析:
(1)根据互补的定义确定∠DOE的补角;
(2)先根据角平分线的定义得出∠BOD的度数,再由邻补角定义可得∠AOD=180°﹣∠BOD;先根据邻补角定义可得∠AOE=180°﹣∠BOE,再由角平分线的定义得出∠EOF的度数;
(3)运用平角的定义和角平分线的定义,证明∠DOF是90°,得直线OD、OF的位置关系.
解答:
解:
(1)∠DOE的补角为:
∠COE,∠AOD,∠BOC;
(2)∵OD是∠BOE的平分线,
∴∠BOD=
∠BOE=31°,
∴∠AOD=180°﹣∠BOD=149°;
∵∠AOE=180°﹣∠BOE=118°,
又∵OF是∠AOE的平分线,
∴∠EOF=
∠AOE=59°.
即∠AOD=149°,∠EOF=59°;
(3)射线OD与OF互相垂直.理由如下:
∵OF,OD分别是∠AOE,∠BOE的平分线,
∴∠DOF=∠DOE+∠EOF=
∠BOE+
∠EOA=
(∠BOE+∠EOA)=
×180°=90°.
∴OD⊥OF.
即射线OD、OF的位置关系是垂直.
点评:
本题考查了角平分线、补角、垂线的定义以及角的计算,属于基础题型,比较简单.
30.已知两个角互补,且它们的度数之比为4:
5,求这两个角的度数分别为多少?
考点:
余角和补角。
分析:
根据补角定义:
若两个角的和等于180°,则这两个角互补,列方程解答.
解答:
解:
因为两个角的度数之比为4:
5,
所以设这两个角的度数分别为4x和5x.
根据题意,列方程,得
4x+5x=180,
解这个方程,得x=20,
所以4x=80,5x=100.
答:
这两个角为80°和100°.
点评:
本题考查了补角的定义.若两个角的和为90°,则这两个角互余;若两个角的和等于180°,则这两个角互补.
31.有两个角,若第一个角割去它的
后,与第二个互余,若第一个角补上它的
后,与第二个角互补,求这两个角的度数.
考点:
余角和补角;二元一次方程组的应用。
专题:
计算题。
分析:
设第一个角为α,第二个角为β,则
α+β=90°,(α+
α)+β=180°,解出即可.
解答:
解:
设第一个角为α,第二个角为β,
根据题意得:
,
解得:
∴这两个角分别是90°和30°.
点评:
本题考查余角和补角的知识,难度不大,根据题意列出方程是关键.
32.已知一个角的补角比这个角的4倍大15°,求这个角的余角.
考点:
余角和补角;解一元一次方程。
专题:
方程思想。
分析:
设这个角为x°,则这个角的补角为180°﹣x°,余角为90°﹣x°,从而根据题意可列出方程,解出即可得出答案.
解答:
解:
设这个角为x°,则这个角的余角为(180﹣x)°,
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