新人教版八年级数学上册同步测试112与三角形有关的角.docx
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新人教版八年级数学上册同步测试112与三角形有关的角
新人教版八年级数学上册同步测试:
11.2与三角形有关的角
预习要点
1.三角形的内角和定理:
三角形三个内角的和等于。
2.(2016•贵港)在△ABC中,若∠A=95°,∠B=40°,则∠C的度数为()
A.35°B.40°C.45°D.50°
3.(2016春•淮安期中)在△ABC中,∠C=30°,∠A-∠B=30°,则∠A=.
4.(2016春•盐都区校级月考)在△ABC中,∠C=90°,∠A:
∠B=1:
2,则∠A=度.
5.直角三角形的两锐角。
6.(2016•应城市三模)如图,三直线两两相交于A、B、C,CA⊥CB,∠1=30°,则∠2的度数为()
A.50°B.60°C.70°D.80°
7.(2016•昆明校级模拟)如图,BD平分∠ABC,CD⊥BD,D为垂足,∠C=55°,则∠ABC的度数是()
A.35°B.55°C.60°D.70°
8.(2016春•东台市月考)直角三角形的一个锐角为42°,另一个锐角为.
9.有两个角互余的三角形是三角形。
10.(2016春•东平县期中)适合条件∠A=∠B=
∠C的三角形一定是()
A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.任意三角形
11.(2016春•无锡期中)在△ABC中,若∠A-∠B=∠C,则此三角形是三角形.
同步小题12道
一.选择题
1.(2016•游仙区模拟)如图,△ABC中,AE是∠BAC的角平分线,AD是BC边上的高线,且∠B=50°,∠C=60°,则∠EAD的度数( )
A.35°B.5°C.15°D.25°
2.(2016春•迁安市期中)如图,AB∥CD,那么∠A,∠P,∠C的数量关系是( )
A.∠A+∠P+∠C=90°B.∠A+∠P+∠C=180°
C.∠A+∠P+∠C=360°D.∠P+∠C=∠A
3.(2016春•工业园区期中)下列条件中,能判定△ABC为直角三角形的是( )
A.∠A=2∠B=3∠CB.∠A+∠B=2∠C
C.∠A=∠B=30°D.∠A=
∠B=
∠C
4.(2016春•东台市期中)如图,△ABC中,∠ACB=90°,沿CD折叠△CBD,使点B恰好落在AC边上的点E处,若∠A=25°,则∠BDC等于( )
A.44°B.60°C.67°D.70°
5.(2015•菏泽)将一副直角三角尺如图放置,若∠AOD=20°,则∠BOC的大小为( )
A.140°B.160°C.170°D.150°
6.(2016春•高青县期中)如图,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,下列结论错误的是( )
A.图中有三个直角三角形B.∠1=∠2
C.∠1和∠B都是∠A的余角D.∠2=∠A
二.填空题
7.(2016•昆山市二模)如图,已知在△ABC中,∠B与∠C的平分线交于点P.当∠A=70°时,则∠BPC的度数为.
8.(2016春•无锡期中)如图,在△ABC中,∠ACB=68°,若P为△ABC内一点,且∠1=∠2,则∠BPC=°.
9.(2016春•工业园区期中)如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,∠A=40°,P是△ABC内一点,且∠ACP=∠PBC,则∠BPC=.
10.(2016•邳州市一模)若直角三角形的一个锐角为50°,则另一个锐角的度数是度.
三.解答题
11.(2016春•深圳校级期中)如图,在△ACB中,∠ACB=90゜,CD⊥AB于D.
(1)求证:
∠ACD=∠B;
(2)若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F,求证:
∠CEF=∠CFE.
12.(2016春•江都区校级月考)如图,在△ABC中,CD是∠ACB的角平分线,CE是AB边上的高,若∠DCE=10°,∠B=60°,求∠A的度数.
11.2.2三角形的外角
1.三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.如图,延长△ABC的一边BC,得到的三角形的外角为.
2.一般地,由三角形内角和定理可以推出下面的推论:
三角形的外角等于.
3.如图,∠1=55°,∠3=108°,则∠2的度数为( )
A.52°B.53°C.54°D.55°
4.(2016春•宜兴市校级期中)如图,∠B+∠C+∠D+∠E-∠A等于( )
A.360°B.300°C.180°D.240°
5.如图,在△ABC中,∠A=50°,∠C=70°,则外角∠ABD的度数是( )
A.110°B.120°C.130°D.140°
4.(2016春•招远市期中)如图,∠1,∠2,∠3的大小关系为.
5.如图,平面上直线a,b分别经过线段OK两端点(数据如图),则a,b相交所成的锐角是.
同步小题12道
一.选择题
1.如图,图中∠1的大小等于( )
A.40°B.50°C.60°D.70°
2.(2016•瑶海区一模)如图,AD是△ABC的外角∠CAE的平分线,∠B=30°,∠DAE=55°,则∠ACD的度数是( )
A.80°B.85°C.100°D.110°
3.(2016春•重庆校级月考)如下图,在△ABC中,AD平分外角∠CAE,∠B=30°,∠CAD=65°,则∠ACD等于( )
A.50°B.65°C.80°D.95°
4.将一副三角板按如图所示摆放,图中∠α的度数是( )
A.120°B.105°C.90°D.75°
5.(2016春•宜兴市校级月考)如图,已知∠BOF=120°,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F为多少度( )
A.360°B.720°C.540°D.240°
6.(2015秋•铁力市校级月考)下列说法错误的是( )
A.有一个外角是锐角的三角形是钝角三角形
B.有两个角互余的三角形是直角三角形
C.直角三角形只有一条高
D.任何一个三角形中,最大角不小于60度
二.填空题
7.(2016春•丹阳市校级月考)如图:
已知△ABC的∠B和∠C的外角平分线交于D,∠A=40°,那么∠D=度.
8.已知△ABC的一个外角为50°,则△ABC一定是三角形.
9.已知,如图,∠ACD=130°,∠A=∠B,那么∠A的度数是°.
10.若三角形的三个内角之比为1:
3:
5,则此三角形的三个外角依次为.
三.解答题
11.如图所示,在△ABC中,D是BC边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°,求∠DAC的度数.
12.(2016春•丰县期中)如图,在△ABC中,∠C=90°,BE平分∠ABC,AF平分外角∠BAD,BE与FA交于点E,求∠E的度数.
答案:
11.2与三角形有关的角
11.2.1三角形的内角
预习要点
1.180°
2.【解答】解:
∵三角形的内角和是180°,又∠A=95°,∠B=40°,∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-95°-40°=45°,
故选C
3.【解答】解:
∵∠A+∠B+∠C=180°,∠C=30°,∴∠A+∠B+=150°,∵∠A-∠B=30°,∴2∠A=180°,∴∠A=90°.
答案90°.
4.【解答】解:
设∠A为x.则90°+x+2x=180°,解得x=30°.即∠A=30°.
5.互余
6.【解答】解:
∵CA⊥CB,∴∠ACB=90°,∴∠2=180°-∠ACB-∠1=180°-90°-30°=60°,
故选B
7.【解答】解:
∵CD⊥BD,∠C=55°,∴∠CBD=90°-55°=35°,∵BD平分∠ABC,∴∠ABC=2∠CBD=2×35°=70°.
故选D
8.【解答】解:
∵直角三角形的两个锐角互余,∴当直角三角形的一个锐角为42°时,另一个锐角为90°-42°=48°,
答案:
48°.
9.直角
10.【解答】解:
设∠A=x,则∠B=x,∠C=3x.根据三角形的内角和定理,得x+x+3x=180,x=36.则∠C=108°.则该三角形是钝角三角形.
故选B
11.【解答】解:
∵∠A-∠B=∠C,∴∠A=∠B+∠C,∵∠A+∠B+∠C=180°,∴2∠A=180°,∴∠A=90°,∴△ABC是直角三角形,
答案:
直角.
同步小题12道
1.【分析】利用三角形的内角和是180°可得∠BAC的度数;AE是∠BAC的角平分线,可得∠EAC的度数;利用AD是高可得∠ADC=90°,那么可求得∠DAC度数,那么∠EAD=∠EAC-∠DAC.
【解答】解:
∵∠B=50°,∠C=60°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=70°,∵AE是∠BAC的角平分线,∴∠EAC=
∠BAC=35°,∵AD是高,∴∠ADC=90°,∴∠DAC=90°-∠C=30°,∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=5°.
故选B
2.【分析】根据两直线平行,同旁内角互补可求得.
【解答】解:
连接AC.∵AB∥CD,∴∠BAC+∠DCA=180°,∵∠P+∠PAC+∠PCA=180°,∴∠BAP+∠P+∠DCP=∠BAC+∠DCA+∠P+∠PAC+∠PCA=360°.
故选C
3.【分析】根据三角形内角和定理和各选项中的条件计算出△ABC的内角,然后根据直角三角形的判定方法进行判断.
【解答】解:
A、∠A+∠B+∠C=180°,而∠A=2∠B=3∠C,则∠A=
°,所以A选项错误;
B、∠A+∠B+∠C=180°,而∠A+∠B=2∠C,则∠C=60°,不能确定△ABC为直角三角形,所以B选项错误;
C、∠A+∠B+∠C=180°,而∠A=∠B=30°,则∠C=150°,所以B选项错误;
D、∠A+∠B+∠C=180°,而∠A=
∠B=
∠C,则∠C=90°,所以D选项正确.
故选D
4.【分析】由△ABC中,∠ACB=90°,∠A=25°,可求得∠B的度数,由折叠的性质可得:
∠CED=∠B=65°,∠BDC=∠EDC,由三角形外角的性质,可求得∠ADE的度数,继而求得答案.
【解答】解:
∵△ABC中,∠ACB=90°,∠A=25°,∴∠B=90°-∠A=65°,由折叠的性质可得:
∠CED=∠B=65°,∠BDC=∠EDC,∴∠ADE=∠CED-∠A=40°,∴∠BDC=
(180°-∠ADE)=70°.
故选D
5.【分析】利用直角三角形的性质以及互余的关系,进而得出∠COA的度数,即可得出答案.
【解答】解:
∵将一副直角三角尺如图放置,∠AOD=20°,∴∠COA=90°-20°=70°,∴∠BOC=90°+70°=160°.
故选:
B
6.【解答】解:
∵∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,∴△ACD∽△CBD∽△ABC.A、∵图中有三个直角三角形Rt△ACD、Rt△CBD、Rt△ABC;故本选项正确;B、应为∠1=∠B、∠2=∠A;故本选项错误;C、∵∠1=∠B、∠2=∠A,而∠B是∠A的余角,∴∠1和∠B都是∠A的余角;故本选项正确;D、∵∠2=∠A;故本选项正确.
故选B
7.【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数,再由角平分线的定义得出∠2+∠4的度数,由三角形内角和定理即可求出∠BPC的度数.
【解答】解:
∵△ABC中,∠A=70°,∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-70°=110°,∴BP,CP分别为∠ABC与∠ACP的平分线,∴∠2+∠4=
(∠ABC+∠ACB)=
×110°=55°,∴∠P=180°-(∠2+∠4)=180°-55°=125°.
故答案为:
125°.
8.【分析】由于∠1+∠PCB=68°,则∠2+∠PCB=68°,再根据三角形内角和定理得∠BPC+∠2+∠PCB=180°,所以∠BPC=180°-68°=112°.
【解答】解:
∵∠1+∠PCB=∠ACB=68°,又∵∠1=∠2,∴∠2+∠PCB=68°,∵∠BPC+∠2+∠PCB=180°,∴∠BPC=180°-68°=112°.
故答案为112°.
9.【分析】根据∠BAC=40°的条件,求出∠ACB+∠ABC的度数,再根据∠ACB=∠ABC,∠ACP=∠CBP,求出∠PBA=∠PCB,于是可求出∠ACP+∠ABP=∠PCB+∠PBC,然后根据三角形的内角和定理求出∠BPC的度数.
【解答】解:
∵∠BAC=40°,∴∠ACB+∠ABC=180°-40°=140°,又∵∠ACB=∠ABC,∠ACP=∠CBP,∴∠PBA=∠PCB,∴∠ACP+∠ABP=∠PCB+∠PBC=140°×
=70°,∴∠BPC=180°-70°=110°.
故答案为110°.
10.【分析】根据直角三角形两锐角互余解答.
【解答】解:
∵一个锐角为50°,∴另一个锐角的度数=90°-50°=40°.
故答案为:
40°.
11.【分析】
(1)由于∠ACD与∠B都是∠BCD的余角,根据同角的余角相等即可得证;
(2)根据直角三角形两锐角互余得出∠CFA=90°-∠CAF,∠AED=90°-∠DAE,再根据角平分线的定义得出∠CAF=∠DAE,然后由对顶角相等的性质,等量代换即可证明∠CEF=∠CFE.
证明:
(1)∵∠ACB=90゜,CD⊥AB于D,
∴∠ACD+∠BCD=90°,∠B+∠BCD=90°,
∴∠ACD=∠B;
(2)在Rt△AFC中,∠CFA=90°-∠CAF,
同理在Rt△AED中,∠AED=90°-∠DAE.
又∵AF平分∠CAB,
∴∠CAF=∠DAE,
∴∠AED=∠CFE,
又∵∠CEF=∠AED,
∴∠CEF=∠CFE.
12.【分析】在△BCE中由∠BEC=90°,∠B=60°能够得出∠BCE=30°;结合CD是∠ACB的角平分线,∠DCE=10°可得出∠ACE的度数;在Rt△ACE中由∠ACE的度数及∠AEC=90°,即可得出∠A的度数.
解:
∵CE是AB边上的高,
∴∠A+∠ACE=90°,∠B+∠BCE=90°.
∵CD是∠ACB的角平分线,
∴∠ACD=∠BCD=
∠ACB,
又∵∠DCE=10°,∠B=60°,
∴∠BCE=90°-∠B=30°,∠BCD=∠BCE+∠DCE=40°,
∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=∠BCD+∠DCE=50°,
∴∠A=90°-∠ACE=40°.
11.2.2三角形的外角
1.∠ACD
2.与它不相邻的两个内角的和
3.【分析】直接根据三角形外角的性质进行解答即可.
【解答】解:
∵∠3是△ABC的外角,∠1=55°,∠3=108°,∴∠2=∠3-∠1=108°-55°=53°.
故选B.
4.【分析】根据三角形的外角的性质,得∠B+∠C=∠CGE=180°-∠1,∠D+∠E=∠DFG=180°-∠2,两式相加再减去∠A,根据三角形的内角和是180°可求解.
【解答】解:
∵∠B+∠C=∠CGE=180°-∠1,∠D+∠E=∠DFG=180°-∠2,∴∠B+∠C+∠D+∠E-∠A=360°-(∠1+∠2+∠A)=180°.
故选C.
5.【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.
【解答】解:
由三角形的外角性质的,∠ABD=∠A+∠C=50°+70°=120°.
故选B.
6.【分析】根据三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角求解即可.
【解答】解:
如图,根据三角形的外角性质,∠1>∠4=∠2>∠3,∴∠1>∠2>∠3.
故答案为:
∠1>∠2>∠3.
7.【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.
【解答】解:
由三角形的外角性质得,a,b相交所成的锐角的度数是100°-70°=30°.
故答案为:
30°.
同步小题12道
1.【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.
【解答】解:
由三角形的外角性质得,∠1=130°-60°=70°.
故选D.
2.【分析】利用三角形的内角和外角之间的关系计算.
【解答】解:
∵∠B=30°,∠DAE=55°,∴∠D=∠DAE-∠B=55°-30°=25°,∴∠ACD=180°-∠D-∠CAD=180°-25°-55°=100°.
故选C.
3.【分析】利用平分线的性质,三角形的内角和定理以及外角的性质计算.
【解答】解:
由题意可得,∠CAE=130°,∴∠BAC=50°,∴∠ACD=∠B+∠BAC=30°+50°=80°.
故选C.
4.【分析】先根据直角三角形的性质得出∠BAE及∠E的度数,再由三角形内角和定理及对顶角的性质即可得出结论.
【解答】解:
∵图中是一副直角三角板,∴∠BAE=45°,∠E=30°,∴∠AFE=180°-∠BAE-∠E=105°,∴∠α=105°.
故选B.
5.【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠A+∠C,∠B+∠D,再根据邻补角求出∠EOF,然后求解即可.
【解答】解:
如图,根据三角形的外角性质,∠1=∠A+∠C,∠2=∠B+∠D,
∵∠BOF=120°,∴∠3=180°-120°=60°,根据三角形内角和定理,∠E+∠1=180°-60°=120°,∠F+∠2=180°-60°=120°,所以,∠1+∠2+∠E+∠F=120°+120°=240°,即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°.
故选D
6.【分析】各选项中只有C是错误的,任何三角形每一边上都可以做出该边的高,而不是只有一条高.
【解答】解:
A、有一个外角是锐角,说明在内角中一定有个钝角,所以正确;
B、有两个角互余,即相加等于90°,则另外一个角为90°,所以正确;
C、任何三角形每一边上都可以做出该边的高,所以错误;
D、任何一个三角形中,最大角不小于60度正确,若最大角小于60°,则内角和就不够180°,所以正确.
故选C.
7.【分析】根据三角形的内角和定理计算∠1+∠2,再根据内角与外角的关系和角平分线的定义求解.
【解答】解:
∵∠A=40°,∴△ABC的∠B和∠C的外角和为:
180°-∠1+180°-∠2=360°-(∠1+∠2)=360°-(180°-40°) =360°-140°=220°.由于CD、BD的平分线交于点D,则∠4+∠5=
×220°=110°,根据三角形内角和定理,∠D=180°-110°=70°.
8.【分析】根据三角形的外角与相邻的内角互为邻补角求出内角,再根据三角形的形状定义判断即可.
【解答】解:
∵△ABC的一个外角为50°,∴与它相邻的内角为180°-50°=130°,∴△ABC一定是钝角三角形.
故答案为:
钝.
9.【分析】直接根据三角形内角与外角的性质解答即可.
【解答】解:
∵∠ACD是△ABC的外角,∴∠ACD=∠A+∠B,∵∠ACD=130°,∠A=∠B,∴∠A=
×130°=65°.
10.【分析】根据三角形的三个内角之比分别求出各内角的度数,即可得出各内角对应的外角.
【解答】解:
根据题意得,三角形的内角和为180°,又三个内角之比为1:
3:
5,得三个内角分别为20°,60°,100°.即三个外角分别为160°,120°和80°.
11.【分析】△ABD中,由三角形的外角性质知∠3=2∠2,因此∠4=2∠2,从而可在△BAC中,根据三角形内角和定理求出∠4的度数,进而可在△DAC中,由三角形内角和定理求出∠DAC的度数.
解:
设∠1=∠2=x,则∠3=∠4=2x.
因为∠BAC=63°,
所以∠2+∠4=117°,即x+2x=117°,
所以x=39°;
所以∠3=∠4=78°,
∠DAC=180°-∠3-∠4=24°.
12.【分析】设∠ABC=x°,再根据三角形外角的性质得出∠BAD=∠B+∠C=90°+x°,根据AF平分外角∠BAD可知∠DAF=
∠BAD=
(90°+x°),根据对顶角的性质得出∠EAG=∠DAF=
(90°+x°),根据BE平分∠ABC可知∠CBE=
∠ABC=
x°,故可得出∠AGE的度数,由三角形内角和定理即可得出结论.
【解答】解:
设∠ABC=x°,
∵∠BAD是△ABC的外角,∠C=90°,
∴∠BAD=∠B+∠C=90°+x°,
∵AF平分外角∠BAD,
∴∠DAF=
∠BAD=
(90°+x°),
∴∠EAG=∠DAF=
(90°+x°).
∵BE平分∠ABC,
∴∠CBE=
∠ABC=
x°,
∴∠AGE=∠BGC=90°-∠CBE=90°-
x°,
∵∠E+∠EAG+∠AGE=180°,即∠E+
(90°+x°)+90°-
x°=180°,解得∠E=45°.
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