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立体几何求角
立体几何求角
一•解答题(共8小题)
1如图,在正四棱锥P-ABCD中,PA=AB=aE是棱PC的中点.
(1)求证:
PCXBD;
(2)求直线BE与PA所成角的余弦值.
2.如图,已知△BCD所在平面互相垂直,且/BAC玄BCD=90,AB=ACCB=CD点
E,F分别在线段BD,CD上,沿直线丘卩将厶EFD向上翻折使得D与A重合
(I)求证:
AB丄CF;
(H)求直线AE与平面ABC所成角.
3.如图,在直三棱柱ABC-A1B1O中,AB=AC=5BB=BC=6D,E分别是AA和BiC的中点.
(1)求证:
DEIBC
(2)求三棱锥E-BCD的体积.
4.如图:
ABCD是平行四边形,AP丄平面ABCDBE//AP,AB=AP=2BE=BC=1/CBA=60
(1)求证:
EC/平面PAD;
(2)求证:
平面PACL平面EBC
(3)求直线PC与平面PABE所成角的正弦值.
5.如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA丄平面ABCDMN分别是ABPC的中点,PA=AD=1AB=2
(1)求证:
MIN/平面PAD
(2)求证:
平面PMC_平面PCD
(3)求点D到平面PMC的距离.
6.如图,在四棱锥P-ABCD中,AD丄平面PDCAD//BC,PD丄PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2
(I)求异面直线AP与BC所成角的余弦值;
(n)求证:
PD丄平面PBC
(川)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
7.如图,已知三棱锥P-ABCPU平面ABC/ACB=90,/BAC=60,PA=AQM为PB的中点.
(I)求证:
PCXBC
(n)求二面角M-AC-B的大小.
&如图,四棱锥P-ABCD中,PD丄底面ABCD且底面ABCD为平行四边形,若/DAB=60,AB=2,AD=1.
(1)求证:
PAXBD
(2)若/PCD=45,求点D到平面PBC的距离h.
立体几何求角
一•解答题(共8小题)
1如图,在正四棱锥P-ABCD中,PA=AB=aE是棱PC的中点.
(1)求证:
PCXBD;
(2)求直线BE与PA所成角的余弦值.
【解答】证明:
(1厂••四边形ABCD为正方形,且PA=AB=a
•••△PBC△PDC都是等边三角形,…(2分)
•E是棱PC的中点,
•BEXPC,DEIPC,又BEnDE=E
•PC丄平面BDE・・(5分)
又BD?
平面BDE
•PCXBD・・(6分)
解:
(2)连接AC,交BD于点O连OE
四边形ABCD为正方形,•O是AC的中点•••(8分)
又E是PC的中点•OEACP的中位线,•AP//OE
•/BEO即为BE与PA所成的角•••(10分)
在Rt△BOE中,BE=「|,EO=.,,-(12分)
•cos/BEO丄-.
BE-3
•直线BE与PA所成角的余弦值为「(14分)
3
2.如图,已知△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且/BAC玄BCD=90,AB=ACCB=CD点E,F分别在线段BDCD上,沿直线丘卩将厶EFD向上翻折使得D与A重合
(I)求证:
AB丄CF;
(H)求直线AE与平面ABC所成角.
R
【解答】解:
(1)面ABCL面BCD面AB6面BCD=BC/BCD=90
>CF丄BC,
>FC丄面ABC
>
AB丄CF・・(5分)
(2)设21''1■1I-'--'I1,设BE=t,贝UED=EA=2—t,
又二「-J匚一
面ABC丄面BCD
面ABCri面BCD二BC=AH丄面7分)AH1BC丿
又AH!
面BCDAE^AH+EH,.—2-t)二+t2-t+丄,
22
•••_〕.,•••点E是BD的中点,•••(10分)
HE//BC,•HE!
面ABC/BEA为所求角的线面角…(12分)
宀./■.口•••(14分)
所以直线AE与平面ABC所成角为」••(15分).
3.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=5BB=BC=6D,E分别是AA和BQ的中点.
(1)求证:
DEIBC;
(2)求三棱锥E-BCD的体积.
【解答】证明:
(1)取BC中点F,连结EF,AF,则EFABCB的中位线,/•EF//BB,EF=BB,
2
•/AD//BB,AD」-BB,「.EF/AD,EF=AD二四边形ADEF是平行四边形,二DE//AF,
2
•/AB=ACF是BC的中点,•••AF丄BC,/•DEIBC.
(2)TBB丄平面ABCAF?
平面ABC•-BB丄AF,
又•••AF丄BCBC?
平面BCCBi,BB?
平面BCCBi,BCABB=B,
•AF丄平面BCCBi,•DEL平面BCCBi,
•/AC=5,BC=6•CF丄:
「=3,•AF=‘_「r「=4,/.DE=AF=4■/BC=BB=6,••Sabce=^厂=9.
•三棱锥E-BCD的体积V=」SabcE?
DE==12.
33
Bi
4.如图:
ABCD是平行四边形,AP丄平面ABCDBE/AP,AB=AP=2BE=BC=1/CBA=60
(1)求证:
EC//平面PAD
(2)求证:
平面PACL平面EBC
(3)求直线PC与平面PABE所成角的正弦值.
【解答】
(1)证明:
因为BE//PA,
BE?
平面PADPA?
平面PAD,所以BE//平面PAD同理BC//平面PAD所以平面PAD//平面EBC
因为EC?
平面EBC所以EC//平面PAD-(4分)
(2)证明:
因为AB=2BC=1,/CBA=60,由余弦定理得,AC=J■,
所以由勾股定理逆定理/BCA=90,
所以AC丄BC,又因为BEX平面ABCD所以BEXAC,则有AC丄平面EBCAC?
平面PAC
所以平面BECX平面PAC•••(8分)
(3)解:
作CHXAB于H,连结PH,又因为CH丄PA所以CH丄平面PABE所以/HPC即为线面角,
5.如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA丄平面ABCDMN分别是ABPC的中点,PA=AD=1AB=2
(1)求证:
MIN/平面PAD
(2)求证:
平面PMC_平面PCD
(3)
PC14
(13分)
*v■*x/
ANfE
求点D到平面PMC的距离.
【解答】
(1)证明:
设PD的中点为E,连接AENE
由N为PC的中点知EN平行且等于1DC
2
又ABCD是矩形,•••DC平行且等于AB,•••EN平行且等于一AB
2
又M是AB的中点,•EN平行且等于AM
•AMNE是平行四边形
•MN//AE,而AE?
平面PADNM?
平面PAD
•MN//平面PAD
(2)证明:
TPA=AD•-AEXPD,
又•••PA丄平面ABCDCD?
平面ABCD
•CD丄PA而CD丄AD•CDL平面PAD
•CD丄AE,•/PDACD=D•AE丄平面PCD
•/MN//AE,•MNL平面PCD
又MN?
平面PMC
•••平面PMCL平面PCD
(3)解:
设点D到平面PMC勺距离为h,则•
323
•••点D到平面PMC的距离h^L-.
5
6.如图,在四棱锥P-ABCD中,AD丄平面PDCAD//BC,PD丄PB,AD=1,
(I)求异面直线AP与BC所成角的余弦值;
(H)求证:
PD丄平面PBC
BC=3,CD=4,PD=2
【解答】解:
(I)如图,由已知AD//BC,
故/DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.
因为AD丄平面PDC所以AD±PD.
在Rt△PDA中,由已知,得•川「||「||「|「-
故..u.:
.
AP5
所以,异面直线AP与BC所成角的余弦值为工.
5
证明:
(n)因为ADL平面PDC直线PD?
平面PDC
所以AD±PD
又因为BC//AD,所以PD丄BC
又PD丄PB所以PDL平面PBC
解:
(川)过点D作AB的平行线交BC于点F,连结PF,则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.因为PD丄平面PBC故PF为DF在平面PBC上的射影,所以/DFP为直线DF和平面PBC所成的角.
由于AD//BCDF//AB故BF=AD=1
由已知,得CF=BC-BF=2.又ADLDC,故BC丄DC
在Rt△DCF中,可得匚—-F■--.
所以,直线AB与平面PBC所成角的正弦值为
7.如图,已知三棱锥P-ABCPAL平面ABC/ACB=90,/BAC=60,PA=ACM为PB的中点.
(I)求证:
PCLBC
(H)求二面角M-AC-B的大小.
P
【解答】解:
(I)证明:
由PAL平面ABC•••PALBC,
又因为/ACB=90,即BCLAC
•BC丄面PAC•PCLBC.
(H)取AB中点O,连结MO过O作HCLAC于H,连结MH因为M是PB的中点,所以MO//PA,
又因为PAL面ABC•MOL面ABCMHO为二面角M-AC-B的平面角.
设AC=2贝UBC=^3,MO=1OH丽,
在Rt△MHO中tan
二面角M-AC-B的大小为300.
P
&如图,四棱锥P-ABCD中,PD丄底面ABCD且底面ABCD为平行四边形,若/DAB=60,
AB=2,AD=1.
(1)求证:
PAIBD
(2)若/PCD=45,求点D到平面PBC的距离h.
【解答】
(1)证明:
TAD=1,AB=2,ZDAB=60,
•BD2=aB'+AE2-2AB?
AD?
cos60°=3,.ad2+be2=aB',
•AD丄BD,
-PD丄平面ABCDBD?
平面ABCD
•PD丄BD,又ADAPD=D
•BD丄平面PADPA?
平面PAD
•BD丄PA
•••Sabc\:
|尸,
•••/PCD=45,•PD=CD=2
(2)解:
由
(1)可知BC丄BD
•-PC=二CD=2二,PB=「】L»=-,BC=1,
222
•BC+PB=PC,•PB丄BC,
iVt
•Sabc=•],・「=,
•Vd-bcL.r=",
326
又V3-BC[=Vd-BCP,
•.7=匚
••,
63
解得h=「.
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