结构可靠度例题.docx
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结构可靠度例题
例题-某钢桥一受弯构件截而抗力R(抵抗弯矩)和荷载效应S(最大弯矩)的统计参数为
均值人二2.34X103kN*m人二1.16X103kN*m
方差Or二0.281X103kN*mOs=0.255X10'kN・m
现假设R,S均服从正态分布,试求其可靠指标和对应的失效概率。
解:
将已知数据代入
=严—2.34鴛丁心2109
丁如+如7(0.281X103)2+(0-255X103)2
查标准正态分布表0(3.109)=0.99905,
PR(-p)
=1-0)(p)
=1-0)(3.109)
=1-0.99905=0.00095o
例题二某钢桥一受弯构件截面抗力R(抵抗弯矩)和荷载效应S(最
人弯矩)的统计参数为
均值A二2.34X103kN*m山二1.16X103kWm
方差OR二0.281X103kN・mOs=0.255X10‘kN・m
现假设R,S均服从对数正态分布,试求其可靠指标|3和对应的失效概
率Pf。
解;pa2!
^聾
j8r2+8s2
f=普。
・空
§二出=0.22
□s1.16
V0.122+0.222
0〜In5-In比二卩〜In矽列6X103)=2竺Jsr2+8s2
PR(-p)
=1-0(p)
=1-0(2.80)
=1-0.99740=0.0026o
例一和例二表明:
随即变量分布类型,对失效概率或结构可靠指标计算是有影响的。
分析结果表明:
Pf^10-3(PW3.09)时,Fz(z)的分布类型对Pf的影响不敏感,即Z假设什么样的分布•,计算出的齐都在同一数量级上,其精度足够了。
R大时,Z可以不考虑其实际分布形式,采用合理又方便的分布形式来计算这样计算简便,得到工程上接受的结果。
但Pf<10-5(|3>4.26)时叫(z)的分布类型对Pf的影响十分敏感,计算氏时必须考虑起分布,否则得到误差大或得到错误结果。
例题三若钢梁承受的确定性弯矩M二210kN・m,钢梁的抵抗矩W和屈服强度f都是随机变量,已知其分布类型和统计参数为
抵抗矩W:
正态分布,厲二692cn】3,瓦=0.02
屈服强度f:
正态分布,MF390MPa,5f=0.07
用屮心点法和验算点法计算该钢梁的可靠指标0及f和W的验算点Z值厂和W*O
解:
1中心点法
(1)采用抗力作为功能函数
Z二fW-M二fW-210kN・m
儿二儿山-怙山片-210二59.88kN・m
有AM%)?
+(0wS)2二阴%2(和*5f2)
=7(390X692000)2(0.022+0.072)
=19.65X106N・mm
0旦二3.047
bz
(2)采用应力作为功能函数
W
人~人-型•二86.5MPa
□w
^z=J(®f)2+(^CTw)2=J(^f8f)2+(^Sw)2
二J(390x0.07)24-x0.02)2
=27.97MPa
p亘二彳093
2验算点法
验算点法计算步骤:
(1)列出极限状态方程g(X.X2,Xn)=0,并给出所有基本
变量焉的分布类型和统计参数鬲和(y*;
(2)假定X「利1卩的初始值,一般取X;的初始值为人的均值鬲,相当于0初始值为0:
(3)求极限状态方程对各基本变量Xi的偏导数,并用X:
的值代入,得到方向余弦
⑷按公式qx.cos0xa)=O求解卩;
(5)计算新的X:
值
片二瓯j+0 重复第3步到第5步计算,直到前后两次计算的卩在容许误差范围内(0.001)o 按抗力列功能函数极限状态方程Z二g(f,W)二fW-210x106(N*mm) 1二鉀&二390x0.07=27.30MPa (Jw=! 3vv二692x0.02—13.84MPa (c) (d) 厂=岛+pbfCosOf二390+27.3pcos0f W*=%+卩Qwcos0w=692+13.84pcos0w 由Z=g(f•,W*)=f••W-210000(Wm)将(c),(d)代入简化 后得: p2cos0fcos0w+p(5Ocos0f+14.29cos0w)+158.4=0(e) 现用迭代法求解卩 第一次迭代: ①取厂二卧=390(MPR,W=E^=692(cm3) 验算cos20f十cos20w=l ③cosOf,cos0w代入(e)得 0.2642p2-51.97p+158.4=0 解得p二3.095 第二次迭代: ① f*=专+PscosOf二390+27.3X3.095X(-0.9615)=309 W*=乳+0awcos0w=692+13.84X3.095X(-0.2747)=680 J(27.3W・)2+g84f・)27(273X680)^(13.84X309)^ 验算cos20f+cos20w二1 ③代入(e)得 2188俨+51・9卩+158.4=0 解得0二3.092,与第一次0相差0.003<0.01o 第三次迭代: 1f*二308(MPa),W*=682(cm3) 2cos0f=-09748,cos0w=-O.2232 3卩二3.092与第二次迭代相同,其实第二次结果已满足工程精度。 4故求得0二3.092,f*=308(MPa),W*=682(cm3) 查表得失效概率Pf二(3.092)二1-0.9993=0.0007。 讨论: (1)中心点法由于采用不同的功能函数计算结果不一致,但两种功能函数是完全等价的; (3)极限状态方程是非线性的 例题四承受恒载作用的薄壁型钢梁,极限状态方程为Z二g(f,W, M)二fW-M二0,其中f、W、M都按随机变量考虑,已知他们的分布类型和统计参数: 试求该梁的可靠指标P及相应的失效概率P“ 解: 三个正态变量的非线性方程。 (30.4W•)2+(2・74厂)2+9102 f4=0f+pafcos0f=38O+3O.4cos0f(MPa) W'=0^+pawcos0w=54.72+2.74pcos0w(cm3) M4=aMcos0M=13OOO+91Opcos0M(kNemm) 代入极限状态方程: f*we-M*=0化简后得 83.3p2cos0fcos0w+P(1041cos0w+1664cos0f-91O cos0m)+7793.6=0 30.8邛2—2163.30+7793.6=0 26.8邛2—21560+7793.6=0 解得P二3.79 第三次迭代: 解得P=3.80(可认为已收敛) 失效概率Pf=l-0(3.80)=7.235X10"5。 比较中心点法计算结果差异: 透二吟跖-需=380X54.72-13000=7793.6(kN・mm) 6二{(乳厲尸+(色^尸+6^ =7(54.72X30.4)2+(380X2.74)24-9102=2163.2 0二咗冬竺二360,(3.60)二1.591X10-5。 厂“2163.2 也仝竺0.947,相差10左右%。 %3.80 例题五若钢梁承受的确定性弯矩M二210kN・m,钢梁的抵抗矩W和屈服强度f都是随机变量,已知其分布类型和统计参数为 抵抗矩W: 正态分布,Mw=692cm3,8W=0.02 屈服强度f: 对数正态分布,儿二390MP4,8f=0.07 计算该钢梁的可靠指标P及f和W的验算点之值厂和W*o解: 功能函数为Z二g(f,W,M)二fW-M二fW-210X106=0(N・mm) f为对数正态变量,需要在验算点P*(f\W*)处转换为当量正态 变量, 出二厂X(1-lnf*+ln-=^=)二f*(6.9637-Inf*) COS0W-I J(w•町)2+(f、w)2 f*二人+斤(3cosOf二ig+q卩cos0f W二Mw+bw®cosBw二692+13.840cosEw 代入方程厂W-M二0化简得 Ofp2cos0fcos0w+|3(5O<^cos0f+|_4cosBw)+50出-15173二0 采用迭代法计算厂二儿,W*=W*,相当卩二0计算如下表 弋彳数迭次 0。 X.* 1 cos0Xi 0 △0 1 fw 0 390 692 27.3 13.84 389 692 -0.9615 -0.2747 3.050 2 f w 3.05 308.9 680 21.63 13.84 380.1 692 -0.9625 -0.2796 3.402 0.352 3 f w 3.402 309.4 厂 21.66 13.84 380.2 692 -0.9599 -0.2803 3.406 0.004 失效概率Pf二1-0)(3.406)二3.3X10—4。 用中心点法(假设Z为正态分布)计算得卩二3.047。 第四节桥梁结构可靠度设计初步 可靠性设计就是已知确定的设计(目标)可靠指标,求出抗力R,然后进行截面设计。 若抗力R和荷载效应S为正态分布,已知荷载效应S的统计参数山和6,以及抗力的变异系数g »R_Ps二Py/GR2+J(0r6r)2+(囱&)2 当给定可靠指Bo时,可求得厲,进而进行截面设计。 对于受弯构件截面抗力R二f*W,其均值皿二MfPw,当已知材料的强度凶时,即可求出截面的抵抗矩均值Pw。 极限方程为非线性,或设计变量含有非正态变量,求"的过程就是求可靠指标的逆运算。 其屮包含求验算点坐标P*及当量正态化的双重迭代计算,计算非常复朵,需要利用计算程序完成。 例题六钢桁架下弦杆承受的拉力N服从正态分布,山二320kN,0二0.22,截面抗力服从正态分布,根据对钢拉杆的统计分析,设抗力的变异系数SR=0.12,钢材的屈服强度f的均值Hf=380MPa,8f=0.07o该杆件可靠指标仇二3.2,试求该下弦杆的截面积A的均值皿。 解: 极限状态方程Z二R-N二0 Pr_Pn-P/(0r§r)2+(鎖0)2二0 Pr-320-3.27(0.12^)2+(320X0.22)2=0 解得pR=658.73kN,91.97(舍去) 由血二山山得山-心雹"二1733.5即截面积A的均值 |lfooO Pa二17•335cm2o
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