沪科版八年级数学上册第15章 轴对称图形与等腰三角形知识例题讲解与练习.docx
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沪科版八年级数学上册第15章轴对称图形与等腰三角形知识例题讲解与练习
第15章轴对称图形与等腰三角形
【知识剖析】
一、轴对称图形与轴对称
1、轴对称图形:
如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形叫做轴对称图形.这条直线叫做对称轴.
2、轴对称:
如果一个图形沿着一条直线折叠,它能够与另一个图形重合,那么称这两个图形成轴对称.这条直线叫做对称轴.折叠后重合的点叫做对称点.
3、轴对称性质与判定:
(1)如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴垂直平分任意一对对应点的所连线段.
(2)如果两个图形各对对应点的所连线段被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称.
4、轴对称和轴对称图形的区别与联系
例1、把一张长方形纸片按如图①、图②的方式从右向左连续对折两次后得到图③,再在图③中挖去一个如图所示的三角形小孔,则重新展开后得到的图形是()
例2、如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D/、C/的位置.若∠EFB=65°,则∠AED/等于().
A、70°B、65°C、50°D、25°
例3、如图,在折纸活动中,小明制作了一张△ABC纸片,点D、E分别在边AB、AC上,将△ABC沿着DE折叠压平,A与A/重合,若∠A=75°,则∠1+∠2=().
A、150°B、210°C、105°D、75°
例4、已知点M(a+1,2a-3)关于x轴的对称点在第一象限,则a的取值范围是________.
例5、若点P关于x轴的对称点为P1(2a+b,-a+1),关于y轴的对称点为P2(4-b,b+2),则a+b的值为_________.
例6、如图,在平面直角坐标系xoy中.
(1)请写出△ABC各顶点的坐标,并求△ABC的面积;
(2)在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1;
(3)已知点A与点A2(-3,2)关于直线l成轴对称,请画出直线l及△ABC关于直线l对称的图形△A2B2C2,并直接写出直线l的函数解析式;
(4)若点P(m,n)是△ABC中AB边上一点,请表示其在△A2B2C2中对应点的坐标.
二、线段的垂直平分线
1、定义:
经过线段的中点,并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线.
2、性质定理:
线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等.
ll
∵直线l垂直平分AB,点P在l上
∴PA=PB
P
3、逆定理:
与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
∵PA=PB
∴点P在AB的垂直平分线上
4、三角形三边垂直平分线的性质:
三角形三边的垂直平分线相交于一点,这点到三角形三个顶点的距离相等.
例7、如图,在△ABC中,∠BAC=100°,DF、EG分别为AB和AC的垂直平分线,求∠DAE的度数.
例8、如图,AB=CD,线段AC的垂直平分线与线段BD的垂直平分线相交于点E,垂足分别为N、M.求证:
∠ABE=∠CDE.
例9、如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线AC的中点为O,过点O作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F,连接AF.求证:
AE=AF.
例10、如图,已知在△ABC中,∠ACB=90°,D是BC延长线上一点,E是AB上一点,且在线段BD的垂直平分线上,BD的垂直平分线交BD于点G,DE交AC于点F.求证:
点E在线段AF的垂直平分线上.
三、等腰三角形
1、定义:
有两边相等的三角形叫做等腰三角形.
2、性质:
(1)等腰三角形两个底角相等.简称“等边对等角”.
推论:
等边三角形三个内角相等,每一个内角等于60°.
(2)等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边.
(等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高三线合一)
3、判定定理:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边相等.简称“等角对等边”.
四、等边三角形
1、定义:
三边都相等的三角形叫做等边三角形.
2、性质:
等边三角形的三边相等;三个角都相等,每一个内角等于60°.
3、判定:
(1)定义法:
三边都相等的三角形是等边三角形.
(2)推论1:
三个角都相等的三角形是等边三角形.
(3)推论2:
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
五、直角三角形
含30°角的直角三角形性质:
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
例11、如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=20°,线段AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连接BE,则∠CBE等于().
A、80°B、70°C、60°D、50°
例12、如图,已知梯形ABED的周长是20cm,∠ABC=60°,CD∥AB,AC∥DE,且AB=AC=AD=DE.计算△DCE的周长.
例13、如图,在△ABC中,点E在AB上,点D在BC上,BD=BE,∠BAD=∠BCE,AD与CE相交于点F,试判断△AFC的形状,并说明理由.
例14、如图,在△ABC中,AB=AC,BC=6,AD⊥BC于点D,则BD=_______.
例15、如图,已知△ABC为等边三角形,点D、E分别在BC、AC边上,且AE=CD,AD与BE相交于点F.
(1)求证:
△ABE≌△CAD;
(2)求∠BFD的度数.
例16、如图,∠AOE=∠BOE=15°,EF∥OB,EC⊥OB,若EC=1,则EF=______.
例17、如图,△ABC是边长为6的等边三角形,P是AC边上一动点,由A向C运动(与A,C不重合),Q是CB延长线上一动点,与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合),过P作PE⊥AB于E,连接PQ交AB于D.
(1)当∠BQD=30°时,求AP的长.
(2)在运动过程中线段ED的长是否发生变化?
如果不变,求出线段ED的长;如果发生改变,请说明理由.
六、角的平分线
1、性质:
角平分线上任意一点到角的两边的距离相等.
2、判定:
在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
3、三角形三条角平分线的性质:
三角形三条内角平分线相交于一点,这点到三角形三边的距离相等.
例18、如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=AC,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E.若AB=10cm,求△DBE的周长.
例19、如图,PM⊥BD于点M,PN⊥AD于点N,BD=AD,PM=PN.求证:
OB=OA.
例20、如图,∠B=∠C=90°,M的BC的中点,DM平分∠ADC.若连接AM,则AM是否平分∠BAD?
并说明理由.
例21、如图,在△ABC中,请证明:
(1)若AD为∠BAC的平分线,则
(2)设D为BC上的一点,连接AD,若
,则AD为∠BAC的平分线.
例22、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,AC=4,点P是∠BAC,∠ABC的平分线的交点,试求点P到AB边的距离.
例23、如图,在△ABC中,点D在边BC上,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,请你添加一个条件,使AD⊥EF,并进行证明.
【综合练习】
一、选择题
1、在下列交通标志中,是轴对称图形的有().
A.4个B.3个C.2个D.1个
2、在等腰三角形ABC中,AC=2BC,其周长为60,则BC的长为().
A.15B.12C.15或12D.以上都不正确
3、如图,每组中的两个图形,成轴对称的是().
A.
(1)
(2)(3)B.
(1)
(2)(4)C.
(1)(3)(4)D.
(2)(3)(4)
4、已知点P(-1-2a,5)关于x轴的对称点和点M(3,b)关于y轴的对称点相同,则A(a,b)关于x轴对称的点的坐标为().
A.(1,-5)B.(1,5)C.(-1,5)D.(-1,-5)
5、如图,在△ABC中,DE垂直平分AC,垂足为E,交AB于D,AB=11cm,BC=7cm,则△BCD的周长为().
A.16cmB.22cmC.18cmD.25cm
(第5题)(第7题)(第9题)
6、已知∠AOB=30°,点P在∠AOB的内部,点P1与点P关于OB对称,点P2与点P关于OA对称,则△P1OP2是().
A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.等边三角形
7、如图,△DAC和△EBC均是等边三角形,AE,BD分别与CD,CE交于点M,N,有如下结论:
①△ACE≌△DCB;②CM=CN;③AM=DN.其中正确的结论有()个.
A.3B.2C.1D.0
8、到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的().
A.三条中线的交点B.三条角平分线的交点
C.三条高的交点D.三条边的垂直平分线的交点
9、如图,AB=AC,BD=BC,若∠A=40°,则∠ABD等于().
A.20°B.30°C.35°D.40°
10、如图,折叠直角三角形纸片,使点C落在AB上的点E处.已知BC=12,∠B=30°,则DE的长是().
A.6B.4C.3D.2
(第10题)(第11题)(第12题)
11、如图,BF,CF是△ABC的两个外角的平分线,交点为F,若∠A=50°,则∠BFC的度数是().
A.50°B.60°C.40°D.65°
12、如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,ED是AC的垂直平分线,交AC于点D,交BC于点E.若∠BAE=10°,则∠C的度数为().
A.30°B.40°C.50°D.60°
二、填空题
13、如图,在△ABC中,∠A=90°,∠C=75°,AC=12cm,ED垂直平分BC,则BE等于_____cm.
(第13题)(第14题)(第15题)
14、在一次夏令营活动中,小明同学从营地A出发,要到A地的北偏东60°方向的C处.他先沿正东方向走了200m到达B地,再沿北偏东30°方向走,恰能到达目的地C,那么,由此可知B、C两地相距_____m.
15、如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC与∠ACB的平分线相交于点D.若∠ADC=130°,则∠BAC=______.
16、如图,在等腰△ABC中,AB=AC,CE⊥AB,垂足为E,AD是∠BAC的平分线.若AB=5cm,CE=
cm,BC=6cm,则AD=_____cm.
(第16题)(第17题)
17、如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,如果∠A=30°,BD=1cm,那么∠BCD=____,BC=_____cm,AD=______cm.
18、在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°,则∠B等于__________.
19、如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,AD=BD=2CD,点D到AB的距离等于5cm,则BC=______,∠CAD=_______.
(第19题)(第20题)
20、如图,∠ABC=60°,AD垂直平分线段BC于点D,∠ABC的平分线BE交AD于点E,连接EC,则∠AEC的度数是______.
三、解答题
21、如图,在直线AB一侧有C、D两点,在AB上找一点P,使PC+PD的长最短,找出此点并说明理由.
22、如图,在△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,AD⊥BC于D,∠ABC的平分线分别交AD,AC于点F,E.求证:
△AEF是等边三角形.
23、如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D是AC上一点,且AE垂直BD的延长线于E,且
.求证:
BD是∠ABC的平分线.
24、如图,△ABC是等边三角形,D是△ABC内一点,且BD=AD,BP=AB,∠DBP=∠DBC,问:
∠BPD的度数是不是一定的?
若是,求出它的度数;若不是,请说明理由.
25、如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.如果点P,Q分别从点A,B同时出发,几秒后△PQB为等腰三角形?
26、如图,已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动,两直角边分别与OA,OB交于C,D.则PC和PD有怎样的数量关系,并证明你的结论.
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