高中数学新学案同步 必修1人教A版 全国通用版 第三章 函数的应用 31函数与方程 312.docx
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高中数学新学案同步必修1人教A版全国通用版第三章函数的应用31函数与方程312
3.1.2 用二分法求方程的近似解
学习目标
1.了解二分法的原理及其适用条件.2.掌握二分法的实施步骤.3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想.
知识点一 二分法
对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
由函数的零点与相应方程根的关系,可用二分法来求方程的近似解.
知识点二 用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
给定精确度ε,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤:
(1)确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε;
(2)求区间(a,b)的中点c;
(3)计算f(c);
①若f(c)=0,则c就是函数的零点;
②若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c));
③若f(c)·f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)).
(4)判断是否达到精确度ε:
即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复
(2)~(4).
以上步骤可简化为:
定区间,找中点,中值计算两边看;同号去,异号算,零点落在异号间;周而复始怎么办?
精确度上来判断.
1.如果函数零点两侧函数值同号,不适合用二分法求此零点近似值.( √ )
2.要用二分法,必须先确定零点所在区间.( √ )
3.用二分法最后一定能求出函数零点.( × )
4.达到精确度后,所得区间内任一数均可视为零点的近似值.( √ )
类型一 二分法的适用条件
例1 以下每个图象表示的函数都有零点,但不能用二分法求函数零点的是( )
考点 二分法的概念
题点 判断是否能用二分法求解零点
答案 C
解析 使用二分法必先找到零点所在区间[a,b],且f(a)·f(b)<0,但C中找不到这样的区间.
反思与感悟 运用二分法求函数的零点应具备的条件
(1)函数图象在零点附近连续不断.
(2)在该零点左右函数值异号.
只有满足上述两个条件,才可用二分法求函数零点.
跟踪训练1 观察下列函数的图象,判断能用二分法求其零点的是( )
考点 二分法的概念
题点 判断是否能用二分法求解零点
答案 A
类型二 二分法的操作
例2 用二分法求函数f(x)=x3-3的一个零点(精确度0.02).
考点 用二分法求函数零点的近似值
题点 用二分法求方程的近似解
解 由于f(0)=-3<0,
f
(1)=-2<0,f
(2)=5>0,
故可取区间(1,2)作为计算的初始区间.
用二分法逐次计算,列表如下:
区间
中点的值
中点函数值(或近似值)
(1,2)
1.5
0.375
(1,1.5)
1.25
-1.047
(1.25,1.5)
1.375
-0.400
(1.375,1.5)
1.4375
-0.030
(1.4375,1.5)
1.46875
0.168
(1.4375,1.46875)
1.453125
0.068
(1.4375,1.453125)
因为|1.453125-1.4375|=0.015625<0.02,
所以函数f(x)=x3-3的零点的近似值可取为1.4375.
反思与感悟 用二分法求函数零点的近似值关键有两点:
一是初始区间的选取,符合条件(包括零点),又要使其长度尽量小;二是进行精确度的判断,以决定是停止计算还是继续计算.
跟踪训练2 借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解(精确度0.1).
考点 用二分法求函数零点的近似值
题点 用二分法求方程的近似解
解 原方程即2x+3x-7=0,令f(x)=2x+3x-7,
用计算器或计算机作出函数f(x)=2x+3x-7的对应值表与图象如下:
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
…
f(x)=2x+3x-7
-6
-2
3
10
21
40
75
142
273
…
观察图或表可知f
(1)·f
(2)<0,说明这个函数在区间(1,2)内有零点x0.
取区间(1,2)的中点x1=1.5,用计算器算得f(1.5)≈0.33.因为f
(1)·f(1.5)<0,
所以x0∈(1,1.5).
再取区间(1,1.5)的中点x2=1.25,用计算器算得f(1.25)≈-0.87.
因为f(1.25)·f(1.5)<0,所以x0∈(1.25,1.5).
同理可得,x0∈(1.375,1.5),x0∈(1.375,1.4375).
由于|1.375-1.4375|=0.0625<0.1,
所以原方程的近似解可取为1.4375.
类型三 二分法思想的考查
例3 函数f(x)=lnx+x2-3的零点x0与
的大小关系为________.
考点 用二分法求函数零点的近似值
题点 用二分法判断函数零点所在的区间
答案
解析 在同一坐标系内画出y=lnx,y=3-x2的图象如图. 由图可知,y=lnx与y=3-x2有唯一的交点x0∈(1, ). 即f(x)=lnx+x2-3有唯一的零点x0∈(1, ). 代入区间中点x= , 则ln 2=2- >1. ∴ln <3- 2. ∴ 反思与感悟 在实际考查中,不一定要求把二分法进行多少次,但可以要求利用二分法缩小零点所在区间. 跟踪训练3 函数f(x)=2x+x3-2在(0,1)内有无零点? 若有,该零点是在 内还是在 内? 考点 用二分法求函数零点的近似值 题点 用二分法判断函数零点所在的区间 解 ∵f(x)为R上的增函数且f(0)=20+03-2<0,f (1)=21+13-2>0, ∴f(x)在(0,1)内有且仅有1个零点x0. 又f = + 3-2= = <0, ∴x0∈ . 1.下列函数中,只能用二分法求其零点的是( ) A.y=x+7B.y=5x-1 C.y=log3xD.y= x-x 考点 二分法的概念 题点 判断是否能用二分法求解零点 答案 D 2.下列图象所表示的函数中能用二分法求零点的是( ) 考点 二分法的概念 题点 判断是否能用二分法求解零点 答案 C 3.方程2x-1+x=5的根所在的区间为( ) A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4) 考点 用二分法求函数的近似解 题点 用二分法判断函数零点所在的区间 答案 C 4.定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的曲线,已知函数f(x)在区间(a,b)上有一个零点x0,且f(a)f(b)<0,用二分法求x0时,当f =0时,则函数f(x)的零点是________. 考点 用二分法求函数零点的近似值 题点 用二分法求方程的近似解 答案 5.用二分法求函数y=f(x)在区间(2,4)上的唯一零点的近似值时,验证f (2)·f(4)<0,取区间(2,4)的中点x1= =3,计算得f (2)·f(x1)<0,则此时零点x0所在的区间是________. 考点 用二分法求函数零点的近似值 题点 用二分法判断函数零点所在的区间 答案 (2,3) 1.二分就是平均分成两部分.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,直至找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点. 2.二分法求方程近似解的适用范围: 在包含方程解的一个区间上,函数图象是连续的,且两端点函数值异号. 3.求函数零点的近似值时,所要求的精确度不同,得到的结果也不相同. 一、选择题 1.下列函数图象与x轴均有公共点,其中能用二分法求零点的是( ) 考点 二分法的概念 题点 判断是否能用二分法求解零点 答案 C 解析 只有选项C中零点左右的函数值符号相反且函数图象连续,可以利用二分法求解. 2.用“二分法”可求近似解,对于精确度ε说法正确的是( ) A.ε越大,零点的精确度越高 B.ε越大,零点的精确度越低 C.重复计算次数就是ε D.重复计算次数与ε无关 考点 二分法的概念 题点 二分法的概念 答案 B 解析 依“二分法”的具体步骤可知,ε越大,零点的精确度越低. 3.设f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f (1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程3x+3x-8=0的根落在区间( ) A.(1.25,1.5)B.(1,1.25) C.(1.5,2)D.不能确定 考点 用二分法求函数零点的近似值 题点 用二分法判断函数零点所在的区间 答案 A 解析 易知f(x)在R上是增函数.由题意可知f(1.25)·f(1.5)<0,故函数f(x)=3x+3x-8的零点落在区间(1.25,1.5)内.故选A. 4.用二分法求函数f(x)=lnx- 的零点时,初始区间大致可选在( ) A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(e,+∞) 考点 用二分法求函数零点的近似值 题点 用二分法判断函数零点所在的区间 答案 B 解析 由于f (2)=ln2-1<0,f(3)=ln3- >0, f (2)·f(3)<0,故初始区间可选(2,3). 5.已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续不断,并且在区间(a,b)内有唯一零点,当a=1.2,b=1.4,精确度ε=0.1时,应将区间(a,b)等分的次数至少为( ) A.1B.2C.3D.4 考点 二分法的概念 题点 分析二分法计算的次数 答案 B 6.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表: f (1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)=-0.984 f(1.375)=-0.260 f(1.438)=0.165 f(1.4065)=-0.052 那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确度0.05)为( ) A.1.5B.1.375C.1.438D.1.25 考点 用二分法求函数的近似解 题点 用二分法求方程的近似解 答案 C 解析 ∵f(1.4065)<0,f(1.438)>0, ∴f(1.4065)·f(1.438)<0, ∴该方程的根在区间(1.4065,1.438)内, 又∵|1.4065-1.438|=0.0315<0.05, ∴方程的近似根为1.4065或1.438.故选C. 7.设a是函数f(x)=2x- 的零点,若x0>a,则f(x0)的值满足( ) A.f(x0)=0B.f(x0)>0 C.f(x0)<0D.以上都有可能 考点 用二分法求函数零点的近似值 题点 用二分法判断函数零点所在的区间 答案 B 解析 画出y=2x与y= 的图象(图略),可知当x0>a时,2x0> ,故f(x0)>0. 8.函数f(x)=log3x- 在区间[1,3]内有零点,则用二分法判断含有零点的区间为( ) A. B. C. D. 考点 用二分法求函数的近似解 题点 用二分法判断函数零点所在的区间 答案 C 解析 f (1)=- <0,f(3)= >0,f (2)=log32- =log32- =log3 =log3 <0,f =log3 - =log3 - =log3 >log3 =log3 >0,因此,函数f(x)的零点在区间 内,故选C. 二、填空题 9.用二分法求函数f(x)在区间[a,b]内的零点时,需要的条件是________.(填序号) ①f(x)在[a,b]上连续不断;②f(a)·f(b)<0; ③f(a)·f(b)>0;④f(a)·f(b)≥0. 考点 二分法的概念 题点 二分法的概念 答案 ①② 解析 由二分法适用条件直接可得. 10.若函数f(x)的图象是连续不断的,且f(0)>0,f (1)·f (2)·f(4)<0,则下列命题正确的是________.(填序号) ①函数f(x)在区间(0,1)内有零点; ②函数f(x)在区间(1,2)内有零点; ③函数f(x)在区间(0,2)内有零点; ④函数f(x)在区间(0,4)内有零点. 考点 二分法的概念 题点 二分法的概念 答案 ④ 解析 ∵f(0)>0,而由f (1)·f (2)·f(4)<0,知f (1),f (2),f(4)中至少有一个小于0,∴函数f(x)在(0,4)内有零点. 11.用二分法求方程x3-x2-1=0的一个近似解时,现在已经将一个实数根锁定在区间(1,2)内,则下一步可断定该实数根所在的区间为________. 考点 用二分法求函数零点的近似值 题点 用二分法判断函数零点所在的区间 答案 解析 令f(x)=x3-x2-1,则f (1)=-1<0,f (2)=3>0,f = >0,所以f f (1)<0, 故可断定该实数根所在的区间为 . 三、解答题 12.用二分法求方程x2-2=0的一个正实数解的近似值.(精确到0.1) 考点 用二分法求函数零点的近似值 题点 用二分法求方程的近似解 解 令f(x)=x2-2,由于f(0)=-2<0,f (2)=2>0,可确定区间[0,2]作为计算的初始区间,用二分法逐步计算,列表如下: 端点或中点横坐标 计算端点或中点的函数值 定区间 a0=0,b0=2 f(0)=-2,f (2)=2 [0,2] x0=1 f(x0)=-1<0 [1,2] x1=1.5 f(x1)=0.25>0 [1,1.5] x2=1.25 f(x2)≈-0.438<0 [1.25,1.5] x3=1.375 f(x3)≈-0.109<0 [1.375,1.5] x4=1.4375 f(x4)≈0.066>0 [1.375,1.4375] 由上表的计算可知,区间[1.375,1.4375]的长度为1.4375-1.375=0.0625<0.1. 故1.4可作为所求方程的一个正实数解的近似值. 13.(2017·山东莱芜期中)已知函数f(x)=ax3-2ax+3a-4在区间(-1,1)上有一个零点. (1)求实数a的取值范围; (2)若a= ,用二分法求方程f(x)=0在区间(-1,1)上的根. 考点 用二分法求函数零点的近似值 题点 用二分法求方程的近似解 解 (1)若a=0,则f(x)=-4,与题意不符,∴a≠0. 由题意,得f(-1)·f (1)=8(a-1)(a-2)<0, 即 或
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