拔高讲义第九章平面解析几何之第4讲强化课直线与圆的问题.docx
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拔高讲义第九章平面解析几何之第4讲强化课直线与圆的问题
复习导读 1.直线的斜率、直线的方程、两直线的位置关系以及距离公式的应用是高考的热点,一般不单独命题,常与圆、圆锥曲线等知识相结合进行考查.2.圆的方程、直线与圆的位置关系在高考中出现的频率较高,常以选择、填空题形式考查,但近两年全国Ⅰ卷均以解答题的形式出现,望同学们复习时应给予足够的重视.
考点一 直线过定点问题
【例1】
(1)已知直线mx+y-m-1=0(m是参数且m∈R)过定点,则定点坐标为________.
(2)点P(2,1)到直线mx-y-3=0(m∈R)的最大距离是________.
解析
(1)法一 (恒等式法)直线方程化为(x-1)m+y-1=0,因为m∈R,所以解得
所以直线mx+y-m-1=0(m是参数且m∈R)过定点(1,1).
法二 (特殊直线法)取m=0,m=1,得y=1,x+y-2=0,联立解得将(1,1)代入mx+y-m-1=0检验满足方程,所以直线mx+y-m-1=0(m是参数且m∈R)过定点(1,1).
(2)对于直线l:
mx-y-3=0(m∈R),令m=0,则有-y-3=0,令m=1,则有x-y-3=0,解方程组得
则直线l经过定点Q(0,-3),如图所示,由图知,当PQ⊥l时,点P(2,1)到直线l的距离取得最大值|PQ|==2,所以点P(2,1)到直线l的最大距离是2.
答案
(1)(1,1)
(2)2
探究提高 直线l的方程中除去x,y外还有其他字母(称为参数),那么直线l过一个定点P,通常对参数分别取两个具体的值,将所得的两个方程联立得方程组,则该方程组的解是定点P的坐标.
【训练1】已知0 kx-2y-2k+8=0和直线l2: 2x+k2y-4k2-4=0与两坐标轴围成一个四边形,则使得这个四边形面积最小的k值为________. 解析 直线l1的方程可以化为k(x-2)-2y+8=0,该直线系过定点M(2,4),与y轴的交点坐标是B(0,4-k);直线l2的方程可以化为(2x-4)+k2(y-4)=0,该直线系过定点M(2,4), 与x轴的交点坐标是C(2k2+2,0).可以知道这个四边形是OBMC,如图所示,连接OM,则四边形OBMC的面积是△OBM,△OCM的面积之和,故四边形OBMC的面积是×(4-k)×2+×(2k2+2)×4=4k2-k+8.因为0 答案 考点二 直线与圆的综合问题 [考查角度一] 直线与圆的位置关系 【例2-1】已知圆C: x2+y2+x-6y+m=0与直线l: x+2y-3=0. (1)若直线l与圆C不相交,求m的取值范围; (2)若直线l与圆C相交于P,Q两点,O为原点,且OP⊥OQ,求实数m的值. 解 将圆的方程配方,得+(y-3)2=,有>0,解得m<. 将直线l的方程与圆C的方程联立, 得 消去y,得x2++x-6×+m=0, 整理,得5x2+10x+4m-27=0.① (1)因为直线l与圆C不相交,所以方程①无解, 所以Δ=102-4×5×(4m-27)<0,解得m>8. 所以m的取值范围是. (2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),由OP⊥OQ,得·=0, 即x1x2+y1y2=0.② 由①及根与系数的关系,得x1+x2=-2,③ x1x2=,④ 又P,Q在直线x+2y-3=0上, 所以y1y2=·=[9-3(x1+x2)+x1x2]. 将③④代入上式,得y1y2=,⑤ 将④⑤代入②,得+=0,解得m=3. 代入方程①检验,得Δ>0成立,所以m=3. 探究提高 (1)将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组,利用判别式Δ来讨论位置关系: Δ>0⇔相交,Δ=0⇔相切,Δ<0⇔相离. (2)本题较全面地考查了直线与圆的位置关系,难点是不能由OP⊥OQ进行转化,应用不好根与系数的关系就得不出有关m的方程. [考查角度二] 与圆有关的最值问题 【例2-2】 (1)已知圆C: (x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为( ) A.7B.6C.5D.4 (2)已知P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB是圆C: x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB的最小面积是2,则k的值为( ) A.3B.C.2D.2 解析 (1)根据题意,画出示意图,如图所示, 则圆心C的坐标为(3,4),半径r=1,且|AB|=2m.因为∠APB=90°,连接OP, 易知|OP|=|AB|=m.要求m的最大值, 即求圆C上的点P到原点O的最大距离. 因为|OC|==5, 所以|OP|max=|OC|+r=6, 即m的最大值为6,故选B. (2) 把圆的方程化成标准形式得x2+(y-1)2=1,所以圆心为(0,1),半径为r=1,四边形的面积S=2S△PBC,所以若四边形PACB的最小面积是2,则S△PBC的最小值为1.而S△PBC=r·|PB|,即|PB|的最小值为2,此时|PC|最小,为圆心到直线kx+y+4=0的距离d,此时d===,即k2=4,因为k>0,所以k=2,选D. 答案 (1)B (2)D 探究提高 与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值,求点到直线的距离的最值,求相关参数的最值等方面.解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化.如本例 (1)中,将参数范围转化为两圆位置关系问题.熟练掌握圆的几何性质是解决问题的根本. 【训练2】 (1)(2015·南昌二模)若圆C1: x2+y2-2ax+a2-9=0(a∈R)与圆C2: x2+y2+2by+b2-1=0(b∈R)内切,求ab的最大值. (2)已知以点C(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O,A,与y轴交于点O,B,其中O为原点. ①求证: △OAB的面积为定值; ②设直线y=-2x+4与圆C交于点M,N,若|OM|=|ON|,求圆C的方程. (1)解 圆C1: x2+y2-2ax+a2-9=0(a∈R). 化为: (x-a)2+y2=9,圆心坐标为(a,0),半径为3. 圆C2: x2+y2+2by+b2-1=0(b∈R),化为x2+(y+b)2=1,圆心坐标为(0,-b),半径为1,∵圆C1: x2+y2-2ax+a2-9=0(a∈R)与圆C2: x2+y2+2by+b2-1=0(b∈R)内切, ∴=3-1,即a2+b2=4,ab≤(a2+b2)=2.∴ab的最大值为2. (2)①证明 ∵圆C过原点O,∴|OC|2=t2+. 设圆C的方程是(x-t)2+=t2+, 令x=0,得y1=0,y2=; 令y=0,得x1=0,x2=2t, ∴S△OAB=|OA|·|OB|=×|2t|×=4, 即△OAB的面积为定值. ②解 ∵|OM|=|ON|,|CM|=|CN|,∴OC垂直平分线段MN. ∵kMN=-2,∴kOC=.∴=t,解得t=2或t=-2. 当t=2时,圆心C的坐标为(2,1),|OC|=, 此时C到直线y=-2x+4的距离d=<, 圆C与直线y=-2x+4相交于两点. 当t=-2时,圆心C的坐标为(-2,-1),|OC|=, 此时C到直线y=-2x+4的距离d=>. 圆C与直线y=-2x+4不相交, ∴t=-2不符合题意,舍去. ∴圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5. 考点三 圆与圆锥曲线的综合问题 【例3】已知抛物线C: y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|. (1)求C的方程; (2)过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求l的方程. 解 (1)设Q(x0,4),代入y2=2px(p>0)得x0=. 所以|PQ|=,|QF|=+x0=+. 由题设得+=×,解得p=-2(舍去)或p=2. 所以C的方程为y2=4x. (2)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m≠0). 代入y2=4x得y2-4my-4=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4. 故AB的中点为D(2m2+1,2m), |AB|=|y1-y2|=4(m2+1). 又l′的斜率为-m,所以l′的方程为x=-y+2m2+3. 将上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0. 设M(x3,y3),N(x4,y4),则y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3). 故MN的中点为E, |MN|=|y3-y4|=. 由于MN垂直平分AB,故A,M,B,N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|, 从而|AB|2+|DE|2=|MN|2, 即4(m2+1)2++=. 化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1. 所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0. 探究提高 圆与圆锥曲线综合问题的解题关键是圆的几何性质的运用,如直径所对的圆周角为直角等. 【训练3】(2014·天津卷)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|=|F1F2|. (1)求椭圆的离心率; (2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过点F2的直线l与该圆相切于点M,|MF2|=2.求椭圆的方程. 解 (1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0).由|AB|=|F1F2|,可得a2+b2=3c2,又b2=a2-c2,则=.所以,椭圆的离心率e=. (2)由 (1)知a2=2c2,b2=c2.故椭圆方程为+=1. 设P(x0,y0).由F1(-c,0),B(0,c),有=(x0+c,y0),=(c,c). 由已知,有·=0,即(x0+c)c+y0c=0. 又c≠0,故有x0+y0+c=0.① 因为点P在椭圆上,故+=1.② 由①和②可得3x+4cx0=0.而点P不是椭圆的顶点,故x0=-c,代入①得y0=,即点P的坐标为. 设圆的圆心为T(x1,y1),则x1==-c,y1==c, 进而圆的半径r==c. 由已知,有|TF2|2=|MF2|2+r2, 又|MF2|=2,故有+=8+c2,解得c2=3. 所以,所求椭圆的方程为+=1. (建议用时: 60分钟) 一、选择题 1.若向量a=(k+2,1)与向量b=(-b,1)共线,则直线y=kx+b必经过定点( ) A.(1,-2)B.(1,2) C.(-1,2)D.(-1,-2) 解析 因为向量a=(k+2,1)与向量b=(-b,1)共线,则k+2=-b,即b=-2-k,于是直线方程化为y=kx-k-2,即y+2=k(x-1),故直线必过定点(1,-2),选A. 答案 A 2.过点P(-,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是( ) A.B.C.D. 解析 由题意知过点P的直线斜率存在,设过点P的直线方程为y=k(x+)-1,则由直线和圆有公共点知≤1.解得0≤k≤.故直线l的倾斜角的取值范围是. 答案 D 3.过点M(1,2)的直线l与圆C: (x-2)2+y2=9交于A、B两点,C为圆心,当∠ACB最小时,直线l的方程为( ) A.x=1B.y=1 C.x-y+1=0D.x-2y+3=0 解析 当CM⊥l,即弦长最短时,∠ACB最小,kCM=-2, ∴kl·kCM=-1,∴kl=,∴l的方程为: x-2y+3=0. 答案 D 4.在圆x2+y2=4上与直线l: 4x+3y-12=0的距离最小的点的坐标是( ) A.B. C.D. 解析 过圆(0,0)与直线l垂直的直线方程为3x-4y=0,由解得或结合图形可知所求点的坐标为. 答案 A 5.已知两点A(-1,0),B(0,2),点P是圆(x-1)2+y2=1上任意一点,则△PAB面积的最大值与最小值分别是( ) A.2,(4-)B.(4+),(4-) C.,4-D.(+2),(-2) 解析 如图,圆心(1,0)到直线AB: 2x-y+2=0的距离为d=, 故圆上的点P到直线AB的距离的最大值是+1, 最小值是-1,又|AB|=, 故△PAB面积的最大值和最小值分别是2+,2-. 答案 B 6.(2016·阜阳一模)设曲线C的方程为(x-2)2+(y+1)2=9,直线l的方程为x-3y+2=0,则曲线上的点到直线l的距离为的点的个数为( ) A.1B.2C.3D.4 解析 由(x-2)2+(y+1)2=9, 得圆心坐标为(2,-1),半径r=3, 圆心到直线l的距离d===. 要使曲线上的点到直线l的距离为, 此时对应的点在直径上,故有两个点. 答案 B 二、填空题 7.在平面直角坐标系内,到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之和最小的点的坐标是________. 解析 设平面上任一点M,因为|MA|+|MC|≥|AC|,当且仅当A,M,C共线时取等号,同理|MB|+|MD|≥|BD|,当且仅当B,M,D共线时取等号,连接AC,BD交于一点M,若|MA|+|MC|+|MB|+|MD|最小,则点M为所求.又kAC==2, ∴直线AC的方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0.① 又kBD==-1, ∴直线BD的方程为y-5=-(x-1),即x+y-6=0.② 由①②得解得∴M(2,4). 答案 (2,4) 8.直线l1: y=x+a和l2: y=x+b将单位圆C: x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则a2+b2=______. 解析 由题意知,直线l1截圆所得的劣弧长为,则圆心到直线l1的距离为,即=,则a2=1.同理可得b2=1,则a2+b2=2. 答案 2 9.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是________. 解析 圆C的标准方程为(x-4)2+y2=1,圆心为(4,0). 由题意知(4,0)到kx-y-2=0的距离应不大于2, 即≤2.整理,得3k2-4k≤0.解得0≤k≤. 故k的最大值是. 答案 三、解答题 10.已知实数x,y满足方程(x-3)2+(y-3)2=6,求x+y的最大值和最小值. 解 设x+y=t,则直线y=-x+t与圆(x-3)2+(y-3)2=6有公共点. ∴≤,∴6-2≤t≤6+2. 故x+y的最小值为6-2,最大值为6+2. 11.已知矩形ABCD的对角线交于点P(2,0),边AB所在直线的方程为x-3y-6=0,点(-1,1)在边AD所在的直线上. (1)求矩形ABCD的外接圆的方程; (2)已知直线l: (1-2k)x+(1+k)y-5+4k=0(k∈R),求证: 直线l与矩形ABCD的外接圆恒相交,并求出相交的弦长最短时的直线l的方程. (1)解 ∵lAB: x-3y-6=0且AD⊥AB, 点(-1,1)在边AD所在的直线上, ∴AD所在直线的方程是y-1=-3(x+1), 即3x+y+2=0. 由得A(0,-2).∴|AP|==2, ∴矩形ABCD的外接圆的方程是(x-2)2+y2=8. (2)证明 直线l的方程可化为k(-2x+y+4)+x+y-5=0, l可看作是过直线-2x+y+4=0和x+y-5=0的交点(3,2)的直线系,即l恒过定点Q(3,2),由(3-2)2+22=5<8知点Q在圆P内, 所以l与圆P恒相交. 设l与圆P的交点为M,N,则|MN|=2(d为P到l的距离), 设PQ与l的夹角为θ,则d=|PQ|·sinθ=sinθ, 当θ=90°时,d最大,|MN|最短. 此时l的斜率为PQ的斜率的负倒数,即-, 故l的方程为y-2=-(x-3),x+2y-7=0. 12.(2014·陕西卷)已知椭圆+=1(a>b>0)经过点(0,),离心率为,左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0). (1)求椭圆的方程; (2)若直线l: y=-x+m与椭圆交于A,B两点,与以F1F2为直径的圆交于C,D两点,且满足=,求直线l的方程. 解 (1)由题设知解得a=2,b=,c=1, ∴椭圆的方程为+=1. (2)由 (1)知,以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1, ∴圆心到直线l的距离d=,由d<1,得|m|<.(*) ∴|CD|=2=2=. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 由得x2-mx+m2-3=0, 由根与系数的关系可得x1+x2=m,x1x2=m2-3. ∴|AB|= =. 由=,得=1, 解得m=±,满足(*). ∴直线l的方程为y=-x+或y=-x-.
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