外接球与内切球解题方法.docx
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外接球与内切球解题方法
空间几何体的外接球与内切球
一、有关定义
1•球的定义:
空间中到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫球面,简称球。
2•外接球的定义:
若一个多面体的各个顶点都在一入球的球面上,则称这个多面体是这个球的内接多面体,这个球是这个多面体的外接球。
3•内切球的定义:
若一个多面体的各面都与一个球的球面相切,则称这个多面体是这个球的外切多面体,这个球是这个多面体的内切球。
二、外接球的有关知识与方法
1・性质:
性质1:
过球心的平面裁球面所得圆是大圆,大圆的半径与球的半径相等;
性质2:
经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心,该平面裁球所得圆是大圆;
性质3:
过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在范平面(类比:
圆的垂径定理);
性质4:
球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心;
性质5:
在同一球中,过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交,交点是球心(类比:
在同圆中,两相交弦的中垂线交点是圆心).
2.结论:
结论I:
长方体的外接球的球心在体对角线的交点外,即长方体的体对角线的中
点是球心;
结论2:
若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点,则所得多面体与原长方体的外接球相同;
结论3:
长方体的外接球直径就是面对角线及与此直垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心,换言之,就是:
底面的一条对角线与一条高(棱)构成的直角三角形的外接圆是大圆;
结论4:
圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处;
结论5:
圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆,该矩形的对角线(外接圆直径)是球
的直径;
结论6:
直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球;
结论7:
圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上;
结论8:
圆锥体轴裁面等腰三角形的外接圆是大圆,该三角形的外接圆直径是球的直径;
结论9:
侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.
3.终极利器:
勾股定理、正弦定理及余弦定理(解三角形求线段长度);
三、内切球的有关知识与方法
|.若球与平面相切,则切点与球心连线与切面垂直。
(与直线切圆的结论有一致性)
2.内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
(类比:
与多边形的内切圆)
3•正多面体的内切球和外接球的球心重合。
4.疋棱锥的内切球和外接球球心都在高线上,但不一定重合。
5•基本方法:
(1)构造三角形利用相似比和勾股定理;
(2)体积分割是求内切球半径的通用做法(等体积法).
四、八大模型
方法:
找三条两两垂直的线段,直接用公式(2/e)2=«2+/>2+c2,即
2R=>!
a2+h2+c2,求出R
例1
(1)已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球
的表面积是(C)
A.164-B.20兀C.24/rD.32/T
解:
K=a:
/;=16,a=2,+力?
=4+4+16=24,S=24^,选C;
(2)若三棱锥的三个侧面两两垂盲,目侧榜长均为则其外接球的表面积昙
9兀
解:
4/e2=3+3+3=9,S=4ttF=9兀;
(3)在正三棱锥S-AHC中,M、N分别是棱虻、BC
的中点,且4"丄MN,若侧棱M=2巧,则正三棱锥
S-ABC外接球的表面积是・36/r
解:
引理:
正三棱锥的对棱互相垂直证明如下:
如
图(3)・1,取AByBC的中点D、E,连接AE.CD、AEQ)交于H,连接S77,则H是底面正三角形ABC的中心,/.SH丄平面ABC,:
.SHLAB,
vAC=BC9AD=BD3:
.CD丄昇〃,・•・/(〃丄平面SCD.
:
.AB丄SC,同理:
〃「丄・册,ACU即正三棱锥的对棱互垂直,
本题图如图(3)-2,•••AMLMN,SBHMN.
:
.AM丄SB,•・•AC丄SB,SB丄平面SAC,..SB丄S4,SB丄SC,VSB丄S4,BC丄S4,:
.SAL平面SBC,;.SAISC,
故三棱锥5-ABC的三棱条侧棱两两互相垂直,・•・(2R)2=(2商尸+(275)2+(2巧)2=36,即4用=36.
・•・正三棱锥S-A/iC外接
球的表面积是36兀・
(4)在四面体S-ABC中,SAL平面MC,ZBAC=\20\SA=AC=2tAB=1,则该
四面体的外接球的表面积为(D)
411兀〃.7穴(.一nI).—n
33
解:
在中,BC^AC^AB^IAB・〃「・cosI2(T=7.BC="、MBCt^
(5)如果三棱锥的三个侧面两两垂直,它们的面积分别为6、4.3,那么它的外
接球的表面积是解:
由已知得三条侧棱两两垂直,设三条侧棱长分别为aheghewR、则
ab二12
be=89ahc=24,/.a=39b=49c=2,(2/^)?
=a+/)+c?
=299
cjc=6
S二4欣=29兀,
(6)已知某几何体的三视图如图所示,三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长
为I的正方形,则该几何体外接球的体积为
解:
(2心"宀3,⑴,R告
类型二.对棱相等模型(补形为长方体)
题设:
三梭锥(即四面体)中,已知三组对梭分别相等,求外接球半径(Ab=(l),
AD^BC9AC=BD)[来源:
简单高中生(IDijiandanlOOcn)]
第一步:
画出一个长方体,标出三组互为异面直线的对棱;
思考:
如何求棱长为。
的正四面体体积,如何求其外接球体积?
例2
(1)如下图所示三棱锥A-BCD.其中刨=(7)=5、"=川)=6、川)=J
则该三棱锥外接球的表面积为・
解;对棱相等,补形为长方体,如图2-1,设长宽高分别为a、b、c,
2(a2+Z>2+?
)=25+36+49=110,a2+/)2+c2=55,4R2=55.S=55x
(2)在三棱锥A-BCD中,AB=CD=2.JD=BC=3,AC=fil)=4,则三棱锥
7Q
A-IKD外接球的表面积为・—兀
2
解:
如图2・1,设补形为长方体,三个长度为三对面的对角线长,设长宽高分别
为ubc、则a2+Z>2=9,
Z>?
+c2=4,c:
+a2=16•••2(/+6?
+/)二9+4+16=29,
2(/+宀;)=9+4+16=29,
2辽229▲n229e29
cf+b+c=—94R=—9S=—7T
222
(3)正四面体的各条棱长都为42,则该正面体外接球的体积为
解:
正四面体对棱相等的模式,放入正方体中,2R=®R=-,
2
“43巧
V=_几=——n
382
(4)棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面二,若过该球球心的一个截面
如下图,则图中三角形(正四面体的裁面)的面积是.
解:
如解答图,将正四面体放入正方体中,截面为\PC(\.面积是运.
题设:
如图3・1,图3・2,图3・3,直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱,
棱柱的上下底面可以是任意三角形)
第一步:
确定球心0的位置,0|是府的外心,则0Q丄平面ABC;
第二步:
算出小圆Q的半径A(\=r,00严+创也是圆柱的高);
第三步:
勾股定理:
Of+OQ2aR2=(分”2aR=*2十(令2,解出
例3
(1)—个正六棱柱的底面上正六边形.其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶o
点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为底面周长为3,则这个球的体积8
为
解:
设正六边形边长为a,正六棱柱的高为力,底面外接圆的半径为厂,则口=丄,
2
正六棱柱的底面积为46•亠丄)2=心,人=册=也”=2,
42888
4/?
;=l2+(V3)2=4
也可,=出2+(分=1)—]球的体积为芋;
22绰3
⑵直三棱柱ABC-ADG的各顶点都在同一球面上,若
AB=AC二AA^2上BAC=120。
,则此球的表面积等于.
(3)已知AEAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直,EA=EH=3yAD=2,Z.AEH=60,则多面体E-ABCD的外接球的表面积
解:
折叠型,
法一:
A/以“的外接圆半径为斤=巧・()(\=1f/?
=5/TT3=2;
法二:
O.M--=(KD-,R:
=—+—=4,R=2,Sf-16^;
2*244
法三:
补形为直三棱柱.可改变直三棱柱的放置方式为立式,算法可同上,略.
换一种方式,通过算圆柱的轴截面的对角线长来求球的直径:
(2A)2=(2>/3)2+22=16f片=16龙;
⑷在直三棱柱叙中,力〃=4/「=6/=二,44|=4,则直三棱柱3
—的外接球的表面积为
160
—n
3
解:
法一:
^=16,36-2.4.6.1=28.吩2忆"爷=岭科
宀宀洋)2』+4旦,
233农3
法二:
求圆柱的轴截面的对角线长得球直径,此略一
类型四.切瓜模型(两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径一正弦定理求大圆
直径是通法)
1•如图4・1,平面川('丄平面ABC9且曲丄BC(WAC为小圆的直径),且P的射影是MBC的外心o三棱锥P-AH('的三条侧棱相等o三棱P-ABC的底面44〃('在圆锥的底上,顶点P点也是圆锥的顶点.
解題步骤:
第一步:
确定球心O的位置,取的外心Q,则化三点共线;第二步:
先算出小圆0的半径JO1=r,再算岀棱锥的高/¥;.=/;(也是圆锥的高);第三步:
勾股定理:
OA2=OXA2+()}O2=>/?
2=(h-R)2+r2,解岀/?
;
事实上,"(屮的外接圆就是大圆,直接用正弦定理也可求解岀A.
2.如图4・2,平面P/K'丄平面ABC,且M丄从’(即/('为小圆的直径),且
P.4丄AC,则
利用勾股定理求三棱锥的夕卜接球半径:
1(2疔=pa2+(2厂Fo2R=JPA2+3;;
2心厂2+()()2or=^r2+()()~
3•如图4・3,平面刃C丄平面ABC,且祐丄〃(‘(即/「为小圆的直径)
OC2=(){C2+(\()2oRSOp1oAC=2阳_0少
4.题设:
如图4-4,平面/MC丄平面ABC,且ABLBC(即为小圆的直径)
第一步:
易知球心。
必是\PAC的外心,即A/MC的外接圆是大圆,先求出小圆的直径AC=2r;[来源:
简单高中生(ID:
jiandanlOOcn)]
第二步:
在ZAC中,可根据正弦定理—=-^-=-^=2^,求出乩
sinAsin〃sin(
例4
(1)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为1,底面边长为2馆,则该球的表面积为•
解:
法一:
由正弦定理(用大圆求外接球宜径);法二:
找球心联合勾股定理,
2/e=7,$二4曲=49穴;
(2)正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为73,各顶点都在同一球面上,则此球体积为
解:
方法一:
找球心的位置,易知厂二1,A=1,A=/•,故球心在正方形的中心AHCD
4/T
处,/e=i,r=y
方法二:
大圆是轴截面所的外接圆,即大圆是△彫('的外接圆,此处特殊,心ASM的斜边是球半径,2R=2、R=\tK=y・
(3)—个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是()
A.也B•返C.返D.返
43412
解:
高/,-/?
-!
底面外按圆的半径为斤・1,直径为2R-2,
设底面边长为-贝\\2R=-^—=2,a=V3,S=^-a2=^-.三棱锥的体积sin6044
为心5?
二返;
34
⑷在三棱锥p-ahc中,p心p“pc=£,侧棱以与底面(’所成的角为
60",则该三棱锥外接球的体积为()
A.nB.—C.4/rD.—
33
解:
选D,由线面角的知识,得的顶点AJkC在以r=耳为半径的圆上,在圆锥中求解,ze=i;
(5)已知三棱锥5ABC的所有顶点都在球O的求直上,〃(‘是边长为1的正三
角形,S「为球0的直径,且A'C=2,则此棱锥的体积为()A
厲、v.Sh丄空还=至
3*33436
类型五、垂面模型(一条直线垂直于一个平面)
解題步骤:
第一步:
将MHC画在小圆面上,/!
为小圆直径的一个端点,作小圆的直径月门,连接PD,则PD必过球心0;
第二步:
q为2〃(’的外心,所以oq丄平面abc,算出小圆q的半径
(\D=厂(三角形的外接圆直径算法:
利用正弦定理,得旦二色二宀二2厂),sinAsinnsin(
0()严tPA;
第三步:
利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:
1(2疔=pa2+(2r)2o2R=y/PA2+(2r)2;
2R2=r2+()(*oR=3+00:
2.题设:
如图5・1至5・8这七个图形,尸的射影是的外心o三棱锥P-AI3C的三条侧棱相等O三棱锥P-AHC的底面MBC在圆锥的底上,顶点P点也是圆锥的顶点.
第一步:
确定球心O的位盖,取MBC的外心Q,则POQ三点共线;
第二步:
先算出小圆0的半径40,=r,再算岀棱锥的高W.=A(也是圆锥的高);
第三步:
勾股定理:
0"=0昇+00n,=。
一R)?
十产,解出R
方法二:
小圆直径参与构造大圆,用正弦定理求大圆直径得球的直径.
例5—个几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为()C
D.以上都不对
A.3^B.In
法一:
(勾股定理)利用球心的位置求球半径,球心在圆锥的高线上,"一好+\=r2R=_^,s=47d<2=牛;
法二:
(大圆法求外接球直径)如图,球心在圆锥的高线上,故圆锥的轴截面三角
24
形〃MN的外接圆是大圆,于是2R=—-二-下略;sin60V3
类型六、折叠模型
题设:
两个全等三角形或等腰三角形拼在一起,或菱形折叠(如图6)
第一步:
先画出如图6所示的图形,将”(7)画在小圆上,找出△从7)和山方/)的外心厲和弘;
第二步:
过也和弘分别作平面和平面的垂线,两垂线的交点即为球
心0,连接OE.OC;
第三步:
解^OEH.,算岀0仏,在血AOC〃冲,勾股定理:
()研+(、用=()(、,
注:
易知O,仏/,〃2四点共面且四点共圆,证略•
例6
(1)三棱锥P-ABC中,平面必('丄平面ARC,APAC和△初「均为边长为
2的正三角形,则三棱锥P-AHC外接球的半径为.
(2)在頁角梯形ABCD中,AB/IC1),ZJ=90\ZC=45\AB=AD=1,沿对角线〃〃折成四面体才-〃(7儿使平面才〃〃丄平面%7儿若四面体H的
顶点在同一个球面上.则该项球的表面积为4兀
解:
如图,易知球心在B「的中点处,»严4兀;
(3)在四面体S-AHC中,川〃丄HC,AB=BC=伍,二面角S的余弦
值为-二,则四面体S-A/fC的外接球表面积为5
、
解:
如图,法一:
cosZS()\B=cos(Z()(\O>+—)=-—,
23
sin=—,cos,
123123
00.=^―==,/?
'=1+丄=3S=4^7?
"=6/r;
1cosZ()()}():
222
法二:
延长〃q到D使D(\=B(\=,由余弦定理得$〃=&,SD=逅、大圆直径为2R=SB=4^;
⑷在边长为2、$的菱形AHCD中,ZB初二60=沿对角线加折成二面角
A-BD-C为120的四面体ABCD•则此四面体的外接球表面积为
28兀
解:
如图.取〃D的中点M.和ACD的外接圆半径为r.=r2=2tMBD
和M7")的外心到弦BD的距离(弦心距)为V严1,
法一:
四边形OQMQ的外接圆直径OM=2,R=4i、S=2";
法二:
()0严厲,R=h;
法三:
作岀MM)的外接圆直径CEMAM=CM=3.(£=4,=\,
如盒哥=2"52初
(5)在四棱锥ABCD中,Z〃/M=120,Z/?
/X^=150,J/J=/?
/J=2fCl)=>/3,
二面角A-HI)C的平面角的大小为120,则此四面体的外接球的体积为
解:
如图,过两小圆圆心作相应小圆所在平面的垂线确定球心,
AB=2“、弦#卜距二的.BC=E,斤二VII.弦距QA/二2筋,
•••0Q产问■OM
类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同•也可看作矩形沿对角线折起所得三
棱锥)模型
题设;如图7,厶V厶(3=90,求三棱锥P-ABC外接球半径(分析:
取公共的斜边的中点0,连接O!
\OC,则===+0为三棱锥
P-AiK^接球球心,然后在0(7〉中求出半径),当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关.只要不是平角球半径都为定值.
例7
(1)在矩形ABCD中,4B*BC=3,沿,4C将矩形ABCD折成一个直二面
125——n
12
解:
⑴2—5,R吟V恥9•导罟,选。
(2)在矩形ABCD中.AB=2.=沿加将矩形ABCD折叠,连接A(\所
得三棱锥,4-HCD的外接球的表面积为.
解:
刃)的中点是球心(儿2R=BD=^.£=4点=血・
类型八.锥体的内切球问题
1•题设:
如图&1.三棱锥P-AHC上正三棱锥,求其内切球的半径.
第一步:
先现出内切球的裁面图,从〃分别是两个三角形的外心;
第二步:
求1)H=-Hl)fmH是侧面的高;
3
第三步:
由山忆比相似于,建立等式:
菩;
2•题设:
如图8・2,四棱锥P-ABC是正四棱锥,求其内切球
的半径
第一步:
先现出内切球的截面图,POH三点共线:
第二步:
求I.P()二PH-r、〃是侧面MXD的
高;
第三步:
由相似于A/77/,建立等式:
鉴=咯
Hrrr
解出
3.题设:
三棱锥P(•是任意三棱锥,求其的内切球半径
方法:
等体积法,即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等
第一步:
先画出四个表面的面积和整个锥体体积;
第二步:
设内切球的半径为尸,建立等式:
3.尸"3^PBC=3'、'WC11^PAC+°r
第三步:
解岀〜
例8(I)棱长为a的正四面体的内切球表面积是解:
设正四面体内切球的半径为r将正四面体放入棱长为];
形为正方体),如图.则
竽唸,”旅…内切球的表面积为
r—丄卩_丄a'_ai厂亍曲刖亍刃厂丽'
2
.^=4^2=—(注:
还有别的方法,此略)
6
(2)正四棱锥S50)的底面边长为2,侧棱长为3,则其内切球的半径为
1+2^2
解:
如图,正四棱锥S-AHC1)的高A=V7,正四棱锥S-A/fCD的体积为
rS-1BCD一3
侧面斜高A.=2v2,正四棱锥/AH('I)的表面积为»=4卜8、月,
正四棱锥S-ABCD的体积为
“1c4+8^2
^S-ABCD一yS来尸--•r■
4+8血4^7
/.r=,
33
4万_V7_万(2血_1)_2帀-厲
r一4+8^2一1+2迈一7一7
⑶三棱锥P-ABC中,底面是边长为2的正三角形,/%丄底面
/M=2,则该三棱锥的内切球半径为
2巧
V3+V7+4
解:
如图、Sw=V3fSMBP=S“cp=2,
三棱锥I^ABC的体积为Vp^c=字,另一表达体积的方式是VP_ARC=iSj=W+丫严,r,
7J+V7+42V32V3
•••r=■/.r=-=——;=——
33V3+V7+4
1•若三棱锥S/I〃「的三条侧棱两两垂直,且.S>l=2f.SW=5C=4,则该三棱锥
的外接球半径为()
A.3B.6C.36D.9
解:
[A](2/0?
二J4+16+16=6,R=3
【三棱锥有一侧棱垂直于底面,且底面是直角三角形】【共两种】
2.
三棱锥S初「中,侧棱谢丄平面ABC,底面〃「是边长为的正三角形,
解:
2r=—=2,(2/e)2=4+12=16,疋=4,R=2,夕卜接球体积?
兀・8二密sin6033
【外心法(加中垂线)找球心;正弦定理求球小圆半径】
3.正三棱锥S-ABC中,底面初「是边长为百的正三角形,侧棱长为2,则该
三棱锥的外接球体积等于•
解・・“必外接圆的半径为‘三棱锥宀〃「的直径为込侖外接球半径R=
或用=(人一VJ),+1,R=2,外接球体积卩二上欣、上龙•耳二V3333馆27
4.三棱锥P-AHC中,平面血(’丄平面AHC,APAC边长为2的正三角形,
M丄从’,则三棱锥P-AHC外接球的半径为.
解:
的外接圆是大圆.2._
7T
5.三梭锥P_肋C中,平面丄平面ABC.AC=2.PJ=ZY?
=3fABLBC.
则三棱锥P-AHC外接球的半径为
2R宀冷理亠
4“22V248
6.三棱锥P-ABC中,平面心「丄平面ABCfA(=2,FAkPC,AB丄BC,
则三棱锥P-AHC外接球的半径为.
解:
>4「是公共的斜边,AC的中点是球心(儿球半径为人“
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