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《圆的证明与计算》专题
2012中考数学复习《圆的证明与计算》专题
圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题,此题完成情况的好坏对解决后面问题的发
挥有重要的影响,所以解决好此题比较关键。
一、考点分析:
1.圆中的重要定理:
(1)圆的定义:
主要是用来证明四点共圆.
(2)垂径定理:
主要是用来证明一一弧相等、线段相等、垂直关系等等
(3)三者之间的关系定理:
主要是用来证明一一弧相等、线段相等、圆心角相等
(4)圆周角性质定理及其推轮:
主要是用来证明一一直角、角相等、弧相等•
(5)切线的性质定理:
主要是用来证明一一垂直关系.
(6)切线的判定定理:
主要是用来证明直线是圆的切线•
(7)切线长定理:
线段相等、垂直关系、角相等•
2.圆中几个关键元素之间的相互转化:
弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来
互相转化•这在圆中的证明和计算中经常用到•
二、考题形式分析:
主要以解答题的形式出现,圆与相似圆与面积圆与切线动态圆
三、解题秘笈:
1、判定切线的方法:
(1)若切点明确,则"连半径,证垂直”。
常见手法有:
全等转化;平行转化;直径转化;中线转化等;有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直;
(2)若切点不明确,则“作垂直,证半径”。
常见手法:
角平分线定理;等腰三角形三线合一,隐藏角平分线;
总而言之,要完成两个层次的证明:
①直线所垂直的是圆的半径(过圆上一点);②直
线与半径的关系是互相垂直。
在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善
于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线
2、与圆有关的计算:
计算圆中的线段长或线段比,通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合,形式复杂,无规律性。
分析时要重点注意观察已知线段间的关系,选择定理进行线段或者角度的转化。
特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化,找出所求线段与已知线段的关系,从而化未知为已知,解决问题。
其中重要而常见的数学思想方法有:
(1)构造思想:
如:
①构建矩形转化线段;②构建“射影定理”基本图研究线段(已知任意两条线段可求其它所有线段长);③构造垂径定理模型:
弦长一半、弦心距、半径;④构造勾股定理模型;⑤构造三角函数
(2)方程思想:
设出未知数表示关键线段,通过线段之间的关系,特别是发现其中的相等关系建立方程,解决问题。
(3)建模思想:
借助基本图形的结论发现问题中的线段关系,把问题分解为若干基本图形的问题,通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论,进而找出隐藏的线段之间的数量关系。
四、范例讲解:
(一)圆与相似
1.(本小题满分8分)
(2011山东滨州,22,8分)如图,直线PM切OO于点M,直线P0交OO于A、B两点,弦
AC//PM,连接OMBC求证:
(1)△ABBAP0M;
(2)2OA2OPgBC.
2、(2011山东日照).(本题满分9分)如图,AB是O0的直径,AC是弦,CD是O0的切线,C为切点,AD丄CD于点D.求证:
(1)/A0C=2/ACD;
(2)AC2=ABAD.
3、(2011山东烟台,25,12分)
已知:
AB是O0的直径,弦CD丄AB于点G,E是直线AB上一动点(不与点A、B、G重合),直线DE交O0于点F,直线CF交直线AB于点P.设O0的半径为r.
(1)如图1,当点E在直径AB上时,试证明:
0E0P=r2
(2)当点E在AB(或BA)的延长线上时,以如图2点E的位置为例,请你画出符合题意的图形,标注上字母,
(1)中的结论是否成立?
请说明理由.
(2)圆与面积
4、(2011?
东营)如图,已知点A、B、C、D均在已知圆上,AD//BC,BD平分/ABC,/BAD=120,四边形ABCD的周长为15.
(1)求此圆的半径;
(2)求图中阴影部分的面积.
5.(2011山东莱芜)(10分)如图,AB是OO的直径,弦DE垂直平分半径OA,C为垂足,
DE=3,连接BD,过点E作EM//BD,交BA的延长线于点M.
(1)求OO的半径;
(2)求证:
EM是OO的切线;
(3)若弦DF与直径AB相交于点P,当/APD=45o时,求图中阴影部分的面积.
6、(2011?
临沂)如图.以O为圆心的圆与△AOB的边AB相切于点C.与OB相交于点D,且OD=BD,己知sinA=—,AC=話丄.
第23题图
7、(2011山东枣庄).(本题满分8分)
(2)若OO的半径为2,求图中阴影部分的面积
如图,点D在O0的直径AB的延长线上,点C在O0上,
且AC=CD,/ACD=120°.
(1)求证:
CD是OO的切线;
(三)圆与切线
8.(2011山东荷泽)(本题10分)如图,BD为OO的直径,AB=AC,AD交BC于点E,AE=2,
ED=4,
(1)求证:
△ABEADB;
⑵求AB的长;
O是圆心,点C是OA的中点,CD
AB是半圆的直径,点
⑶延长DB到F,使得BF=BO,连接FA,试判断直线FA与OO的位置关系,并说明理由•
丄OA交半圆于点D,点E是Bd的中点,连接AE、OD,过点D作DP//AE交BA的延长线
于点P.
(1)求/AOD的度数;
(2)求证:
PD是半圆O的切线.
10.(2011山东淄博)(9分)已知:
△ABC是边长为4的等边三角形,点O在边AB上,OO过点B且分别与边AB,BC相交于点D,E,EF丄AC,垂足为F.
(1)求证:
直线EF是OO的切线;
(第21題
(2)当直线DF与OO相切时,求OO的半径•
(四)圆与新题型
11.(2011山东德州)(本题满分10分)
•观察计算
当a5,b3时,与JOb的大小关系是
ab
当a4,b4时,二^与阿的大小关系是.
2
•探究证明
如图所示,ABC为圆0的内接三角形,AB为直径,过C作CDAB于D,设ADa,
BD=b.
(1)分别用a,b表示线段OC,CD;
a,b的式子表示)
(2)探求0C与CD表达式之间存在的关系(用含
根据上面的观察计算、探究证明,你能得出
与、.ab的大小关系是:
2
•实践应用
要制作面积为1平方米的长方形镜框,
•归纳结论
(五)圆与动点
12.(2011山东济宁)(10分)如图,在平面直角坐标系中,顶点为(4,1)的抛物线交y轴于A点,交x轴于B,C两点(点B在点C的左侧).已知A点坐标为(0,3)
(1)求此抛物线的解析式;
(2)过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D,如果以点C为圆心的圆与直线BD相切,请判断抛物线的对称轴I与OC有怎样的位置关系,并给出证明;
(3)已知点P是抛物线上的一个动点,且位于A,C两点之间,问:
当点P运动到
什么位置时,PAC的面积最大?
并求出此时P点的坐标和PAC的最大面积.
(第23题)
13.(2011山东德州)(本题满分12分)在直角坐标系xoy中,已知点P是反比例函数
23
y(x>0)图象上一个动点,以P为圆心的圆始终与y轴相切,设切点为A.
x
(1)如图1,0P运动到与x轴相切,设切点为K,试判断四边形OKPA的形状,并说明理由.
(2)如图2,0P运动到与x轴相交,设交点为B,C.当四边形ABCP是菱形时:
1求出点A,B,C的坐标.
一1
2在过A,B,C三点的抛物线上是否存在点皿,使厶MBP的面积是菱形ABCP面积的—.若
2
1、【答案】证明:
(1)v直线PM切OO于点MPMO=901分
•/弦AB是直径,•••/ACB=902分
•••/ACB玄PMO3分
•/AC//PM,CAB=/P4分
•△ABC^APOM5分
ABBC
(2)•/△ABC^APOM,•6分
POOM
2OABC
又AB=20A,0A=0M「7分
POOA
•2OA2OPgBC8分
2、答案.(本题满分9分)
证明:
(1)•/CD是OO的切线,•/OCD=90°,
即/ACD+ZACO=90°.…①2分
•/OC=OA,•••/ACO=/CAO,
•••/AOC=180°-2/ACO,即-/AOC+/ACO=90°.…②4分
2
1
由①,②,得:
/ACD-丄/AOC=0,即/AOC=2/ACD;5分
2
(2)如图,连接BC.
•/AB是直径,•/ACB=90°.••…在Rt△ACD与厶RtACD中,
•••/AOC=2/B,•/B=/ACD,
•△ACDABC,
ACAD2
,即AC2=AB•AD.
ABAC
3、【解】
(1)证明:
连接FO并延长交OO于Q,连接DQ.•/FQ是OO直径,•/FDQ=90°QFD+ZQ=90°•/CD丄AB,•/P+ZC=90°
•••/Q=ZC,「./QFD=ZP.
•••/FOE=ZPOF,•△FOEPOF.
OF.aOEOP=OF2=r2
OP
FOE,•△POFFOE.
4
'sF
•OE
OF
(2)解:
(1)中的结论成立.
理由:
如图2,依题意画出图形,连接FO并延长交OO于M,连接CM.
•/FM是OO直径,•/FCM=90°M+ZCFM=90°
•/CD丄AB,「.ZE+ZD=90°
vZM=ZD,•••/CFM=ZE.~、
vZPOF=Z
•空OF,•OEOP=OF2=r2.OFOE
4、解答:
解:
(1)vAD//BC,ZBAD=120°.•••/ABC=60°.又vBD平分ZABC,
•ZABD=ZDBC=ZADB=30
ZBCD=60
•AB=AD=DC,ZDBC=90
又在直角△BDC中,BC是圆的直径,BC=2DC.
•BC+〒BC=15•BC=6
•此圆的半径为3.
(2)设BC的中点为0,由
(1)可知O即为圆心.连接OA,OD,过O作OE丄AD于E.
在直角△AOE中,ZAOE=30
•OE=OA?
cos30=
13^3斓
Saaod=EX3~_
二S阴影=S扇形AOD—S
60jtx3^
△AOD=「二
5、答案:
解:
连结OE,
•/DE垂直平分半径OA
1113
•••0C=—OA—OE,CE—DE-
2222
•••/OEC=30°
(2)由
(1)知:
/AOE=60°,AeAd,
B-AOE302
••/BDE=60
•BD//ME,
•••/MED=/BDE=60
•••/MEO=90°
•EM是OO的切线。
(3)连结OF
•••/DPA=45
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- 圆的证明与计算 证明 计算 专题