中考数学总复习安徽中考数学考试大纲详解.docx
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中考数学总复习安徽中考数学考试大纲详解
2015年901班中考数学第一轮总复习讲义
(一)数与代数
1、有理数的概念
考点1:
有理数的意义、数轴、相反数、绝对值的概念(B)
考点2:
有理数大小的比较(B)
1.有理数:
(1)凡能写成
形式的数,都是有理数.正整数、0、负整数统称整数;正分数、负分数统称分数;整数和分数统称有理数.注意:
0即不是正数,也不是负数;-a不一定是负数,+a也不一定是正数;不是有理数;
(2)有理数的分类:
①
②
2.数轴:
数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.
3.相反数:
(1)只有符号不同的两个数,我们说其中一个是另一个的相反数;
0的相反数还是0;
(2)相反数的和为0a+b=0a、b互为相反数.
4.绝对值:
(1)正数的绝对值是其本身,0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数;注意:
绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离;
(2)绝对值可表示为:
或
;绝对值的问题经常分类讨论;
注:
的解为
;而
,但少部分同学写成
.
5.倒数:
乘积为1的两个数互为倒数;注意:
0没有倒数;若a≠0,那么
的倒数是
;
也可表示为a-1,若ab=1a、b互为倒数;若ab=-1a、b互为负倒数.
6.非负数:
零和正数统称非负数。
①常见的非负数的形式:
|a|、
、
;
②非负数定理:
几个非负数之和为0,则每一个非负数都为0;
注意点:
(1)凡能写成
形式的数,都是有理数
(2)正整数、0、负整数统称整数;正分数、负分数统称分数;整数和分数统称有理数.
(3)0即不是正数,也不是负数。
0是正数与负数的分界;0不仅表示没有,还表示某种量
的基准。
如0
不能理解为没有温度。
(4)初中范围内数是指实数正数是指正实数负数是指负实数
(5)对于正数和负数,不能简单理解为带“+”号的数是正数,带“—”号的数是负数
误认为凡带正号的数就是正数,误认为凡带负号的数就是负数
例-a不一定是负数,+a也不一定是正数;
(6)不是有理数,而是无理数;
(7)非负整数应理解成“非负的整数”,不能理解成“‘非'负整数”,即正整数与零。
7.实数比较大小:
(1)利用数轴:
数轴上的两个数,右边的数总比左边的数大;
(2)利用绝对值:
正数>0>负数,正数>负数,两个负数,绝对值大的反而小;
除此之外,还有平方法、倒数法等方法。
2、有理数的运算
考点1:
有理数的加、减、除、乘方运算 (C)
考点2:
有理数的混合运算(以三步以内为主)(B)
考点3:
有理数的运算律(B)
考点4:
运用有理数的运算解决简单的问题(C)
1.加法法则:
(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;
(2)异号两数相加,取绝对值较大的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;
(3)一个数与0相加,仍得这个数.
注:
有理数加减法法则(口诀记法)
先定符号,再计算,同号相加不变号.异号相加“大”减“小”,符号跟着“大数”跑.
2.减法法则:
减去一个数,等于加上这个数的相反数;即a-b=a+(-b).
3.乘法法则:
(1)两数相乘,同号为正,异号为负,并把绝对值相乘;
(2)任何数同零相乘都得零;(3)几个数相乘,有一个因式为零,积为零;各个因式都不为零,积的符号由负因式的个数决定,当负因数个数为奇数个时积为负,当负因数个数为偶数个时,积为正,并把绝对值相乘。
4.有理数除法法则:
同号为正,异号为负,并把绝对值相除。
除以一个数等于乘以这个数的倒数;注意:
零不能做除数,
.
5.乘方的定义:
(1)求相同因式积的运算,叫做乘方;
(2)乘方中,相同的因式叫做底数,相同因式的个数叫做指数,乘方的结果叫做幂;
6.有理数乘方的法则:
非0有理数的乘方,将其绝对值乘方,而结果的符号是:
正数的任何次乘方都取正号;负数的奇次乘方取负号;负数的偶次乘方取正号。
注意:
当n为正奇数时:
(-a)n=-an或(a-b)n=-(b-a)n,
当n为正偶数时:
(-a)n=an或(a-b)n=(b-a)n.
特殊情况:
当n为正奇数时:
(-1)n=-1;当n为正偶数时:
(-1)n=1
注:
“奇负偶正”的应用·
(1)、如下符号的化简(指负号的个数与结果符号的关系),如:
-{+[-(-2)]}=-2
(2)、连乘式的积(指负因数的个数与结果符号的关系),如:
(-1)×(-2)×(-3)×(+4)=-24(-1)×(-2)×(-3)×(-4)=24
(3)、负数的乘方(指乘方的指数与结果符号的关系),如:
(-2)3=-8,(-3)2=9
(4)、分数的符号法则(指的是分子、分母及分数本身三个符号中,同时改变两个,值不变,但改变一个或三个都改变时,分数的值就变相反了),
如:
;
7.混合运算法则:
先乘方,开方,后乘除,最后加减,有括号先算括号里的运算。
在较复杂的运算中,不注意运算顺序或者不合理使用运算律,从而使运算出现错误.如5÷
×5.
8.加法运算律:
(1)加法的交换律:
a+b=b+a;
(2)加法的结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)
9.乘法的运算律:
(1)乘法的交换律:
ab=ba;
(2)乘法的结合律:
(ab)c=a(bc);
(3)乘法的分配律:
a(b+c)=ab+ac.
3、数的开方
考点1:
平方根、算数平方根、立方根的概念(A)
考点2:
平方根、算数平方根、立方根的表示(B)
考点3:
乘方与开方互为逆运算(A)
考点4:
百以内整数的平方根和百以内整数(对应的负整数)的立方根(B)
1.平方根:
一般地,如果一个数x的平方根等于a,即x2=a,那么数x就叫做a的平方根,记作±
。
正数有两个平方根(一正一负)它们互为相反数;0只有一个平方根,就是它本身;负数没有平方根。
求一个数a的平方根的运算,叫做开平方
2.算术平方根:
一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么正数x叫做a的算术平方根,记作
。
0的算术平方根为0;从定义可知,只有当a≥0时,a才有算术平方根。
3.一般地,如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根(也叫做三次方根)记作
。
正数的立方根是正数;0的立方根是0;负数的立方根是负数。
求一个数a的立方根的运算叫做开立方。
4、实数
考点1:
无理数、实数的概念,实数与数轴上的点一一对应(A)
考点2:
实数的相反数与绝对值(C)见考点1
考点3:
用有理数估计无理数的大致范围(C)
考点4:
近似数(A)
1.
2.实数与数轴上的点是一一对应的。
数轴上即有有理数点,又有无理数点。
无理数:
初中遇到的无理数有三种:
开不尽的方根,如
、
;特定结构的无限不限环小数,如1.101001000100001……;特定意义的数,如π、
°等。
要判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉,往往要经过整理化简后才下结论。
3.用有理数估计无理数的大致范围通常采用放缩法。
4.近似数的精确位:
一个近似数,四舍五入到那一位,就说这个近似数的精确到那一位.
5.有效数字:
从左边第一个不为零的数字起,到精确的位数止,所有数字,都叫这个近似数的有效数字.如0.030是2个有效数字(3,0)精确到千分位;3.14×105是3个有效数字;精确到千位.3.14万是3个有效数字(3,1,4)精确到百位.对于数值很大与很小的数,可利用先用科学记数法表示,再确定其有效数字或取其近似数。
精确度的形式有两种:
1)精确到那一位;
(2)保留几个有效数字。
5、二次根式
考点1:
二次根式、最简二次根式的概念(A)
考点2:
用二次根式(根号下仅限于数)的加、减、乘、除运算法则
进行简单四则运算(B)
1.二次根式:
式子
叫做二次根式.
(1)注意被开方数只能是正数或O.双重非负性:
,
(2)最简二次根式:
被开方数所含因数是整数,因式是整式,不含能含有开得尽方的因数或因式的二次根式,叫做最简二次根式.(3)同类二次根式:
化成最简二次根式后,被开方数相同的二次根式,叫做同类二次根式.
2.二次根式的性质:
(1)
;
(2)
;
(3)
(a≥0,b≥0);(4)
3.二次根式的运算:
(1)二次根式的加减:
将各二次根式化为最简二次根式后,合并同类二次根式。
(2)二次根式的乘法:
(a≥0,b≥0)。
(3)二次根式的除法:
二次根式运算结果要化成最简二次根式
6、代数式
考点1:
用字母表示数的意义,代数式(B)考点2:
代数式的值(B)
1.代数式:
代数式是由运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子.单独的一个数或者一个字母也是代数式.
如:
0,-15,
,a,a+b,ab,
,
,5x,
等式子都是代数式。
注意
(1)列代数式时,如果是数字与字母、字母与字母相乘时,出现的乘号,通常写作“·”或省略不写,
如6×b常写作6·b或6b;如果是数字与数字相乘时,“×”号不能省。
(2)数字与字母相乘时,数字写在字母前面,如6b一般不能写作b6;
(3)字母与字母相乘时,相同字母要写成幂的形式。
如
(4)除法运算一般要写成分数形式,如1÷a通常写作
(5)代数式中不能含有等号与不等号。
如:
“=”“≠”“<”“>”“≤”“≥”等。
2、代数式的分类:
3、代数式的值;用数值代替代数式里的字母,计算后所得的结果叫做代数式的值.
求代数式的值可以直接代入、计算.如果给出的代数式可以化简,一定要先化简再求值.
注意:
(1)严格按求值的步骤和格式去做.
(2)一个代数式中的同一个字母,只能用同一个数值代替,
有多个字母,代入时要注意对应关系,千万不能混淆.
(3)在代入值时,原来省略的乘号要恢复,而数字和其他运算符号不变
(4)字母取负数代入时要添括号
(5)有乘方运算时,如果代入的数是分数或负数,要加括号。
7、整式
考点1:
整式的概念(B) 考点2:
整式的加、减运算(C)
考点3:
整数指数幂的意义和基本性质(A) 考点4:
乘法公式 (C)
考点5:
科学记数法(B)考点6:
整式的乘法运算(多项式相乘仅指一次式之间以以及一次式与二次式相乘(C)
考点1:
整式的概念(B)
1、单项式:
只含有数与字母的积的代数式叫做单项式.单独一个数或字母也是单项式。
单项式的系数:
单项式中的数字因数叫单项式的系数。
单项式的次数:
一个单项式中,所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数。
注:
(1)在单项式中只含有乘法(包括乘方)运算。
或虽含有除法运算,但除式中不含有字母。
(2)对于给出的单项式,要注意分析它的系数是什么,含有哪些字母,各个字母的指数分别是什么。
2、多项式:
几个单项式的和,叫做多项式。
多项式的项:
多项式中每一个单项式都叫多项式的项。
一个多项式含有几项,就叫几项式。
多项式的次数:
多项式里,次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数。
不含字母的项叫常数项。
常数项是0次的。
(注意:
常数0不讨论次数,一般认为常数0是任意次数)
注:
对于给出的多项式,要注意分析它是几次几项式,各项是什么,对各项再像分析单项式那样来分析
3、单项式、多项式统称为整式
4、多项式的降幂排列与升幂排列:
把一个多项式按某一个字母的指数从大列小的顺序排列起来,叫做把这个多项式按这个字母降幂排列。
把—个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来,叫做把这个多项式按这个字母升幂排列。
给出一个多项式,要会根据要求对它进行降幂排列或升幂排列.
5、同类项与合并同类项:
所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项,叫做同类顷.(注意“两同”)
如:
100a和200a,240b和60b,-2ab和10ab
合并同类项:
把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项。
合并同类项法则:
同类项的系数相加,所得的结果作为系数.字母和字母的指数不变.
例如:
合并同类项3x2y和5x2y,字母x、y及x、y的指数都不变,只要将它们的系数3和5相加,
即3x2y+5x2y=(3+5)x2y=8x2y.
合并同类项的步骤:
(1)准确的找出同类项
(2)运用加法交换律,把同类项交换位置后结合在一起
(3)利用法则,把同类项的系数相加,字母和字母的指数不变(4)写出合并后的结果
注:
(1)要会判断给出的项是否同类项,知道同类项可以合并.
(2)注意合并同类项法则的依据是逆用乘法的分配律。
(2)有些项虽不是同类项,但是也可以逆用乘法的分配律进行合并。
如
它实质就是添括号,添括号实质就是提取公因式,提取公因式实质就是逆用乘法的分配律。
考点2:
整式的加、减运算(C)
1、去括号法则:
(1)括号前是“+”号,把括号和前面的“+”号去掉,括号里的各项的符号都不改变。
(2)括号前是“-”号,把括号和前面的“-”号去掉,括号里的各项的符号都要改变。
注:
(1)去括号法则中乘法分配律的应用:
若括号前有因数或因式,应先利用乘法分配律展开,
同时注意去括号时符号的变化规律。
(2)多重括号的化简原则:
①由里向外逐层去掉括号②由外向里逐层去掉括号
(3)去括号其实质就是乘法的分配律的运用。
如:
2、添括号法则:
(1)所添括号前面是“+”号,括到括号内的各项都不改变符号。
(2)所添括号前面是“-”号,括到括号内的各项都改变符号。
注:
(1)添括号法则中乘法分配律的逆用:
若所添括号前有因数或因式,应先逆用乘法分配律
提取公因数或公因式,同时注意添括号时符号的变化规律。
(2)添括号其实质就是逆用乘法的分配律,添括号是否正确,可以用去括号法则检验,其实质也就
用乘法分配律进行检验。
如:
3、整式的加减:
几个整式相加减,通常用括号把每一个整式括起来,再用加减号连接.
整式加减运算的步骤:
(1)去括号
(2)合并同类项
注意:
(1)整式的加减最后结果不能再含有同类项
(2)求代数式的值时,如果代数式中含有同类项,通常先合并同类项再代入数值进行计算.
考点3:
整数指数幂的意义和基本性质(A)
①
表述:
同底数幂相乘,底数不变,指数相加,
②
表述:
同底数幂相除,底数不变,指数相减,
③
表述:
幂的乘方,底数不变,指数相乘,
④
表述:
积的乘方等于乘方的积
⑤
表述:
任何不等于0的数的0次幂等于1
⑥
表述:
任何不等于0的数的-p次幂,等于这个数的p次幂的倒数
⑦
表述:
分式的乘方等于分子分母各自乘方。
考点4:
乘法公式 (C)
①平方差公式:
表述:
两个数的和与两个数差的积等于这两个数的平方差。
②完全平方和公式:
表述:
两个数和的平方,等于它们的平方和,加上它们的乘积的2倍
③完全平方差公式:
表述:
两数差的平方,等于它们的平方和,减去它们的乘积的2倍
④十字交叉法公式:
十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,
交叉相乘再相加等于一次项系数。
证明:
特例:
考点5:
科学记数法(B)
1.科学记数法
(1)当原数的绝对值≥10时,写成±a×10n其中1≤a<10,n=整数位数-1。
(2)当原数的绝对值<1时,写成±a×
,其中1≤a<10,,n=原数中左起第一个非零数字前面所有零的个数(含小数点左边的那个零).如:
407000=4.07×105,0.000043=4.3×10-5.
2.近似数的精确位:
一个近似数,四舍五入到那一位,就说这个近似数的精确到那一位.
3.有效数字:
从左边第一个不为零的数字起,到精确的位数止,所有数字,都叫这个近似数的有效数字.如0.030是2个有效数字(3,0)精确到千分位;3.14×105是3个有效数字;精确到千位.3.14万是3个有效数字(3,1,4)精确到百位.对于数值很大与很小的数,可利用先用科学记数法表示,再确定其有效数字或取其近似数。
精确度的形式有两种:
(1)精确到那一位;
(2)保留几个有效数字。
考点6:
整式的乘法运算(多项式相乘仅指一次式之间以以及一次式与二次式相乘(C)
(1)单项式乘以单项式:
把系数,同底数幂分别相乘,作为积的因式,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。
(2)单项式乘以多项式:
用单项式和多项式的每一项分别相乘,再把所得的积相加。
(3)多项式乘以多项式:
先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘,再把所得的积相加。
(4)单项除单项式:
把系数,同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有字母,
则连同它的指数作为商的一个因式。
(5)多项式除以单项式:
先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加。
注:
不重不漏,按照顺序,注意常数项、负号.
(1)
(2)(3)本质就是乘法分配律。
8、因式分解
考点1:
因式分解的意义(A)考点2:
用提取公因式法、公式法进行因式分解
(指数是正整数,直接用公式不超过两次)(C)
1.因式分解:
把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.
注:
(1)分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止.
(2)弄清因式分解与整式乘法的内在的联系:
互逆变形,因式分解是把和差化为积的形式,而整式乘法则是把积化为和差形式。
2.分解因式的常用方法有:
(1)提公因式法:
如多项式
其中m叫做这个多项式各项的公因式,m既可以是一个单项式,也可以是一个多项式.
注:
提公因式法关键:
找出公因式。
公因式三部分:
①系数(数字)一各项系数最大公约数;②字母--各项含有的相同字母;
③指数--相同字母的最低次数;步骤:
第一步是找出公因式;第二步是提取公因式并确定另一因式.需注意,提取完公因式后,另一个因式的项数与原多项式的项数一致,这一点可用来检验是否漏项.
另外注意:
①提取公因式后各因式应该是最简形式,即分解到“底”;
②如果多项式的第一项的系数是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数是正的.
(2)运用公式法:
即用下面的公式直接写出结果.
平方差公式:
两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积。
a、b可以是数也可是式子
完全平方公式:
两个数平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的(或差)的平方.
(3)十字相乘法:
对于二次项系数为l的二次三项式
寻找满足ab=q,a+b=p
的a,b,如有,则
对于一般的二次三项式
寻找满足
a1a2=a,c1c2=c,a1c2+a2c1=b的a1,a2,c1,c2,如有,则
注:
十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数。
(4)分组分解法:
把各项适当分组,先使分解因式能分组进行,再使分解因式在各组之间进行.
分组时要用到添括号:
括号前面是“+”号,括到括号里的各项都不变符号;括号前面是“-”号,括到括号里的各项都改变符号.
(5)拆项、裂项法(中考不考)
(6)求根公式法:
如果
有两个根
,那么
3.分解因式的步骤:
(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;
(2)再看能否使用公式法与十字交叉法;
(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法与十字交叉法来达到分解的目的;
(4)如前面
(1)
(2)(3)方法均不行,再考虑用拆项、裂项法与求根公式法。
注意:
①因式分解与整式乘法的区别;
②完全平方公式、平方差公式中字母,不仅表示一个数,还可以表示单项式、多项式.
4.因式分解的要求:
(1)分解对象是多项式,分解结果必须是积的形式,且积的因式必须是整式,否则不是因式分解;
(2)因式分解必须是恒等变形;
(3)相同因式的乘积要写成乘方的形式。
如
要写成
形式。
(4)因式分解的结果必须分解到每个因式在有理数范围内或实数范围不能再分解为止.
9、分式
考点1:
分式和最简分式的概念(A)
考点2:
利用分式的基本性质进行约分与通分(C)
考点3:
分式的加减乘除运算(C)
考点1:
分式和最简分式的概念(A)
1.分式的有关概念:
设A、B表示两个整式.如果B中含有字母,式子
就叫做分式.注意分母B的值不能为零,否则分式没有意义。
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式,要进行约分化简。
注意与分式有关的条件
分式有意义:
分母不为0(
)
分式无意义:
分母为0(
)
分式值为0:
分子为0且分母不为0(
)
分式值为正或大于0:
分子分母同号(
或
)
分式值为负或小于0:
分子分母异号(
或
)
分式值为1:
分子分母值相等(A=B)
分式值为-1:
分子分母值互为相反数(A+B=0)
考点2:
利用分式的基本性质进行约分与通分(C)
1.分式的基本性质
分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变。
字母表示:
,
,其中A、B、C是整式,C
0。
拓展:
分式的符号法则:
分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变,即
注意:
在应用分式的基本性质时,要注意C
0这个限制条件和隐含条件B
0。
2.分式的约分
定义:
根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分。
步骤:
把分式分子分母因式分解,然后约去分子与分母的公因式。
注意:
①分式的分子与分母为单项式时可直接约分,约去分子、分母系数的最大公约数,然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式,约分时先对分子分母进行因式分解,再约分。
3.分式的通分
1分式的通分:
根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式,叫做分式的通分。
2分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。
最简公分母的定义:
取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母,这样的公分母叫做最简公分母。
确定最简公分母的一般步骤:
Ⅰ取各分母系数的最小公倍数;
Ⅱ单独出现的字母(或含有字母的式子)的幂的因式连同它的指数作为一个因式;
Ⅲ相同字母(或含有字母的式子)的幂的因式取指数最大的。
Ⅳ保证凡出现的字母(或含有字母的式子)为底的幂的因式都要取。
注意:
分式的分母为多项式时,一般应先因式分解。
考点3:
分式的加减乘除运算(C)
1分式的加减法则:
同分母分式加减法:
分母不变,把分子相加减。
式子表示为
异分母分式加减法:
先通分,化为同分母的分式,然后再加减。
式子表示为
整式与分式加减法:
可以把整式看作是分母为1的分式,再通分。
2分式的乘除法法则:
分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母。
式子表示为:
分式除以分式:
把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。
式子表示为
3分式的乘方:
把分子、分母分别乘方。
式子
4分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序
先乘方、再乘除、后加减,同级运算中,谁在前先算谁,有括号的先算括号里面的,也要注意灵活,提高解题质量。
注意:
在运算过程中,要明确每一步变形的目的和依据,注意解题的格式要规范,不要随便跳步,以便查对有无错误或分析出错的原因。
加减后得出的结果一定要化成最简分式(或整式)。
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