绵阳东城小升初试题.docx
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绵阳东城小升初试题
导数及其应用姓名:
班级:
1.1 变化率与导数
1.1.1 变化率问题1.1.2 导数的概念
[预习导引]
1.函数的变化率
定义
实例
平均
变化率
函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为,简记作:
①平均速度;②曲线割线的斜率
瞬时
变化率
函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率在Δx→0时的极限,即=.
①瞬时速度:
物体在某一时刻的速度;②切线斜率
2.函数f(x)在x=x0处的导数
函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率=称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′|x=x0,即f′(x0)==.
要点一 求平均变化率
例1 已知函数h(x)=-4.9x2+6.5x+10.
(1)计算从x=1到x=1+Δx的平均变化率,其中Δx的值为①2;②1;③0.1;④0.01.
(2)根据
(1)中的计算,当|Δx|越来越小时,函数h(x)在区间[1,1+Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势?
解
(1)∵Δy=h(1+Δx)-h
(1)=-4.9(Δx)2-3.3Δx,∴=-4.9Δx-3.3.
①当Δx=2时,=-4.9Δx-3.3=-13.1;
②当Δx=1时,=-4.9Δx-3.3=-8.2;
③当Δx=0.1时,=-4.9Δx-3.3=-3.79;
④当Δx=0.01时,=-4.9Δx-3.3=-3.349.
(2)当|Δx|越来越小时,函数f(x)在区间[1,1+Δx]上的平均变化率逐渐变大,并接近于-3.3.
规律方法 求平均变化率的主要步骤:
(1)先计算函数值的改变量Δy=f(x2)-f(x1).
(2)再计算自变量的改变量Δx=x2-x1.
(3)得平均变化率=.
跟踪演练1 求函数y=f(x)=3x2+2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率,并求当x0=2,Δx=0.1时平均变化率的值.
解 函数y=f(x)=3x2+2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为
=
==6x0+3Δx.
当x0=2,Δx=0.1时,函数y=3x2+2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2+3×0.1=12.3.
要点二 物体运动的瞬时速度
例2 高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:
m)与起跳后的时间t(单位:
s)之间的关系式为h(t)=-4.9t2+6.5t+10,求运动员在t=s时的瞬时速度,并解释此时的运动状况.
解令t0=,Δt为增量.
则=+
==-4.9+6.5,
∴==0,
即运动员在t0=s时的瞬时速度为0m/s.
说明此时运动员处于跳水运动中离水面最高的点处.
规律方法 求瞬时速度是利用平均速度“逐渐逼近”的方法得到的,其求解步骤如下:
(1)由物体运动的位移s与时间t的函数关系式求出位移增量Δs=s(t0+Δt)-s(t0);
(2)求时间t0到t0+Δt之间的平均速度=;
(3)求的值,即得t=t0时的瞬时速度.
跟踪演练2 一质点按规律s(t)=at2+1作直线运动(位移单位:
m,时间单位:
s),若该质点在t=2s时的瞬时速度为8m/s,求常数a的值.
解∵Δs=s(2+Δt)-s
(2)=a(2+Δt)2+1-a·22-1=4aΔt+a(Δt)2,∴=4a+aΔt.
在t=2s时,瞬时速度为=4a,即4a=8,∴a=2.
要点三 函数在某点处的导数
例3 求函数f(x)=3x2-2x在x=1处的导数.
解 Δy=3(1+Δx)2-2(1+Δx)-(3×12-2×1)=3(Δx)2+4Δx,
∵==3Δx+4,∴y′|x=1==(3Δx+4)=4.
规律方法 求一个函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤如下:
(1)求函数值的变化量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
(2)求平均变化率=;
(3)取极限,得导数f′(x0)=.
跟踪演练3 利用导数的定义求函数f(x)=-x2+3x在x=2处的导数.
解 由导数的定义知,函数在x=2处的导数
f′
(2)=,而f(2+Δx)-f
(2)
=-(2+Δx)2+3(2+Δx)-(-22+3×2)=-(Δx)2-Δx,
于是f′
(2)==(-Δx-1)=-1.
1.如果质点M按规律s=3+t2运动,则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是( )
A.4B.4.1
C.0.41D.3
答案 B解析 ==4.1.
2.函数f(x)在x0处可导,则( )
A.与x0、h都有关B.仅与x0有关,而与h无关
C.仅与h有关,而与x0无关D.与x0、h均无关
答案 B
3.已知函数f(x)=2x2-1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx,1+Δy),则等于( )
A.4B.4xC.4+2ΔxD.4+2(Δx)2
答案 C
解析 Δy=f(1+Δx)-f
(1)=2(1+Δx)2-1-1=2(Δx)2+4Δx,∴=2Δx+4.
4.已知函数f(x)=,则f′
(1)=________.
答案 -解析 f′
(1)==
==-.
利用导数定义求导数三步曲:
(1)作差求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
(2)作比求平均变化率=;
(3)取极限得导数f′(x0)=,
简记为一差,二比,三极限.
一、基础达标
1.函数y=f(x)在x0到x0+Δx之间的平均变化率中,Δx不可能是( )
A.大于0B.小于0C.等于0D.大于0或小于0
答案 C
2.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率是( )
A.1B.-1
C.2D.-2
答案 B解析 ===-1.
3.如果某物体的运动方程为s=2(1-t2)(s的单位为m,t的单位为s),那么其在1.2s末的瞬时速度为( )
A.-4.8m/sB.-0.88m/s
C.0.88m/sD.4.8m/s
答案 A
4.设函数f(x)可导,则等于( )
A.f′
(1)B.3f′
(1)C.f′
(1)D.f′(3)
答案 A解析 =f′
(1).
5.已知函数y=+3,当x由2变到1.5时,函数的增量Δy=________.
答案 解析 Δy=f(1.5)-f
(2)=-=-1=.
6.一做直线运动的物体,其位移s与时间t的关系是s=3t-t2,则物体的初速度是________.
答案 3解析 v初=s′|t=0==(3-Δt)=3.
7.利用定义求函数y=-2x2+5在x=2处的瞬时变化率.
解 因为在x=2附近,Δy=-2(2+Δx)2+5-(-2×22+5)=-8Δx-2(Δx)2,所以函数在区间[2,2+Δx]内的平均变化率为==-8-2Δx.故函数y=-2x2+5在x=2处的瞬时变化率为(-8-2Δx)=-8.
二、能力提升
8.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示,治污效果较好的是( )
A.甲B.乙C.相同D.不确定
答案B解析在t0处,虽然W1(t0)=W2(t0),但是,在t0-Δt处,W1(t0-Δt) 甲厂比乙厂的平均治污率小.所以乙厂治污效果较好. 9.过曲线y=f(x)=x2+1上两点P(1,2)和Q(1+Δx,2+Δy)作曲线的割线,当Δx=0.1时,割线的斜率k=_______,当Δx=0.001时,割线的斜率k=______. 答案 2.1 2.001解析 ∵Δy=(1+Δx)2+1-(12+1)=2Δx+(Δx)2, ∴=2+Δx,∴割线斜率为2+Δx, 当Δx=0.1时,割线PQ的斜率k=2+0.1=2.1. 当Δx=0.001时,割线PQ的斜率k=2+0.001=2.001. 10.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的导数为f′(x),f′(0)>0,对于任意实数x,有f(x)≥0,则的最小值为________. 答案 2解析 由导数的定义,得f′(0)= ==[a·(Δx)+b]=b>0. 又,∴ac≥,∴c>0.∴=≥≥=2. 11.求函数y=f(x)=2x2+4x在x=3处的导数. 解 Δy=2(3+Δx)2+4(3+Δx)-(2×32+4×3) =12Δx+2(Δx)2+4Δx=2(Δx)2+16Δx, ∴==2Δx+16.∴y′|x=3==(2Δx+16)=16. 12.若函数f(x)=ax2+c,且f′ (1)=2,求a的值. 解 ∵f(1+Δx)-f (1)=a(1+Δx)2+c-a-c=a(Δx)2+2aΔx. ∴f′ (1)== =(aΔx+2a)=2a,即2a=2,∴a=1. 三、探究与创新 13.已知f(x)=x2,g(x)=x3,求满足f′(x)+2=g′(x)的x的值. 解由导数定义知,f′(x)==2x,g′(x)==3x2. ∵f′(x)+2=g′(x),∴2x+2=3x2.即3x2-2x-2=0,解得x=或x=. 1.1.3 导数的几何意义 [学习目标] 1.了解导函数的概念;了解导数与割线斜率之间的关系. 2.理解曲线的切线的概念;理解导数的几何意义. 3.会求曲线上某点处的切线方程,初步体会以直代曲的意义. [知识链接] 如果一个函数是路程关于时间的函数,那么函数在某点处的导数就是瞬时速度,这是函数的实际意义,那么从函数的图象上来考查函数在某点处的导数,它具有怎样的几何意义呢? 答 设函数y=f(x)的图象如图所示,AB是过点A(x0,f(x0))与点B(x0+Δx,f(x0+Δx))的一条割线,此割线的斜率是=.当点 B沿曲线趋近于点A时,割线AB绕点A转动,它的极限位置为直线AD,这条直线AD叫做此曲线在点A处的切线.于是,当Δx→0时,割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k,即k=f′(x0)=. [预习导引] 1.导数的几何意义 函数y=f(x)在点x=x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.也就是说,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是f′(x0).相应地,切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 2.函数的导函数 当x=x0时,f′(x0)是一个确定的数,则当x变化时,f′(x)是x的一个函数,称f′(x)是f(x)的导函数(简称导数).f′(x)也记作y′,即f′(x)=y′=. 要点一 过曲线上一点的切线方程 例1 若曲线y=x3+3ax在某点处的切线方程为y=3x+1,求a的值. 解 ∵y=x3+3ax.∴y′= = =[3x2+3xΔx+(Δx)2+3a]=3x2+3a. 设曲线与直线相切的切点为P(x0,y0),结合已知条件,得 解得∴a=1-. 规律方法 一般地,设曲线C是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C上的定点,由导数的几何意义知k==,继而由点与斜率可得点斜式方程,化简得切线方程. 跟踪演练1 求曲线y=在点处的切线方程. 解 因为== =-.所以这条曲线在点处的切线斜率为-, 由直线的点斜式方程可得切线方程为y-=-(x-2),即x+4y-4=0. 要点二 求过曲线外一点的切线方程 例2 已知曲线y=2x2-7,求: (1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x-y-2=0? (2)曲线过点P(3,9)的切线方程. 解 y′===(4x+2Δx)=4x. (1)设切点为(x0,y0),则4x0=4,x0=1,y0=-5,∴切点坐标为(1,-5). (2)由于点P(3,9)不在曲线上.设所求切线的切点为A(x0,y0), 则切线的斜率k=4x0,故所求的切线方程为y-y0=4x0(x-x0). 将P(3,9)及y0=2x-7代入上式,得9-(2x-7)=4x0(3-x0). 解得x0=2或x0=4,所以切点为(2,1)或(4,25). 从而所求切线方程为8x-y-15=0或16x-y-39=0. 规律方法 若题中所给点(x0,y0)不在曲线上,首先应设出切点坐标,然后根据导数的几何意义列出等式,求出切点坐标,进而求出切线方程. 跟踪演练2 求过点A(2,0)且与曲线y=相切的直线方程. 解 易知点(2,0)不在曲线上,故设切点为P(x0,y0),由 y′|x=x0==-,得所求直线方程为y-y0=-(x-x0). 由点(2,0)在直线上,得xy0=2-x0,再由P(x0,y0)在曲线上,得x0y0=1,联立可解得x0=1,y0=1,所求直线方程为x+y-2=0. 要点三 求切点坐标 例3 在曲线y=x2上过哪一点的切线, (1)平行于直线y=4x-5; (2)垂直于直线2x-6y+5=0; (3)与x轴成135°的倾斜角. 解f′(x)===2x,设点P(x0,y0)满足条件 (1)因为切线与直线y=4x-5平行,所以2x0=4,x0=2,y0=4, 即P(2,4)是满足条件的点. (2)因为切线与直线2x-6y+5=0垂直,所以2x0·=-1, 得x0=-,y0=,即P是满足条件的点. (3)因为切线与x轴成135°的倾斜角,所以其斜率为-1.即2x0=-1, 得x0=-,y0=,即P是满足条件的点. 规律方法 解答此类题目时,所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键,由这些信息得知函数在某点处的导数,进而可求此点的横坐标.解题时要注意解析几何知识的应用,如直线的倾斜角与斜率的关系,平行,垂直等. 跟踪演练3 已知抛物线y=2x2+1,求 (1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x-y-2=0? (2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x+8y-3=0? 解 设点的坐标为(x0,y0),则 Δy=2(x0+Δx)2+1-2x-1=4x0·Δx+2(Δx)2.∴=4x0+2Δx. 当Δx无限趋近于零时,无限趋近于4x0.即f′(x0)=4x0. (1)∵抛物线的切线平行于直线4x-y-2=0,∴斜率为4, 即f′(x0)=4x0=4,得x0=1,该点为(1,3). (2)∵抛物线的切线与直线x+8y-3=0垂直,∴斜率为8, 即f′(x0)=4x0=8,得x0=2,该点为(2,9). 1.已知曲线y=f(x)=2x2上一点A(2,8),则点A处的切线斜率为( ) A.4B.16C.8D.2 答案 C 解f′ (2)===(8+2Δx)=8,即k=8. 2.若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则( ) A.a=1,b=1B.a=-1,b=1 C.a=1,b=-1D.a=-1,b=-1答案 A解析由题意,知k=y′|x=0==1, ∴a=1.又(0,b)在切线上,∴b=1,故选A. 3.已知曲线y=x2-2上一点P,则过点P的切线的倾斜角为( ) A.30°B.45°C.135°D.165° 解析 ∵y=x2-2,∴y′= ===x.∴y′|x=1=1. ∴点P处切线的斜率为1,则切线的倾斜角为45°.故选B 4.已知曲线y=f(x)=2x2+4x在点P处的切线斜率为16.则P点坐标为_____. 答案 (3,30)解析 设点P(x0,2x+4x0), 则f′(x0)===4x0+4, 令4x0+4=16得x0=3,∴P(3,30). 1.导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率,即k==f′(x0),物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度. 2.“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值,不是变数,“导函数”是一个函数,二者有本质的区别,但又有密切关系,f′(x0)是其导数y=f′(x)在x=x0处的一个函数值. 3.利用导数求曲线的切线方程,要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上,则以该点为切点的切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0);若已知点不在切线上,则设出切点(x0,f(x0)),表示出切线方程,然后求出切点. 一、基础达标 1.下列说法正确的是( ) A.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处就没有切线 B.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f′(x0)必存在 C.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率不存在 D.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线,则f′(x0)有可能存在 解析 k=f′(x0),所以f′(x0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在,而当斜率不存在时,切线方程也可能存在,其切线方程为x=x0.故选 C 2.已知y=f(x)的图象如图所示,则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( ) A.f′(xA)>f′(xB) B.f′(xA) C.f′(xA)=f′(xB) D.不能确定 解析 由导数的几何意义,f′(xA),f′(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率,由图象可知f′(xA) 3.在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是( ) A.(0,0)B.(2,4)C.(,)D.(,) 答案 D 解析 ∵y′==(2x+Δx)=2x, ∴令2x=tan=1,得x=.∴y=2=,所求点的坐标为. 4.设曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a等于( ) A.1B.C.-D.-1 答案A解∵f′ (1)==(2a+aΔx)=2a.∴2a=2.∴a=1 5.设y=f(x)为可导函数,且满足条件=-2,则曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线的斜率是________. 解析由=-2,∴f′ (1)=-2,f′ (1)=-4. 6.已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f (1))处的切线方程是y=x+2,则f (1)+f′ (1)=________. 解析 由在M点的切线方程y=x+2得f (1)=×1+2=, f′ (1)=.∴f (1)+f′ (1)=+=3. 7.求过点P(-1,2)且与曲线y=3x2-4x+2在点M(1,1)处的切线平行的直线. 解 曲线y=3x2-4x+2在点M(1,1)处的切线斜率 k=y′|x=1==(3Δx+2)=2. ∴过点P(-1,2)的直线的斜率为2,由点斜式得y-2=2(x+1), 即2x-y+4=0.所以所求直线方程为2x-y+4=0. 二、能力提升 8.如图函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)=() A.2 B.3C.4 D.5 答案 A 解: 易得切点P(5,3)∴f(5)=3,k=-1,即f′(5)=-1∴f(5)+f′(5)=3-1=2. 9.若曲线y=2x2-4x+P与直线y=1相切,则P=________. 解析 设切点坐标为(x0,1),则f′(x0)=4x0-4=0, ∴x0=1,即切点坐标为(1,1).∴2-4+P=1,即P=3. 10.设P为曲线C: y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为,则点P横坐标的取值范围为________.答案 解析 ∵f′(x)= ==(Δx+2x+2)=2x+2. ∴可设P点横坐标为x0,则曲线C在P点处的切线斜率为2x0+2.由已知得0≤2x0+2≤1,∴-1≤x0≤-,∴点P横坐标的取值范围为. 11.已知抛物线y=x2+4与直线y=x+10.求: (1)它们的交点; (2)抛物线在交点处的切线方程. 解 (1)由得或 ∴抛物线与直线的交点坐标为(-2,8)或(3,13). (2)∵y=x2+4, ∴y′===(Δx+2x)=2x. ∴y′|x=-2=-4,y′|x=3=6, 即在点(-2,8)处的切线斜率为-4,在点(3,13)处的切线斜率为6. ∴在点(-2,8)处的切线方程为4x+y=0; 在点(3,13)处的切线方程为6x-y-5=0. 12.设函数f(x)=x3+ax2-9x-1(a<0),若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,求a的值. 解 ∵Δy=f(x0+Δx)-f(x0) =(x0+Δx)3+a(x0+Δx)2-9(x0+Δx)-1-(x+ax-9x0-1) =(3x+2ax0-9)Δx+(3x0+a)(Δx)2+(Δx)3, ∴=3x+2ax0-9+(3x0+a)Δx+(Δx)2. 当Δx无限趋近于零时,无限趋近于3x+2ax0-9. 即f′(x0)=3x+2ax0-9∴f′(x0)=3(x0+)2-9-. 当x0=-时,f′(x0)取最小值-9-. ∵斜率最小的切线与12x+y=6平行,∴该切线斜率为-12. ∴-9-=-12.解得a=±3.又a<0,∴a=-3. 三、探究与创新 13.已知曲线C: y=x3. (1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程; (2)第 (1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点? 解 (1)将x=1代入曲线C的方程得y=1, ∴切点为P(1,1).∵f′(x0)==m ==[3x+3x0Δx+(Δx)2]=3x, ∴当x0=1时,k=f′ (1)=3. ∴过P点的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0. (2)由,可得(x-1)(x2+x-2)=0, 解得x1=1,x2=-2.从而求得公共点为(1,1)或(-2,-8). 说明切线与曲线C的公共点除了切点外,还有其他的公共点. 1.2 导数的计算 1.2.1 几个常用函数的导数 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 (一) [学习目标] 1.能根据定义求函数y=c(c为常数),y=x,y=x2,y=,y=的导数. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数. [知识链接] 在前面,我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数,那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢? 类比用导数定义求函数在某点处导数的方法,如何用定义求函数y=f(x)的导数? 答 (1)计算,并化简; (2)观察当Δx趋近于0时,趋近于哪个定值; (3)趋近于的定值就是函数y=f(x)的导数. [预习导引] 1.几个常用函数的导数2.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f′(x)=0 f(x)=xα(α∈Q*) f′(x)=αxα-1 f(x)=sinx f′(x)=cos_x f(x)=cosx f′(x)=-sin_x f(x)=ax f′(x)=axln_a (a>0,且a≠1) f(x)=ex f′(x)=ex f(x)=logax f′(x)= (a>0,且a≠1) f(x)=lnx f′(x)= 原函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f′(x)=0 f(x)=x f′(x)=1 f(x)=x2 f′(x)=2x f(x)= f′(x)=- f(x)= f′(x)= 要点一 利用导数定义求函数的导数 例1 用导数的定义求函数f(x)=2013x2
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