最小二乘自适应滤波LeastSquaresAdaptiveFiltersdocx.docx
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第六章最小二乘自适应滤波
(Least-SquaresAdaptive
Filters)
Motivation•LMS失调较大;・
•非平稳时存在较大的跟踪误差,因此要求信号平稳或在较长的时间内具有平稳性
——》不要用误差的样本值代替误差的统计均值
一种解决途径:
以时间均值代替统计均值
•釆用最小二乘准则;
•按时间进行准确迭代
n=n2n=ti2
丿(H)=工/(“)=工[(y(〃)一孑⑷F=min
/?
=/!
]n=nx
J(H)=E[e\n)]=min
6.1最小二乘法
(MethodofLeast-Squares)
一线性LS估计问题
设:
⑴观察信号兀⑴,兀⑵,…,讹);H=[%,人hN_^
⑵期望信号y(l),y⑵y(L)
—©wT"
线性FIR自适应滤波器原理框图—十
线性FIR自适应滤波器的输出:
N—1
亍⑺)=工hkx(n-k)e{n)=y{n)—y{n)
k=o・
n=n2斤=“2H厶$<=>LSFilter
丿(H)=工护⑷=^[(y(n)-y(n)]2=min
n=n}n=nx
n=n2n=n2
丿(H)=£/(“)=£[(y(〃)-孑(MJ?
=min
n=W|n=n
N_\
孑(〃)=工处⑺一“)
k=°
二正交原理(PrincipleofOrthogonality)
°["H)=0=>》兀(〃-k)€(n)=Q,k=O,1,...,N-1
OH心®
正交原理:
LS滤波器的输入x(n・k)和误差0何正交,k=
推论1:
滤波器的输出和误差%砒正交
n=n2
工孑(〃)€(〃)=0
n=nx
推论2:
LS滤波等价于将期望信号y(n)进行正交分解
y(n)=y(z2)+e(zi)
n=n2n=n2n=n^
£b(〃)=£y2(〃)+£w2(〃)
1
—£〜
卩y
三正则方程(NormalEquation)
N—\
e{n)=y(n)-y(n)=y(n)—工hkx(n—k)
k=0n=n2
工x{n一k)e(n)=0,k=0,l,・・・,N_\
n=nA
N—1/Z—/?
2/2—
n=nx
工力〃7工一一加)=k)y(n),k=0丄・・・,N-1m=0n=nA
N—\
工饥①("k)=z(-k),k=0,l”・・,N-lNormalEquation
m=0
0H=z=>Hlsz
n=n2
①k)=工x(n一k)x{n一m).m.k=0,1,...,N-1
n=nx
n=n2
z(—k)=y^x(n-k)y(n),k=0丄…,N-l
H=/7]
①=[①(®Q]nxN
z=[z(0),z(-l),・・・,z(—N+l)]r
6.1最小二乘法
n=n2n=n2
丿(H)=£/(〃)=£[(y(〃)-孑何『=min
n=n{n=n}
四selectionofandn2(Datawindowing)
®7:
卜(3)J
n=n2
①x(n-k)x(n-m),m.k=O,1,・・・,N-1
n=nA
n=n2
Z(-k)=x(n-k)y(n),k=0」,・・・,N-1
7Z=7?
I
1)比二1,n2=L+N-l,前后补零N・1(自相关法)
2)比=1,n2=L>补零N丄后不补零(前加窗法)
3)比二N,兔二L+N丄前不补零后补零N-1(后加窗法)
4)比二N,比二L,前后不补零(协方差法)
五MinimumSumofErrorSquares
n=n2n=n2n=n2
Sy=工尸⑷=工[工九-吋
n=nA77=/?
!
n=nx
=HrOH=Hrz=zrHh匚①1z
LS
^i„=^-^H=S-zrO-1z
6.2标准RLS自适应滤波器
(StandardRLSAdaptiveFilters)
n=fbn=n2
丿(H)二乞孑的=工[(y(〃)—二min
%7)
基本思想:
假设在〃1时刻得到滤波器系数的LS估计,在〃时刻新的数据到来后,按LS准则更新滤波器系数TRLS
Z[H(n)]=工龙I"(0=min2—遗忘因子
i=i
x(i)=[兀⑴,无(i-l),...,x(i-N+l)re(i)=y(/)-
7"*
H(n)=[h0(必%(心…,hN_x(n)]
N—\
y(i)=Y九⑺)W-£)=H气对乂(i)=xr(z)H(n)
k=0
y(0=Hr(n)x(0=xr(0H(n)
dJ[H(n)]门吕—・、/・、c
n
0H(〃)ti
n
0(n)H(«)=z(〃)一-
1)0(n),z(n)的递推计算
①(〃)=20(n-1)+x(n)x7(n)
①(〃)=工矿M)xp)
i=l
n-\
=2工2,?
~l_/x(z)xr(z)+x(n)x7(n)
i=l
n申一]
z(n)=^2n~ly(i)x(i)=2^+x(n)y(n)
i=li=l
z(n)=2z(n-l)+x(n)y(n)i
2)①的递推计算
0(n)=2①(m-1)+x(n)xT(n)
矩阵恒等式:
(A+BCD尸二
=Ar-AXB(C+DAXB)1DA1
玖n)=^~l(n)A=2O(n-1)
B=x(n);C=1,D=xT(n)
P(n)=2_1P(n-1)-2~lP(n-l)x(n)[l+xr(n)2_1P(n-l)x(n)]-1xr(n)A~lP(n-1)
P(n)=『P(〃-1)-FP(仃1严处Z)P(-l)
[l+2_,xr(n)P(n-l)x(n)]
""H(“)=①'(n)z(n)=P(n)z(n)
H(n)=H(n-l)+k(n)^(n)
g(〃)=y(n)-HT(n-l)x(n)验前误差
e(n)=y(n)-Hr(n)x(n)(幺(砒验后误差)
忆/11/900乙
[(")x(1-%)丄H-+(T-")H=
(wX(w)yf+(i-w)H(w)2x(n)yf-a-i/)h=
(w)zC(w)x(w)
{(i/X(w)x+(I-i/)zy}{(T—%)<1(%)八(两卫一([—%)込亍}=
(")z(w)d=(W)z(w)「①=(%)H
(I-w)d(w)N叭_y-([-叽彳=(w)d
z(m)=2z(n-1)+x(n)j(n)H(n)=H(n-l)+k(n)^(n)
4)J[H(n)]=min=JRLS的递推计算
几/Hm£广£胖》2何
n=\
jminS)=SW-zr(^)H(n){H必⑷}
Fy=化,(〃-l)+y2(〃)
^min(〃)=£)")一Z7(〃)H
RLS(〃)
=XsyO一1)+y$(n)-[&z(〃—l)+^O)y(〃)]5[H(n-l)+k(^(n)]'"
=2[sy(〃一1)—zT(n-l)H(n-1)]
+y(〃)[y(〃)(n)H(w-1)]-zr(n)k(n)^(n)
MMVCLAB
6L
忆/11/900乙
(话(心+(I-町呷"二S⑰
WW+(T-^)u?
Vr=
("为[(叭x(%lh-(")□+(【-%)Ull7r=(m)^(m)x(w)丄h-(以朋M+(i-w)U{Vr=(w)^(w)x(n)丄h-[(I-叭H(“)A-+
[(T-%)H(I-—(I—u)(3]y=(w)U1U7
(w)x(w)2h=
(w)H(w)2z-(w)as=(w)U!
U7
g—才盼-1)5
5)RLS算法总结kl+2_1xr(n)P(H-1)x(〃)
初始化:
H(0)=0
戶(0)=产1
、smallpositivecontantforhighSNRS=\
largepositivecontantforlowSNR
k(〃)=—,
2+x7(n)7i(n)
歟)=y(n)-H7(n-l)x(n),
H(n)=H(n-1)+k(n)^(«),
P(n)=2_lP(n一1)一2~lk(n)xr(n)P(n一1)
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