精选教育人教版八年级下册数学讲义 第15讲 期中复习训练2doc.docx
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精选教育人教版八年级下册数学讲义第15讲期中复习训练2doc
第15讲期中复习训练
(2)
考点精讲精练
考点一、平行四边形的性质
【知识要点】
(1)边的性质:
(2)角、对角线的性质:
(3)对称性:
【典型例题】
例1、□ABCD中,∠A:
∠B=1:
2,则∠C的度数为()
A、30°B、45°C、60°D、120°
例2、如图,在□ABCD中,已知AD=8cm,AB=5cm,DE平分∠ADC交BC边于点E,则BE等于( )
A、1cmB、2cmC、3cmD、4cm
例3、平行四边形ABCD的周长32,5AB=3BC,则对角线AC的取值范围为( )
A、6<AC<10B、6<AC<16
C、10<AC<16D、4<AC<16
例4、如图,□ABCD与□DCFE的周长相等,且∠BAD=60°,∠F=110°,则∠DAE的度数为.
(例2)(例4)(例5)
例5、如图,在□ABCD中,E、F分别是AD、DC的中点,若△CEF的面积为3,则□ABCD的面积为 .
例6、在平行四边形ABCD中,对角线BD⊥BC,G为BD延长线上一点且△ABG为等边三角形,∠BAD、∠CBD的平分线相交于点E,连接AE交BD于F,连接GE.若平行四边形ABCD的面积为
,求AG的长.
例7、如图,四边形ABCD为平行四边形,∠BAD的角平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E.
(1)求证:
BE=CD;
(2)连接BF,若BF⊥AE,∠BEA=60°,AB=4,求平行四边形ABCD的面积.
例8、在□ABCD中,∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F.
(1)在图1中证明CE=CF;
(2)若∠ABC=90°,G是EF的中点(如图2),直接写出∠BDG的度数;
(3)若∠ABC=120°,FG∥CE,FG=CE,分别连接DB、DG(如图3),求∠BDG的度数.
举一反三:
1、如图所示,四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,下列判断正确的是( )
A、若AO=OC,则ABCD是平行四边形
B、若AC=BD,则ABCD是平行四边形
C、若AO=BO,CO=DO,则ABCD是平行四边形
D、若AO=OC,BO=OD,则ABCD是平行四边形
2、□ABCD的周长为80cm,对角线AC,BD相交于0,若△OAB的周长比△OBC的周长小8cm,则AB= cm.
3、下列命题正确的是()
A、同一边上两个角相等的梯形是等腰梯形
B、一组对边平行,一组对边相等的四边形是平行四边形
C、如果顺次连结一个四边形各边中点得到的是一个正方形,那么原四边形一定是正方形
D、对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半
4、四边形的四边顺次为a、b、c、d,且满足a2+b2+c2+d2=2(ab+cd),则这个四边形一定是( )
A、平行四边形B、两组对角分别相等的四边形
C、对角线互相垂直的四边形D、对角线长相等的四边形
5、平行四边形ABCD的周长为20cm,对角线AC、BD相交于点O,若△BOC的周长比△AOB的周长大2cm,则CD= cm.
6、如图,在图1中,A1,B1,C1分别是△ABC的边BC,CA,AB的中点,在图2中,A2,B2,C2分别是△A1B1C1的边B1C1,C1A1,A1B1的中点,…,按此规律,则第n个图形中平行四边形的个数共有_____3n_______个.
7、如图,平行四边形ABCD中,BD⊥AD,∠A=45°,E、F分别是AB、CD上的点,且BE=DF,连接EF交BD于O.
(1)求证:
BO=DO;
(2)若EF⊥AB,延长EF交AD的延长线于G,当FG=1时,求AE的长
8、如图,已知▱ABCD中,AE平分∠BAD交DC于E,DF⊥BC于F,交AE于G,且AD=DF.过点D作DC的垂线,分别交AE、AB于点M、N.
(1)若M为AG中点,且DM=2,求DE的长;
(2)求证:
AB=CF+DM.
考点二、平行四边形的判定、中位线
【知识要点】
(1)5种判定方法的应用:
(2)中位线及性质定理:
【典型例题】
例1、下列说法中正确的是()
A、两条对角线相等的四边形是矩形
B、两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C、两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
例2、如图,□ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是线段AO,BO的中点.若AC+BD=24厘米,△OAB的周长是18厘米,则EF=厘米.
例3、已知:
如图,
中,
,点D、E分别是AC、AB的中点,点F在BC的延长线上,且
.求证:
四边形DECF是平行四边形.
例4、在△ABC中,点M是边BC的中点,AD平分∠BAC,BD⊥AD,BD的延长线交AC于点E,AB=12,AC=20.
(1)求证:
BD=DE;
(2)求DM的长.
例5、如图,DE是△ABC的中位线,延长DE到F,使EF=DE,连接BF
(1)求证:
BF=DC;
(2)求证:
四边形ABFD是平行四边形.
例6、如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边三角形ACD、等边三角形ABE.已知∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足为F,连结DF.
①试说明AC=EF;
②求证:
四边形ADFE是平行四边形.
例7、如图,等边△ABC的边长是2,D、E分别为AB、AC的中点,延长BC至点F,使CF=
BC,连接CD和EF.
(1)求证:
DE=CF;
(2)求EF的长.
(3)求四边形DEFC的面积.
例8、如图,四边形ABCD中,已知AB=CD,点E、F分别为AD、BC的中点,延长BA、CD,分别交射线FE于P、Q两点.求证:
∠BPF=∠CQF.
举一反三:
1、如图,四边形ABCD的对角线交于点O,从下列条件:
①AD∥BC,②AB=CD,③AO=CO,④∠ABC=∠ADC中选出两个可使四边形ABCD是平行四边形,则你选的两个条件是 (填写一组序号即可)
2、下列条件能判定一个四边形是平行四边形的是()
A、一组对边平行,另一组对边相等
B、一组对边平行,一组对角互补
C、一组对边平行,一组对角相等
D、两条对角线互相垂直
3、如图,在△ABC中,D、E分别是AB,AC的中点,AC=12,F是DE上一点,连接AF,CF,若∠AFC=90°,EF=3DF,则BC的长为()
A、13B、14C、15D、16
(1)(3)(4)
4、如图,在△ABC中,D,E,F分别为BC,AC,AB边的中点,AH⊥BC于H,FD=12,则HE等于( )
A、24B、12C、6D、8
5、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点D,E,F分别为AB,AC,BC的中点,连结DE,EF,则四边形BDEF的周长为()
A、7B、8C、9D、12
6、如图,在△ABC中,D是BC边的中点,F、E分别是AD及其延长线上的点,CF∥BE.
(1)求证:
△BDE≌△CDF;
(2)请连接BF,CE,试判断四边形BECF是何种特殊四边形,并说明理由.
7、如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=60°,△ACD是等边三角形,E是AC的中点,连接BE并延长,交DC于点F,求证:
(1)△ABE≌△CFE;
(2)四边形ABFD是平行四边形.
8、如图,在平行四边形ABCD中,过点B作BE∥AC,在BG上取点E,连接DE交AC的延长线于点F.
(1)求证:
DF=EF;
(2)如果AD=2,∠ADC=60°,AC⊥DC于点C,AC=2CF,求BE的长.
考点三、菱形的性质及判定
【知识要点】
(1)菱形的特殊性质:
(2)菱形的判定:
(3)菱形对角线(对称性)、面积求解:
【典型例题】
例1、已知菱形的两条对角线长为8cm和6cm,那么这个菱形的周长是cm,面积是cm2.
例2、如图,将菱形纸片ABCD折叠,使点A恰好落在菱形的对称中心O处,折痕为EF.若菱形ABCD的边长为2cm,∠A=120°,则EF=。
例3、用两个全等的等边三角形,可以拼成下列哪种图形
A、矩形B、菱形C、正方形D、等腰梯形
例4、已知菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,∠BAD=120°,AC=4,则该菱形的面积是( )
A、16B、16C、8D、8
(例2)(例4)
例5、已知BD是△ABC的角平分线,DE∥BC,交AB于点E.
(1)如图1,求证:
△BED是等腰三角形;
(2)当时,如图2,在线段BC上取一点F,使四边形BFDE是菱形,连接EF,在不添加任何辅助线的情况下,请写出与△BEF面积一定相等的所有三角形(不包括△BEF本身).
例6、如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,点E是AC的中点,AC=2AB,∠BAC的平分线AD交BC于点D,作AF∥BC,连接DE并延长交AF于点F,连接FC.
求证:
四边形ADCF是菱形.
例7、如图,在菱形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,点E是BC的中点,连结AE,若∠ABC=60°,BE=2cm,
求:
(1)菱形ABCD的周长;
(2)菱形ABCD的面积.
例8、如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.
(1)求证:
△AFE≌△DBE;
(2)若AB⊥AC,试判断四边形ADCF是不是菱形?
若是,证明你的结论;若不是,请说明理由.
例9、如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60cm,∠A=60°,点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D,E运动的时间是t秒(0 (1)、求证: AE=DF; (2)、四边形AEFD能够成为菱形吗? 如果能,求出相应的t值;如果不能,请说明理由; (3)、当t为何值时,△DEF为直角三角形? 请说明理由. 举一反三: 1、如图,把菱形ABCD沿AH折叠,使B点落在BC上的E点处,若∠B=700,则∠EDC的大小为() A、100B、150C、200D、300 2、菱形的周长为20cm,两个相邻的内角的度数之比为1: 2,则较长的对角线的长度是( ) A、20 B、5 cmC、 cmD、5cm 3、若一个菱形的边长为2,则这个菱形两条对角线的平方和为( ) A、16B、8C、4D、1 4、菱形的边长是10cm,且菱形的一个内角是 ,则这个菱形的面积的为 cm2. 5、如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E. (1)证明: 四边形ACDE是平行四边形; (2)若AC=8,BD=6,求△ADE的周长. 6、如图,点P是菱形ABCD中对角线AC上的一点,且PE=PB. (1)求证: PE=PD; (2)求证: ∠PDC=∠PEB; (3)若∠BAD=80°,连接DE,试求∠PDE的度数,并说明理由. 7、已知: 如图,在▱ABCD中,E、F分别为边AB、CD的中点,BD是对角线,AG∥DB交CB的延长线于G. (1)求证: △ADE≌△CBF; (2)若四边形BEDF是菱形,则四边形AGBD是什么特殊四边形? 并证明你的结论. 考点四、矩形的性质及判定 【知识要点】 (1)矩形的特殊性质: (2)矩形的判定: (3)矩形的对角线对称性 (4)直角三角形斜边上的中线: 【典型例题】 例1、直角三角形中,两直角边分别是12和5,则斜边上的中线长是() A、34B、26C、8.5D、6.5 例2、菱形和矩形一定都具有的性质是( ) A、对角线相等 B、对角线互相垂直 C、对角线互相平分且相等 D、对角线互相平分 例3、如图,把矩形ABCD沿EF翻折,点B恰好落在AD边的B′处,若AE=2,DE=6,∠EFB=60°,则矩形ABCD的面积是() A、12B、24C、 D、 例4、如图,在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD于点E,且四边形ABCD的面积为8,则BE=() A、2B、3C、2D、2 (例3)(例4)(例5) 例5、如图,矩形 的对角线 和 相交于点 ,过点 的直线分别交 于点E、F, ,则图中阴影部分的面积为 。 例6、将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠,得到菱形AECF.若AB=6,则BC的长为. 例7、如图,一根长2a的木棍(AB),斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上,设木棍的中点为P.若木棍A端沿墙下滑,且B端沿地面向右滑行.木棍滑动的过程中,点P到点0的距离不变化,在木棍滑动的过程中,△AOB的面积最大为 . (例6)(例7) 例8、在四边形ABCD中,AC⊥BC,BD⊥AD,且AC=BD,M、N分别是AB、DC边上的中点.求证: MN⊥DC. 例9、已知: 如图,在矩形ABCD中,M、N分别是边AD、BC的中点,E、F分别是线段BM、CM的中点; (1)求证: △ABM≌△DCM; (2)判断四边形MENF是什么特殊四边形,并证明你的结论; (3)当AD: AB=____________时,四边形MENF是正方形(只写结论,不需证明) 例10、如图,在□ABCD中,E为BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F. (1)求证: AB=CF; (2)当BC与AF满足什么数量关系时,四边形ABFC是矩形,并说明理由. 举一反三: 1、若O是四边形ABCD对角线的交点且OA=OB=OC=OD,则四边形ABCD是( ) A、平行四边形B、矩形C、正方形D、菱形 2、矩形的两条对角线的夹角为600,较短的边长为12cm,则对角线的长为_____cm. 3、如图所示,将矩形ABCD沿AE向上折叠,使点B落在DC边上的F处,若△AFD的周长为9,△ECF的周长为3,则矩形ABCD的周长为______. 4、勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算术书《周髀算经》中就有“若勾三股四,则弦五”的记载.如图,是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图②是由图①放入矩形内得到的,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,此时点D、E、F、G、H、I都在矩形KLMJ的边上, 则矩形KLMJ的面积为(). A、90B、100C、110D、121 (3)(4) 5、下列命题中,正确的个数是() ①若三条线段的比为1: 1: ,则它们组成一个等腰直角三角形;②两条对角线相等的平行四边形是矩形;③对角线互相平分且相等的四边形是矩形;④两个邻角相等的平行四边形是矩形 A、1个B、2个C、3个D、4个 6、如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E是BC边上一点,连接AE,把∠B沿AE折叠,使点B落在点B′处,当△CEB′为直角三角形时,BE的长为________. 7、如图,四边形ABCD为矩形,过点D作对角线BD的垂线,交BC的延长线于点E,取BE的中点F,连接DF,DF=4,设AB=x,AD=y,求x2+(y﹣4)2的值. 8、如图,□ABCD中,P是AC,BD交于点O,P是▱ABCD外一点,且∠APC=∠BPD=90°,求证: □ABCD是矩形. 9、如图,在平行四边形ABCD中,对角线BD=12cm,AC=16cm,AC,BD相交于点O,若E,F是AC上两动点,分别从A,C两点以相同的速度向C、A运动,其速度为0.5cm/s. (1)证明: 当E在AO上运动,F在CO上运动,且E与F不重合时,四边形DEBF是平行四边形; (2)点E,F在AC上运动过程中,以D、E、B、F为顶点的四边形是否可能为矩形? 如能,求出此时的运动时间t的值;如不能,请说明理由. 考点五、正方形的性质及判定 【知识要点】 (1)正方形的特殊性质: (2)正方形的判定: (3)正方形的对称性 【典型例题】 例1、如图,□ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AC⊥BD,请你添加一个适当的条件,使ABCD成为正方形。 例2、如图,菱形ABCD的对角线相交于点O,请你添加一个条件: ,使得该菱形为正方形. 例3、有3个正方形如图所示放置,阴影部分的面积依次记为S1,S2,则S1: S2=. (例1)(例2)(例3) 例4、如图,正方形ABCD中,AE=AB,直线DE交BC于点F,则∠BEF=() A、45°B、30°C、60°D、55° 例5、如图ABCD是一个正方形花园,E、F是它的两个门,且DE=CF,要修建两条路BE和AF,这两条路等长吗? 它们有什么位置关系? 请证明你的猜想. 例6、如图,点E是正方形ABCD对角线AC上一点,EF⊥AB,EG⊥BC,垂足分别为E、F.若正方形ABCD的周长是40cm, (1)证明四边形BFEG是矩形; (2)求四边形EFBG的周长. 例7、如图1,在正方形ABCD中,BD是对角线,点E在BD上,△BEG是等腰直角三角形,且∠BEG=90°,点F是DG的中点,连结EF与CF. (1)求证: EF=CF; (2)求证: EF⊥CF; (3)如图2,若等腰直角三角形△BEG绕点B按顺时针旋转45°,其他条件不变,请判断△CEF的形状,并证明你的结论. 图1 例8、如图,四边形ABCD是正方形,△ECF是等腰直角三角形,其中CE=CF,BC=5,CF=3,BF=4.求证: DE∥FC. 例9、如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF. (1)求证: AF=DC; (2)若AB⊥AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论. (3)在 (2)问下当△ABC再满足一个什么条件,四边形ADCF为正方形. 举一反三: 1、平行四边形,矩形,菱形,等边三角形,正方形中是轴对称图形的有( ) A、1个B、2个C、3个D、4个 2、如图,正方形ABCD的边长为4,点E在对角线BD上,且∠BAE=22.5º, EF⊥AB,垂足为F,则EF的长为() A、1B、C、4-2D、3-4 3、如图,△ABC中,AB=AC,点D、E分别是边AB、AC的中点,点G、F在BC边上,四边形DEFG是正方形.若DE=2cm,则AC的长为() A. cmB.4cmC. cmD. cm 4、如图,在等边△ABC的外侧作正方形ABDE,AD与CE交于F,则∠ABF的度数为 . (2)(3)(4) 5、如图,在四边形ABCD中,AB=BC,对角线BD平分∠ABC,P是BD上一点,过点P作PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为M,N. (1)求证: ∠ADB=∠CDB; (2)若∠ADC=90°,求证: 四边形MPND是正方形. P 6、已知如图,以正方形ABCD的对角线为边作菱形AEFC,若点B、E、F在同一直线上,求∠EAB的度数. 7、如图,正方形ABCD,动点E在AC上,AF⊥AC,垂足为A,AF=AE. (1)求证: BF=DE; (2)当点E运动到AC中点时(其他条件都保持不变),问四边形AFBE是什么特殊四边形? 说明理由. 第15讲期中复习训练 (2) 参考答案 考点精讲精练 考点一、平行四边形的性质 【典型例题】 例1、C 例2、C 例3、D 例4、65° 例5、24 例6、 例7、 例8、 举一反三: 1、D 2、16 3、D 4、C 5、4 6、3n 7、 8、 考点二、平行四边形的判定、中位线 【典型例题】 例1、D 例2、3 例3、证明: ∵D、E分别是AC、AB中点 ∴DE∥CB。 即DE∥CF ∴在Rt⊿ABC中,∠ACB=90º ∵E是AB中点 ∴AE=BE=CE ∴∠A=∠ACE ∵∠A=∠CDF ∴∠ACE=∠CDF ∴DF∥CE ∵DE∥CF ∴四边形DECF是平行四边形. 例4、 例5、 例6、 例7、 例8、【解答】证明: 如图,连接BD,作BD的中点M,连接EM、FM. ∵点E是AD的中点, ∴在△ABD中,EM∥AB,EM= AB, ∴∠MEF=∠P 同理可证: FM∥CD,FM= CD. ∴∠MGH=∠DFH. 又∵AB=CD, ∴EM=FM, ∴∠MEF=∠MFE, ∴∠P=∠CQF.. 举一反三: 1、①③ 2、C 3、D 4、B 5、C 6、 7、 8、 考点三、菱形的性质及判定 【典型例题】 例1、20;24 例2、 例3、B 例4、C 例5、 例6、 例7、 例8、【解答】 (1)证明: ∵AF∥BC, ∴∠AFE=∠DBE, ∵E是AD的中点, ∴AE=DE, 在△AFE和△DBE中, ∴△AFE≌△DBE(AAS); (2)解: 四边形ADCF是菱形,理由如下: ∵△AFE≌△DBE, ∴AF=BD, ∵AD是斜边BC的中线, ∴BD=DC ∴AF=DC. ∵AF∥BC, ∴四边形ADCF是平行四边形, ∵AC⊥AB,AD是斜边BC的中线, ∴AD= BC=DC, ∴平行四边形ADCF是菱形. 例9、 (1)、证明: 在△DFC中,∠DFC=90°,∠C=30°,DC=4t,∴DF=2t.又∵AE=2t,∴AE=DF. (2)、能.理由如下: ∵AB⊥BC,DF⊥BC,∴AE∥DF.又∵AE=DF,∴四边形AEFD为平行四边形.当四边形AEFD为菱形时,AE=AD=AC-DC即60-4t=2t,解得t=10.∴当t=10秒时,四边形AEFD为菱形. (3)、①当∠DEF=90°时,由 (2)知四边形AEFD为平行四边形,∴EF∥AD,∴∠ADE=∠DEF=90°.∵∠A=60°,∴∠AED=30°.∴AD=AE=t.又AD=60-4t,即60-4t=t,解得t=12; ②当∠EDF=90°时,四边形EBFD为矩形,在Rt△AED中,∠A=60°,则∠ADE=30°,∴AD=2AE,即60-4t=4t,解得t=; ③若∠EFD=90°,则E与B重合,D与A重合,此种情况不存在.故当t=或12秒时,△DEF为直角三角形. 举一反三: 1、B 2、B 3、A 4、 5、 6、 7、【解答】 (1)证明: ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠4=∠C,AD=CB,AB=CD. ∵点E、F分别是AB、CD的中点, ∴AE= AB,CF= CD. ∴AE=CF. 在△AED和△CBF中, ∴△ADE≌△CBF(SAS). (2)解: 当四边形BEDF是菱形时,四边形AGBD是矩形. 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC. ∵AG∥BD, ∴四边形AGBD是平行四边形. ∵四边形BEDF是菱形, ∴DE=BE. ∵AE=BE, ∴AE=BE=DE. ∴∠1=∠2,∠3=∠4. ∵∠1+∠
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