高中数学人教A版必修五解三角形章末综合测评含答案解析.docx
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高中数学人教A版必修五解三角形章末综合测评含答案解析.docx
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高中数学人教A版必修五解三角形章末综合测评含答案解析
人教A版必修五解三角形章末综合测评
(时间120分钟,满分150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在△ABC中,若sinA+cosA=,则这个三角形是( )
A.钝角三角形B.直角三角形
C.锐角三角形D.等边三角形
2.在△ABC中,内角A满足sinA+cosA>0,且tanA-sinA<0,则A的取值范围是( )
A.B.
C.D.
3.已知锐角三角形的三边长分别为1,3,a,那么a的取值范围为( )
A.(8,10)B.(2,)
C.(2,10)D.(,8)
4.已知圆的半径为4,a,b,c为该圆的内接三角形的三边,若abc=16,则三角形的面积为( )
A.2B.8
C.D.
5.△ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若p∥q,则角C的大小为( )
A.B.C.D.
6.在△ABC中,若sinBsinC=cos2,则下面等式一定成立的是( )
A.A=BB.A=C
C.B=CD.A=B=C
7.一角槽的横断面如图1所示,四边形ADEB是矩形,且α=50°,β=70°,AC=90mm,BC=150mm,则DE的长等于( )
图1
A.210mmB.200mm
C.198mmD.171mm
8.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c2=(a-b)2+6,C=,则△ABC的面积是( )
A.3B.C.D.3
9.已知在△ABC中,sinA+sinB=sinC(cosA+cosB),则△ABC的形状是( )
A.锐角三角形B.钝角三角形
C.等腰三角形D.直角三角形
10.在△ABC中,sin2A=sin2B+sinBsinC+sin2C,则A=( )
A.30°B.60°
C.120°D.150°
11.在△ABC中,A∶B=1∶2,∠ACB的平分线CD把△ABC的面积分成3∶2两部分,则cosA等于( )
A.B.C.D.0
12.如图2,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100米到达B后,又测得C对于山坡的斜度为45°,若CD=50米,山坡对于地平面的坡角为θ,则cosθ( )
图2
A.2+1B.2-1
C.-1D.+1
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.△ABC为钝角三角形,且∠C为钝角,则a2+b2与c2的大小关系为.
14.设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sinA=5sinB,则角C=.
15.在锐角△ABC中,BC=1,B=2A,则的值等于,AC的取值范围为.
16.如图3,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100m,则山高MN=m.
图3
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asinAsinB+bcos2A=a.
(1)求;
(2)若c2=b2+a2,求B.
【解】
(1)由正弦定理得,sin2AsinB+sinBcos2A=sinA,即sinB(sin2A+cos2A)=sinA.
故sinB=sinA,所以=.
(2)由余弦定理和c2=b2+a2,
得cosB=.
由
(1)知b2=2a2,故c2=(2+)a2.
可得cos2B=,又cosB>0,
故cosB=,所以B=45°.
18.(本小题满分12分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=2,cosB=.
(1)若b=4,求sinA的值;
(2)若△ABC的面积S△ABC=4,求b,c的值.
【解】
(1)∵cosB=>0,且0
∴sinB==.
由正弦定理得=,
sinA===.
(2)∵S△ABC=acsinB=4,
∴×2×c×=4,∴c=5.
由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=22+52-2×2×5×=17,∴b=.
19.(本小题满分12分)在△ABC中,∠A=,AB=6,AC=3,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.
【解】 设△ABC的内角∠BAC,B,C所对边的长分别是a,b,c,
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=(3)2+62-2×3×6×cos=18+36-(-36)=90,
所以a=3.
又由正弦定理得sinB===,
由题设知0
所以cosB===.
在△ABD中,因为AD=BD,所以∠ABD=∠BAD,所以∠ADB=π-2B,故由正弦定理得AD====.
20.(本小题满分12分)某观测站在城A南偏西20°方向的C处,由城A出发的一条公路,走向是南偏东40°,在C处测得公路距C处31千米的B处有一人正沿公路向城A走去,走了20千米后到达D处,此时C、D间的距离为21千米,问这人还要走多少千米可到达城A?
【解】 如图所示,
设∠ACD=α,∠CDB=β.
在△CBD中,由余弦定理得cosβ===-,
∴sinβ=.
而sinα=sin(β-60°)=sinβcos60°-sin60°cosβ=×+×=.
在△ACD中,=,
∴AD==15(千米).
所以这人还要再走15千米可到达城A.
21.(本小题满分12分)(2016·洛阳模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cos2C+2cosC+2=0.
(1)求角C的大小;
(2)若b=a,△ABC的面积为sinAsinB,求sinA及c的值.
【解】
(1)∵cos2C+2cosC+2=0,
∴2cos2C+2cosC+1=0,即(cosC+1)2=0,
∴cosC=-.
又C∈(0,π),∴C=.
(2)∵c2=a2+b2-2abcosC=3a2+2a2=5a2,
∴c=a,即sinC=sinA,
∴sinA=sinC=.
∵S△ABC=absinC,且S△ABC=sinAsinB,
∴absinC=sinAsinB,
∴sinC=,由正弦定理得
2sinC=,解得c=1.
22.(本小题满分10分)已知函数f(x)=msinx+cosx(m>0)的最大值为2.
(1)求函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间;
(2)若△ABC中,f+f=4sinAsinB,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且C=60°,c=3,求△ABC的面积.
【解】
(1)由题意,f(x)的最大值为,所以=2.
又m>0,所以m=,f(x)=2sin.
令2kπ+≤x+≤2kπ+(k∈Z),
得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z).
所以f(x)在[0,π]上的单调递减区间为.
(2)设△ABC的外接圆半径为R,
由题意,得2R===2.
化简f+f=4sinAsinB,
得sinA+sinB=2sinAsinB.
由正弦定理,得2R(a+b)=2ab,a+b=ab.①
由余弦定理,得a2+b2-ab=9,
即(a+b)2-3ab-9=0.②
将①式代入②,得2(ab)2-3ab-9=0,
解得ab=3或ab=-(舍去),
故S△ABC=absinC=.
人教A版必修五解三角形章末综合测评
(时间120分钟,满分150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在△ABC中,若sinA+cosA=,则这个三角形是( )
A.钝角三角形B.直角三角形
C.锐角三角形D.等边三角形
【解析】 若A≤90°,则sinA+cosA≥1>,∴A>90°.
【答案】 A
2.在△ABC中,内角A满足sinA+cosA>0,且tanA-sinA<0,则A的取值范围是( )
A.B.
C.D.
【解析】 由sinA+cosA>0得sin>0.
∵A是△ABC的内角,∴0 又tanA 由①②得, 【答案】 C 4.已知锐角三角形的三边长分别为1,3,a,那么a的取值范围为( ) A.(8,10)B.(2,) C.(2,10)D.(,8) 【解析】 设1,3,a所对的角分别为∠C、∠B、∠A,由余弦定理知a2=12+32-2×3cosA<12+32=10, 32=1+a2-2×acosB<1+a2,
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