复数代数形式的加减运算及其几何意义教案精.docx
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复数代数形式的加减运算及其几何意义教案精
新授课:
3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义
教学目标
重点:
复数代数形式的加法、减法的运算法则.难点:
复数加法、减法的几何意义.
知识点:
1.掌握复数代数形式的加、减运算法则;
2.理解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
能力点:
培养学生渗透转化、数形结合的数学思想方法,提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力.教育点:
通过探究学习,培养学生互助合作的学习习惯,培养学生对数学探索和渴求的思想.在掌握知识的
同时,形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神.
自主探究点:
如何运用复数加法、减法的几何意义来解决问题.
考试点:
会计算复数的和与差;能用复数加、减法的几何意义解决简单问题.易错易混点:
复数的加法与减法的综合应用.拓展点:
复数与其他知识的综合.
一、引入新课
复习引入
1.虚数单位i:
它的平方等于1-,即2i1=-;
2.对于复数(i,zabab=+∈R:
当且仅当0b=时,z是实数a;当0b≠时,z为虚数;
当0a=且0b≠时,z为纯虚数;当且仅当0ab==时,z就是实数0.
3.复数集与其它数集之间的关系:
NZQRC.
4.复数几何意义:
我们把实数系扩充到了复数系,那么复数之间是否存在运算呢?
答案是肯定的,这节课我们就来研究复数的加减运算.
【设计意图】通过复习回顾复数概念、几何意义等相关知识,使学生对这一知识结构有个清醒的初步认知,逐渐过渡到对复数代数形式的加减运算及其几何意义的学习情境,为探究本节课的新知识作铺垫.
二、探究新知
复数(i,zabab=+∈R复平面内的点(,abZ一一对应
一一对应
复数(
i,zabab=+∈R复平面内的向量(
=,OZab
探究一:
复数的加法1.复数的加法法则
我们规定,复数的加法法则如下:
设1izab=+,2i(,,,zcdabcd=+∈R是任意两个复数,那么:
12(i(i((izzabcdacbd+=+++=+++
提出问题:
(1两个复数的和是个什么数,它的值唯一确定吗?
(2当=0,0bd=时,与实数加法法则一致吗?
(3它的实质是什么?
类似于实数的哪种运算方法?
学生明确:
(1仍然是个复数,且是一个确定的复数;(2一致;
(3实质是实部与实部相加,虚部与虚部相加,类似于实数运算中的合并同类项.
【设计意图】加深对复数加法法则的理解,且与实数类比,了解规定的合理性:
将实数的运算通性、通法扩充到复数,有利于培养学生的学习兴趣和创新精神.2.复数加法的运算律
实数的加法有交换律、结合律,复数的加法满足这些运算律吗?
对任意的123,,zzz∈C,有
1221zzzz+=+(交换律,123123((zzzzzz++=++(结合律.
【设计意图】引导学生根据实数加法满足的运算律,大胆尝试推导复数加法的运算律,学生先独立思考,然后小组交流.提高学生的建构能力及主动发现问题,探究问题的能力.3.复数加法的几何意义
复数与复平面内的向量有一一对应关系,那么请同学们猜想一下,复数的加法也有这种对应关系吗?
设12,OZOZ分别与复数i,iabcd++对应,则有12(,,(,OZabOZcd==,由平面向量的坐标运算有
12(,OZOZacbd+=++.
这说明两个向量12OZOZ与的和就是与复数(+(iacbd++对应的向量.因此,复数的加法可以按照向量加法的平行四边形法则来进行.这就是复数加法的几何意义.如图所示:
2(,Zcd
1(,Zab
由图可以看出,以1OZ、2OZ为邻边画平行四边形12OZZZ,其对角线OZ所表示的向量OZ就是复数(+(iacbd++对应的向量.
【设计意图】通过向量的知识,让学生体会从数形结合的角度来认识复数的加减法法则,训练学生的形象思
Z
O
yx
维能力,也培养了学生的数形结合思想.另外,当两复数的对应向量共线时,可直接运算;当不共线时,可类比向量加法的平行四边形,也培养了学生的类比思想.探究二:
复数的减法
类比复数的加法法则,你能试着推导复数减法法则吗?
1.复数的减法法则
我们规定,复数的减法是加法的逆运算,即把满足
(i(iicdxyab+++=+的复数ixy+叫做复数iab+减去icd+的差,记作(i(iabcd+-+.根据复数相等的定义,有
cxadyb+=+=,因此
xacybd=-=-,
所以
i((ixyacbd+=-+-,
即
(i(i((iabcdacbd+-+=-+-.
这就是复数的减法法则,所以两个复数的差是一个确定的复数.
【设计意图】复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得到的,渗透了转化的数学思想方法,是学生体会数学思想的素材.让学生自己动手推导减法法则,有利于培养学生的创新能力和互助合作的学习习惯.考查学生的类比思想,提高学生主动发现问题,探究问题的能力.2.复数减法的几何意义
设12,OZOZ分别与复数i,iabcd++对应,则这两个复数的差12zz—与向量12OZOZ—(即21ZZ对应,这就是复数减法的几何意义.如图所示.
【设计意图】两个复数的差12zz—(即12OZOZ—与连接两个终点1Z,2Z,且指向被减数的向量对应,这与平面向量的几何解释是一致的;它不仅又一次让我们看到了向量这一工具的功能,也使数和形得到了有
机的结合.注意:
只有将差向量平移至以原点为起点时,其终点才能对应该复数.
三、理解新知
1.复数的加减法法则:
设1izab=+,2i(,,,zcdabcd=+∈R是任意两个复数,规定:
12((izzacbd+=+++;12((izzacbd-=-+-.
yx
2Z
1
ZO
2.复数加、减法的几何意义:
(1复数的加法按照向量加法的平行四边形法则;(2复数的减法按照向量减法的三角形法则.3.几点说明:
(1复数的加(减法法则规定的合理性:
它既与实数运算法则,运算律相同,又与向量完美地结合起来;(2复数的加(减法实质是:
复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减;(3多个复数相加减:
可将各个复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减.
(4复平面内的两点间距离公式:
12dzz=—.
其中12,zz是复平面内的两点1Z和2Z所对应的复数,d为点1Z和点2Z间的距离.即两个复数差的模的几何意义是:
两个复数所对应的两个点之间的距离.
【设计意图】加深对复数加(减法法则的理解,从不同的角度总结,既学到知识,又学到了数学方法,使知识更加系统化,学生的思维将上升到一个更高的层面,为准确地运用新知,作必要的铺垫.培养学生的归纳概括能力,使学生对所学的知识有一个整体的认识,解决问题时可以信手拈来.
四、运用新知
例1.计算:
(1(23i(5i-++-;(2(12i(12i-++-;(3(23i(52i--+;(4(56i(2i(34i-+---+;
解:
(1(23i(5i(25(31i32i-++-=-++-=+;(2(12i(12i(11(22i0-++-=-++-=;
(3(23i(52i(25(32i35i--+=-+--=--;
(4(56i(2i(34i(523(614i11i-+---+=--+---=-.
【设计意图】直接运用复数的加、减法运算法则进行,就是将它们的实部、虚部分别相加、减,实数范围的运算律在复数范围内仍然成立.变式训练:
计算(12i(23i(34i(45i(19992000i(20002001i-+-++-+-+++-+-+.解:
(解法一原式(12345619992000(2345620002001i=-+-+-++-+-+-+-+-+
10001000i=-+.
(解法二(12i(23i1i-+-+=-+;(34i(45i1i-+-+=-+;…
(19992000i(20002001i1i-+-+=-+.将上列1000个式子累加,得
1000(1i10001000i-+=-+.
【设计意图】复数的加减法,相当于多项式加减中的合并同类项的过程;如果根据给出复数求和的特征从局部入手,抓住了式子中相邻两项之差是一个常量这一特点,适当地进行组合,从而可简化运算.进一步巩固复数加减运算,并带有一定的规律性.
Z2
Z1
O
y
xZ
Z2
Z1
O
y
x
例2.(1设12,OZOZ分别与复数1253i,14izz=+=+对应,计算12zz-,并在复平面内作出12OZOZ-,(2设12,OZOZ分别与复数1213i,2izz=+=+对应,计算12zz+,并在复平面内作出12OZOZ+.解:
图1图2
(112=(5+3i(14i(51(34i4izz--+=-+-=-.(如图1所示;(212(13i(2i(12(31i34izz=+++=+++=++.(如图2所示.
【设计意图】由复数的几何意义知,复数1z,2z所对应的的点分别为12,ZZ.12OZOZ-就是表示向量21ZZ,而12OZOZ+可利用平行四边形法则作出.
变式训练:
已知复数213(5izaa=-++,221(21i(zaaaa=-++-∈R分别对应向量12,OZOZ(O为坐标原点,若向量12ZZ对应的复数为纯虚数,求a的值.答案:
1a=-.
例3.已知关于x的方程:
2(6i9i0(xxaa-+++=∈R有实数根b.
(1求实数,ab的值;
(2若复数z满足i20zabz-+-=,求z的最小值.
解:
(1由题意,得2(6i9i0bba-+++=,即2(69(i0bbab-++-=.
由复数相等的定义得2690
bbab⎧-+=⎨-=⎩,解得3ab==.
(2设i(,zxyxy=+∈R,
由i20zabz-+-=,得(3(3i2xyz-++=,
即2
2
2
(3(34(xyxy-++=+,整理得2
2
(1(18xy++-=,
即复数z在复平面内所对应的点Z(,xy的轨迹是以C(1,1-为圆心,半径长为22的圆.
又z的几何意义是Z(x,y与原点O(0,0的距离,如图,由平面几何知识知,zmin=CA-CO=22-2=2.【设计意图】在问题(1中由复数相等的概念,列方程组求出两个参数值,把复数问题实数化,既复习了概念,又锻炼了学生的计算能力和解决问题的能力;在问题(2中由z=(x-02+(y-02,把z转化为复数z所对应的点与原点的距离,解决此类问题的关键是利用复数的几何意义画出图形,在图形中寻求答案,把数转化成形,利用数形结合思想解决即可.变式训练:
复数z的模为1,求z-1-i的最大值和最小值.答案:
2+1,2-1.【设计意图】通过变式训练,便于学生全面的认识利用复数差的模的几何意义解决问题,提高学生理解、运用知识的能力.五、课堂小结(一知识:
1.复数代数形式的加法、减法的运算法则;2.复数加法、减法的几何意义.3.几点说明:
(1复数的加(减法法则规定的合理性:
它既与实数运算法则,运算律相同,又与向量完美地结合起来;(2复数的加(减法实质是:
复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减;(3多个复数相加减:
可将各个复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减.(4复平面内的两点间距离公式:
d=z1—z2.其中z1,z2是复平面内的两点Z1和Z2所对应的复数,d为点Z1和点Z2间的距离.即两个复数差的模的几何意义是:
两个复数所对应的两个点之间的距离.(二思想方法:
类比的思想、转化的思想、数形结合的思想.【设计意图】通过课堂小结,增强学生对复数代数形式的加法、减法的运算法则及几何意义的理解,及时查缺补漏,从而更好地运用知识,解题要有目的性,加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用.深化对知识的理解,完善认识结构,领悟思想方法,强化情感体验,提高认识能力.引导学生自我反馈、自我总结,并对所学知识进行提炼升华,使知识系统化.让学生学会学习,学会内化知识的方法与经验,促进学习目标的完成.6
六、布置作业必做题:
1.计算:
(1(2+4i+(3-4i;(2-(3-4+i+(2-i-(.15i2.复数6+5i与-3+4i对应的向量分别是OA与OB,其中O是原点,求向量AB,BA对应的复数,并指出其对应的复数位于第几象限.3.复平面上三点A,B,C分别对应复数1,2i,5+2i,则由A,B,C所构成的三角形△ABC是4.求复数2+i,3-i所对应的两点之间的距离.三角形.5.已知复数z满足z+z=2+8i,求复数z.6.已知平行四边形OABC的三个顶点O,A,C对应的复数分别为0,3+2i,-2+4i,试求:
(1AO表示的复数;答案:
1.(15;(2CA表示的复数;(2-2+2i.(3B点对应的复数.2.-9-i,位于第三象限;9+i,位于第一象限.3.直角三角形.6.(1-3-2i;选做题:
4.5.5.z=-15+8i.1+6i(3(25-2i;1.在复平面内,求满足方程z+i+z-i=4的复数z所对应的点的轨迹.2.复数z1,z2满足z1=z2=1,z1+z2=2,求z1-z2.答案:
1.提示:
方程可以变形为z-(-i+z-i=4|,表示到两个定点(0,-1和(0,1距离之和等于4的点的轨迹,故满足方程的动点轨迹是椭圆.2.提示:
法一:
数形结合思想,构造边长为1的正方形,则其中一条对角线的长度为2,则所求的另一条对角线的长度也等于2.法二:
(向量法设z1,z2所对应的向量分别是a,b,将z1+z2=所以z1-z2=2两边平方得ab=0,则(z1-z22=2,2.【设计意图】设计必做题是引导学生先复习,再作业,培养学生良好的学习习惯,是让学生会用复数代数形式的加法、减法的运算法则进行计算;设计选做题意在培养学生深刻理解复数差的模的几何意义,增加问题的多样性、趣味性,训练学生思维的发散性、深刻性.让学生理解知识之间的联系,培养学生用整体的观点看问题,起到巩固旧知的作用.7
七、教后反思1.本教案的亮点是:
(1)本节中由于复数的加法法则是规定的,从问题入手,引导学生思考,让学生理解这种规定的合理性.在复数加法的运算律及几何意义的处理上,都是让学生自主探究,使学生在参与中学会学习,学会合作,突出体现以学生为主,教师为辅的新课程理念.(2对于复数减法的处理,采用了类比的数学思想方法,让学生自主探究,自己总结,且法则可以用已学的知识推导,使学生体会其中的思想方法,培养学生的创新能力和运用数学思想方法解决问题的能力.(3例题和练习的设计遵循由浅入深,循序渐进的原则,低起点,多落点,高终点,尽可能地照顾到各个层次的学生.2.本节课的弱项是:
复数的几何意义的例题没能体现学生的动手能力.八、板书设计一、复习引入二、探究新知三、理解新知变式训练四、运用新知例1变式训练五、课堂小结六、作业3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义例2变式训练例38
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- 复数 代数 形式 加减 运算 及其 几何 意义 教案