第I卷 几何基础.docx
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第I卷几何基础
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《几何原本》
第I卷
几何基础
赠初中晚辈
《几何原本》,古希腊欧几里得著,距今已有两千余年历史。
其为古希腊几何学光辉成果和思想精神的集中体现,是建立空间秩序最久远、最权威的逻辑推演语系。
自问世之日起至今,除《圣经》外,无任何著作,其研究、使用与传播能如此之广。
《几何原本》为数学之源,一部不朽之作。
家长给我买了一部,我从此便爱不释手。
尤其是第I卷,等边对等角、等角对等边、对顶角相等、四大全等定理、平行线三大定理、三角形内角和定理、三角形两边之和大于第三边、三角形外角之和等于不相邻两内角之和、闻名世界的勾股定理,乃至尺规作图中最基本的角平分线、已知角、垂直平分线、等边三角形等,都在此找到了源头,看到了最初精彩的证明。
然而,我在读时却略觉吃力。
《几何原本》太久远了,其没有“∵”“∴”“∠”“△”“⊥”“∥”等现在所学数学符号,纯翻译用“因为”“又”“所以”等词,证明比较口语化,不够严谨,经常让人困惑;其字母表示比较混乱,有时用一个大写字母表示一个三角形,用两个大写字母表示一个四边形,这在现在是不可取的;更重要的是,其毕竟是逻辑推演的首创之作,难免有疏漏、错误和让人无法理解的地方。
长期以来,人们都说,普通读者对《几何原本》只可意会,不可深究。
但是,我认为这部著作太好了,对于初中生,不求通读,读一读第I卷也是非常有益的。
于是,我花了整整两周时间,将第I卷几何基础中48个命题译成了初中课本中的现代数学语言。
晚辈们,作为一个即将升入高中的学长,我赠送你们爱因斯坦的一句话:
如果欧几里得未激发你少年时代之科学热情,那你肯定不会是一个天才的科学家。
对照此译本,翻翻汉译原著,你会感受到几何之玄妙的!
汇文客·篪
南京金陵中学
2014/6/30
命题I.1:
已知一条线段,可作一个等边三角形。
已知:
线段AB
求作:
等边△ABC
作法:
以A为圆心,AB为半径,作⊙A;
同理得⊙B;(公设I.3,以后省略)
两圆相交于AB上方点C;
连接AC、BC,得△ABC;
则△ABC为等边三角形。
证明:
∵⊙A中,A为圆心,B、C为⊙A上两点,
∴AB=AC(定义I.15、I.16);
同理可得BC=BA;
∴AB=AC=BC(公理I.1);
∴△ABC为等边三角形(定义I.20)。
证完
命题I.2:
从给定一点可引一条线段,使其等于已知线段。
已知:
点A、线段BC
求作:
线段AF,AF=BC
作法:
连接AB,作等边△ABD(命题I.1);
延长DB、DA(公设I.2,此后省略);
以B为圆心,BC为半径,作⊙B,交DB于点E;
同理可得⊙D,交DA于点F;
则得线段AF,AF=BC。
证明:
∵△ABD为等边三角形,
∴AB=BD=DA;
∵⊙A中,B为圆心,E、C为⊙A上两点,
∴BE=BC(定义I.15、I.16);
同理可得DF=DE;
∵DF上DA=DE上DB,余下部分为AF、BE,
∴AF=BE(公理I.3);
∴AF=BC(公理I.1)。
证完
命题I.3:
给定两条不等线段,可在较长的线段上
截取一条线段,使其等于较短线段。
已知:
线段AB、a,AB>a
求作:
AB上线段AE,AE=a
作法:
在点A上作线段AC=a(命题I.2);
以A为圆心,AC为半径,作⊙A,交AB于点D;
则得线段AD,AD=a;
证明:
∵⊙A中,A为圆心,D、C为⊙A上两点,
∴AD=AC(定义I.15、I.16);
∴AD=a(公理I.1)。
证完
命题I.4:
如果三角形两条对应边及夹角相等,那么第三边亦相等,两三角形全等,其余两对应角亦相等。
(SAS)
已知:
△ABC、△DEF中,AB=DE,∠A=∠D,AC=DF
求证:
BC=EF,△ABC≌△DEF,∠B=∠E,∠C=∠F
证明:
平移△ABC,使A与点D重合,AB与DE重合;
∵AB=DE,
∴B与E重合;
∵∠A=∠D,AC=DF,
∴∠A与∠D重合,AC与DF重合,C与F重合;
*假设BC≠EF,而B与E重合,C与F重合,则在平面中,两条线段要形成一个面(如图),这在欧式几何中是不可能的(定义I.19);
∴BC=EF,BC与EF重合;
∴△ABC≌△DEF(公理I.4);
∴∠B=∠E,∠C=∠F。
证完
命题I.5:
等腰三角形的两底角相等,将腰延长,与底边形成的两个补角亦相等。
(等边对等角)
已知:
等腰△ABC中,AB=AC,
作AB延长线AD、AC延长线AE
求证:
∠ABC=∠ACB,∠DBC=∠ECB
证明:
在AD上取一点F,在AE上截取AG=AF(命题I.3)
连接CF、BG(公设I.1,此后省略);
∵AB=AC,∠A=∠A,AG=AF,
∴CF=BG,△AFC≌△ABG,∠AFC=∠AGB,∠ACF=∠ABG(命题I.4);
∵AF=AG,AB=AC,
∴余下BF=CG(公理I.3);
∵BF=CG,∠BFC=∠CGB,FC=GB,
∴△BFC≌△CGB,∠FBC=∠GCB,∠BCF=∠CBG(命题I.4);,
∵∠ACF=∠ABG,∠BCF=∠CBG;
∴余下∠ABC=∠ACB(公理I.3)。
证完
命题I.6:
如果在一个三角形中,有两个角相等,那么也有两条边相等。
(等角对等边)
已知:
△ABC中,∠ABC=∠ACB
求证:
AB=AC
证明:
*假设AB≠AC,AB>AC;
在AB上截取线段BD,使BD=AC(命题I.3),连接DC;
∵BD=AC,∠DBC=∠ACB,BC=CB;
∴△DBC≌△ACB(命题I.4);
(以后使用命题I.4,一些不必要结论会予以省略)
由图可知,小三角形全等于大三角形,这不可能(公理I.5);
∴AB≠AC不成立;
∴AB=AC。
证完
命题I.7:
过线段两端点引出两条线段交于一点,那么,在同一侧,不可能有相交于另一点的两条线段,分别等于前两条线段。
(即每个交点到相同端点的线段相等)
已知:
线段AB同侧有点C、D,连接AC、BC、AD、BD
求证:
AC≠AD,BC≠BD
证明:
连接CD;
*假设AC=AD,BC=BD,
∴∠ADC=∠ACD(命题I.5);
同理可得∠BDC=∠BCD;
由图可知,∠ADC<∠BDC,∠ACD>∠BCD(公理I.5),
则∠ADC<∠BDC而又∠ADC>∠BDC(补充公理I.1),
这是矛盾的;
∴AC=AD,BC=BD不成立;
∴AC≠AD,BC≠BD。
证完
命题I.8:
如果两个三角形三边对应相等,那么这两个三角形所有对应角相等。
(SSS)
已知:
△ABC、△DEF中,AB=DE,BC=EF,AC=DF
求证:
∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F
证明:
平移△ABC,置B于点E上;
∵BC=EF,
∴BC与EF能够重合;
*假设AB与DE、AC与DF不能够重合,形成新线段GE、GF,G与点D不重合,GE=AB,GF=AC;
根据命题7,这不可能;
∴AB与DE、AC与DF能够重合;
∴△ABC≌△DEF(公理I.4);
∴∠A与∠D能够重合,∠A=∠D;
同理可得∠B=∠E,∠C=∠F。
证完
命题I.9:
一个角可以被分成两个相等的角。
(角平分线作法)
已知:
∠BAC
求作:
射线AF,使∠BAF=∠CAF
作法:
在AB上取一点D;
在AC上截取AE=AD(命题I.3),
连接DE;
在DE上作等边△DEF(命题I.1),以点A为端点,过点F作射线;
则射线AF平分∠BAC。
证明:
∵△DEF为等边三角形,
∴DE=EF=FD;
∵AD=AE,DF=EF,AF=AF,
∴∠BAF=∠CAF(命题I.8)。
证完
命题I.10:
一条线段可以被分为两条相等的线段。
(垂直平分线作法)
已知:
线段AB
求作:
点D,使AD=BD
作法:
在AB上作等边△ABC(命题I.1);
作射线l平分∠BAC(命题I.9),交AB于点D;
则D为AB中点。
证明:
∵射线l平分∠BAC,
∴∠ACD=∠BCD;
∵△ABC为等边三角形,
∴AB=AC=BC;
∵AC=BC,∠ACD=∠BCD,CD=CD,
∴AD=BD(命题I.4)。
证完
命题I.11:
过一条直线上的一个点,可以做该直线的垂线。
已知:
直线AB,C为AB上一点
求作:
线段FC,使FC⊥AB
作法:
在射线CA上取点D,在射线CB上截取CE=CD(命题I.3);
在DE上作等边△DEF(命题I.1),连接CF;
则FC⊥AB。
证明:
∵△DEF为等边三角形,
∴DE=EF=FD;
∵CD=CE,DF=EF,CF=CF,
∴∠DCF=∠ECF(命题I.8);
∵∠DCF与∠ECF互为邻角,
∴∠DCF与∠ECF皆为直角(定义I.10);
∴FC⊥AB(定义I.10)。
证完
命题I.12:
过直线外一点可以作直线的垂线。
已知:
直线AB,直线外有一点C
求作:
线段CF,使CF⊥AB
作法:
在AB上取一点D;
以C为圆心,CD为半径作圆,⊙C交AB于另一点E;
作DE中点F(命题I.10),连接CF;
则CF⊥AB。
证明:
连接CD、CE;
∵⊙C中,C为圆心,D、E为⊙C上两点,
∴CD=CE(定义I.15、I.16);
∵F为DE中点,
∴DF=EF;
∵CD=CE,DF=EF,CF=CF,
∴∠DFC=∠EFC(命题I.8);
∵∠DFC与∠EFC互为邻角,
∴∠DFC与∠EFC皆为直角(定义I.10);
∴CF⊥AB(定义I.10)。
证完
命题I.13:
两条直线相交,邻角是两个直角,
或相加等于180°。
(互补)
已知:
射线BA端点B在直线CD上,形成∠CBA、∠ABD,
1、∠CBA=∠ABD
求证:
∠CBA、∠ABD为直角
证明:
∵∠CBA=∠ABD且∠CBA与∠ABD互为邻角,
∴∠CBA与∠ABD皆为直角(定义I.10);
2、∠CBA≠∠ABD
求证:
∠CBA、∠ABD之和为180°
证明:
过点D作ED⊥AB(命题I.11),
∴∠EBD与∠EBC皆为直角(定义I.10);
∵∠EBD=∠ABE+∠ABD,
∴∠EBD+∠EBC=∠EBC+∠ABE+∠ABD(公理I.2);
同理可得∠ABD+∠ABC=∠EBC+∠ABE+∠ABD;
∴∠ABD+∠CBA=∠EBD+∠EBC(公理I.1)=180°。
证完
(注:
原著中,“两个直角之和”出现较多,后面的命题用到公设I.4即是这个原因。
本文中,作者全用“180°”将它们替换,并补充公设“两直角之和等于180°”。
)
命题I.14:
两条不在一边的射线过任意直线上的一点,所构成的邻角若等于180°,那么这两条射线构成一条直线。
已知:
直线AB上点B为射线BC、BE端点,BC、BE在AB异侧,∠ABC、∠ABD之和为180°
求证:
BC、BD在同一条直线上
证明:
*假设BC、BD不在同一条直线上,而存在BE,
BC、BE在同一条直线上,
∴∠ABE+∠CBA=180°(命题I.13);
∴∠ABE+∠ABC=∠ABC+∠ABD(公理I.1,公设I.4);
∴∠ABE=∠ABD(公理I.3);
由图可知,小角等于大角,这不可能(公理I.5);
∴BC、BE不在同一条直线上;
∴BC、BD在同一条直线上。
证完
命题I.15:
两条直线相交,对顶角相等。
已知:
直线AB、CD交于点E
求证:
∠DEB=∠AEC,∠CEB=∠AED
证明:
∵射线ED的端点E在AB上,
形成∠AED、∠DEB,
∴∠AED+∠DEB=180°(命题I.13);
同理可得:
∠AED+∠AEC=180°;
∴∠AED+∠DEB=∠AED+∠AEC(公理I.1,公设I.4);
∴∠AEC=∠DEB(公理I.3);
同理可得∠CEB=∠AED。
证完
推论:
两条直线相交,在相交点形成的角等于360°(周角)。
命题I.16:
任意三角形,其任意一边的延长线所形成的外角大于任意不相邻的内角。
已知:
△ABC外,∠ACD为△ABC内
∠ACB外角
求证:
∠ACD>∠A,∠ACD>∠ABC
证明:
在AC上取点E使E平分AC(命题I.10);
连接BE,延长至点F,并使BE=FE(命题I.3);
连接FC,延长AC至点G;
∵AE=CE,∠AEB=∠CEF(命题I.15),BE=FE,
∴∠A=∠ECF(命题I.4);
∵∠ACD>∠ECF(公理I.5),
∴∠ACD>∠A(补充公理I.1);
同理可得∠BCG>∠ABC;
∵∠ACD=∠BCG(命题I.15),
∴∠ACD>∠ABC。
证完
(作者认为,若要严谨,最后应加一个“同理可得”,概述全部情况。
但在《几何原本》中,有的命题有,有的没有。
统一起见,作者全部省略。
)
命题I.17:
任意三角形中,其两个内角的和总小于180°。
已知:
△ABC
求证:
∠ACB+∠B<180°
证明:
延长BC至点D,得∠ACB外角∠ACD;
∴∠B<∠ACD(命题I.16);
∵∠ACB+∠ACD=180°(命题I.13),
∴∠ACB+∠B<180°(补充公理I.2)。
证完
命题I.18:
任意三角形中,大边一定对大角。
已知:
△ABC中,AB 求证: ∠C<∠ABC 证明: 在AC取点D,使AD=AB(命题I.3), 连接BD; ∴∠ABD=∠ADB(命题I.5); 由图可知,∠ADB为△BDC内∠BDC外角, ∴∠C<∠ADB(命题I.16); ∴∠C<∠ABD(补充公理I.1); ∵∠ABC=∠ABD+∠DBC, ∴∠C<∠ABC。 证完 命题I.19: 任意三角形中,大角总是对大边。 已知: △ABC中,∠B>∠C 求证: AC>AB 证明: *假设AC≤AB, 1、AC=AB, ∴∠B=∠C(命题I.5); 与已知不符,AC=AB不成立; 2、AC ∴∠B<∠C(命题I.18); 与已知不符,AC 综上,AC≤AB不成立; ∴AC>AB。 证完 命题I.20: 任意三角形中,任意两边之和大于第三边。 已知: △ABC 求证: AB+AC>BC 证明: 延长BA至D,使DA=CA(命题I.3), 连接DC; ∴∠D=∠ACD(命题I.5); ∵∠BCD=∠ACB+∠ACD, ∴∠D<∠BCD; ∴DB>BC(命题I.19); ∵DB=BA+DA,DA=AC, ∴AB+AC>BC(公理I.1、I.2)。 证完 命题I.21: 如果以三角形一边的两个端点向三角形以内引两条相交线,那么交点到两端点线段之和小于三角形余下两边之和,所夹角大于三角形同侧内角。 已知: △ABC内,线段DB、DC交于点D 求证: BD+CD 证明: 延长BD,交AC于点E; ∵AB+AE>BE(命题I.20), ∴AB+AC>BE+EC(补充公理I.2); 同理可得BE+EC>DB+DC; ∴BD+CD 由图可知,△EDC外,∠CDB为△EDC内∠EDC外角, ∴∠CDB>∠DEC(命题I.16); 同理可得∠DEC>∠A; ∴∠BDC>∠A。 证完 命题I.22: 用三条线段建一个三角形,必须满足任意两条线段大于第三条的条件。 已知: 线段a、b、c, a+b>c,b+c>a,a+c>b 求作: △ABC 作法: 作直线l,在l上截取 DB=a,BC=b,CE=c(命题I.3); 以B为圆心,BD为半径,作⊙B; 同理得⊙C,与⊙B相交于点A,连接AB、AC; 则得△ABC。 证明: ∵⊙B中,B为圆心,A、D为⊙B上两点, ∴BA=BD(定义I.15、I.16); ∴AB=a(公理I.1); 同理可得CA=c; ∵a+b>c,b+c>a,a+c>b, ∴△ABC成立(命题I.20)。 证完 (作者对此表示困惑,为什么要加这一句? ) 命题I.23: 给定一条直线与其上一点,可以作一个角等于已知角。 已知: A为直线AB上一点, ∠C为已知角 求作: ∠A,使其等于∠C 作法: 在∠C两边取点D、E, 连接DE; 用线段CD、DE、CE在AB上构造△AFG(命题I.23),其中AF=CD,AG=CE,FG=DE; 则得∠A,∠A=∠C。 证明: ∵AF=CD,AG=CE,FG=DE, ∴∠A=∠C(命题I.8)。 证完 命题I.24: 两三角形两条对应边相等,如果其中一个三角形对应夹角大于另一个,那么此三角形第三边也大于另一个。 已知: △ABC、△DEF中, AB=DE,AC=DF,∠A>∠D 求证: BC>EF 证明: 在DE上点D作∠EDG=∠A(命题I.23),DG=AC(命题I.3); ∴DG=DF(公理I.1); ∴∠DGF=∠DFG(命题I.5); ∵AB=DE,∠A=∠GDE,AC=DG, ∴BC=EG(命题I.4); 由图可知,∠DGF>∠EGF,∠EFG>∠DFG, ∴∠EFG>∠EGF(补充公理I.1); ∴EG>EF(命题I.19); ∴BC>EF(补充公理I.1)。 证完 命题I.25: 两三角形两条对应边相等,如果其中一个三角形第三边大于另一个,那么此三角形对应夹角也大于另一个。 已知: △ABC、△DEF中, AB=DE,AC=DF,BC>EF 求证: ∠A>∠D 证明: *假设∠A≤∠D, 1、∠A=∠D; ∵AB=DE,∠A=∠D,AC=DF, ∴BC=EF(命题I.4); 与已知不符,∠A=∠D不成立; 2、∠A<∠D; ∵AB=DE,∠A<∠D,AC=DF, ∴BC 与已知不符,∠A<∠D不成立; 综上,∠A≤∠D不成立; ∴∠A>∠D。 证完 命题I.26: 如果两个三角形有两个角与一条边对应相等,那么其余的对应边与角都相等。 ASA: 已知: △ABC、△DEF中, ∠B=∠E,BC=EF,∠ACB=∠F 求证: AB=DE,AC=DF,∠BAC=∠D 证明: *假设AB≠DE,AB>DE,在AB上截取BG=ED,连接GC; ∵GB=DE,∠B=∠E,BC=EF, ∴∠BGC=∠D(命题I.4); ∴∠BGC=∠A(公理I.1),由图可知,这不可能; ∴AB≠DE不成立,AB=DE; ∵AB=DE,∠B=∠E,BC=EF, ∴∠BAC=∠D,AC=DF(命题I.4)。 AAS: 已知: △ABC、△DEF中, ∠ACB=∠F,∠B=∠E,AB=DE 求证: AC=DF,BC=EF,∠BAC=∠D 证明: *假设BC≠EF,BC>EF,在BC上截取BH=EF,连接AH; ∵AB=DE,∠B=∠E,BH=EF, ∴∠BHA=∠F(命题I.4); ∴∠BHA=∠C(公理I.1),由图可知,这不可能; ∴BC≠EF不成立,BC=EF; ∵AB=DE,∠B=∠E,BC=EF, ∴∠BAC=∠D,AC=DF(命题I.4)。 证完 命题I.27: 如果一条直线与另外两条直线相交,所形成的内错角相等,那么这两条直线平行。 已知: 直线EF与直线AB、CD相交,形成内错角∠AEF=∠DFE 求证: AB∥CD 证明: *假设直线AB与CD不相互平行,则两直线必相交(定义I.23), 设其相交于直线EF右侧点G; ∠AEF为△GFE内∠GFE外角, 而∠AEF=∠GFE,这不可能(命题I.16); 同理可得两直线不可能相交于EF左侧; ∴AB∥CD(定义I.23)。 证完 命题I.28: 一条直线与两条直线相交,如果所形成的同位角相等,或同旁内角之和为180°,那么两直线平行。 同位角相等,两直线平行: 已知: 直线EF交直线AB、CD于点G、H, 形成同位角∠EGB=∠GHD 求证: AB∥CD 证明: ∵∠EGB=∠AGH(命题I.15), ∴∠AGH=∠GHD(公理I.1); ∴AB∥CD(命题I.27)。 同旁内角互补,两直线平行: 已知: 直线EF交直线AB、CD于点G、H, 形成同旁内角∠HGB+∠GHD=180° 求证: AB∥CD 证明: ∵∠AGH+∠BGH=180°(命题I.13)=∠HGB+∠GHD, ∴∠AGH=∠GHD(公理I.3); ∴AB∥CD(命题I.27)。 证完 命题I.29: 一条直线与两条平行线相交,所形成内错角相等,同位角相等,同旁内角相加等于180°。 已知: 直线EF交直线AB、CD于点G、H,AB∥CD 求证: 形成内错角∠AGH=∠GHD,同位角∠EGB=∠GHD,同旁内角∠HGB+∠GHD=180° 证明: *假设∠AGH≠∠GHD,∠AGH>∠GHD; ∵∠AGH+∠BGH=180°(命题I.13), ∴∠GHD+∠BGH<180°(补充公理I.2),与已知不符(公设I.5); ∴∠AGH≠∠GHD不成立,∠AGH=∠GHD; ∵∠EGB=∠AGH(命题I.15), ∴∠EGB=∠GHD(公理I.1); ∵∠AGH=∠GHD, ∴∠HGB+∠GHD=∠AGH+∠BGH=180°(公理I.2,命题I.13)。 证完 命题I.30: 平行于同一条直线的两条直线平行。 已知: AB∥EF,CD∥EF 求证: AB∥CD 证明: 作直线l交AB、EF、CD于 点G、H、K; ∵AB∥EF, ∴内错角∠AGH=∠GHF(命题I.29); ∵CD∥EF, ∴同位角∠HKD=∠GHF(命题I.29); ∴∠AGK=∠GKD(公理I.1); ∴AB∥CD(命题I.27)。 证完 命题I.31: 过直线外一点可以作一条直线的平行线。 已知: 直线BC外有一点A 求作: 过点A的直线EF,使EF∥BC 作法: 在直线BC上取一点D,连接AD; 作∠DAE=∠ADC(命题I.23),延长EA得直线EF; 则EF∥BC。 证明: ∵∠DAE=∠ADC, ∴EF∥BC(命题I.27)。 证完 命题I.32: 延长三角形任意一边所形成的外角,等于不相邻两内角之和;三角形三个内角之和等于180°。 已知: △ABC外,∠ACD为 △ABC内∠ACB外角 求证: ∠ACD=∠A+∠B, ∠ACB+∠A+∠B=180° 证明: 作CE∥AB(命题I.31); ∴形成内错角∠A=∠ACE,同位角∠B=∠DCE(命题I.29); ∵∠ACD=∠ACE+∠DCE, ∴∠ACD=∠A+∠B(公理I.1); ∵∠ACB+∠ACD=180°(命题I.13), ∴∠ACB+∠A+∠B=180°(公理I.1)。 证完 命题I.33: 一组对边平行且相等的四边形的另一组对边也平行且相
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