北师版七年级数学下册第4章 全章热门考点整合应用.docx
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北师版七年级数学下册第4章全章热门考点整合应用
全章热门考点整合应用
名师点金:
本章主要内容是三角形及相关概念,三角形的分类,全等三角形的判定与性质,题型涉及选择题、填空题、解答题,更多的是渗透到其他内容之中,是各类考试命题的重要内容;本章的考点可概括为:
四个概念,一个关系,一个性质,三个判定,两个技巧,两种思想.
四个概念
与三角形有关概念
1.如图,
(1)图中共有几个三角形?
请分别表示出来.
(2)以∠AEC为内角的三角形有哪些?
(3)以∠ADC为内角的三角形有哪些?
(4)以BD为边的三角形有哪些?
(第1题)
三角形中重要线段
2.如图,在△ABC中,∠BAC=80°,AD⊥BC于点D,AE平分∠DAC,∠B=60°,求∠DAE的度数.
(第2题)
全等图形
3.下列图形中,是全等图形的有( )
(第3题)
A.2组B.3组C.4组D.5组
全等三角形
4.【中考·杭州】如图,在△ABC中,已知AB=AC,AD平分∠BAC,点M,N分别在AB,AC边上,AM=2MB,AN=2NC,试说明:
DM=DN.
(第4题)
一个关系——三角形的三边关系
5.A,B,C,D四个工艺品厂的位置如图所示,四个点分别表示四个厂的位置,准备修建一个公共展厅来展销这四个厂家的产品,展厅建在何处,才能使四个工艺品厂到公共展厅的距离之和最短,并说明理由.
(第5题)
一个性质——全等三角形的性质
6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,且AC=BC=4cm.已知△BCD≌△ACE,求四边形AECD的面积.
(第6题)
三个判定
SSS
7.如图,已知AB=DC,AD=BC,O是DB的中点,过点O的直线分别交DA和BC的延长线于点E,F.
试说明:
∠E=∠F.
(第7题)
ASA(或AAS)
8.【中考·西安】如图,在△ABC中,AB=AC,作AD⊥AB交BC的延长线于点D,作AE∥BD,CE⊥AC,且AE,CE相交于点E.试说明:
AD=CE.
(第8题)
SAS
9.如图,公园有一条“Z”字形道路,其中AB∥CD,在E,M,F处各有一个小石凳,且BE=CF,M为BC的中点,三个小石凳是否在一条直线上?
说出你推断的理由.
(第9题)
两个技巧
说明线段或角相等的方法
10.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,∠ABC的平分线交AC于点D,过点C作BD的垂线交BD的延长线于点E,交BA的延长线于点F.试说明:
(1)BF=BC;
(2)BD=2CE.
(第10题)
添加辅助线的方法
11.如图,AB=DC,∠A=∠D.试说明:
∠ABC=∠DCB.
(第11题)
两种思想
方程思想
12.如图,在△ABC中,∠BAC=4∠ABC=4∠C,BD⊥AC交CA的延长线于点D,求∠ABD的度数.
(第12题)
转化思想
13.农科所有一块五边形的试验田如图所示,已知在五边形ABCDE中,∠ABC=∠AED=90°,AB=CD=AE=BC+DE=20m,求这块试验田的面积.
(第13题)
答案
1.解:
(1)图中有8个三角形,分别是△ABC,△ABD,△AEO,△AEC,△ADC,△AOC,△ODC,△EBC.
(2)以∠AEC为内角的三角形有△AEO,△AEC.
(3)以∠ADC为内角的三角形有△ADC,△ODC.
(4)以BD为边的三角形只有△ABD.
点拨:
用字母表示一个三角形时,不要漏写符号“△”.在复杂图形中数三角形个数的方法:
(1)按图形形成的过程去数(即重新画一遍图形,按照三角形形成的先后顺序去数);
(2)按组成三角形的图形个数去数;(3)可从图中的某一条线段开始沿着一定方向去数;(4)先固定一个顶点,不断变换另外两个顶点来数.
2.解:
因为AD⊥BC,
所以∠BDA=90°.
因为∠B=60°,
所以∠BAD=180°-90°-60°=30°.
因为∠BAC=80°,
所以∠DAC=∠BAC-∠BAD=80°-30°=50°.
因为AE平分∠DAC,
所以∠DAE=
∠DAC=25°.
3.C
4.解:
因为AM=2MB,AN=2NC,
所以AM=
AB,AN=
AC.
又因为AB=AC,所以AM=AN.
因为AD平分∠BAC,
所以∠MAD=∠NAD.
又因为AD=AD,
所以△AMD≌△AND(SAS).
所以DM=DN.
(第5题)
5.解:
如图,连接AC,BD,交于点O,公共展厅应建在O处.理由如下:
在平面上任取一点P,P与O不重合,连接PA,PB,PC,PD,
则PA+PC>AC,PB+PD>BD,
即PA+PC+PB+PD>AC+BD=AO+BO+CO+DO,
所以建在点O处,四个工艺品厂到公共展厅的距离之和最短.
点拨:
将实际问题转化为数学模型,利用数学知识进行解决.
6.解:
因为△BCD≌△ACE,所以S△BCD=S△ACE.
又因为S四边形AECD=S△ACE+S△ACD,
所以S四边形AECD=S△BCD+S△ACD=S△ABC=
×4×4=8(cm2).
点拨:
线段AC把四边形AECD分成两部分,我们把△ACE移至△BCD的位置,使之与△ACD恰好构成△ACB,进而可求面积.
7.解:
方法一:
在△ABD和△CDB中,
所以△ABD≌△CDB(SSS).
所以∠1=∠2.所以AD∥BC.所以∠E=∠F.
方法二:
在△ABD和△CDB中,
所以△ABD≌△CDB(SSS).所以∠1=∠2.
在△EOD和△FOB中,
所以△EOD≌△FOB(ASA).所以∠E=∠F.
点拨:
说明线段相等或角相等时,经常考虑利用三角形全等,再根据全等三角形的对应边相等、对应角相等得出结论.
8.解:
因为AD⊥AB,AC⊥CE,
所以∠BAD=∠ACE=90°.
因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB.
因为AE∥BD,所以∠CAE=∠ACB.
所以∠ABC=∠CAE.
又因为BA=AC,
所以△ABD≌△CAE(ASA).所以AD=CE.
(第9题)
9.解:
三个小石凳在一条直线上.
理由如下:
如图,连接EM,MF.
因为M为BC的中点,
所以BM=MC.
又因为AB∥CD,
所以∠EBM=∠FCM.
在△BEM和△CFM中,
所以△BEM≌△CFM(SAS).
所以∠BME=∠CMF.
又∠BME+∠CME=180°,
所以∠CMF+∠CME=180°.
所以E,M,F在一条直线上,即三个小石凳在一条直线上.
10.解:
(1)因为BE平分∠ABC,
所以∠FBE=∠CBE.
因为CE⊥BE,所以∠FEB=∠CEB=90°.
又因为BE=BE,
所以△FBE≌△CBE(ASA).所以BF=BC.
(2)因为∠BAC=∠FAC=90°,∠FEB=90°,
所以∠ABD+∠F=∠ACF+∠F=90°.
所以∠ABD=∠ACF.
又因为AB=AC,∠BAD=∠CAF,
所以△BDA≌△CFA(ASA).所以BD=CF.
又因为△FBE≌△CBE,
所以EF=EC,即CF=2EC.所以BD=2CE.
点拨:
解答第
(2)小题时,BD与CE不在同一条直线上,也不在同一个三角形中,要说明它们成倍数关系,就要联想到将其中一条线段转化到与另一条线段有关的直线上.
(第11题)
11.解:
如图,分别取AD,BC的中点N,M,连接BN,CN,MN,则有AN=ND,BM=MC.
在△ABN和△DCN中,
所以△ABN≌△DCN(SAS).
所以∠ABN=∠DCN,NB=NC.
在△NBM和△NCM中,
所以△NBM≌△NCM(SSS).
所以∠NBM=∠NCM.
所以∠NBM+∠ABN=∠NCM+∠DCN.
所以∠ABC=∠DCB.
点拨:
说明三角形全等时常需添加适当的辅助线,辅助线的添加以能创造已知条件为上策.如本题取AD,BC的中点就是把中点作为已知条件,这也是几何说明中的一种常用技巧.
12.解:
设∠C=x°,则∠ABC=x°,∠BAC=4x°.
在△ABC中,x+x+4x=180,解得x=30.
所以∠BAC=120°.所以∠DAB=60°.
因为BD⊥AC,
所以∠ABD=90°-∠DAB=90°-60°=30°.
(第13题)
13.解:
如图,延长DE至点F,使EF=BC,连接AC,AD,AF.易得CD=FD.
在△ABC与△AEF中,
所以△ABC≌△AEF(SAS).
所以AC=AF.
在△ACD与△AFD中,
所以△ACD≌△AFD(SSS).
所以五边形ABCDE的面积是2S△ADF=2×
·DF·AE=2×
×20×20=400(m2).
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