高考数学一轮复习第6章数列专题研究2数列的求和练习理11024240.docx
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高考数学一轮复习第6章数列专题研究2数列的求和练习理11024240
专题研究2数列的求和
第一次作业
1.数列{1+2n-1}的前n项和为( )
A.1+2n B.2+2n
C.n+2n-1D.n+2+2n
答案 C
2.数列{(-1)n(2n-1)}的前2018项和S2018等于( )
A.-2016B.2018
C.-2015D.2015
答案 B
解析 S2018=-1+3-5+7+…-(2×2017-1)+(2×2018-1)=2+2+…+2,1009个2相加=2018.故选B.
3.在数列{an}中,已知对任意n∈N*,a1+a2+a3+…+an=3n-1,则a12+a22+a32+…+an2等于( )
A.(3n-1)2B.(9n-1)
C.9n-1D.(3n-1)
答案 B
解析 因为a1+a2+…+an=3n-1,所以a1+a2+…+an-1=3n-1-1(n≥2).则n≥2时,an=2·3n-1.
当n=1时,a1=3-1=2,适合上式,所以an=2·3n-1(n∈N*).
则数列{an2}是首项为4,公比为9的等比数列,故选B.
4.数列{an},{bn}满足anbn=1,an=n2+3n+2,则{bn}的前10项之和为( )
A.B.
C.D.
答案 B
解析 bn===-,
S10=b1+b2+b3+…+b10=-+-+-+…+-=-=.
5.在数列{an}中,an=2n+1,则++…+=( )
A.1+B.1-2n
C.1-D.1+2n
答案 C
6.已知数列{an}的通项公式是an=,其前n项和Sn=,则项数n等于( )
A.13B.10
C.9D.6
答案 D
解析 ∵an==1-,∴Sn=n-(++…+)=n-1+.
而=5+,∴n-1+=5+.∴n=6.
7.已知等差数列{an}的公差为d,且an≠0,d≠0,则++…+可化简为( )
A.B.
C.D.
答案 B
解析 ∵=(-),∴原式=(-+-+…+-)
=(-)=,选B.
8.(2017·衡水中学调研卷)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=6,S5=,则数列{}的前n项和为( )
A.1-B.2-
C.2-D.2-
答案 B
解析 设等差数列{an}的公差为d,则Sn=na1+d,因为S3=6,S5=,所以解得所以an=n+1,=,设数列{}的前n项和为Tn,则Tn=+++…++,Tn=+++…++,两项相减得Tn=+(++…+)-=+(1-)-,所以Tn=2-.
9.Sn=++…+=________.
答案
解析 通项an===(-),∴Sn=(1-+-+…+-)=(1-)=.
10.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-6n,则{|an|}的前n项和Tn=________.
答案
解析 由Sn=n2-6n,得{an}是等差数列,且首项为-5,公差为2.
∴an=-5+(n-1)×2=2n-7.
∴n≤3时,an<0;n>3时,an>0.
∴Tn=
11.(2017·衡水中学调研)已知数列{an}满足a1=1,an+1·an=2n(n∈N*),则S2016=________.
答案 3×21008-3
解析 依题意,得an+1·an=2n,an+1·an+2=2n+1,则=2,即=2,
所以数列a1,a3,a5,…,a2k-1,…是以a1=1为首项,2为公比的等比数列;数列a2,a4,a6,…,a2k,…是以a2=2为首项,2为公比的等比数列,则
S2016=(a1+a3+a5+…+a2015)+(a2+a4+a6+…+a2016)=+=3×21008-3.
12.(2018·深圳调研二)数列{an}是公差为d(d≠0)的等差数列,Sn为其前n项和,a1,a2,a5成等比数列.
(1)证明:
S1,S3,S9成等比数列;
(2)设a1=1,bn=a2n,求数列{bn}的前n项和Tn.
答案
(1)略
(2)2n+2-n-4
解析
(1)证明:
由题意有a22=a1·a5,
即(a1+d)2=a1·(a1+4d),解得d=2a1.
又∵S1=a1,S3=3a1+3d=9a1,
S9=9a1+36d=81a1,
∴S32=S1·S9.又∵S1,S3,S9均不为零,
∴S1,S3,S9成等比数列.
(2)由a1=1得d=2a1=2,则an=2n-1,则
Tn=a2+a22+a23+…+a2n
=(2×2-1)+(2×22-1)+(2×23-1)+…+(2×2n-1)
=2×(2+22+23+…+2n)-n=2n+2-n-4
13.(2017·课标全国Ⅲ,文)设数列{an}满足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{}的前n项和.
答案
(1)an=
(2)
解析
(1)因为a1+3a2+…+(2n-1)an=2n,故当n≥2时,
a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1).
两式相减得(2n-1)an=2,所以an=(n≥2).
又由题设可得a1=2,从而{an}的通项公式为an=.
(2)记{}的前n项和为Sn.由
(1)知==-.
则Sn=-+-+…+-=.
14.已知数列{an}为等比数列,Tn=na1+(n-1)a2+…+an,且T1=1,T2=4.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{Tn}的通项公式.
答案
(1)an=2n-1
(2)Tn=2n+1-n-2
解析
(1)T1=a1=1,
T2=2a1+a2=2+a2=4,∴a2=2.
∴等比数列{an}的公比q==2.
∴an=2n-1.
(2)方法一:
Tn=n+(n-1)·2+(n-2)·22+…+1·2n-1,①
2Tn=n·2+(n-1)22+(n-2)23+…+1·2n,②
②-①,得
Tn=-n+2+22+…+2n-1+2n=-n+
=-n+2n+1-2=2n+1-n-2.
方法二:
设Sn=a1+a2+…+an,
∴Sn=1+2+…+2n-1=2n-1.
∴Tn=na1+(n-1)a2+…+2an-1+an
=a1+(a1+a2)+…+(a1+a2+…+an)
=S1+S2+…+Sn=(2-1)+(22-1)+…+(2n-1)
=(2+22+…+2n)-n=-n
=2n+1-n-2.
15.(2018·太原二模)已知数列{an}的前n项和Sn=2n+1-2,数列{bn}满足bn=an+an+1(n∈N*).
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)若cn=log2an(n∈N*),求数列{bn·cn}的前n项和Tn.
答案
(1)3×2n
(2)3(n-1)×2n+1+6
解析
(1)当n=1时,a1=S1=2,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n,
又a1=2满足上式,
∴an=2n(n∈N*),
∴bn=an+an+1=3×2n.
(2)由
(1)得an=2n,bn=3×2n,
∴cn=log2an=n,∴bn·cn=3n×2n,
∴Tn=3×(1×2+2×22+3×23+…+n×2n),①
①×2得2Tn=3×(1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1),②
①-②得-Tn=3×(2+22+…+2n-n×2n+1)=3×[(1-n)×2n+1-2],∴Tn=3(n-1)×2n+1+6.
1.(2016·天津,文)已知{an}是等比数列,前n项和为Sn(n∈N*),且-=,S6=63.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若对任意的n∈N*,bn是log2an和log2an+1的等差中项,求数列{(-1)nbn2}的前2n项和.
答案 解析
(1)设数列{an}的公比为q.由已知,有-=,解得q=2,或q=-1.又由S6=a1·=63,知q≠-1,所以a1·=63,得a1=1.所以an=2n-1.
(2)由题意,得bn=(log2an+log2an+1)=(log22n-1+log22n)=n-,即{bn}是首项为,公差为1的等差数列.
设数列{(-1)nbn2}的前n项和为Tn,则
T2n=(-b12+b22)+(-b32+b42)+…+(-b2n-12+b2n2)
=b1+b2+b3+b4+…+b2n-1+b2n
=
=2n2.
第二次作业
1.数列1,(1+2),(1+2+22),…,(1+2+22+…+2n-1),…的前n项之和为( )
A.2n-1 B.n·2n-n
C.2n+1-nD.2n+1-n-2
答案 D
解析 记an=1+2+22+…+2n-1=2n-1,∴Sn=-n=2n+1-2-n.
2.(2017·宁夏银川一中模拟)已知数列2008,2009,1,-2008,-2009,….这个数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前2018项之和S2018等于( )
A.2008B.4017
C.1D.0
答案 B
解析 由已知得an=an-1+an+1(n≥2),∴an+1=an-an-1.
故数列的前8项依次为2008,2009,1,-2008,-2009,-1,2008,2009.
由此可知该数列为周期数列,周期为6,且S6=0.
∴2018=6×336+2,∴S2018=S2=2008+2009=4017.
3.(2015·江苏)数列{an}满足a1=1,且an+1-an=n+1(n∈N*),则数列{}的前10项和为________.
答案
解析 由题意得:
an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=n+n-1+…+2+1=,所以=2(-),Sn=2(1-)=,S10=.
4.(2018·衡水中学调研卷)数列{an}的通项公式an=ncos+1,前n项和为Sn,则S2020=________.
答案 3030
解析 ∵an=ncos+1,∴a1+a2+a3+a4=6,a5+a6+a7+a8=6,…,a4k+1+a4k+2+a4k+3+a4k+4=6,k∈N,∴S2020=505×(a1+a2+a3+a4)=505×6=3030.
5.(2018·江苏苏州调研)已知数列{an}满足an+1=an(1-an+1),a1=1,数列{bn}满足bn=an·an+1,则数列{bn}的前10项的和S10=________.
答案
解析 由an+1=an(1-an+1)得-=1,因此数列{}是以=1为首项,1为公差的等差数列,所以=n,即an=,bn=anan+1==-,所以S10=b1+b2+…+b10=(1-)+(-)+…+(-)=1-=.
6.(2013·湖南)设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=(-1)nan-(n∈N*),则
(1)a3=________;
(2)S1+S2+…+S100=________.
答案
(1)-
(2)(-1)
解析
(1)因为Sn=(-1)nan-,
则S3=-a3-,S4=a4-,解得a3=-.
(2)当n为偶数时,Sn=an-,当n为奇数时,Sn=-an-,可得当n为奇数时an=-,
又S1+S2+…+S100=(-a1-)+(a2-)+…+(-a99-)+(a100-)
=-a1+a2+…-a99+a100-(++…++)
=S100-2(a1+a3+…+a99)-(1-)
=S101-a101-2(---…-)-(1-)
=--(-)+2×-(1-)=-(1-)=(-1).
7.(2016·北京,文)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和.
答案
(1)an=2n-1
(2)Sn=n2+
解析
(1)等比数列{bn}的公比q===3,
所以b1==1,b4=b3q=27.∴bn=3n-1.
设等差数列{an}的公差为d.
因为a1=b1=1,a14=b4=27,
所以1+13d=27,即d=2.
所以an=2n-1(n=1,2,3,…).
(2)由
(1)知,an=2n-1,bn=3n-1,
因此cn=an+bn=2n-1+3n-1.
从而数列{cn}的前n项和
Sn=1+3+…+(2n-1)+1+3+…+3n-1=+=n2+.
8.(2018·安徽江南十校联考)已知Sn是数列{an}的前n项和,且满足Sn-2an=n-4.
(1)证明:
{Sn-n+2}为等比数列;
(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.
答案
(1)略
(2)
解析
(1)证明:
当n=1时,a1=S1,S1-2a1=1-4,解得a1=3.
由Sn-2an=n-4可得Sn-2(Sn-Sn-1)=n-4(n≥2),
即Sn=2Sn-1-n+4,所以Sn-n+2=2[Sn-1-(n-1)+2].
因为S1-1+2=4,所以{Sn-n+2}是首项为4,公比为2的等比数列.
(2)由
(1)知Sn-n+2=2n+1,所以Sn=2n+1+n-2,
于是Tn=(22+23+…+2n+1)+(1+2+…+n)-2n=+-2n=.
9.(2017·重庆抽测二)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,an+1=Sn(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=(n-1)an,求数列{bn}的前n项和Tn.
答案
(1)
(2)(n-2)2n+2(n∈N*)
解析
(1)∵an+1=Sn(n∈N*),
∴Sn+1-Sn=Sn,∴=2.
又S1=a1=2,
∴数列{Sn}是首项为2,公比为2的等比数列,
∴Sn=2n(n∈N*).
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1(n≥2),
∴an=
(2)Tn=0×a1+1×a2+2×a3+…+(n-1)×an,
当n=1时,T1=0.
当n≥2时,
Tn=1×2+2×22+3×23+…+(n-1)×2n-1,①
2Tn=1×22+2×23+3×24+…+(n-2)2n-1+(n-1)2n,②
①-②,得-Tn=2+22+23+…+2n-1-(n-1)2n
=-(n-1)2n
=(2-n)2n-2.
∴Tn=(n-2)2n+2(n≥2).
又T1=0也满足上式,
∴Tn=(n-2)2n+2(n∈N*).
10.(2015·课标全国Ⅰ)Sn为数列{an}的前n项和,已知an>0,an2+2an=4Sn+3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和.
答案
(1)an=2n+1
(2)Tn=
解析
(1)由an2+2an=4Sn+3,可知an+12+2an+1=4Sn+1+3.
可得an+12-an2+2(an+1-an)=4an+1,即
2(an+1+an)=an+12-an2=(an+1+an)(an+1-an).
由于an>0,可得an+1-an=2.
又a12+2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去)或a1=3.
所以{an}是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为an=2n+1.
(2)由an=2n+1可知
bn===(-).
设数列{bn}的前n项和为Tn,则
Tn=b1+b2+…+bn
=[(-)+(-)+…+(-)]
=.
11.数列{an}满足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1)(n∈N*).
(1)证明:
数列{}是等差数列;
(2)设bn=3n·,求数列{bn}的前n项和Sn.
答案
(1)略
(2)Sn=
解析
(1)证明:
由题意,得=+1,即-=1,
所以{}是以=1为首项,1为公差的等差数列.
(2)解:
由
(1)得=1+(n-1)·1=n,所以an=n2.
所以bn=n·3n.
Sn=1×31+2×32+3×33+…+n·3n,①
3Sn=1×32+2×33+…+(n-1)·3n+n·3n+1.②
①-②得-2Sn=31+32+…+3n-n·3n+1=-n·3n+1=.
所以Sn=.
1.(2015·安徽)已知数列{an}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Sn为数列{an}的前n项和,bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
答案
(1)an=2n-1
(2)Tn=1-
解析
(1)由题设知,a1·a4=a2·a3=8,
又a1+a4=9,可解得或(舍去).
由a4=a1q3得公比为q=2,故an=a1qn-1=2n-1.
(2)Sn==2n-1,又bn===-,
所以Tn=b1+b2+…+bn=(-)+(-)+…+(-)=-=1-.
2.(2016·浙江,文)设数列{an}的前n项和为Sn.已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*.
(1)求通项公式an;
(2)求数列{|an-n-2|}的前n项和.
答案
(1)an=3n-1
(2)
解析
(1)由题意知则
又当n≥2时,由
an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an,
得an+1=3an.
所以,数列{an}的通项公式为an=3n-1,n∈N*.
(2)设bn=|3n-1-n-2|,n∈N*,b1=2,b2=1.
当n≥3时,由于3n-1>n+2,故bn=3n-1-n-2,n≥3.
设数列{bn}的前n项和为Tn,则T1=2,T2=3.
当n≥3时,
Tn=3+-=,
所以Tn=
精美句子
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幸福是“先天下之忧而忧,后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死,留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩:
从秋叶的飘零中,我们读出了季节的变换;从归雁的行列中,我读出了集体的力量;从冰雪的消融中,我们读出了春天的脚步;从穿石的滴水中,我们读出了坚持的可贵;从蜂蜜的浓香中,我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子,如果害怕埋没,那它永远不能发芽。
鲜花,如果害怕凋谢,那它永远不能开放。
矿石,如果害怕焚烧(熔炉),那它永远不能成钢(炼成金子)。
蜡烛,如果害怕熄灭(燃烧),那它永远不能发光。
航船,如果害怕风浪,那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花,当你孤芳自赏时,天地便小了。
井底的蛙,当你自我欢唱时,视野便窄了。
笼中的鸟,当你安于供养时,自由便没了。
山中的石!
当你背靠群峰时,意志就坚了。
水中的萍!
当你随波逐流后,根基就没了。
空中的鸟!
当你展翅蓝天中,宇宙就大了。
空中的雁!
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地下的煤!
你燃烧自己后,贡献就大了
6、朋友是什么?
朋友是快乐日子里的一把吉它,尽情地为你弹奏生活的愉悦;朋友是忧伤日子里的一股春风,轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师,热情的将你引向阳光的地带;朋友是失败苦闷中的一盏明灯,默默地为你驱赶心灵的阴霾。
7、一粒种子,可以无声无息地在泥土里腐烂掉,也可以长成参天的大树。
一块铀块,可以平庸无奇地在石头里沉睡下去,也可以产生惊天动地的力量。
一个人,可以碌碌无为地在世上厮混日子,也可以让生命发出耀眼的光芒。
8、青春是一首歌,她拨动着我们年轻的心弦;青春是一团火,她点燃了我们沸腾的热血; 青春是一面旗帜,她召唤着我们勇敢前行;青春是一本教科书,她启迪着我们的智慧和心灵。
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