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图像去噪中的小波变换
图像去噪中的小波变换
摘要--我们描述两个新的近似数字实现的数学转换,即,脊波变换[2]和小波变换[6],[5]。
这一实现提供精确的重建、稳定性与扰动,缓解的实现,和较低的计算复杂度。
一个重要工具是近似计算傅氏域数字拉冬变换。
下面将介绍一个非常简单的傅里叶空间插值,此空间在基于同心轴几何的伪极性采样集的rectopolar网格中采取笛卡儿样本和收益率样本。
虽然此插值法比较粗略,但它的视觉效果非常好。
脊波变换适用于拉冬变换这一特殊的过完备的小波金字塔,小波分析在频域得到很好的支持。
小波变换以脊波变换为一个组件步骤,使用滤波器组的多孔小波滤波器实现了小波的部分波段。
我们的理念是,转换应该是过完备的,而不是临界采样。
将数字转换运用到某些标准的嵌入了白噪声的图像去噪中。
在测试报告中,简单的阈值曲波系数与基于小波的“艺术状态”这一技术相比是很有优势的,包括阈值的下降或抽取小波转换,也包括树型贝叶斯后验平均方法。
此外,曲波重建比小波重构表现出更高的感知质量,提供更清晰的视觉图像,特别是高质量的边缘和微弱的复苏直线和曲线特性。
小波和脊波变换的现有理论表明这些新方法在特定的图像重建问题上优于小波法。
本文所给出的实证结果有很好的一致性。
索引词——曲波,离散小波变换、傅立叶变换,过滤、淡水舱,拉冬转换,脊波,阈值规则,小波。
1.引言
a.小波图像去噪
在过去的十年里,已经有大量的爱好者研究信号和图像的小波去噪方法。
发表在科学和工程学科的期刊中的数百篇论文中,基于小波的工具和思想被广泛地提出和研究。
最初的成果包括正交小波系数阈值的缺点数据,其次是重建像这样非常简单的想法。
后来发现知觉质量在本质上的改善可以通过基于阈值的方法抽取小波变换平移不变来获取。
最近,“树型”小波去噪方法在图像去噪中有所突破,利用树结构的小波系数和所谓的亲子相关性存在于图像的小波系数与边缘中。
同时,许多研究人员已经尝试基本方案的改变——修改阈值函数,依赖于强度阈值,阈值、自适应块阈值的选择,贝叶斯定理条件期望的非线性等等。
研究人员的大量成果已经形成一种文献体系,总体而言,通过结合序列的改进,展示了实质性的进展。
b.有前景的新方法
在本文中,我们报告的关于图像去噪的最初的努力基于一个最近推出转换家族——脊波和小波变换——已经被提议作为小波表示的图像数据替代品。
接下来将被介绍的这些转换,,由于是新近的内容所以基本的理论仍待发展。
计算这些新的转换的软件仍处于成型阶段,各种权衡和选择仍在困惑中解决。
虽然我们只是完成了最初的软件开发,虽然我们在实现和微调上花费了时间和精力,与以小波实现的图像去噪的成果相比这些都是微乎其微的,我们已经为取得的成功的程度感到惊讶。
我们在本文给出的新方法,在早期的发展状态,已经可以与成熟的小波图像去噪方法相媲美甚至更优于之。
具体来说,在整个潜在的噪音水平范围内,我们在图像标准上表现出更高的PSNR值如芭芭拉和蕾娜。
(网站上提供更多的例子。
)对比中考虑了标准小波方法,如标准阈值抽取小波转换,阈值的小波变换,贝叶斯基于树的方法。
当然论证中提供了几个例子本身是很有限的,目前我们的论证与曲波去噪的发展理论是一致的,这预言了在克服了边缘效应的图像恢复中,曲波将比小波方法的重建获得显著较小的渐近均方误差。
我们研究的图像尺寸较小,所以,渐近理论不会完全“启动”;不过,在这些有限的图像大小上我们已经注意到在小波去噪中的新方法得到了显著的改善。
结合本文中的实验和已研究出的理论,我们得出结论,新方法提供了一个高程度保证,有希望解决小波图像去噪的限制的问题。
c.新的转换
这些脊波和曲波变换的发展有望打破小波图像去噪固有的限制。
这种限制来众所周知的事实,即二维图像的小波变换即使在合适的尺寸上也会在图像的重要边缘上表现出大的小波系数,所以,在具有大的小波系数的图像中边缘效应会大范围的出现。
而这种效果是相当有趣的,它意味着为了正确地重建图像的边缘许多小波系数是需要的。
这么多的系数需要估计,去噪面临一定的困难。
还有,由于著名的统计学原理,简约和精度间存在一种折衷,即使处于最好的平衡状态也会导致一个相对较高的均方误差(MSE)。
虽然这种折衷是小波方法所固有的(也是傅里叶和许多其他标准方法所固有),在理论上存在更好的去噪方案来恢复光滑边缘的图像。
例如,渐近参数表明,带噪声的图像处理的一定的连续介质模型与正式的噪声参数
图像恢复是光滑远离边缘
理想的MSE鳞片像而MSE可以在尺度上通过小波变换方法实现。
(白噪声模型的讨论,请参阅[8],[16])。
为了接近理想的MSE,应该研究出新的理论,仅使用几个非零系数就可以准确地代表平滑函数,也可以准确地展现图像的边缘。
然后,因为光滑部分或边缘部分只需要少量的系数,这对于简洁度和精度间的折衷是很有利的,也会产生较低的MSE结果。
研究脊波变换和曲波变换的主要目的是为了证明光滑函数和边缘函数的结合使用是可能的。
连续脊波变换为平滑函数和直边缘提供了一种稀疏展现。
正如[2]中所介绍的,二维脊波变换允许以这种形式
的元素功能叠加表示任意二元函数。
在这里是一个小波,a>0是一个尺度参数,θ是一种取向参数,b是一个标量参数位置。
这些所谓的脊波是成脊状的常数
沿正交方向是小波。
因为脊波在适合的尺度a≈0接近于直线
它可以有效地放在上面的几组共同的脊线上(即共同的θ,b和不同的尺度的a有效地一条直线的奇异点。
脊波也适合代表平滑函数,事实上他们代表的函数在吉尔伯特空间
的函数和均方值的两个衍生品作为小波同样有效(即相当数量的术语近似相同)。
还有各种离散脊波变换—比如,对产生元素的可数离散集合的阐述—基于框架和正交的思想。
所有的这些观念,在各种范围内一个帧/基础元素局部行附近在所有位置和取向和测距(本地宽度)。
它已被证明,对于这些方案,简单的离散脊波变换域值提供了接近理想的N组近似平滑函数和间断的线[7]、[4]、[17]。
总之离散的脊波和直的边缘解决了平滑物体的近似问题。
在图像处理中,边缘通常是弯曲的而不是直的,脊波本身并不能产生有效的结果。
然而在足够精细的尺寸下,弯曲的边缘可近似为直边缘,所以为了捕捉曲线边缘,应该能以定位的方式展开脊波。
以下两种方法来定位脊波是可能的。
1)单尺度脊波:
这里,以一个固定的长度将平面分割成相等的面积,构造一个重整脊波变换的系统平滑地定位在每一个面积附近[3]。
2)多尺度脊波:
这里,基于二元的尺寸将平面进行无限分割,每个分区,像在单尺度情况下,由给定的二元长度的面积构成。
生成元素的相应的词典是一个有窗的脊波金字塔,重整并运送到一个广泛的尺度和位置,见II-B和IV部分。
两个定位方法在本论文中极其重要。
基于多尺度脊波和曲线结合空间带通滤波操作来隔离不同的尺度[6],[5]。
像脊波和曲线发生在所有尺度、位置和方向。
然而,尽管脊波都有全球长度和可变宽度,曲波除了一个变量宽度长度可变,所以一个变量各向异性。
长度和宽度在细尺度相关的扩展法律
因此各向异性随减少规模像一个幂律。
最近的工作表明,阈值的离散曲波系数提供接近最佳术语表达否则光滑对象沿着
曲线不连续。
定量地说,N组的平方近似误差曲波阈值尺度就如
。
这一近似理论结果意味着下面的统计结果。
通过选择一个阈值,可在
噪声水平在噪声图像中从大的
噪声曲线中重建,可从
获得衰变的MSE。
相比之下,在分析对象与边缘,小波给一个词的平方近似误差只有大小,和小波阈值给出了相应的MSE只有大小和没有更好的。
d.本论文
所以根据理论为certaincontinuous-space模型,离散脊波变换和离散曲波变换稀疏表示的提供的近乎理想的两个光滑对象和对象的边缘。
在一个特定的连续空间统计理论,这意味着简单的阈值的嘈杂在这些扩张系数是一个接近的方法去噪在高斯白噪声的存在。
在本文中,我们提供一个初始测试这些想法在挖-斜体字图像处理设置,图片都可以在一个————网格。
我们首先回顾脊波和一些基本思路曲波表示在连续介质。
我们下一个使用这些开发一系列数字脊波、曲波横过数字形式以数字输入数据在一个笛卡儿网格。
接下来我们共同帮派成员一个模型去噪问题,我们嵌入一些斯坦-达尔德人的图像在白噪声阈值,并应用在数字曲波变换域。
最后我们讨论解释未来工作和可能性。
不令人惊讶的是,其他研究人员采取努力实现脊波、曲波变换,并开发应用-阳离子。
除了工作中所提到的身体的文章,我们想指出工作的做Vetterli[13],Donoho和邓肯[18]。
我们还想提及文章的Sahiner和Yagle[21]-[23],Olson和德[20],赵etal。
[30],Zuidwijk[31],[32]尽管这些引用不直接相关。
二世。
连续脊波变换二维连续脊波变换可以定义中如下[2]。
我们选择一个光滑的单变量函数有足够的衰减和满足可容许条件
(1)持有,假如有一个消失的意思,我们呢将假设是归一化,这样。
对于每个,每个和每一个,我们定义脊波的的二元
(2)这个函数是常数沿行有限公司nst。
横向这些山脊是小波。
给定一个可积的
二元函数,我们定义它的脊波系数通过我们有准确的重建公式(3)有效的功能均a•e•豪斯曼可积和广场-tegrable。
此外,这个公式是稳定的作为一个有一个标准杆seval关系(4)因此,就像小波或傅里叶变换,身份(3)表达了事实,一个可以代表任意func-优化作为一个连续的ridgelets叠加。
离散类似物(3)和(4)存在;参见[2]或[17]一个稍微不同的ap-友善。
a.氡转换
一个基本的工具,用于计算脊波系数是视图脊波分析作为一种小波分析在氡做-主要的。
我们回想一下,氡变形的一个对象收集索引的线积分给(5)狄拉克分布在哪里。
脊波系数一个对象给出了分析的氡变换通过因此,脊波变换正是应用一维(1-d)小波变换的片断氡转换的角变量是常数和是不同的。
b.脊波金字塔
让表示二元广场并让被收集所有这些二价的广场。
我们写的收集所有的二进位广场的规模。
关联到我们共同的方块一个分区的能源结构如下。
与光滑美观窗口服从,我们扩张和运输所有方块在规模、生产collec-优化的windows这样年代,,构成分区的团结。
我们也让表示传输算子作用于功能通过这些符号,不难看出和,因此,总结上述平等在广场在鉴于规模让身份(6)表达这一事实可以代表任何函数作为元素的叠加形式;也就是说,附近的脊波元素本地化广场。
脊波函数的
(2)与参数服从和,因此,是一个有窗的脊波,附近的支持广场,因此得名当地脊波变换。
前款规定的讨论了当地的建设ridgelets固定长度,大约(固定)。
让规模不同定义了多尺度脊波字典通过
即,整个金字塔的地方ridgelets在不同长度和位置。
当然,这只是一个大型overcompleterepre-sentation系统和没有公式如(6)是可利用为这个多尺度脊波金字塔,因为它是高度overcomplete.III。
一个PPROXIMATEDIGITAL脊波变换所以一个基本的策略计算连续脊波变换是首先计算氡转换和第二,应用一维小波变换的片。
在这一节中,我们开发一个数字程序的启发这个观点,是由数值数组上变现。
a.傅里叶变换为数字氡的策略
一个基本的事实是projec氡变形-醋片公式[12]这表示,氡转换可以通过阴影对一维傅里叶反变换到二维傅里叶变换限于径向线经过原点。
当然,这表明近似氡转换对数字数据可以基于离散快速傅里叶变换。
这是一种广泛使用的方法,在文献的医疗成像和合成孔径雷达成像的关键的近似误差和工件被广泛发现该诅咒的。
在大纲,只需执行以下操作,为网格数据,。
1)二维FFT。
计算二维FFT给数组,。
2)笛卡尔到极坐标转换。
使用一个插值方案,替代采样值的傅里叶变换得到平方晶格与取样值在一个极格的:
即,在一个格子,点落在线路经过原点。
3)一维传输线。
计算一维传输线在每一行,即。
因为每个值的角参数。
使用这个策略结合脊波变换一直讨论的文章[14],[15]。
无花果。
1。
说明数字极网格在频域为nbyn图像(n=8)。
这个图显示了套径向线加入双对称点从边界的平方。
rectopolar网格的设置的点标记与圈子之间的交叉辐射线的和那些是平行于轴。
b.极地抽样方案为数字数据为实现的笛卡儿到极坐标转换,我们已经使用了伪极网格,其中伪径向变量的水平集广场而不是圈。
从奥本海姆和Mersereau[19]这个网格经常被称为同心广场网格在信号处理文学;在医学断层摄影文学是相关的与thelinogram,而在[1]它叫做rectopolar网格;请参阅这最后一个完整的参考书目治疗。
这个rectopolar几何网格是插图在图1。
我们选择辐射线的频率平面获得连接
起源到顶点躺在数组的边界,即。
这样或。
极地网格(用于索引给定径向线的位置时
上的点,线是索引),我们要的是使用之间的交叉辐射线的集合和笛卡儿线平行于轴。
更具体的,样品pointsalong一个径向线的角与垂直轴是更少的或等于得到了交叉与组hori-zontal线。
sim-ilarly,十字路口的竖线定义了我们的样本点当-曾经的夹角和横轴是小于或等于来。
rectopolar网格的基数等于作为有径向线和采样值在每个这些线。
因此,数据结构与此相关的网格将有一个长方形的格式。
我们观察到,这种选择呢-sponds到不规则间隔的值的角变量。
获得rectopolar网格上的样品,我们应该,在创-几个,插入来自附近的样本在笛卡儿网格。
在原理,比较[1],[15],插值的傅里叶反式-表单是一个非常微妙的问题,因为众所周知的事实的傅里叶变换的图像是高度振荡,阶段包含关键信息的图像。
在ourapproach,然而,我们使用一个粗插补方法:
我们简单地归咎于对傅里叶变换的值花点在笛卡儿网格接近。
当然,还有更复杂的方法来实现笛卡儿到极坐标的转换,甚至简单的双线性的国米polation将提供更好的理论精度。
一个非常高的精度的方法用于[14]在于查看数据为样本的三角多项式定义为(7)在一个正方形点阵;即,与。
那里原来[14],[1]是一个精确的快速算法找到的值在极地网格。
高精度的方法可以用于反向,允许精确重建原始的三角从其rectopolar多项式样品。
我们的近邻插值,尽管不可否认头脑简单的,恰好给好的结果在我们的应用程序。
事实上。
数值实验表明,在整体系统性能,它的竞争对手准确的插值方案。
这是可辩解的,如下所示。
大致说来,高频条款在三角多项式相关联像素边缘的底层的网格。
我们的原油在-terpolation显然会失败在重构高频条款。
然而,在曲波应用看到下面我们使用一个窗口函数downweight的贡献我们的重建的边缘图像数组。
所以,inaccura-由于我们在重建属地原油插值可以预计是主要坐落在地区使小视觉冲击的重建。
最后一点关于我们的实现。
因为我们是国际米兰-您对什么产品尤其感兴趣噪声去除工件去除是非常重要的。
在信噪比(信噪比)我们认为,高阶的ac-助理牧师的身份插值公式,生成大量arti-事实(尽可能多的高阶公式做)可以那么有用低阶精度方案相对工件自由。
一个已知工件的精确插值的三角保利-nomials:
可以生成大量远程干扰
由当地扰动如不连续。
在这个意义上,我们的原油插值实际上可能证明是更可取的一些用途。
d.精确重建和稳定
我们已经建议的Cartesian-to-rectopolar转换这里是可逆的。
也就是说,鉴于rectopolar值输出从这个方法,一个可以恢复原来的笛卡儿价值观到底。
看到这,需要给出以下:
要求:
转让笛卡儿点的最近邻居rec-topolar分发生在这样一种方式,每个笛卡尔点被指定为最近邻的至少一个rectopolar吗点。
因为是一个分区的组rectopolar点,和明这最后的不平等在笛卡儿网格给。
它仍然是解释斜体索赔,因为,我们有看到的,从它流动的精确重建财产和sta性的逆。
考虑rectopolar分地区的水漏了“基本垂直的线”,即。
行,使一个角小于与垂直,更具体地说这些点在一个单一的水平扫描线。
假设扫描线不是在极端的顶部或底部的数组,这些点是spacedstrictly不到一个单位分开,我们的单位是间距的笛卡儿网格。
它所宣称的每个值输入数组源自脊柱笛卡尔复制到至少一个地方输出rectopolar数组。
因此,完美重建显然是可能的在原理只是跟踪的条目已经复制到和毁灭的过程。
我们的重建规则入手,对于每个点菜单西安网格,thearithmetic意味着所有rectopolar中的值网格具有,笛卡儿点作为距离最近的点。
这提供了一个数值稳定的左逆。
事实上,如果应用到一个摄动组rectopolar值,这个规则给出了一个approxi-mate重建原始的平静的笛卡儿值的近似误差较小的大小rectopolar遭受的扰动的价值观。
(这最后在当前评论是安心的去噪上下文,在那里我们的重建将永远是由微扰的em-piricalrectopolar英尺的嘈杂的数据。
)措辞在数学条款这给那里是一个给定的点在笛卡儿网格,是吗组rectopolar点接近。
稳定的,实例,讲述从观察因为是一个分区的组rectopolar点,金额-
明这最后的不平等在笛卡儿网格给
。
它仍然是解释斜体索赔,因为,我们有
看到的,从它流动的精确重建财产和sta-
性的逆。
考虑rectopolar分小时-
玻璃地区由“基本垂直的线”,即。
行,
使一个角小于与垂直,更具体地说
这些点在一个单一的水平扫描线。
假设扫描
线不是在极端的顶部或底部的数组,这些点
是spacedstrictly不到一个单位分开,我们的单位是
间距的笛卡儿网格。
因此,当我们考虑一个
笛卡儿网格点属于这扫描线和询问
这个rectopolar分,这是接近它
左和右,分别为这两个点不能尽可能多的
作为一个单位分开:
。
因此,至少一个
这两个点必须严格小于1/2单位离开
笛卡尔点,即。
要么或
。
没有损失的普遍性假设。
那么显然已经作为其最亲密的笛卡儿点。
简而言之,
每一个笛卡儿点在严格的内部的“沙漏”-
和关联与“基本上垂直”线出现的严格
最亲密的笛卡儿点的至少一个rectopolar点。
Sim-
ilar语句可以对点的边界上
沙漏,尽管参数支持这些国家市场更简单,基本上仅仅是检查。
类似
语句可以对分转置砂漏。
建立的斜体索赔
大肠一维小波变换
完成脊波变换,我们必须采取一维
小波变换沿径向变量在氡空间。
我们
现在讨论一维小波变换选择的数字。
经验表明,紧支撑小波
会导致许多视觉工件一起使用时
与非线性处理这样的作为硬阈值的
个人为摧毁。
小波系数特别
小波方案用于临界采样。
同时,因为
缺乏定位这样的紧支撑小波
在频域,粗尺度小波的波动
系数可以介绍能细微的波动,这是联合国-
理想在我们的设置。
这里我们采取频域
方法,离散傅里叶变换是重建
从逆氡转换。
这些因素导致
我们使用限带小波的支持是紧凑的
在傅立叶域而不是时域。
其他
实现做出了选择紧凑的支持
频率域以及[14],[15]。
然而,我们选择
一个特定的overcomplete系统,基于工作的斯塔克等
艾尔。
[26],[28],建造这样一个小波变换和
应用它来干涉图像重建。
小波
变换算法是基于一个尺度函数,这样
消失的间隔外。
我们定义了
尺度函数作为一个广义样条
和作为区别两个连续的决议
因为是紧支撑、抽样定理显示
可以很容易地构建一个比一个金字塔
元素,看到[28]详情。
这种变换享受以下特性。
•小波系数,直接计算的
傅里叶空间。
在上下文的脊波变换,
这允许避免计算的一维反演
傅里叶变换在每个径向线。
•每个子带是高于奈奎斯特采样率,因此,
避免混淆一个现象通常会遇到
通过严格采样正交小波变换[25]。
•重建是微不足道的。
小波系数
只是需要公司补充说,重建输入信号
在任何给定的点。
在我们的应用程序,这意味着
脊波系数只是需要公司补充说到
重建傅里叶系数。
这种小波变换引入了额外的冗余因子,
这可能被视为一个异议的提倡者所或-
thogonality和临界采样。
然而,我们注意到我们的
目标在这个实现不是数据压缩/高效
编码,临界采样可能相关的但在-
代替噪声去除,它可以提供大量的知名overcomplete-ness优势[9]。
图5。
(左上)图像噪点和(右上)过滤后的图像利用小波变换,摧毁(左下)非抽取小波变换和
(右下角)曲波变换。
b.复苏的线性特性
接下来的实验(图8)由人工图像
包含一些酒吧、线和一个广场。
强度con-
在每个栏实时;从左到右,强度
的十个垂直酒吧(这些是事实上薄矩形这
是四个像素宽,170像素长)都是平等的,
。
在所有的其他强度线等于1,
和噪声标准偏差是1/2。
显示图像
被转化为了更好地看到结果在低
信噪比。
重建的曲波的倾斜线
显然,使用小波的幅度远超过获得的。
这个
曲波变换似乎也更进一步至于
垂直线条的重建有关。
大约
说,对于那些模板,小波变换停止
检测信号的信噪比,相当于一(我们这里定义的
信噪比作为强度级别上的像素线,除以
噪声标准偏差的噪声),而截止值
等于0.5的曲波方法。
重要的是要注意的
的水平和垂直的线对应的特权
方向小波变换的,因为底层
基函数的功能是直接的产品完全不同
在水平和垂直方向。
小波方法willgiven甚至贫穷的结果行相同的强度buttilting大大远离笛卡尔轴。
比较
重建的微弱的对角线的形象。
c.恢复曲线
在这个实验中(图9),我们已经添加了一个高斯噪声
“战争与和平”,一幅画,它包含许多。
毕加索
弯曲的特性。
无花果。
9底左和右显示,分别
恢复的图像的小波变换和抽取
曲波变换的。
曲线更大幅恢复正常
曲波变换的。
作者正在进行的新方法(其中一些
将基于曲波变换)提取和恢复吗
曲线从嘈杂的数据更准确,因此,这个
例子仅仅是为了便于说明了。
d.的彩色图像去噪
在基于小波变换的去噪情况下,颜色RGB图像
通常映射到YUV空间,并且每个YUV乐队
然后从其他独立过滤。
这里的目标,
看是否会给曲波变换改进的结果。
我们使用的四个经典的彩色图像,即蕾娜,
辣椒、狒狒和芭芭拉(所有图片除了每-
Barbaraare也许可以从USC-SIPI图像数据-图6。
(左上)图像噪点和(右上)恢复的图像去噪后通过离散小波变换(DWT)、(左下)UWT,(右下角)曲波
变换。
的对角线帽子已经找到更忠诚的曲波方法。
表我
T能OFPSNRVALUESAFTER过滤NOISYIMAGE[蕾娜+
GAUSSIANWHITENOISE(SIGMA=20)]。
我的法师都有
http:
//www-stat.stanford.edu/~jstarck/莉娜html
部分vi一和我们的研究结果总结在图10这
再一次显示了PSNR和噪声标准偏差
为四个图像。
在所有情况下,曲波变换—曲波变换输出的图像视觉morepleasant。
图11演示了这最后一点。
其他的例子,
请检查http:
//www-stat.stanford.edu/~jstarck。
执行方面的小波变换的psnr值在最小
对温和的和大的值的噪声水平。
此外,
基础[11]。
我们进行了一系列的实验描述
七世。
CONCLUSION
在本文中,我们提出了一个战略对数码im-
plementing两脊波和曲波变换。
生成的实现有精确的重建
财产,给稳定扰动下的重建
系数,以及部署在实践中,部分重建
似乎没有遭受视觉的工件。
当然,有许多相互竞争的策略来翻译
理论结果和curveletsridgelets成数字代表
resentations。
遵循一系列的实验中,我们到达
一些创新的选择,我们现在强调。
1)子带的定义。
我
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