人教版高中数学《平面向量》全部教案.docx
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人教版高中数学《平面向量》全部教案
人教版高中数学全部教案
第五章平面向量
第一教时
教材:
向量
目的:
要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念,并能作一个向量与已
知向量相等,根据图形判定向量是否平行、共线、相等。
过程:
一、开场白:
课本P93(略)
实例:
老鼠由A向西北逃窜,猫在B处向东追去,
问:
猫能否追到老鼠?
(画图)
结论:
猫的速度再快也没用,因为方向错了。
AB二、提出课题:
平面向量
1.意义:
既有大小又有方向的量叫向量。
例:
力、速度、加速度、冲量
等
注意:
1数量与向量的区别:
数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小;
向量有方向,大小,双重性,不能比较大小。
2从19世纪末到20世纪初,向量就成为一套优良通性的数学体系,用以研究空间性质。
2.向量的表示方法:
a
B
1几何表示法:
点—射线
(终点)
有向线段——具有一定方向的线段
A(起点)
有向线段的三要素:
起点、方向、长度
记作(注意起讫)
北
2字母表示法:
AB可表示为a(印刷时用黑体字)
B
P95例
用1cm表示5nmail(海里)
3.模的概念:
向量AB的大小——长度称为向量的模。
A
记作:
|AB|模是可以比较大小的
4.两个特殊的向量:
1零向量——长度(模)为0的向量,记作0。
0的方向是任意的。
注意0与0的区别
2单位向量——长度(模)为1个单位长度的向量叫做单位向量。
例:
温度有零上零下之分,“温度”是否向量?
答:
不是。
因为零上零下也只是大小之分。
例:
AB与BA是否同一向量?
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答:
不是同一向量。
例:
有几个单位向量?
单位向量的大小是否相等?
单位向量是否都相等?
答:
有无数个单位向量,单位向量大小相等,单位向量不一定相等。
三、向量间的关系:
1.平行向量:
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
记作:
a∥b∥c
a
b
规定:
0与任一向量平行
c
2.相等向量:
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
记作:
a=b
规定:
0=0
任两相等的非零向量都可用一有向线段表示,
与起点无关。
3.共线向量:
任一组平行向量都可移到同一条直线上
,
所以平行向量也叫共线向量。
C
O
BA
OA=aOB=b
OC=c
例:
(P95)略
变式一:
与向量长度相等的向量有多少个?
(11个)
变式二:
是否存在与向量长度相等、方向相反的向量?
(存在)
变式三:
与向量共线的向量有哪些?
(CB,DO,FE)
四、小结:
五、作业:
P96练习习题5.1
第二教时
教材:
向量的加法
目的:
要求学生掌握向量加法的意义,并能运用三角形法则和平行四边形法则作
几个向量的和向量。
能表述向量加法的交换律和结合律,并运用它进行向
量计算。
过程:
六、复习:
向量的定义以及有关概念
强调:
1向量是既有大小又有方向的量。
长度相等、方向相同的向量相等。
2正因为如此,我们研究的向量是与起点无关的自由向量,即任何
向量可以在不改变它的方向和大小的前提下,移到任何位置。
七、提出课题:
向量是否能进行运算?
5.某人从A到B,再从B按原方向到C,
ABC
则两次的位移和:
ABBCAC
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6.若上题改为从A到B,再从B按反方向到C,
则两次的位移和:
AB
BC
C
A
B
AC
7.某车从A到B,再从B改变方向到C,
C
则两次的位移和:
AB
BC
AC
B
A
8.船速为AB,水速为BC,
C
则两速度和:
ABBC
AC
提出课题:
向量的加法
A
B
三、1.定义:
求两个向量的和的运算,叫做向量的加法。
注意:
;两个向量的和仍旧是向量(简称和向量)
2.三角形法则:
a
a
a
C
b
b
b
a+b
a
a+b
a+b
A
A
B
CC
A
B
强调:
B
1“向量平移”(自由向量):
使前一个向量的终点为后一个向量的起
点
2可以推广到n个向量连加
3a00aa
4不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则
3.例一、已知向量a、b,求作向量a+b
作法:
在平面内取一点,
O
a
A
作OA
a
AB
b
b
b
b
则OB
a
b
a
4.加法的交换律和平行四边形法则
a
B
上题中b+a的结果与a+b是否相同
验证结果相同
从而得到:
1
向量加法的平行四边形法则
2向量加法的交换律:
a+b=b+a
9.向量加法的结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)
D
证:
如图:
使ABa,BCb,CDc
a+b+c
b+c
c
A
a+b
C
a
b
B
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则(a+b)+c=ACCDAD
a+(b+c)=ABBDAD
∴(a+b)+c=a+(b+c)
从而,多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。
四、例二(P98—99)略
五、小结:
1向量加法的几何法则
2交换律和结合律
3注意:
|a+b|>|a|+|b|不一定成立,因为共线向量不然。
六、作业:
P99—100练习P102习题5.21—3
第三教时
教材:
向量的减法
目的:
要求学生掌握向量减法的意义与几何运算,并清楚向量减法与加法的关系。
过程:
八、复习:
向量加法的法则:
三角形法则与平行四边形法则向量加法的运算定律:
例:
在四边形中,CBBABACD
D
C
解:
CBBABACBBA
ADCD
九、提出课题:
向量的减法
A
B
1.用“相反向量”定义向量的减法
1
“相反向量”的定义:
与a长度相同、方向相反的向量。
记作a
2
规定:
零向量的相反向量仍是零向量。
(a)=a
a+(a)=0
任一向量与它的相反向量的和是零向量。
3
如果a、b互为相反向量,则a=
b,b=
a,a+b=0
向量减法的定义:
向量
a加上的b相反向量,叫做a与b的差。
即:
ab=a+(b)
求两个向量差的运算叫做向量的减法。
2.用加法的逆运算定义向量的减法:
向量的减法是向量加法的逆运算:
若b+x=a,则x叫做a与b的差,记作ab3.求作差向量:
已知向量a、b,求作向量
∵(ab)+b=a+(b)+b=a+0=a
作法:
在平面内取一点
O,
a
O
a
作OA=a,
AB=b
b
b
ab
则BA=a
b
B
即ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量。
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注意:
1AB表示ab。
强调:
差向量“箭头”指向被减数
2用“相反向量”定义法作差向量,ab=a+(b)
显然,此法作图较繁,但最后作图可统一。
B’
a
b
B
a+(b)
O
b
a
b
b
A
4.a∥b∥c
B
ab=a+(b)
ab
a
ab
ab
b
O
BA
B’O
B
A
a
ab
ab
b
O
A
b
BB
O
A
十、例题:
例一、(P101
例三)已知向量a、b、c、d,求作向量ab、cd。
解:
在平面上取一点O,作OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,
作BA,DC,
则BA=ab,
DC=cd
A
B
D
b
d
a
c
例二、平行四边形中,,用表示向量,解:
由平行四边形法则得:
C
O
DC
AC=a+b,DB=ABAD=ab
AB
变式一:
当a,b满足什么条件时,a+b与ab垂直?
(|a|=|b|)
变式二:
当a,b满足什么条件时,|a+b|=|ab|?
(a,b互相垂直)
变式三:
a+b与ab可能是相当向量吗?
(不可能,∵对角线方向不同)
十一、小结:
向量减法的定义、作图法|
十二、作业:
P102练习
P103习题5.24—8
第四教时
教材:
向量、向量的加法、向量的减法综合练习《教学与测试》64、65、66课
人教版高中数学全部教案
目的:
通过练习要求学生明确掌握向量的概念、几何表示、共线向量的概念,掌
握向量的加法与减法的意义与几何运算。
过程:
十三、复习:
1向量的概念:
定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、
相等向量、共线向量
2向量的加法与减法:
定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律
十四、
1.处理《教学与测试》P135—136
第64课
(略)
2.处理《教学与测试》P137—138
第65课
例一、设a表示“向东走3km”,b表示“向北走3km”,
则a+b表示向东北走3
2km
B
解:
OB=
OA+AB
a+b
b
OB
3
2
3
2
32(km)
Oa
A
例二、试用向量方法证明:
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
证:
由向量加法法则:
D
C
AB=
AO+OB,
DC=
DO+OC
O
由已知:
AO=OC,DO=OB
A
B
∴AB=DC即AB与CD平行且相等
∴ABCD为平行四边形
AB
例三、在正六边形中,若OA=a,OE=b,试用
向量a、b将OB、OC、OD表示出来。
OPC
解:
设正六边形中心为P
则OBOPPB(OAOE)OAa+b+aEF
OCOPPCa+b+a+b
由对称性:
OD=b+b+a
3.处理《教学与测试》P139—140第66课(略)
十五、有时间可处理“备用题”:
例一、化简ABDFCDBCFA
解:
ABDFCDBCFA=ABBCCDDFFA
=ACCDDFFA=ADDFFA=AFFA=0
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例二、在静水中划船的速度是每分钟40,水流的速度是每分钟20,如果船从岸边出发,径直沿垂直与水流的航线到达对岸,那么船行进
的方向应该指向何处?
解:
如图:
船航行的方向是
与河岸垂直方向成30夹角,即指向河的上游。
DC
上游下游
30
十六、作业:
上述三课中的练习部分(选)
AB
第五教时
教材:
实数与向量的积
目的:
要求学生掌握实数与向量的积的定义、运算律,理解向量共线的充要条件。
过程:
一、复习:
向量的加法、减法的定义、运算法则。
二、1.引入新课:
已知非零向量a作出a+a+a和(a)+(a)+(a)
a
a
a
a
a
OA
B
C
a
a
a
N
M
Q
P
OC=OA
AB
BC=a+a+a=3a
PN=PQ
QM
MN=(
a)+(
a)+(a)=3a
讨论:
1
3a与a方向相同且|3a|=3|a|
23a与a方向相反且|3a|=3|a|
2.从而提出课题:
实数与向量的积
实数λ与向量a的积,记作:
λa
定义:
实数λ与向量a的积是一个向量,记作:
λa
1|λa|=|λ||a|
2λ>0时λa与a方向相同;λ<0时λa与a方向相反;λ=0时λa=0
3.运算定律:
结合律:
λ(μa)=(λμ)a
①
第一分配律:
(λ+μ)a
λ
a
+μa
②
=
第二分配律:
λ(a+b)=λa+λb
③
结合律证明:
如果λ=0,μ=0,a=0
至少有一个成立,则①式成立
如果λ0,μ0,a0
有:
λμ
)|=|λ||μa|=|
λ||μ||a|
|
(
a
|(λμ)a|=|λμ||a|=|λ||μ||a|
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∴|λ(μa)|=|(λμ)a|
如果λ、μ同号,则①式两端向量的方向都与a同向;如果λ、μ异号,则①式两端向量的方向都与a反向。
从而λ(μa)=(λμ)a
第一分配律证明:
如果λ=0,μ=0,a=0至少有一个成立,则②式显然成立
如果λ0,μ0,a0
当λ、μ同号时,则λa和μa同向,
∴|(λ+μ)a|=|
λ+μ||a|=(|
λ|+|
μ|)|
a|
|λ
a
+μ|=|
λ
a
|+|μ|=|λ||
a
|+|
μ||
a
|=(|λ|+|μ|)|
a
|
a
a
∵λ、μ同号∴②两边向量方向都与a同向
即:
|(λ+μ)a|=|λa+μa|
当λ、μ异号,当λ>μ时②两边向量的方向都与λa同向当λ<μ时②两边向量的方向都与μa同向
还可证:
|(λ+μ)a|=|λa+μa|
∴②式成立
第二分配律证明:
如果a=0,b=0中至少有一个成立,或λ=0,λ=1则③式显然成立
当a
0
,
b
0
且λ
,λ
1
时
0
B1
1当λ>0且λ1时在平面内任取一点O,
作OA
a
ABb
OA1λaA1B1
λb
B
则OB
a+b
OB1
λa+λb
O
A
A1
由作法知:
AB∥
A1B1有OAB=OA1B1
|AB|=λ|A1B1
|
∴|OA1|
|A1B1|
λ
∴△OAB∽△OA1B1
|OA|
|AB|
∴|OB1|
λ
AOB=A1OB1
|OB|
因此,O,B,B1在同一直线上,|OB1|=|λOB|
OB1与λOB方向也
相同
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λ(a+b)=λa+λb
B
当λ<0时可类似证明:
λ(a+b)=λa+λb
A1
O
A
∴③式成立
B1
4.例一(见P104)略
三、向量共线的充要条件(向量共线定理)
1.若有向量a(a0)、b,实数λ,使b=λa则由实数与向量积的定义
知:
a与b为共线向量
若a与b共线(a0)且|b|:
|a|=μ,则当a与b同向时b=μa
当a与b反向时b=μa
从而得:
向量b与非零向量a共线的充要条件是:
有且只有一个非零实数
λ
使b=λa
2.例二(P104-105略)
三、小结:
四、作业:
课本
P105练习
P107-108习题5.3
1、2
第六教时
教材:
平面向量基本定理
目的:
要求学生掌握平面向量的基本定理,能用两个不共线向量表示一个向量;
或一个向量分解为两个向量。
过程:
一、复习:
1.向量的加法运算(平行四边形法则)。
2.实数与向量的积3.向量共线定理
二、由平行四边形想到:
1.是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量?
且分解是唯一?
2.对于平面上两个不共线向量e1,e2是不是平面上的所有向量都可以用它们
来表示?
——提出课题:
平面向量基本定理
三、新授:
1.(P105-106)e1,e2是不共线向量,a是平面内任一向量
a
e1e2
MC
ONB
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OA=e1
OM
=λ1e1
OC
=a=OM
+ON
=λ1e1+λ2e2
OB
=e2
ON
=λ2e2
得平面向量基本定理:
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么
对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2使a=λ1e1+
λ2e2
注意几个问题:
1e1、e2必须不共线,且它是这一平面内所有向量的一组
基底
2这个定理也叫共面向量定理
3λ1,λ2是被a,e1,e2唯一确定的数量
2.例一(P106例三)已知向量e1,e2求作向量2.5e1+3e2。
作法:
1
取点O,作OA=2.5e1
OB=3e2
C
B
e2
2作
e1
N
OACB,OC即为所求+
例二、(P106例4)如图
A
O
=
,
ABCD的两条对角线交于点M,且
AB
=a,
b
AD
用a,b表示MA,MB,MC和MD
解:
在
DC
ABCD中
b
M
∵
AC=AB+AD=a+b
A
a
B
DB
=AB
AD
=a
b
∴
MA=
MB
1AC=1(a+b)=
22
11
=DB=(ab)=
1
2
1a
a
1
12b
b
MC
=1AC
=1a+
1
b
2
2
2
2
2
2
2
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111
MD=MB=DB=a+b
222
例三、已知ABCD的两条对角线AC与BD交于E,O是任意一点,
求证:
OA+OB+OC+OD=4OE
证:
∵E是对角线AC和BD的交点
∴AE=EC=CE
BE=ED=DE
DC
O
E
AB
在△OAE中OA+AE=OE
同理:
OB+BE=OEOC+CE=OEOD+DE=OE
以上各式相加,得:
OA+OB+OC+OD=4OE
例四、(P107例五)如图,
OA
,
不共线,
AP
=t
AB
(tR)用
OB
表示
OP
OB
OA
解:
∵AP=tAB
∴
P
OP=OA+AP=OA+tAB
B
OA
=OA+t(OBOA)
=OA+tOBtOA
=(1t)OA+tOB
四、小结:
平面向量基本定理,其实质在于:
同一平面内任一向量都可以表
示为两个不共线向量的线性组合。
五、作业:
课本P107练习
P108习题5.33-7
第七教时
教材:
5.3实数与向量的积综合练习《教学与测试》
P141-14467、68课
目的:
通过练习使学生对实数与积,两个向量共线的充要条件,平面向量的基本定理有更深刻的理解,并能用来解决一些简单的几何问题。
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过程:
一、复习:
1.实数与向量的积(强调:
“模”与“方向”两点)
2.
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