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近世代数第12讲
第12讲
§9子群的陪集(Cosetofsubgroup)
本讲的教学目的和要求:
在第一章中,我们曾介绍了集合的分类与集合上的等价关系——他们是互相兼容的两个代数概念。
在群中引人一种特殊等价关系,由此对该群进行分类——群的陪
集分解。
进而引出拉格朗日(Lagrange)定理,得到了“每个子集(元素)的阶都是有限母群阶的因子”这一重要结论。
在本
讲的学习中要求
1、陪集的形成以及它们与母群的关系与子群H的联系要分辩清楚。
2、陪集和陪集的代表元所形成的系列性质,要能掌握。
3、群的陪集分解中对左右边旁的要求和注意事项需要了解。
4、Lagrange定理和推论本身的掌握以及有关理论应用需要掌握。
本讲的重点和难点:
本节的内容中重点是对陪集概念的了解和lagrange定理的应用,而难点在于学会并掌握有关陪集理论的等式命题证明。
一、陪集的引入
引例1对整数加群J[而言,取定模4,则可确定Z的一个分
类:
乙「0丨1,2,玷。
其中Z中的4个剩余类分别为:
0」,_8,_4,0,4,8,/
11,一7,-3,1,5,9,/
2二,一6,—2,2,6,10/
3二,一5,—1,3,7,11,?
现利用群的观点,分析上述事实,可得到如下启示:
(1)在Z4中剩余类0】=”—8,-4,0,4,8,-}=4Z=(4n|$n口是整数加群J泊勺一个子集.而其余的剩余类1,2,131都不是辽,「的子群•
(2)其余的任何一个剩余类与这个特殊的剩余类〔T有着密切的联
系•譬如,1就是用代表元1与01中每个元素相加所成的剩余类,1即恰是用01中每个元素都加上1而形成的•一般地,乙中的每个剩余类i都是由0中每个元素普遍加上i(或加上U中任取定的一个元素)而形成的•其中i=0,1,2,3.
引例2.给定三次对称群
S3—1,12,13,23,1231321的一个分类「H,K,M?
.其中这
三个分列为:
H仝1,12/,kJ.;13,123?
M£[23,132?
。
同上例一样可以发现:
(1)分类门中只有H是S3的子群,而K,M都不是S3的子群。
(2)K恰是由(13)右乘H中每个元素而形成的类:
113=13,1213二123
(或者说是由(123)右乘H中每个元素而形成的类).同理,M是由
(23)(或(132))右乘H中每个元素形成的类.
总之,门中每个类,都是由本类中任取定一元素右乘H中每
个元素而得到的.
上述二引例中,虽然一个是加群,另一个是乘群,但它们的分类都有一个共同的特点:
1分类中存在一个特殊的类是子群,而其余的类都不是子
群.
2每个类正好是这个子群中的所有元素都加(乘)上这个类
中任取定的一个元素.
具有上述特点的群分类正是本节中研究的主要内容•(在下面
的讨论中,都是在乘群上展开的).
定义1.(集合的积)设X和丫是群G的二个非空子集于是X与Y
的积记为XY=xy_xZ,_yY
特别地,如果S是一个单元集,而设X「X1,X2「J那么X与丫的积为XY=x1y=Uy,X2y,'
•此时我们记XY为Xy,并称Xy为元素y右乘X的积.
定义2.(子群的陪集)设G为任意的群,H而-G,,
那么
(1)形如Ha的子集,叫做子群H的一个右陪集其中a叫做代表元.
⑵形如aH的子叫做子群H的一个左陪集,其中a叫做代表元.
由此可见,子群H的陪集正是H与元素a相乘的积,当a从右方去乘H时,则得到右陪集.反之得到左陪集.(下面只对右陪集展开讨论).
明示1.在引例2中,自然有H二H1,K二H13二H123,
M=H23二H132.所以有S3的分类
S3=HH13H23.
思考题1若H乞G,又设a•G,那么“Ha二aH”成立吗?
为什么?
答:
由于G不一定是变换群,所以Ha二aH未必成立.
比如,在引例2中,123H—123,23技而
H123二「123,13?
,123H=H123.
二、陪集的性质・
二个右陪集相等是什么意思?
在什么条件下才会发生呢?
明示2.设H虫,令H=Qh1,h2,h3厂-若取a,bG,那么有陪集
Ha=,a,^a,h2a,h3a,
Hb「b,gb,h2b,h3b,\
如果“Ha=Hb”,那么代表着二个集合相等而千万不能记为
“hi^hib”,i=1,2,3,
明示3.设N,M都是群G的非空子集(不一定是子群)
如果N二M,,则取任意aG,必有Na二Ma.
定理1.设H込G,-a,b・G,于是有
(1)aHb=Ha二Hb=ab」H
(2)bHauHa二Hbuba'H.
证明:
(只需证明
(1),因为(2可同理证得))
(i)aHb二Ha二Hb
Hb,由陪集的含义可知,必存在hH使a二hb,即
b=h
-x二Ha二0二H使x=ga=0hb=h』b
丁H兰GnhhiwH二x=(hih庐Hb二Ha匸Hb.
_y•Hb二h2H使y=h2b=h2^a=h2hJa
同理h2hJH.y=h2h」aHa=Hb二Ha
由上分析知,Ha=Hb.
(ii)(Ha=Hb=ab仁h).
Ha二Hb,
二当任取ha^Ha=Hb时二BheH使ha=hb,经调整得,ab,二h*H,即ab (iii)ab,H二aHb 常ab'^H,贝卩存在亦H使ab'=h,于是a=hb^Hb 即a-Hb. 由上述(i)(i)和(i)知 (1)成立. 明示4.利用定理1和明示3可知下列命题必是等价的: aHb二bHa=Ha=Hb=Hab'=H=HbaH 二abJH: =baJH 明示5.利用定理1知,每个陪集中任一个元素都可以“担任”该陪集的代表元,进而知,每个陪集一般其表示形式是不唯一的. 定理2.设H乞G,设a,b・G,那么 (1)aHa. (2)对于陪集Ha和Hb而言,只有二种关系: Ha二Hb或HaHb―一 (3)G=Ha. a申 证明: (1)H-GeH而ea=aa=eaHa,即卩aHa. (2)如果HaHb=•_,=HaHb,由定理1 =Ha=Hx,Hx=Hb,Ha=Hb. (3)每个陪集Ha都是G的子集=这些陪集的并也是G的 子集,•G二Ha.别外,-g•G由 (1)=g•Hg. aB 但Ha是G的陪集,即HgHa,gHa.由g的任意性a9a0 二GHa,所以GHa. 可以利用引例2对定理2作进一步的解释: 设H H123二「123,13: 'H132二〈132,23? . 首先,从上全部陪集中看到: 每个陪集的代表元都含在该陪 集内• 其次,上列中任二个陪集要么相等,要么不相交• 最后,将上列不重复的全部陪集并起来后恰好等于S3. 注意: Ha似乎表明全部陪集的并,然而由集合论的知识知道, a 只需取那些不重复的陪集作并即可,例如,S3中全部的右陪集共 6有个,然而不重复的只有3个,故 S=HH13H23。 3.群的陪集分解 由定理1知,“ab「H”的真正含义是“a与b同在一个陪集之中”,那么将“同在一个陪集”看作是群的一个关系,这个关系有何性质? 定理3设H_G,在G中定义关系“〜”: -a,b・G,a〜b=abJH那么“〜”必是个等价关系。 证明: (1)-a・G.aaJ=eH.a〜a (2)若a〜b=ab4H,由明示4=ba「H,•b〜a. (3)若a〜b且a〜c,则有abJH且bc4H. 丁H兰G二(ab’Ibc')=ac,乏H,即a〜c. 由 (1), (2),(3)知关系“〜”是中的一个等价关系. 由第一章§10知,集合中的每个等价关系都可确定一个分 类,所以上述群G的等价关系“〜”决定了G的一个分类: GHa. a 定义3设G是群,而H 二abJH决定的G中的分 类G二Ha叫做G的一个陪集分解.譬如 aG S3=HH13H23 或&=HH123H132 S3二HH13H132 由上例可见群的陪集分解有下列特点: 1分解式中必含有子群H(即以单位元为代表的陪集)而其 余的陪集都不是S3的子群. 2陪集分解式中出现的陪集彼此都不相交• 3分解式中每个陪集的代表元都可以适当替换• 4分解式中陪集的“边旁”要一致(要么都是右陪集,要么都是左陪集) 明示6在三次对称群的陪集分解式S3二HH13H132中, 易发现,S3=H13H132H.这个事实告诫我们: 群的陪集分解式一旦遇到边旁过渡时(即以右(左)陪集过渡到左(右)陪集)陪集的代表元可能要重新考虑,一般地,如果 G二HHa1Ha2Ha3Ham 是群G的陪集分解,那么 未必会是群的陪集分解.(即等号未必能成立).在这个问题上,可以从N•Jacobson著《BasicAlgebra》 中得到启发. 四、右陪集第与左陪集的对应关系 设H辽G,若H的所有不重复的右陪集做成的集合用Sr表示类似地用Sl表示H的全部不重复的左陪集做成的集合。 那么前面说到的有关右陪集的性质都能毫不困难地移到左陪集中去。 以明示6中已知.S3=HH13H132…* 虽然S3^H13H132H.但确定有S3的左陪集分解: S3二H23H132H…**.由(*)和(**)启发我们:
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