黄冈市中考数学试题解析.docx

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黄冈市中考数学试题解析

2013年湖北省黄冈市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（下列各题A、B、C、D四个选项中，有且仅有一个十正确的，每小题3分，共24分）

1．（3分）（2013•黄冈）﹣（﹣3）2=（　　）

A．

﹣3

B．

3

C．

﹣9

D．

9

考点：

有理数的乘方．3481324

分析：

根据有理数的乘方的定义解答．

解答：

解：

﹣（﹣3）2=﹣9．

故选C．

点评：

本题考查了有理数的乘方的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．

2．（3分）（2013•黄冈）随着人们生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

中心对称图形．3481324

分析：

根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．

解答：

解：

A、是中心对称图形，故本选项正确；

B、不是中心对称图形，故本选项错误；

C、不是中心对称图形，故本选项错误；

D、不是中心对称图形，故本选项错误；

故选A．

点评：

本题考查了中心对称图形的知识，判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．

3．（3分）（2013•黄冈）如图，AB∥CD∥EF，AC∥DF，若∠BAC=120°，则∠CDF=（　　）

A．

60°

B．

120°

C．

150°

D．

180°

考点：

平行线的性质．3481324

专题：

计算题．

分析：

根据两直线平行，同旁内角互补由AB∥CD得到∠BAC+∠ACD=180°，可计算出∠ACD=60°，然后由AC∥DF，根据平行线的性质得到∠ACD=∠CDF=60°．

解答：

解：

∵AB∥CD，

∴∠BAC+∠ACD=180°，

∵∠BAC=120°，

∴∠ACD=180°﹣120°=60°，

∵AC∥DF，

∴∠ACD=∠CDF，

∴∠CDF=60°．

故选A．

点评：

本题考查了平行线的性质：

两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．

4．（3分）（2013•黄冈）下列计算正确的是（　　）

A．

x4•x4=x16

B．

（a3）2•a4=a9

C．

（ab2）3÷（﹣ab）2=﹣ab4

D．

（a6）2÷（a4）3=1

考点：

同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．3481324

分析：

根据同底数幂的乘除法则及幂的乘方法则，结合各选项进行判断即可．

解答：

解：

A、x4×x4=x8，原式计算错误，故本选项错误；

B、（a3）2•a4=a10，原式计算错误，故本选项错误；

C、（ab2）3÷（﹣ab）2=ab4，原式计算错误，故本选项错误；

D、（a6）2÷（a4）3=1，计算正确，故本选项正确；

故选D．

点评：

本题考查了同底数幂的乘除、幂的乘方与积的乘方的知识，解答本题的关键是掌握各部分的运算法则．

5．（3分）（2013•黄冈）已知一个正棱柱的俯视图和左视图如图，则其主视图为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

由三视图判断几何体；简单组合体的三视图．3481324

分析：

首先根据俯视图和左视图判断该几何体，然后确定其主视图即可；

解答：

解：

根据此正棱柱的俯视图和左视图得到该几何体是正五棱柱，

其主视图应该是矩形，而且有看到两条棱，背面的棱用虚线表示，

故选D．

点评：

本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．

6．（3分）（2013•黄冈）已知一元二次方程x2﹣6x+C=0有一个根为2，则另一根为（　　）

A．

2

B．

3

C．

4

D．

8

考点：

根与系数的关系．3481324

分析：

利用根与系数的关系来求方程的另一根．

解答：

解：

设方程的另一根为α，则α+2=6，

解得α=4．

故选C．

点评：

本题考查了根与系数的关系．若二次项系数为1，常用以下关系：

x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q，反过来可得p=﹣（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．

7．（3分）（2013•黄冈）已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的面积为（　　）

A．

π

B．

4π

C．

π或4π

D．

2π或4π

考点：

几何体的展开图．3481324

分析：

分底面周长为4π和2π两种情况讨论，先求得底面半径，再根据圆的面积公式即可求解．

解答：

解：

①底面周长为4π时，半径为4π÷π÷2=2，底面圆的面积为π×22=4π；

②底面周长为2π时，半径为2π÷π÷2=1，底面圆的面积为π×12=π．

故选C．

点评：

考查了圆柱的侧面展开图，注意分长为底面周长和宽为底面周长两种情况讨论求解．

8．（3分）（2013•黄冈）一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间（小时）之间的函数图象是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

函数的图象．3481324

分析：

分三段讨论，①两车从开始到相遇，这段时间两车距迅速减小，②相遇后向相反方向行驶至特快到达甲地，这段时间两车距迅速增加，③特快到达甲地至快车到达乙地，这段时间两车距缓慢增大，结合实际选符合的图象即可．

解答：

解：

①两车从开始到相遇，这段时间两车距迅速减小；

②相遇后向相反方向行驶至特快到达甲地，这段时间两车距迅速增加；

③特快到达甲地至快车到达乙地，这段时间两车距缓慢增大；

结合图象可得C选项符合题意．

故选C．

点评：

本题考查了函数的图象，解答本题关键是分段讨论，要结合实际解答，明白每条直线所代表的实际含义及拐点的含义．

二、填空题（每小题3分，满分21分）

9．（3分）（2013•黄冈）计算：

=　﹣

（或

）　．

考点：

分式的加减法．3481324

专题：

计算题．

分析：

分母相同，直接将分子相减再约分即可．

解答：

解：

原式=

=

=﹣

，（或

）．

点评：

本题考查了分式的加减，分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可．

10．（3分）（2013•黄冈）分解因式：

ab2﹣4a=　a（b﹣2）（b+2）　．

考点：

提公因式法与公式法的综合运用．3481324

分析：

先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．

解答：

解：

ab2﹣4a

=a（b2﹣4）

=a（b﹣2）（b+2）．

故答案为：

a（b﹣2）（b+2）．

点评：

本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

11．（3分）（2013•黄冈）已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE=　

　．

考点：

等边三角形的性质；等腰三角形的判定与性质．3481324

分析：

根据等腰三角形和三角形外角性质求出BD=DE，求出BC，在Rt△△BDC中，由勾股定理求出BD即可．

解答：

解：

∵△ABC为等边三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC，

∵BD为中线，

∴∠DBC=

∠ABC=30°，

∵CD=CE，

∴∠E=∠CDE，

∵∠E+∠CDE=∠ACB，

∴∠E=30°=∠DBC，

∴BD=DE，

∵BD是AC中线，CD=1，

∴AD=DC=1，

∵△ABC是等边三角形，

∴BC=AC=1+1=2，BD⊥AC，

在Rt△△BDC中，由勾股定理得：

BD=

=

，

即DE=BD=

，

故答案为：

．

点评：

本题考查了等边三角形性质，勾股定理，等腰三角形性质，三角形的外角性质等知识点的应用，关键是求出DE=BD和求出BD的长．

12．（3分）（2013•黄冈）已知反比例函数

在第一象限的图象如图所示，点A在其图象上，点B为x轴正半轴上一点，连接AO、AB，且AO=AB，则S△AOB=　6　．

考点：

反比例函数系数k的几何意义；等腰三角形的性质．3481324

分析：

根据等腰三角形的性质得出CO=BC，再利用反比例函数系数k的几何意义得出S△AOB即可．

解答：

解：

过点A作AC⊥OB于点C，

∵AO=AB，

∴CO=BC，

∵点A在其图象上，

∴

AC×CO=3，

∴

AC×BC=3，

∴S△AOB=6．

故答案为：

6．

点评：

此题主要考查了等腰三角形的性质以及反比例函数系数k的几何意义，正确分割△AOB是解题关键．

13．（3分）（2013•黄冈）如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD=4，EM=8，则

所在圆的半径为　

　．

考点：

垂径定理；勾股定理．3481324

专题：

探究型．

分析：

首先连接OC，由M是CD的中点，EM⊥CD，可得EM过⊙O的圆心点O，然后设半径为x，由勾股定理即可求得：

（8﹣x）2+22=x2，解此方程即可求得答案．

解答：

解：

连接OC，

∵M是CD的中点，EM⊥CD，

∴EM过⊙O的圆心点O，

设半径为x，

∵CD=4，EM=8，

∴CM=

CD=2，OM=8﹣OE=8﹣x，

在Rt△OEM中，OM2+CM2=OC2，

即（8﹣x）2+22=x2，

解得：

x=

．

∴

所在圆的半径为：

．

故答案为：

．

点评：

此题考查了垂径定理以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．

14．（3分）（2013•黄冈）钓鱼岛自古就是中国领土，中国政府已对钓鱼岛开展常态化巡逻．某天，为按计划准点到达指定海域，某巡逻艇凌晨1：

00出发，匀速行驶一段时间后，因中途出现故障耽搁了一段时间，故障排除后，该艇加快速度仍匀速前进，结果恰好准点到达．如图是该艇行驶的路程y（海里）与所用时间t（小时）的函数图象，则该巡逻艇原计划准点到达的时刻是　7：

00　．

考点：

一次函数的应用．3481324

分析：

根据函数图象和题意可以求出开始的速度为80海里/时，故障排除后的速度是100海里/时，设计划行驶的路程是a海里，就可以由时间之间的关系建立方程求出路程，再由路程除以速度就可以求出计划到达时间．

解答：

解：

由图象及题意，得

故障前的速度为：

80÷1=80海里/时，

故障后的速度为：

（180﹣80）÷1=100海里/时．

设航行额全程由a海里，由题意，得

，

解得：

a=480，

则原计划行驶的时间为：

480÷80=6小时，

故计划准点到达的时刻为：

7：

00．

故答案为：

7：

00．

点评：

本题考查了运用函数图象的意义解答行程问题的运用，行程问题的数量关系路程=速度×时间的运用，解答时先根据图象求出速度是关键，再建立方程求出距离是难点．

15．（3分）（2013•黄冈）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为　6π　．

考点：

弧长的计算；矩形的性质；旋转的性质．3481324

专题：

规律型．

分析：

如图根据旋转的性质知，点A经过的路线长是三段：

①以90°为圆心角，AD长为半径的扇形的弧长；②以90°为圆心角，AB长为半径的扇形的弧长；③90°为圆心角，矩形ABCD对角线长为半径的扇形的弧长．

解答：

解：

∵四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=3，

∴BC=AD=3，∠ADC=90°，对角线AC（BD）=5．

∵根据旋转的性质知，∠ADA′=90°，AD=A′D=BC=3，

∴点A第一次翻滚到点A′位置时，则点A′经过的路线长为：

=

．

同理，点A′第一次翻滚到点A″位置时，则点A′经过的路线长为：

=2π．

点″第一次翻滚到点A1位置时，则点A″经过的路线长为：

=

．

则当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为：

+2π+

=6π．

故答案是：

6π．

点评：

本题考查了弧长的计算、矩形的性质以及旋转的性质．根据题意画出点A运动轨迹，是突破解题难点的关键．

三、解答题（本大题共10个小题，共86分．每小题给出必要的演算过程或推理步骤．）

16．（6分）（2013•黄冈）解方程组：

．

考点：

解二元一次方程组．3481324

专题：

计算题．

分析：

把方程组整理成一般形式，然后利用代入消元法其求即可．

解答：

解：

方程组可化为

，

由②得，x=5y﹣3③，

③代入①得，5（5y﹣3）﹣11y=﹣1，

解得y=1，

把y=1代入③得，x=5﹣3=2，

所以，原方程组的解是

．

点评：

本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．

17．（6分）（2013•黄冈）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：

∠DHO=∠DCO．

考点：

菱形的性质．3481324

专题：

证明题．

分析：

根据菱形的对角线互相平分可得OD=OB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=OB，然后根据等边对等角求出∠OHB=∠OBH，根据两直线平行，内错角相等求出∠OBH=∠ODC，然后根据等角的余角相等证明即可．

解答：

证明：

∵四边形ABCD是菱形，

∴OD=OB，∠COD=90°，

∵DH⊥AB，

∴OH=OB，

∴∠OHB=∠OBH，

又∵AB∥CD，

∴∠OBH=∠ODC，

在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO=90°，

在Rt△GHB中，∠DHO+∠OHB=90°，

∴∠DHO=∠DCO．

点评：

本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及等角的余角相等，熟记各性质并理清图中角度的关系是解题的关键．

18．（7分）（2013•黄冈）为了倡导“节约用水，从我做起”，黄冈市政府决定对市直机关500户家庭的用水情况作一次调查，市政府调查小组随机抽查了其中100户家庭一年的月平均用水量（单位：

吨）．并将调查结果制成了如图所示的条形统计图．

（1）请将条形统计图补充完整；

（2）求这100个样本数据的平均数，众数和中位数；

（3）根据样本数据，估计黄冈市直机关500户家庭中月平均用水量不超过12吨的约有多少户？

考点：

条形统计图；用样本估计总体；加权平均数；中位数；众数．3481324

分析：

（1）根据条形图中数据得出平均用水11吨的户数，进而画出条形图即可；

（2）根据平均数、中位数、众的定义分别求法即可；

（3）根据样本估计总体得出答案即可．

解答：

解：

（1）根据条形图可得出：

平均用水11吨的用户为：

100﹣20﹣10﹣20﹣10=40（户），

如图所示：

（2）平均数为：

（20×10+40×11+12×10+13×20+10×14）=11.6（吨），

根据11出现次数最多，故众数为：

11，

根据100个数据的最中间为第50和第51个数据，

按大小排列后第50，51个数据是11，故中位数为：

11；

（3）样本中不超过12吨的有20+40+10=70（户），

∴黄冈市直机关500户家庭中月平均用水量不超过12吨的约有：

500×

=350（户）．

点评：

此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．

19．（6分）（2013•黄冈）如图，有四张背面相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别是红桃、方块、黑桃、梅花，其中红桃、方块为红色，黑桃、梅花为黑色．小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后，摸出一张，将剩余3张再摸出一张．

（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌用A，B，C，D表示）；

（2）求摸出的两张牌同为红色的概率．

考点：

列表法与树状图法．3481324

分析：

（1）画出树状图即可；

（2）根据树状图可以直观的得到共有12种情况，都是红色情况有2种，进而得到概率．

解答：

解：

（1）如图所示：

（2）根据树状图可得共有12种情况，都是红色情况有2种，

概率为

=

．

点评：

本题考查概率公式，即如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=

．

20．（7分）（2013•黄冈）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB．

（1）求证：

DC为⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为3，AD=4，求AC的长．

考点：

切线的判定；相似三角形的判定与性质．3481324

分析：

（1）连接OC，由OA=OC可以得到∠OAC=∠OCA，然后利用角平分线的性质可以证明∠DAC=∠OCA，接着利用平行线的判定即可得到OC∥AD，然后就得到OC⊥CD，由此即可证明直线CD与⊙O相切于C点；

（2）连接BC，根据圆周角定理的推理得到∠ACB=90°，又∠DAC=∠OAC，由此可以得到△ADC∽△ACB，然后利用相似三角形的性质即可解决问题．

解答：

（1）证明：

连接OC

∵OA=OC

∴∠OAC=∠OCA

∵AC平分∠DAB

∴∠DAC=∠OAC

∴∠DAC=∠OCA

∴OC∥AD

∵AD⊥CD∴OC⊥CD

∴直线CD与⊙O相切于点C；

（2）解：

连接BC，则∠ACB=90°．

∵∠DAC=∠OAC，∠ADC=∠ACB=90°，

∴△ADC∽△ACB，

∴

，

∴AC2=AD•AB，

∵⊙O的半径为3，AD=4，

∴AB=6，

∴AC=2

．

点评：

此题主要考查了切线的性质与判定，解题时首先利用切线的判定证明切线，然后利用切线的想这已知条件证明三角形相似即可解决问题．

21．（8分）（2013•黄冈）为支援四川雅安地震灾区，某市民政局组织募捐了240吨救灾物资，现准备租用甲、乙两种货车，将这批救灾物资一次性全部运往灾区，它们的载货量和租金如下表：

甲种货车

乙种货车

载货量（吨/辆）

45

30

租金（元/辆）

400

300

如果计划租用6辆货车，且租车的总费用不超过2300元，求最省钱的租车方案．

考点：

一元一次不等式组的应用．3481324

分析：

根据设租用甲种货车x辆，则租用乙种6﹣x辆，利用某市民政局组织募捐了240吨救灾物资，以及每辆货车的载重量得出不等式求出即可，进而根据每辆车的运费求出最省钱方案．

解答：

解：

设租用甲种货车x辆，则租用乙种6﹣x辆，

根据题意得出：

45x+30（6﹣x）≥240，

解得：

x≥4，

则租车方案为：

甲4辆，乙2辆；甲5辆，乙1辆；甲6辆，乙0辆；

租车的总费用分别为：

4×400+2×300=2200（元），5×400+1×300=2300（元），

6×400=2400（元）＞2300（不合题意舍去），

故最省钱的租车方案是租用甲货车4辆，乙货车2辆．

点评：

此题主要考查了一元一次不等式的应用，根据已知得出不等式求出所有方案是解题关键．

22．（8分）（2013•黄冈）如图，小山顶上有一信号塔AB，山坡BC的倾角为30°，现为了测量塔高AB，测量人员选择山脚C处为一测量点，测得塔顶仰角为45°，然后顺山坡向上行走100米到达E处，再测得塔顶仰角为60°，求塔高AB（结果保留整数，

≈1.73，

≈1.41）

考点：

解直角三角形的应用-仰角俯角问题．3481324

专题：

应用题．

分析：

先判断△ACE为等腰三角形，在Rt△AEF中表示出EF、AF，在Rt△BEF中求出BF，根据AB=AF﹣BF即可得出答案．

解答：

解：

依题意可得：

∠AEB=30°，∠ACE=15°，

又∵∠AEB=∠ACE+∠CAE

∴∠CAE=15°，

即△ACE为等腰三角形，

∴AE=CE=100m，

在Rt△AEF中，∠AEF=60°，

∴EF=AEcos60°=50m，AF=AEsin60°=50

m，

在Rt△BEF中，∠BEF=30°，

∴BF=EFtan30°=50×

=

m，

∴AB=AF﹣BF=50

﹣

=

≈58（米）．

答：

塔高AB大约为58米．

点评：

本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数表示出相关线段的长度，难度一般．

23．（12分）（2013•黄冈）某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完．该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y1（元）与国内销售量x（千件）的关系为：

y1=

若在国外销售，平均每件产品的利润y2（元）与国外的销售数量t（千件）的关系为

y2=

（1）用x的代数式表示t为：

t=　6﹣x　；当0＜x≤4时，y2与x的函数关系为：

y2=　5x+80　；当　4　＜x＜　6　时，y2=100；

（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润w（千元）与国内销售数量x（千件）的函数关系式，并指出x的取值范围；

（3）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？

最大值为多少？

考点：

二次函数的应用．3481324

分析：

（1）由该公司的年产量为6千件，每年可在国内、国外市场上全部售完，可得国内销售量+国外销售量=6千件，即x+t=6，变形即为t=6﹣x；

根据平均每件产品的利润y2（元）与国外的销售数量t（千件）的关系

及t=6﹣x即可求出y2与x的函数关系：

当0＜x≤4时，y2=5x+80；当4≤x＜6时，y2=100；

（2）根据总利润=国内销售的利润+国外销售的利润，结合函数解析式，分三种情况讨论：

①0＜x≤2；②2＜x≤4；③4＜x＜6；

（3）先利用配方法将各解析式写成顶点式，再根据二次函数的性质，求出三种情况下的最大值，再比较即可．

解答：

解：

（1）由题意，得x+t=6，

∴t=6