含参不等式恒成立问题教程文件.docx

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不等式中恒成立问题的解法研究

在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。

恒成立问题的基本类型：

类型1:

:

设

f（x）

2ax

bxc（a

0），

（1）f（x）

a

0且

0；

（2）

f（x）0在x

R上恒成立

类型2:

:

设

f（x）

2ax

bxc（a

0）

（1）当

1a

0时，

f（x）

0在x

[,

］上恒成立

b

b

b

2a

或

2a或

2a

f（

）

0

0

f（）

）0

f（x）

0在x[,

］上恒成立

f（

f（

）0

）0

（2）当

Ia

0时，

f（x）

0在x

[,

］上恒成立

a

0在xR上恒成立

f（

f（

f（x）

0在x[,

］上恒成立

2af（）

类型3:

f（x）

对一切x

I恒成立

f（x）min

f（x）

对一切x

I恒成立

f（x）max

类型4:

o

b

2a

0

2a

f（）0

g（X）max

f（x）g（x）对一切xI恒成立f（x）的图象在g（x）的图象的上方或f（x）min

（XI）

恒成立问题的解题的基本思路是：

根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。

一、用一次函数的性质

对于一兀二次函数f（x）ax

bx

c0（a

0,x

（1）f（x）0在xR上恒成立

a

0且

0；

（2）f（x）0在xR上恒成立

a

0且

0

例2:

若不等式（m1）x2（m

1）x

20的解集是

、利用一元二次函数的判别式

R）有:

R，求m的范围。

解析：

要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m,所以要讨论m-1是否是0o

（1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；

三、禾I」用函数的最值（或值域）

（1）f（x）m对任意x都成立f（x）minm；

的，小的小于最小的”。

由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问

题。

例3：

在ABC中，已知

f（B）

2

4sinBsin（—

4

cos2B,且|f（B）

m|2恒成立，求实数m的范

围。

解析:

由

f（B）

2

4sinBsin（—

4

f）

cos2B2sinB

1,0B,sinB（0,1］，

f（B）

（1,3］，|f（B）

m|

2恒成立，2

f（B）m2，即

例4:

（1）求使不等式asinxcosx,x[0,]恒成立的实数a的范围。

□Q

解析：

由于函asinxcosx\2sin（x—）,x4[—，—]，显然函数

有最大值2，a、2。

如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？

请看下题：

（2）求使不等式asinxcosx,x：

（。

，亍）恒成立的实数a的范围。

解析：

我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化，这样使得ysinxcosx的最大值取不到••2，即a取••2也

满足条件，所以a2

所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数a的取值。

利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。

四：

数形结合法

对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。

例5:

已知a0,a1,f（x）x2ax,当x（1,1）时,有f（x）\恒成立，求

实数a的取值范围。

解析：

由f（x）x2ax2，得x212ax，在同一直角坐标系中做出

两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由

121a及

（1）21a1得到a分别等于2和0.5，并作出函数

22

11

y2x及y（-）x的图象，所以，要想使函数x2-ax在区间x（1,1）中

22

1

恒成立，只须y2x在区间x（1,1）对应的图象在yx21在区间

2

x（1,1）对应图象的上面即可。

当a1时,只有a2才能保证，而

11

0a1时，只有a才可以，所以a[—,1）（1,2]。

22

由此可以看出，对于参数不能单独放在一侧的，可以利用函数图象来解。

利用函数图象解题时，思路是从边界处（从相等处）开始形成的。

例6:

若当P（m,n）为圆x2（y1）21上任意一点时，不等式mnc0

恒成立，贝Uc的取值范围是（）

A、1.2c21B、,21c.21

C、c-21D、c-21

解析：

由mnc0,可以看作是点P（m,n）在直线xyc0的右侧,

而点P（m,n）在圆x1（y1）21上，实质相当于是x2（y1）21在直线的

01c0

右侧并与它相离或相切。

|0_1_c|1c21，故选D。

其实在习题中，我们也给出了一种解恒成立问题的方法，即求出不等式的解集后再进行处理。

以上介绍了常用的五种解决恒成立问题。

其实，对于恒成立问题，有时关键是能否看得出来题就是关于恒成立问题。

下面，给出一些练习题，供同学们练习。

练习题：

1、对任意实数X，不等式asinxbcosxc0（a,b,cR）恒成立

的充要条件是o[cJa2b2]

2x3x9xa

2、设yIglga在（，1]上有意义，求实数a的取值范

围.[頁,）o

9

3、当x（丄,3）时，|Logax|1恒成立，则实数a的范围是

3

4、已知不等式：

——……丄丄Loga（a1）-对一切大于

n1n2nn123

1J5

1的自然数n恒成立，求实数a的范围。

[a（1,--）]

2

含参不等式恒成立问题的求解策略

“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。

另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、

“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。

本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。

一、判别式法

若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。

一般

2

地，对于二次函数f（x）axbxc（a0,xR）,有

1）f（x）0对xR恒成立

2）f（x）0对xR恒成立

的取值范围。

综上可得实数m的取值范围为[3,1）

二、最值法

将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：

1）f（x）a恒成立af（x）min

2）f（x）a恒成立af（x）max

例3.已知f（x）7x28xa,g（x）2x4x240x，当x[3,3]时，

f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围。

解：

设F（x）

32

f（x）g（x）2x3x12xc，

•••a45即实数a的取值范围为[45,

立，求实数a的取值范围。

解：

若对任意x[1,

）,f（x）

0恒成立,

即对x[1,

考虑到不等式的分母

[1,），只需

2/”

x2xa0在x

[1,

）时恒成立而

而抛物线g（x）x2

2x

a在x[1,

）的最小值gmin（x）

g

（1）

注：

本题还可将f（x）变形为f（x）x-2，讨论其单调性从而求出f（x）最

x

小值。

三、分离变量法

若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。

这种方法本质也还是求

最值，但它思路更清晰，操作性更强。

•般地有：

1）

f（x）

g（a）（a为参数）恒成立

g（a）

f（x）max

2）

f（x）

g（a）（a为参数）恒成立

g（a）

f（x）max

实际上，上题就可利用此法解决。

略解：

x22xa0在x［1,）时恒成立，只要ax22x在

x［1,）时恒成立。

而易求得二次函数h（x）x22x在［1,）上的最大值为3，所以a3。

例5.已知函数f（x）ax.4xx2,x（0,4］时f（x）0恒成立，求实数a的取值范围。

^/4x__x2

解：

将问题转化为a4xx对x（0,4］恒成立。

x

4xx2

令g（x），则ag（x）min

x

由g（x）一—J—1可知g（x）在（0,4］上为减函数，故

x\x

g（x）ming（4）0

•••a0即a的取值范围为（,0）

注：

分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。

四、变换主元法

处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。

例6.对任意a[1,1]，不等式x（a4）x42a0恒成立，求x的取值范围。

分析：

题中的不等式是关于x的一元二次不等式，但若把a看成主元，则问题可转化为一次不等式（x2）ax24x40在a[1,1]上恒成立的问题。

解：

令f（a）（x2）ax24x4，则原问题转化为f（a）0恒成立

（a[1,1]）。

当x2时，可得f（a）0，不合题意。

当x2时，应有彳⑴0解之得x1或x3。

f

（1）0

故x的取值范围为（，1）（3,）。

注：

一般地，一次函数f（x）kxb（k0）在[,]上恒有f（x）0的

四、数形结合法

数学家华罗庚曾说过：

“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。

我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：

1）f（x）g（x）函数f（x）图象恒在函数g（x）图象上方；

2）

例7.设f（x）

4x,

求实数a的取值范围.

f（x）g（x）函数f（x）图象恒在函数g（x）图象下上方。

分析：

在同一直角坐标系中作出f（x）及g（x）的图象

如图所示，f（x）的图象是半圆（x2）2y24（y0）

g（x）的图象是平行的直线系4x3y33a0

要使f（x）g（x）恒成立，

则圆心（2,0）到直线4x3y33a0的距离

满足d

833a2

5

5

解得a5或a-（舍去）

3

由上可见，含参不等式恒成立问题因其覆盖知识点多，方法也多种多样，但其核心思想还是等价转化，抓住了这点，才能以“不变应万变”，当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结。

含参不等式恒成立问题中，求参数取值范围一般方法

恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。

大多是在不等式中，已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。

下面介绍几种常用的处理方法。

一、分离参数

在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：

若afx

恒成立，只须求出fXmax，则afXmax；若afX恒成立，只须求出fxmin，贝Uafxmin，转化为函数求最值。

a

例1、已知函数fxlgx2，若对任意x2,恒有fx0，试

x

确定a的取值范围。

解：

根据题意得：

xa21在x2,上恒成立，

x

即：

ax23x在x2,上恒成立，

2

239

设fxx3x，贝Ufxx--

4

当x2时，fxmax2所以a2

在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量

分别置于不等式的两边，即：

若fagx恒成立，只须求出gxmax，则

fagXmax，然后解不等式求出参数a的取值范围；若fagx恒成

立，只须求出gxmin，贝Ufagxmin，然后解不等式求出参数a的取值

aa24x0恒成立，求a的取值范

范围，问题还是转化为函数求最值。

例2、已知x,1时，不等式12x

围。

解：

令2xt，:

x,1t0,2所以原不等式可化为:

t1

壬在t0,2上的最小值即

t2

要使上式在t0,2上恒成立，只须求出ft

可。

tmin

a

如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两

二、分类讨论在给出的不等式中，

边，则可利用分类讨论的思想来解决。

解：

设

f

x

2x

ax3

a，则

问题转化为当x

2,2时，

fx的最小值

非负。

（1）

当

a

2即：

a

4时，

fXminf2

73a0

a-又a4

2

3

所1

以a

不存

字在；

（2）

当

2

a

2即：

4a

4时，fXmin

fa3

2

a—0

2

2

4

6

a

2又4

a4

4a2

（3）

当

a

2

2

即：

a

4时，

fxif2

min

7a0

a7又

a

4

7a

4

例3、若x

2,2时，不等式x2ax3a恒成立，求a的取值范围。

综上所得：

7a2

三、确定主元

在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量x看成是主元（未

知数），而把另一个变量a看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。

如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。

例4、若不等式2x1

mx21对满足m2的所有m都成立，求x的取值

范围

四、利用集合与集合间的关系

在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集

合之间的包含关系来求解，即：

m,nfa,ga，则fam且

gan,不等式的解即为实数a的取值范围。

解：

；1logax1

a3

1

（2）当0a1时，ax-，则问题转化为

a

1

a,—

a

解：

由题意知：

3x2logaX在

1一

x0,内恒成立，

3

在同一坐标系内，分别作出函数y3x2和ylogax

1

观察两函数图象，当x0,-时，若a1函数ylogaX的图象显然在函数

3

y3x2图象的下方，所以不成立；

11

当°a1时'由图可知，ygX的图象必须过点3,3或在这个点的上

11

方，贝U,loga--

33

1

综上得：

1a丄

27

上面介绍了含参不等式中恒成立问题几种解法，在解题过程中，要灵活运用题设条件综合分析，选择适当方法准确而快速地解题。

含参数不等式恒成立问题的解题策略（专题探究）

一、教学目标：

理解含参不等式恒成立问题特征；能充分利用化归、数形结合、函数和分类讨论等数学思想解决含参不等式恒成立问题；培养学生分析解决综合问题的能力。

二、教学方法：

启发、探究

三、教学过程：

通过含参数不等式恒成立问题的求解，通过变式、启发、引导学生探究解题策略，培养学生利用化归、数形结合、函数和分类讨论等数学思想进行解题的意识。

例题1:

已知不等式（x1）m2x1对x0,3恒成立，求实数m的取值范

变式2:

已知不等式x22ax20对x

1,2恒成立，求实数a的取值范

变式：

已知不等式（x1）m2x1对m0,3恒成立，求实数x的取值范围。

12

练习1:

已知函数f（x）-x2aln（x2）在区间1,上为减函数，求实

2

数a的取值范围。

练习2:

对于满足|p|2的所有实数p，求使不等式x2px12px恒成立的x的取值范围。

思考：

1若不等式2x1m（x21）对满足|m|2的所有m都成立，求实数x的取值

范围。

5

2、设0a5，若满足不等式|xa|b的一切实数x，能使不等式

4

1

|x门2恒成立，求正实数b的取值范围

常见不等式恒成立问题的几种求解策略

不等式恒成立问题是近几年高考以及各种考试中经常出现，它综合考查函数、方程和不等式的主要内容，并且与函数的最值、方程的解和参数的取值范围紧密相连，本文结合解题教学实践举例说明几种常见不等式恒成立问题的求解策略，以抛砖引玉。

i变量转换策略

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢19

例1已知对于任意的a€[-1,1]，函数f（x）=ax2+（2a-4）x+3-a>0恒成立，

求x的取值范围.

解析本题按常规思路是分a=0时f（x）是一次函数，a^0寸是二次函数两种情况讨论，不容易求x的取值范围。

因此，我们不能总是把x看成是变

量，把a看成常参数，我们可以通过变量转换，把a看成变量，x看成常参

数，这就转化一次函数问题，问题就变得容易求解。

令g（a）=（x2+2x-1）a-4x+3

在a€[-1,1]时，g（a）>0恒成立，则g

（1）0，得3、、13x3,13.

g

（1）0

点评对于含有两个参数，且已知一参数的取值范围，可以通过变量转换，构造以该参数为自变量的函数，利用函数图象求另一参数的取值范围。

2零点分布策略

例2已知f（x）x2ax3a，若x[2,2],f（x）0恒成立，求a的取值范围.

解析本题可以考虑f（X）的零点分布情况进行分类讨论，分无零点、零点

0

a2

在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况，即或22或

f

（2）0

f

（2）0

0

a2

2，即a的取值范围为[-7,2].

f

（2）0

f

（2）0

点评对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题，可以考虑函数的零点分布情况，要求对应闭区间上函数图象在x轴的上方或在x轴上就行了.

3函数最值策略

例3已知f（x）x2ax3a，若x[2,2],f（x）2恒成立，求a的取值范围.

解析本题可以化归为求函数f（x）在闭区间上的最值问题，只要对于任意

x

[2,2],f（x）min2.若x

[2,2],f（x）

2恒成立

x

[2,2],f（x）min

2

a2

2

f（X）min

f

（2）73a2

或

2

a2

2

2或

a2

22，即a的取值范围为

f（x）

minf（—）

2

3a

—2

4

f（x）minf

（2）7a2

[5,22-2].

点评对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问

题，可以求函数最值的方法,只要利用f（x）m恒成立f（x）minm；f（x）m恒

成立f（X）maxm.本题也可以用零点分布策略求解

4变量分离策略

例4已知函数f（x）|x24x5|，若在区间[1,5]上，ykx3k的图象位于函

数f（x）的上方，求k的取值范围.

解析本题等价于一个不等式恒成立问题，即对于

x[1,5],kx3kx24x5恒成立，式子中有两个变量，可以通过变量分离化归

x24x5

x3

为求函数的最值问题.对于x[1,5],kx3kx24x5恒成立k

y（t¥）10,t[2,8],当t4,即x=1时ymax2,k的取值范围是k>2.

变式若本题中将ykx3k改为yk（x3）2，其余条件不变，则也可以用

变量分离法解.

x[1,5]恒成立，令y

x24x5

2,x[（x3）

1,5],设x3t,t[2,8],则

y16101（45）29t[28]

y庄T104）洛t[2,8]，

当75,即X5时,ymax16,k的取值范围是吒.

点评本题通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题,

本题构造的函数求最值对学生来说有些难度，但通过换元后巧妙地转化为对

勾函数”从而求得最值.变式题中构造的函数通过换元后转化为二次函数型”从而求得最值.本题也可以用零点分布策略和函数最值策略求解

5数形结合策略

例5设函数f（x）a.x24x,g（x）axa,若恒有f（x）g（x）成立试求实

数a的取值范围.

解析由题意得f（x）g（x）■-x24xax2a,令

y1■-x24x①,y2ax2a②.

①可化为（x2）2y124（0x4,y10），它表示以（2,0）为圆心，2为半径的上

半圆；②表示经过定点（-2,0）,以a为斜率的直线，要使f（x）g（x）恒成立，只需①所表示的半圆在②所表示的直线下方就可以了（如图所示）•当直线与半

a2

圆相切时就有|2a2a|2，即a仝，由图可知，要使f（x）g（x）恒成立,3

实数a的取值范围是a严

3

点评本题通过对已知不等式变形处理后，挖掘不等式两边式子的几何意义，通过构造函数，运用数形结合的思想来求参数的取值范围，不仅能使问题变得直观，同时也起到了化繁为简的效

6消元转化策略

例6已知f（x）是定义在[-1,1]上的奇函数，且f

（1）=1,若

m,n[1,1],mn0时一0，若f（x）t22at1对于所有的mn

x[1,1],a[1,1]恒成立，求实数t的取值范围.

解析本题不等式中有三个变量，因此可以通过消元转化的策略，先消去

一个变量，容易证明f（x）是定义在[-1,1]上的增函数，故f（x）在[-1,1]上的最大值

为f

（1）=1，则f（x）t22at1对于所有的x[1,1],a[1,1]恒成立1t22at1

对于所有的a[1,1]恒成立，即2tat20对于所有的a[1,1]恒成立，令

g（a）2tat2，只要g

（1）0，t2或t2或t0.

g

（1）0

点评对于含有两个以上变量的不等式恒成立问题，可以根据题意依次进行消元转化，从而转化为只含有两变量的不等式问题，使问题得到解决.

以上介