二次函数的图像与性质专题练习.docx

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二次函数的图像与性质专题练习

二次函数的图像与性质专题练习

1．（）如图是二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y2=mx+n（m≠0）的图象，当y2＞y1，x的取值范围是　_________　．

2．（2011•扬州）如图，已知函数y=与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P．点P的纵坐标为1．则关于x的方程ax2+bx+=0的解为　_________　．

3．（2011•黑龙江）抛物线y=﹣（x+1）2﹣1的顶点坐标为　_________　．

4．（2011•淮安）抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是　_________　．

5．（2010•扬州）抛物线y=2x2﹣bx+3的对称轴是直线x=1，则b的值为　_________　．

6．（2009•西宁）二次函数y=﹣x2+x﹣的图象的顶点坐标为　_________　．

7．（2008•大庆）抛物线y=﹣3x2+1的顶点坐标是　_________　．

8．（2012•牡丹江）若抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，10），则a﹣b+c=　_________　．

9．（2012•大庆）已知二次函数y=﹣x2﹣2x+3的图象上有两点A（﹣7，y1），B（﹣8，y2），则y1　_________　y2．（用＞、＜、=填空）．

10．（2008•白银）抛物线y=x2+x﹣4与y轴的交点坐标为　_________　．

11．（2007•黄石）二次函数y=a（x﹣1）2+bx+c（a≠0）的图象经过原点的条件是　_________　．

12．（2007•黑龙江）抛物线y=x2+bx+3经过点（3，0），则b的值为　_________　．

13．（2006•攀枝花）已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（1，3）与（﹣1，5），则a+c的值是　_________　．

14．若二次函数y=mx2﹣3x+2m﹣m2的图象经过原点，则m=　_________　．

15．抛物线y=x2+8x﹣4与直线x=4的交点坐标是　_________　．

16．（2012•深圳）二次函数y=x2﹣2x+6的最小值是　_________　．

17．（2011•泉州）已知函数y=﹣3（x﹣2）2+4，当x=　_________　时，函数取得最大值为　_________　．

18．（2009•荆门）函数y=（x﹣2）（3﹣x）取得最大值时，x=　_________　．

19．（2008•黄石）若实数a，b满足a+b2=1，则2a2+7b2的最小值是　_________　．

20．二次函数y=ax2﹣4x﹣13a有最小值﹣17，则a=　_________　．

21．（2011•济宁）将二次函数y=x2﹣4x+5化成y=（x﹣h）2+k的形式，则y=　_________　．

22．（2000•河南）用配方法将二次函数y=4x2﹣24x+26写y=a（x﹣h）2+k的形式是　_________　．

23．y=﹣配方成y=a（x﹣h）2+k的形式是　_________　．

24．（2012•上海）将抛物线y=x2+x向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是　_________　．

25．（2011•昭通）把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x2﹣2x+3，则b的值为　_________　．

26．（2011•雅安）将二次函数y=（x﹣2）2+3的图象向右平移2个单位，再向下平移2个单位，所得二次函数的解析式为　_________　．

27．（2012•宁波）把二次函数y=（x﹣1）2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为　_________　．

28．（2011•德阳）在平面直角坐标系中，函数y=﹣3x2的图象不动，将x轴、y轴分别向下、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的顶点坐标是　_________　．

29．（2010•黑河）抛物线y=x2﹣4x+与x轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是　_________　．

30．（2010•金华）已知二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解为　_________　．

31．（2007•天水）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，它的顶点的横坐标为﹣1，由图象可知关于x的方程ax2+bx+c=0的两根为x1=1，x2=　_________　．

32．（2006•兰州）开口向下的抛物线y=（m2﹣2）x2+2mx+1的对称轴经过点（﹣1，3），则m=　_________　．

33．（2005•温州）若二次函数y=x2﹣4x+c的图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c=　_________　．（只要求写出一个）．

34．（2006•泰安）抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：

x

…

﹣3

﹣2

﹣1

0

1

…

y

…

﹣6

0

4

6

6

…

容易看出，（﹣2，0）是它与x轴的一个交点，则它与x轴的另一个交点的坐标为　_________　．

35．（2012•孝感）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=1，其图象的一部分如图所示．对于下列说法：

①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③3a+c＜0；④当﹣1＜x＜3时，y＞0．

其中正确的是　_________　（把正确的序号都填上）．

36．（2012•天水）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：

①b＞0；②c＜0；③|a+c|＜|b|；④4a+2b+c＞0．

其中正确的结论有　_________　（填写序号）．

37．（2010•玉溪）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断①c＞0；②a+b+c＜0；③2a﹣b＜0；④b2+8a＞4ac中正确的是（填写序号）　_________　．

38．（2012•枣庄）二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是　_________　．

39．（2010•日照）如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为B（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是　_________　．

40．已知一次函数y1=kx+m和二次函数y2=ax2+bx+c的图象如图所示，它们的两个交点的横坐标是1和4，那么能够使得y1＜y2的自变量x的取值范围是　_________　．

二．解答题（共4小题）

1．（2012•佳木斯）如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）写出顶点坐标及对称轴；

（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB=3，求点B的坐标．

2．（2012•绥化）如图，二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）．

（1）求二次函数的解析式；

（2）在抛物线上存在点P，满足S△AOP=8，请直接写出点P的坐标．

3．（2012•徐州）二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）．

（1）求b、c的值；

（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；

（3）在所给坐标系中画出二次函数y=x2+bx+c的图象．

4．（2011•佛山）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，﹣1）、B（0，2）、C（1，3）；

（1）求二次函数的解析式；

（2）画出二次函数的图象．

二次函数的图像与性质专题练习

参考答案与试题解析

一．填空题（共30小题）

1．（）如图是二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y2=mx+n（m≠0）的图象，当y2＞y1，x的取值范围是　﹣2＜x＜1　．

考点：

二次函数的图象；一次函数的图象．353143

分析：

关键是从图象上找出两函数图象交点坐标，再根据两函数图象的上下位置关系，判断y2＞y1时，x的取值范围．

解答：

解：

从图象上看出，两个交点坐标分别为（﹣2，0），（1，3），

∴当有y2＞y1时，有﹣2＜x＜1，

故答案为：

﹣2＜x＜1．

点评：

此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．

2．（2011•扬州）如图，已知函数y=与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P．点P的纵坐标为1．则关于x的方程ax2+bx+=0的解为　x=﹣3　．

考点：

二次函数的图象；反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征．353143

专题：

探究型．

分析：

先根据点P的纵坐标为1求出x的值，再把于x的方程ax2+bx+=0化为于x的方程ax2+bx=﹣=0的形式，此方程就化为求

函数y=与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交点的横坐标，由求出的P点坐标即可得出结论．

解答：

解：

∵P的纵坐标为1，

∴1=﹣，

∴x=﹣3，

∵ax2+bx+=0化为于x的方程ax2+bx=﹣的形式，

∴此方程的解即为两函数图象交点的横坐标的值，

∴x=﹣3．

故答案为：

x=﹣3．

点评：

本题考查的是二次函数的图象与反比例函数图象的交点问题，能把方程的解化为两函数图象的交点问题是解答此题的关键．

3．（2011•黑龙江）抛物线y=﹣（x+1）2﹣1的顶点坐标为　（﹣1，﹣1）　．

考点：

二次函数的性质．353143

分析：

根据二次函数顶点形式，直接可以得出二次函数的顶点坐标．

解答：

解：

∵抛物线y=﹣（x+1）2﹣1，

∴抛物线y=﹣（x+1）2﹣1的顶点坐标为：

（﹣1，﹣1）．

故答案为：

（﹣1，﹣1）．

点评：

此题主要考查了二次函数的性质，同学们应根据题意熟练地应用二次函数性质，这是中考中考查重点知识．

4．（2011•淮安）抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是　（1，2）　．

考点：

二次函数的性质．353143

分析：

已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．

解答：

解：

∵y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2，

∴抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是（1，2）．

点评：

此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h，此题还考查了配方法求顶点式．

5．（2010•扬州）抛物线y=2x2﹣bx+3的对称轴是直线x=1，则b的值为　4　．

考点：

二次函数的性质．353143

分析：

已知抛物线的对称轴，利用对称轴公式可求b的值．

解答：

解：

∵y=2x2﹣bx+3，对称轴是直线x=1，

∴=1，即﹣=1，解得b=4．

点评：

主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法：

公式法：

y=ax2+bx+c的顶点坐标为（，），对称轴是x=．

6．（2009•西宁）二次函数y=﹣x2+x﹣的图象的顶点坐标为　（1，﹣2）　．

考点：

二次函数的性质．353143

分析：

已知二次函数的一般式，直接利用顶点公式求顶点坐标．

解答：

解：

根据顶点坐标公式，x==1，y==﹣2，即顶点坐标为（1，﹣2）．

故答案为：

（1，﹣2）．

点评：

主要考查了求抛物线顶点坐标的方法．

7．（2008•大庆）抛物线y=﹣3x2+1的顶点坐标是　（0，1）　．

考点：

二次函数的性质．353143

分析：

利用顶点坐标公式（﹣，），直接求解．

解答：

解：

∵x=﹣=﹣=0，y===1，

∴顶点坐标是（0，1）．

点评：

熟练运用顶点公式求抛物线的顶点坐标．

8．（2012•牡丹江）若抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，10），则a﹣b+c=　10　．

考点：

二次函数图象上点的坐标特征．353143

专题：

计算题．

分析：

由于函数图象上的点符合函数解析式，将该点坐标代入解析式即可．

解答：

解：

将（﹣1，10）代入y=ax2+bx+c得，

a﹣b+c=10．

故答案为10．

点评：

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，知道函数图象上的点符合函数解析式是解题的关键．

9．（2012•大庆）已知二次函数y=﹣x2﹣2x+3的图象上有两点A（﹣7，y1），B（﹣8，y2），则y1　＞　y2．（用＞、＜、=填空）．

考点：

二次函数图象上点的坐标特征．353143

分析：

先根据已知条件求出二次函数的对称轴，再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出y1与y2的大小关系．

解答：

解：

∵二次函数y=﹣x2﹣2x+3的对称轴是x=﹣1，开口向下，

∴在对称轴的左侧y随x的增大而增大，

∵点A（﹣7，y1），B（﹣8，y2）是二次函数y=﹣x2﹣2x+3的图象上的两点，

﹣7＞﹣8，

∴y1＞y2．

故答案为：

＞．

点评：

本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，在解题时要能灵活应用二次函数的图象和性质以及点的坐标特征是本题的关键．

10．（2008•白银）抛物线y=x2+x﹣4与y轴的交点坐标为　（0，﹣4）　．

考点：

二次函数图象上点的坐标特征．353143

分析：

y轴上点的坐标横坐标为0，纵坐标为y=﹣4，坐标为（0，﹣4）．

解答：

解：

把x=0代入得，y=﹣4，即交点坐标为（0，﹣4）．

点评：

本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，要明确y轴上点的坐标横坐标为0．

11．（2007•黄石）二次函数y=a（x﹣1）2+bx+c（a≠0）的图象经过原点的条件是　a+c=0　．

考点：

二次函数图象上点的坐标特征．353143

分析：

利用二次函数图象经过原点即是x=0时y=0．

解答：

解：

∵二次函数y=a（x﹣1）2+bx+c（a≠0），

∴x和y的值同时为0．

∴0=a×1+c．

即a+c=0．

点评：

考查二次函数图象上点的坐标特征．

12．（2007•黑龙江）抛物线y=x2+bx+3经过点（3，0），则b的值为　﹣4　．

考点：

二次函数图象上点的坐标特征．353143

分析：

将点（3，0）代入y=x2+bx+3，即可求得b的值．

解答：

解：

把点（3，0）代入y=x2+bx+3，得

9+3b+3=0，

∴b=﹣4．

点评：

此题考查了点与函数的关系，点在函数上，将点代入解析式即可．

13．（2006•攀枝花）已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（1，3）与（﹣1，5），则a+c的值是　4　．

考点：

二次函数图象上点的坐标特征．353143

分析：

把两点的坐标代入二次函数的解析式，通过变形，即可求得a+c的值．

解答：

解：

将点（1，3）与（﹣1，5）代入y=ax2+bx+c得：

∴两式相加得2a+2c=8

∴a+c=4．

点评：

解答此题，要注意函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，且注意整体思想的应用．

14．若二次函数y=mx2﹣3x+2m﹣m2的图象经过原点，则m=　2　．

考点：

二次函数图象上点的坐标特征．353143

分析：

此题可以将原点坐标（0，0）代入y=mx2﹣3x+2m﹣m2，求得m的值即可．

解答：

解：

由于二次函数y=mx2﹣3x+2m﹣m2的图象经过原点，

代入（0，0）得：

2m﹣m2=0，

解得：

m=2，m=0；

又∵m≠0，

∴m=2．

点评：

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，通过代入点的坐标即可求解，较为简单．

15．抛物线y=x2+8x﹣4与直线x=4的交点坐标是　（4，44）　．

考点：

二次函数图象上点的坐标特征．353143

分析：

将x=4代入y=x2+8x﹣4中求y，可确定交点坐标．

解答：

解：

将x=4代入y=x2+8x﹣4中，得y=42+8×4﹣4=44，

故交点坐标为（4，44）．

点评：

本题考查了两图象交点坐标的求法，联立解析式，解方程组即可．

16．（2012•深圳）二次函数y=x2﹣2x+6的最小值是　5　．

考点：

二次函数的最值．353143

专题：

计算题．

分析：

利用配方法将原式化为顶点式，即可求出二次函数的最小值．

解答：

解：

原式=x2﹣2x+1+5

=（x﹣1）2+5，

可见，二次函数的最小值为5．

故答案为5．

点评：

本题考查了二次函数的最值，将原式化为顶点式是解题的关键．

17．（2011•泉州）已知函数y=﹣3（x﹣2）2+4，当x=　2　时，函数取得最大值为　4　．

考点：

二次函数的最值．353143

分析：

由抛物线的顶点式y=﹣3（x﹣2）2+4，得到抛物线的顶点坐标为（2，4），又a=﹣3＜0，抛物线的开口向下，于是x=2时，函数有最大值为4．

解答：

解：

∵y=﹣3（x﹣2）2+4，

∴抛物线的顶点坐标为（2，4），

又∵a=﹣3＜0，

∴抛物线的开口向下，顶点是它的最高点，

∴x=2时，函数有最大值为4．

故答案为：

2，4．

点评：

本题考查了抛物线的顶点式：

y=a（x﹣h）2+k（a≠0），顶点坐标为（h，k），当a＜0，抛物线的开口向下，顶点是它的最高点，即函数值有最大值，x=h，函数值的最大值=k．

18．（2009•荆门）函数y=（x﹣2）（3﹣x）取得最大值时，x=　　．

考点：

二次函数的最值．353143

分析：

先把二次函数化为一般式或顶点式的形式，再求其最值即可．

解答：

解：

原二次函数可化为y=﹣x2+5x﹣6=﹣（x﹣）2+，取得最大值时x=﹣=．

点评：

求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．

19．（2008•黄石）若实数a，b满足a+b2=1，则2a2+7b2的最小值是　2　．

考点：

二次函数的最值．353143

分析：

根据a+b2=1求出a的取值范围，再把代数式变形，然后结合结合函数的性质及b的取值范围求得结果．

解答：

解：

∵a+b2=1，

∴a=1﹣b2

∴2a2+7b2=2（1﹣b2）2+7b2=2b4+3b2+2=2（b2+）2+2﹣=2（b2+）2+，

∵b2≥0，

∴2（b2+）2+＞0，

∴当b2=0，即b=0时，2a2+7b2的值最小．

∴最小值是2．

方法二：

∵a+b2=1，

∴b2=1﹣a，

∴2a2+7b2=2a2+7（1﹣a）=2a2﹣7a+7=2（a﹣）2+，

∵b2≥0，

∴1﹣a≥0，

∴a≤1，

∴当a=1，即b=0时，2a2+7b2的值最小．

∴最小值是2．

点评：

此题比较复杂，是中学阶段的难点，综合性比较强，解答此题的关键是先求出b的取值范围，再把已知代数式变形后代入未知，把求代数式的最小值转化为求函数式的最小值，结合函数的性质及b的取值范围解答．

20．二次函数y=ax2﹣4x﹣13a有最小值﹣17，则a=　1或　．

考点：

二次函数的最值．353143

分析：

本题考查二次函数最大（小）值的求法．

解答：

解：

∵二次函数y=ax2﹣4x﹣13a有最小值﹣17，

∴a＞0，

y最小值===﹣13a2﹣4=﹣17，

解得a=1或，

均合题意．

点评：

求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=﹣x2﹣2x+5，y=3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单．

21．（2011•济宁）将二次函数y=x2﹣4x+5化成y=（x﹣h）2+k的形式，则y=　（x﹣2）2+1　．

考点：

二次函数的三种形式．353143

专题：

常规题型．

分析：

将二次函数y=x2﹣4x+5的右边配方即可化成y=（x﹣h）2+k的形式．

解答：

解：

y=x2﹣4x+5，

y=x2﹣4x+4﹣4+5，

y=x2﹣4x+4+1，

y=（x﹣2）2+1．

故答案为：

y=（x﹣2）2+1．

点评：

本题考查了二次函数的三种形式：

一般式：

y=ax2+bx+c，顶点式：

y=a（x﹣h）2+k；两根式：

y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．

22．（2000•河南）用配方法将二次函数y=4x2﹣24x+26写y=a（x﹣h）2+k的形式是　y=4（x﹣3）2﹣10　．

考点：

二次函数的三种形式．353143

专题：

配方法．

分析：

利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．

解答：

解：

y=4x2﹣24x+26=4（x2﹣6x+9）﹣36+26=4（x﹣3）2﹣10

故本题答案为：

y=4（x﹣3）2﹣10．

点评：

二次函数的解析式有三种形式：

（1）一般式：

y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；

（2）顶点式：

y=a（x﹣h）2+k；

（3）交点式（与x轴）：

y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．

23．y=﹣配方成y=a（x﹣h）2+k的形式是　y=﹣0.5（x﹣2）2+3　．

考点：

二次函数的三种形式．353143

分析：

利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．

解答：

解：

y=﹣x2+2x+1=﹣（x2﹣4x+4）+2+1=﹣0.5（x﹣2）2﹣3

故本题答案为：

y=﹣0.5（x﹣2）2﹣3．

点评：

二次函数的解析式有三种形式：

（1）一般式：

y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；

（2）顶点式：

y=a（x﹣h）2+k；

（3）交点式（与x轴）：

y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．

24．（2012•上海）将抛物线y=x2+x向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是　y=x2+x﹣2　．

考点：

二次函数图象与几何变换．353143

分析：

根据向下平移，纵坐标要减去2，即可得到答案．

解答：

解：

∵抛物线y=x2+x向下平移2个单位，

∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣2，

故答案为y=x2+x﹣2．

点评：

本题考查了二次函数的图象与几何变换，向下平移|a|个单位长度纵坐标要减|a|．

25．（2011•昭通）把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x2﹣2x+3，则b的值为　4　．

考点：

二次函数图象与几何变换．353143

专题：

常规题型．

分析：

由y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+