北师大版初三下数学第92讲正多边形与圆学生版著名机构讲义.docx
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北师大版初三下数学第92讲正多边形与圆学生版著名机构讲义
正多边形与圆
1.掌握圆内接多边形的性质;
2.掌握内接圆的性质;
3.掌握圆内接多边形和内接圆的应用.
1.三角形的内心、外心、重心、垂心
(1)三角形的内心:
是三角形__________的交点,它是三角形内切圆的圆心,在三角形内部,它到三角形三边的距离相等,通常用“I”表示.
(2)三角形的外心:
是三角形__________的交点,它是三角形外接圆的圆心,锐角三角形外心在三角形内部,直角三角形的外心是斜边中点,钝角三角形外心在三角形外部,三角形外心到三角形三个顶点的距离相等,通常用O表示.
(3)三角形重心:
是三角形三边中线的交点,在三角形内部;它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍,通常用G表示.
(4)垂心:
是三角形三边高线的交点.
2.三角形的内切圆、外接圆
三角形的内切圆:
对比三角形的外接圆来学习三角形的内切圆
三角形的外接圆:
经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆
三角形外接圆的圆心叫三角形的外心
三角形的外心到三角形______________相等
三角形的外心是三角形三边中垂线的交点
三角形的内切圆:
与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆
三角形内切圆的圆心叫三角形的内心
三角形的内心到_________的距离相等
三角形的内心是三角形三角平分线的交点
3.圆内接四边形和外切四边形
(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形,圆内接四边形对角________,外角等于内对角.
(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形,圆外切四边形______________.
4.正多边形与圆
在正多边形的有关计算中,如果分别以αn、an、rn、Rn、Pn和Sn表示正n(n≥3,n为整数)边形的中心角、边长、边心距、半径、周长和面积,则有:
①αn=;②an=2Rn·sin;③rn=Rn·cos;④+;
⑤Pn=nan;⑥Sn=Pnrn;⑦Sn=nsin.(因为一个三角形的面积为:
h·OB)
注意两点:
1.构造直角三角形(弦心距、边长的一半、半径组成的)求线段之间的关系等;
2.准确记忆相关公式。
1.利用三角形的内心求角度
【例1】(湖北宜昌一模)如图,点O是△ABC的内切圆的圆心,若∠BAC=80°,则∠BOC=()
A.130°B.100°C.50°D.65°
练习1.如图,I是△ABC内心,则∠BIC与∠A的关系是(D)
A.∠BIC=2∠AB.∠BIC=180°-∠AC.∠BIC=D.∠BIC=
练习2.(湖北恩施一模)如图,圆O是△ABC的内切圆,与三角形三边分别切于D、E、F,知∠B=50°,∠C=60°,则∠EDF=。
2.三角形外接圆问题
【例2】正三角形的外接圆半径是R,则它的边长是()
A.0.5RB.RC.RD.R
练习3.若三角形的三边长分别为1,1和,则外接圆的半径为____________。
练习4.等边三角形的边长为4cm,它的外接圆的面积为____________。
3.内切、外接、外切问题的综合
【例3】正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O上,点P在劣弧上不同于点C得到任意一点,则∠BPC的度数是()
A.B.C.D.。
练习5.同一个圆的外切正方形和内接正方形的相似比是()
A.2:
1B.1:
2C.D.
练习6.△ABC中设I是△ABC的内心,O是△ABC的外心,⑴若∠A=80°,则∠BIC=________,∠BOC=________.⑵若∠A=a,则∠BIC=________,∠BOC=________.
4.内切圆综合题
【例4】已知:
如图,△ABC三边BC=a,CA=b,AB=c,它的内切圆O的半径长为r.求△ABC的面积S.
练习7.已知:
如图,⊙O内切于△ABC,∠BOC=105°,∠ACB=90°,AB=20cm.求BC、AC的长.
练习8.已知:
如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C=90°.
(1)若AC=12cm,BC=9cm,求⊙O的半径r;
(2)若AC=b,BC=a,AB=c,求⊙O的半径r.
5.正多边形和圆
【例5】正六边形两条对边之间的距离是2,则它的边长是()
A.
B.
C.
D.
练习9.求证圆的外切正多边形的面积等于其周长与圆的半径的积的一半.
练习10.如图,若正六边形的面积为6,求正六边形内切圆的内接正三角形的面积.
练习11.正三角形的边心距、半径和高的比是()
A.1∶2∶3B.
C.
D.
【例6】周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积
之间的大小关系是()
A.
B.
C.
D.
练习12.如图所示,正五边形的对角线AC和BE相交于点M,求证:
(1)
;
(2)
练习13.已知正六边形ABCDEF的半径为2cm,求这个正六边形的边长、周长和面积。
练习14.已知正方形的边长为2cm,求它的外接圆的外切正三角形的边长和面积。
1.三角形的外心是()
A.三条中线的交点B.三条中垂线的交点
C.三条高的交点D.三条角平分线的交点
2.正多边形一定是()
A.轴对称图形B.中心对称图形
C.既是中心对称图形又是轴对称图形D.都不对
3.如图,两圆相交于A,B两点,小圆经过大圆的圆心O,点C,D分别在两圆上,若∠ADB=100°,则∠ACB的度数为()
A.35°B.40°C.50°D.80°
4.从圆外一点向半径为9的圆作切线,已知切线长为18,从这点到圆的最短距离为().
A.9B.9(-1)C.9(-1)D.9
5.在△ABC中,若∠C=90°,∠A=30°,AC=3,则内切圆半径为____________。
6.若正多边形的内角和是720°,则这个多边形是正____________边形。
7.已知正多边形的中心角为120°,边长为3,则其半径长为____________。
8.若正三角形和正六边形的面积相等,则它们的边长之比为___________。
9.如图,PA、PB分别切圆O于A、B,⑴C为优弧AB上的一点,若∠P=50°,则∠ACB=。
⑵D为劣弧AB上的一点,若∠P=50°,则∠ADB=。
变式:
上题中,PA、PB分别切⊙O于A、B,C为优弧AB上一点,若∠ACB=a,则∠APB=()
A.180°-aB.90°-aC.90°+aD.180°-2a
10.△ABC的内切圆半径为R,△ABC的周长为L,则△ABC的面积为。
变式:
如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB、BC、CA的长分别为c、a、b,则△ABC的内切圆半径为。
11.边长为a的正三角形的内切圆的半径为。
12.EB、EC是⊙O的两条切线,B、C是切点,A.D是⊙O上两点,如果∠E=46°,∠DCF=32°,求∠A的度数.
13.已知:
如图,四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和⊙O分别相切于L、M、N、P.
求证:
AB+CD=AD+BC.
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1.在圆内接四边形ABCD中,则∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4,则∠D=度
2.一个直角三角形的两直角边长分别为6cm和8cm,则其外接圆的半径为cm,内切圆的半径为cm。
3.圆O内切Rt△ABC,切点分别是D、E、F,则四边形OECF是_______.
4.(甘肃定西一模)如图,在△ABC中,,cosB.如果⊙O的半径为cm,且经过点B、C,那么线段AO=cm.
5.(湖南怀化期末)如图,、分别切⊙于点、,点是⊙上一点,且,则_____度.
6.(安徽一模)△ABC中,AB=AC,∠A为锐角,CD为AB边上的高,I为△ACD的内切圆圆心,则∠AIB的度数是()
A.120°B.125°C.135°D.150°
7.(四川绵阳一中期末)一个钢管放在V形架内,右图是其截面图,O为钢管的圆心.如果钢管的半径为25cm,∠MPN=60,则OP=()
A.50cmB.25cmC.cmD.50cm
8.同圆的内接正方形和外切正方形的周长之比为()
A.∶1B.2∶1C.1∶2D.1∶
9.下列说法中,不正确的是()
A.三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点
B.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部
C.垂直于半径的直线是圆的切线
D.三角形的内心到三角形的三边的距离相等
10.给出下列说法:
①任意一个三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆;
②任意一个圆一定有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形;
③任意一个三角形一定有一个内切圆,并且只有一个内切圆;
④任意一个圆一定有一个外切三角形,并且只有一个外切三角形.
其中正确的有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
11.一个直角三角形的斜边长为8,内切圆半径为1,则这个三角形的周长等于()
A.21B.20C.19D.18
12.如图,⊙I是△ABC的内切圆,切点分别为点D、E、F,若∠DEF=52o,则∠A的度为________.
13.如图,一圆内切于四边形ABCD,且AB=16,CD=10,则四边形ABCD的周长为________.
14.如图,已知⊙O是△ABC的内切圆,∠BAC=50o,则∠BOC为____________度.
15.如图,AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F,若AD=20,求△ABC的周长.
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