系统的能控性与能观性分析及状态反馈极点配置要点.docx
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系统的能控性与能观性分析及状态反馈极点配置要点
实验报告
课程自动控制原理实验日期12月26日
专业班级姓名学号
实验名称系统的能控性与能观性分析及状态反馈极点配置评分
批阅教师签字
一、实验目的
加深理解能观测性、能控性、稳定性、最小实现等观念,掌握状态反馈极点配置方法,掌握如何使用MATLAB进行以下分析和实现。
1、系统的能观测性、能控性分析;
2、系统的最小实现;
3、进行状态反馈系统的极点配置;
4、研究不同配置对系统动态特性的影响。
二、实验内容
1.能控性、能观测性及系统实现
(a)了解以下命令的功能;自选对象模型,进行运算,并写出结果。
gram,ctrb,obsv,lyap,ctrbf,obsvf,mineral;
(b)已知连续系统的传递函数模型,
,当a分别取-1,0,1时,判别系统的能控性与能观测性;
(c)已知系统矩阵为
,
,
,判别系统的能控性与能观测性;
(d)求系统
的最小实现。
2.实验内容
原系统如图1-2所示。
图中,X1和X2是可以测量的状态变量。
图1-2系统结构图
试设计状态反馈矩阵
使系统加入状态反馈后其动态性能指标满足给定的要求:
(1)已知:
K=10,T=1秒,要求加入状态反馈后系统的动态性能指标为:
σ%≤20%,ts≤1秒。
(2)已知:
K=1,T=0.05秒,要求加入状态反馈后系统的动态性能指标为:
σ%≤5%,ts≤0.5秒。
状态反馈后的系统,如图1-3所示:
图1-3状态反馈后系统结构图
分别观测状态反馈前后两个系统的阶跃响应曲线,并检验系统的动态性能
指标是否满足设计要求。
三、实验环境
1、计算机1台;
2、MATLAB6.5软件1套。
四、实验原理(或程序框图)及步骤
1、系统能控性、能观性分析
设系统的状态空间表达式如下:
(1-1)
其中A为n×n维状态矩阵;B为n×m维输入矩阵;C为p×n维输出矩阵;D为p×m维传递矩阵,一般情况下为0。
系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的关系如式(1-2)所示:
(1-2)
式(1-2)中,
表示传递函数阵的分子阵,其维数是p×m;
表示传递函数阵的分母多项式,按s降幂排列的后,各项系数用向量表示。
系统的能控性、能观测性分析是多变量系统设计的基础,包括能控性、能观测性的定义和判别。
系统状态能控性定义的核心是:
对于线性连续定常系统(1-1),若存在一个分段连续的输入函数u(t),在有限的时间(t1-t0)内,能把任一给定的初态x(t0)转移至预期的终端x(t1),则称此状态是能控的。
若系统所有的状态都是能控的,则称该系统是状态完全能控的。
状态能控性判别方法分为2种:
一般判别和直接判别法,后者是针对系统的系数阵A是对角标准形或约当标准形的系统,状态能控性判别时不用计算,应用公式直接判断,是一种直接简易法;前者状态能控性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。
状态能控性判别式为:
(1-3)
系统状态能观测性的定义:
对于线性连续定常系统(1-1),如果对t0时刻存在ta,t0 ,根据[t0,ta]上的y(t)的测量值,能够唯一地确定系统在t0时刻的任意初始状态x0,则称系统在t0时刻是状态完全能观测的,或简称系统在[t0,ta]区间上能观测。 状态能观测性判别方法也分为2种: 一般判别和直接判别法,后者是针对系统的系数阵A是对角标准形或约当标准形的系统,状态能观性判别时不用计算,应用公式直接判断,是一种直接简易法;前者状态能观测性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。 状态能观测性判别式为: (1-4) 系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的有(1-2)式所示关系。 已知系统的传递函数阵表述,求其满足(1-2)式所示关系的状态空间表达式,称为实现。 实现的方式不唯一,实现也不唯一。 其中,当状态矩阵A具有最小阶次的实现称为最小实现,此时实现具有最简形式。 2、状态反馈极点配置 一个受控系统只要其状态是完全能控的,则闭环系统的极点可以任意配置。 极点配置有两种方法: ①采用变换矩阵T,将状态方程转换成可控标准型,然后将期望的特征方程和加入状态反馈增益矩阵K后的特征方程比较,令对应项的系数相等,从而决定状态反馈增益矩阵K;②基于Carlay-Hamilton理论,它指出矩阵状态矩阵A满足自身的特征方程,改变矩阵特征多项式 的值,可以推出增益矩阵K,这种方法推出增益矩阵K的方程式叫Ackermann公式。 五、程序源代码 1. >>num=[1-1];den=[1102718];[a,b,c,d]=tf2ss(num,den); >>Qc=ctrb(a,b) Qc= 1-1073 01-10 001 >>rank(Qc) ans= 3 >>Qo=obsv(a,c) Qo= 01-1 1-10 -11-27-18 >>rank(Qo) ans= 3 >>num=[10];den=[1102718];[a,b,c,d]=tf2ss(num,den); >>Qc=ctrb(a,b) Qc= 1-1073 01-10 001 >>rank(Qc) ans= 3 >>Qo=obsv(a,c) Qo= 010 100 -10-27-18 >>rank(Qo) ans= 3 >>num=[11];den=[1102718];[a,b,c,d]=tf2ss(num,den); >>Qc=ctrb(a,b) Qc= 1-1073 01-10 001 >>rank(Qc) ans= 3 >>Qo=obsv(a,c) Qo= 011 110 -9-27-18 >>rank(Qo) ans= 2 2. >>a=[6.666-10.667-0.333;101;012];b=[011]';c=[102]; >>Qc=ctrb(a,b) Qc= 0-11.0000-84.9920 1.00001.0000-8.0000 1.00003.00007.0000 >>rank(Qc) ans= 3 >>Qo=obsv(a,c) Qo= 1.000002.0000 6.6660-8.66703.6670 35.7686-67.4392-3.5528 >>rank(Qo) ans= 3 3. >>num=[11];den=[1102718];[A,B,C,D]=tf2ss(num,den) A= -10-27-18 100 010 B= 1 0 0 C= 011 D= 0 >>[Am,Bm,Cm,Dm]=minreal(A,B,C,D) 1stateremoved. Am= -17.2017-8.5677 18.56778.2017 Bm= 0.5774 -0.5774 Cm= 1.00001.0000 Dm= 0 4. (1) >>A=[-1/110/1;-10];B=[0;1];C=[10]; >>p=[-5+sqrt(-75);-5-sqrt(-75)] p= -5.0000+8.6603i -5.0000-8.6603i >>k=place(A,B,p) k= 8.10009.0000 >>[num,den]=ss2tf(A,B,C,D) num= 00.000010.0000 den= 1.00001.000010.0000 >>t=0: 0.05: 12;sys=tf(num,den);step(sys,t);grid; >>[num,den]=ss2tf(A-B*k,B,C,D) num= 0010.0000 den= 1.000010.0000100.0000 >>t=0: 0.05: 12;sys=tf(num,den);step(sys,t);grid; (2) >>A=[-1/0.051/0.05;-10];B=[0;1];C=[10]; >>p=[-7+sqrt(-51);-7-sqrt(-51)] p= -7.0000+7.1414i -7.0000-7.1414i >>k=place(A,B,p) k= 10.0000-6.0000 >>[num,den]=ss2tf(A,B,C,D) num= 0020 den= 12020 >>t=0: 0.05: 12;sys=tf(num,den);step(sys,t);grid; >>[num,den]=ss2tf(A-B*k,B,C,D) num= 00.000020.0000 den= 1.000014.0000100.0000 >>t=0: 0.05: 12;sys=tf(num,den);step(sys,t);grid; 六、实验数据、结果分析 1. (1)系统能观,能控 (2)系统能观,能控 (3)系统能观,能控 2. 系统能观,能控 3. Am= -17.2017-8.5677 18.56778.2017 Bm= 0.5774 -0.5774 Cm= 1.00001.0000 Dm= 0 4. (1)状态反馈前 状态反馈后 (2)状态反馈前 状态反馈后 思考题: 1.输出反馈能使系统极点任意配置吗? 不能,对完全能控的单输入单输出系统,不能采用输出线性反馈来实现闭关系统极点的任意配置。 2.若系统的某个状态不能直接测量,能用什么办法构成全状态反馈? 根据图可得状态观测器方程: 式中, 为状态观测器的状态矢量,是状态x的估计值; 状态观测器的输出矢量;G为状态观测器的输出误差反馈矩阵。
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