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《高等数学下》作业集答案

第七章向量代数与空间解析几何

第一节向量及其标表示

2．（i）A、B间的距离为d=3；（ii）中点C的坐标为（0,1,）；（iii）A、B联线与

23

三坐标面交点为（-3,-2,0）,（-1,0,-1）,（0,1,）

3

2

3．

（1）i+j+k不是单位向量，

（2）三个单位向量之和有可能是零向量，此时

a=-b-c。

5

5．prjba=2及prjab=m与b的夹角为arccos.

13

第二节数量积、向量积和混合积

一、1．36.2．λ=3.3．共面.4．18。

二、计算下列各题，1

。

arccos，

2、

（1）3，{5,1,7}；

（2）,18，{10,2,14}；（3

）cos=

2.

3、

π

3

.4

3,cos=-

3，5．（0,0,）。

5第三节空间平面与空间直线

一、1．D，2．C，3．C．4．A．5．D．6．A．7．A．8．C．

二、1．1，2．x-y+z=0。

3．过点（x-1）-（y-2）-（z+1）=0，4．已知两条直线的方程是（x-1）+（y-2）-（z-3）=0。

三、

（1）2（x-1）+3y+（z+1）=0；

（2）3x-2y-1=0；（3）x-z=1；

（4）2x-y+z=0；（5）y-3z=0；（6）4x+3（y-1）-z=0.四、

（1）

x+53

=y+82=

=z1

x+41

x3

y-40y-2-1

z

x

y-1

z

;

（2）

z-41

==

五、

（1）

x-2-1

y+33

=；

（2）==

3z-42

;（3）；（3）

-3x+13

=

12y-2z-1==

-11

=

六、

（1）异面，

（2）d=1,（3）⎨

⎧3x+7y-6z-12=0⎩x=1

z2

第四节空间曲面与空间曲线

5

．z=0,（x-1）+y≤1;x=0,（

2

2

-1）+y≤1,z≥0;y=0,x≤z≤

22

.

第七章综合练习题

2．如果x=0,y=0，a,b可任意，如果x≠0，则a=b。

22

3．

（1）（a+b+c）=59；

（2）（a-2b+c）=8；（3）（2a-b）（3b-c）=-30

4．如果x=0,y=0,z=0，a,b,c可任意，如果x≠0,y=z=0，则a=0,b,c任意，

a等，如果x≠0,y≠0,z=0，则a=b,c可任意，如果x≠0,y≠0,z≠0时、b、c共面。

1．都不正确

|AB⨯AC|28|AB⨯AC||AB⨯AC|8．hAB=，hBC=

=hAC===

5|AB||AC||BC|11．3x+3y+6z-11=0。

第八章多元函数微分学及其应用第一节多元函数的基本概念

一、1．B．2．A．3．D．4．C．5．D．C．7．D．8．A．9．C．10．B．二、1．x2+y2=1，2．{（x,y）|x>0∧y>0}，3．x-y=0间断，4．定义域是整个平面，5．ln2。

三、xy，

四、⑴D={（x,y）|y2>x}，⑵D={（x,y）|x≥0,y≥0,x2>y}⑶D={（x,xy）|x+y>0,x-y>0}，⑷D={（x,y）|0≤x

14

，⑶2，⑷1

第二节偏导数

一、1．A．2．A．3．C．4．A．5．D．6．D．7．B．

∂z∂zx∂z∂z4x1xy2

=（1+xy）e2=-，2，4．，5．，=+=3x（x+xy）22

∂x∂y（x+y）∂y∂x2x+yx

6．

∂z

∂x

∂z2y9．，=2

∂x（x+y）

=3xy-y，7．

23

∂z∂x

=ycos（xy）+cosy，8．

∂z∂x

=cot

yx

sec

yx

（-

yx

），

10．

∂z∂x

=（1+xy）[2ln（1+xy）+

∂z∂x∂z∂x

22

22

2x

2x1+xy

]，11．

∂z∂x

=yx

y-1

，12．fx'（1,2）=

1

∂z

25

。

四、⑴

⑶

=12x,

x

∂z∂x∂y

=12xy,=y

x-1

∂z∂y

1∂zx

，=-6y⑵=,=,=-222

∂xx∂x∂yy∂yy

∂z∂y

22

∂z

=ylny,

∂z∂x∂y

（1+xlny）,=x（x-1）y

x-2

。

第三节全微分

一、1．C．2．B．3．A．4．A．5．D．6．C．A．8．C．二、dz

（1,1）

=e（dx+dy），

y

∂z∂y

（1,2）

=1+e，

∂z∂t

（1,2）

=16+7e。

6

三、⑴dz=ex（-⑶dz=四、∆z=

y-xy

ydxx

+

dyx

）⑵dz=x

xdx+ydyx+y

yz-1

22

yz

dx+

y（1-xy）

dy,⑷du=yzxdx+zxlnxdy+yx

yz

lnxdz.

2.01⨯1.032.01-1.03

-

23

dz=-

59

⨯0.01+

109

⨯0.03．

第四节多元复合函数与隐函数的求导法则

一、1．B．2．B．3．C．1，4．A．5．A．6．C．

二、1．

dudx

∂z∂y=

2x=1ax

2

=-1，2．

ae

ax2

dzdt

=（cost-6t）e

2x-2y

，3．

∂z∂x∂z∂x

dzdx

=

y+xe

x2

1+（xy）

，

4．

ae（y-z）a+1

=2xf1+ye

2

+

xy

cosx∂z∂y

a+1

f2，

+

e

ax

sinx

2

a+1

。

5．

xy

=2u+2v，

∂z∂y

=2u-2v，∂z∂y

三、⑴

∂z∂x

=-2yf1+xef2,⑵=f1+yf2+f3，=xf2-f3．

∂2z

四、=-2f11+（2sinx-ycosx）f12+ysinxcosxf22+cosf2。

∂x∂y

五、fy（x,x）=-

2

12

。

七、

y

2y

cosy+e-2xy

.

第五节多元函数微分学在几何上的应用

一、⎨

⎧x=y⎩z=0

二、

x-116

=

y-19

=

z-1-1

，16x+9y-z=24,三、2（x-1）+（y-2）=0。

xyz

五、x-y+2z=±

∂z∂x

∂z∂y

112

.六、∂z∂x∂y

2

∂z∂x

=

yz-

，

∂z∂y

2

xyz-xy

=

xz-2xyzxyz-xy

．

2

2

x

七、

+=1．九、=

z

2

y（x+z）

∂u∂n

．十、

∂z∂x

2

=

2yze-2xyz-yze

（e-xyz）

z

2z

．

第六节方向导数和梯度

一、1+

=

xa

2

204

，四、1

204

+

yb

+

zc

204

第七节多元函数的极值与最值

一、1．D．2．C．3．B．4．B．5．A．6．D．7．C．8．A．9．D．二、1．（x0,y0）=（0,0），2．（x0,y0）=（0,0），3．（x0,y0）=（0,0）,（1,1）。

三、⑴极小值f（1,0）=-5，极大值f（-3,20=31⑵极大值z（3,2）=36⑶极小值

f（12

-1）=-

e2

14

四、极大值f（,）=

22

11

．五、当长、宽、高都等于

32abc.

2a3

时，体积最大.．

六、切点（

a3

b3

c3

），Vmin=

第八节多元函数微分学在经济管理中的应用

一、两种产品的产量分别为120和80。

二、

（1）x=0.75万元，y=1.25万元，

（2）x=0，y=1.5万元。

第八章综合习题

⒌

∂u∂x

22

=f11-2f13+f33，

2

2

∂u∂y∂z

2

=f12-f13-f22-f23，⒍极大值z（1,1）=1．

2

2

⒎求函数f（x,y）=x-y在圆周x+4y≤4上的最大值、最小值．⒏zmax（-2,1）=6,zmin（-2,1）=-2．⒐l={b,c,a}.⒑λ=

3abc9

.

第九章重积分及其应用第一节二重积分的概念与性质

一、1．C，2．A，3．B，4．D，5．D，6．B，7．C，8．A。

二、1．3，2．π，3．3π。

三、1．1，6.

14

。

第二节二重积分的计算（直角坐标）

一、1．A，2．D，3．D，4．A，5．D，6.A，7.B，8．C。

1x1x1

二、1．⎰dx⎰f（x,y）dy，2．0，3．⎰dx⎰2f（x,y）dy，4．。

-40x002（1-e）三、1.

⎰

ba

f（x）dx=2，2.ϕ（x）=

f（x）（1-x）

2

2

，3.[x1（y）,x2（y）]=[y,1]

四、

（1）原式=

⎰

1

dy⎰

e

y

e

f（x,y）dx,

（2）原式=

⎰

1

dy⎰f（x,y）dx+

y

1

⎰

1

dy⎰

2-y

1

f（x,y）dx

第二节二重积分的计算（极坐标）

一、1．D，2．B，3．C，4．B，5．A，6．B。

二、1．⎰

2π0

dθ⎰f（rcosθ,rsinθ）rdr，2．3π，3．⎰

12π

dθ⎰rdr

R

3

三、1．2π

a

3

3

，2．π（1-e-a），3．a3π，4．2π（5ln10-ln2-4），5．（α,β）=（

2

π

2

π）。

第三节二重积分的应用

一、1．D，2．C。

二、1．⎰⎰f（x,y）dxdy=

D

⎰

3

y+2

1

dy⎰

3

1

f（x,y）dx+

⎰

y+2

3

dy⎰116

3y-2

f（x）dx，

π

2．⎰4dθ

0⎰

2cosθ

2cosθ+sinθ

f（rcosθ,rsinθ）rdr，3．，4．0。

第四节三重积分的概念

一、1．A，2．A，3．C，4．C，5．C，6．A．

二、

（1）

12

（e-1）

（2）

2

32

πa（3）4。

2

四、原式=

⎰

1

dz⎰dx⎰

z

11-x

f（x,y,z）dy+

⎰

10

dz⎰dx⎰

z1-xz-x

f（x,y,z）dy。

第五章三重积分的计算

一、1．D，2．C，3．B，4．A，5．C，6．D。

π

二、1．

⎰⎰

D

2

f（x,y）dσ=

π

2

⎰

40dt⎰

10

10

f（rcost,rsint）rdr，

2

2．

⎰⎰e

D

x+y

dσ=

⎰

20dt⎰

redr=

r

π

（e-1）。

三、1．

2

1

，1.（I1,I2,I3）2

2

=（0,0,

π

12

），2.ϕ（r）=2πr（1-r）f（r），3.

2

ϕ（ρ）=4πρf（ρ）。

4.ϕ（z）=π（R-z）f（z）。

22

第六节三重积分的应用

1．

（1）

23

（2）

712

（3）

54

π,（4）

76

π,（5）21π

442

⎛⎛2a2a73（A-a）⎫a⎫3⎫⎛

2．

（1）0,0,⎪,

（2）0,0,，（3）,,⎪33⎪

8（A+a）⎭4⎭⎝⎝⎝5530⎭

ππ2224

3．

（1）J=hR4,

（2）J=hR，4.Jz=⎰⎰rdm=⎰⎰（x+y）μ（x,y,z）dS，5.

210∑∑

83

π。

第九章综合练习

1．2π,2．8．

π

8

34

3．，3ln2-2，4．

π-2

4

，5．

8π15

12

，6．-

π

2

，7．cπR2，

，9．

18

ln2,10．

54

2

π-816

2

11.

712

π，12.

a。

13.kπR4，14．（0,0,17．

368105

R），15．

16．

4a3

，

ρ，18．

16

πa+1），19．。

第十章曲线积分与曲面积分

第一节第一类曲线积分与第一类曲面积分

1.

2πa

3

，

2.3.

112

，4．

2a2（2-.5.21，6.

，

2

+）π+8π。

315

第二节第二类曲线积分

1.0，2.2a2π，3.-2，4.

（1）-

512

（2）-

715

（3）-

2

.3

第三节格林公式，平面曲线积分与路径无关的问题

1.π，2.8π，3.-6.

（1）∴u=

π

2

，4.0，5.3πa

2

3x+1131322

x+xy-xy+y+c,

（2）∴u=+c33x+y

xdy-ydx

y

2

7.

（1）ydx+xdy=d（xy），3,

（2）（3）u=xcosy+ycosx+c,-

k

2

2

2

=d（-

xy

），-

，6

π

4

。

2

1353πa1π4

（e-1），10.8.,1，9

（1）πR

（2）-2abπ（3）-（4）,12.2σ。

232028

131322

13.

（1）∴U=x+xy-xy-y+c（c为常数）。

33

（2）∴U=xcosy+ycosx+c（c为原函数）。

14.计

（1）-2,

（2）9（3）

12e-

12

22

。

15.

（1）∴U=x2cosy+y2cosxs+c（c为常数）为势函数。

（2）∴U=xex+y+ex+y-yex+y+yex+c（c为常数）为势函数。

第五节高斯公式与散度

1Rπ

1.，2.2aπ，3.-，4.，5.a2bc+ab2c+abc2，

82415

2

1

6.

12235

a+aπR，

5

（2）3a3（3）2πa2H。

第六节斯托克斯公式与旋度

1..

-4.

13

3

2222

a，.2.3a，3.（1`）2πr

（2）环量为2πR，

2

，5.

（1）rot=0

（2）rotA=0，6.（-4xz-16z）j-3xyk，

2

12π45

πR（3）-h，8.2πa3，9.

（1）6,

（2）81,8（，5213131343322

10.

（1）u=x+y+z-2xyz+c，

（2）u=x+3xy+y+c。

3333

7.:

（1）3a4,

（2）

第十章综合练习

3.

14

，4.

π

2

a，5.4π，6.

23

3

23

a，7.

5

4

m-n2

-sin1

8.

（1）质心P（0,0,a），

（2）转动惯量aπ，9.

（1）

质心（0,0,（

5

-

15

π）

（2）转动惯

-

3（1+量，10.

1+cos1-1），11.-，12.4π，13.

π，

3222

14.0，15.-

π

2

4

R，16.0，17.h=

-1+

2

2

5

8

a，18.

2

4π5

R，19.0，

5

20.

（1）u=sinxy-cosz+c,

（2）u=xcosy+ycosx+c。

第十一章常微分方程第一节常微分方程的基本概念

一、1．C，2．C，3．A，4．D，5．A，6．B，7．A，8．D，9．A，

10．B，11．B。

三.y=

13（x-1）

3

.四.x=

112

t-

4

12

t+t.

2

第二节一阶常微分方程

一、1．B，2．C，3．B，4．D，5．B，6．D，7．B，8．A，9．A，10．A，

11．D，12．A，13．B，14．B，15．C。

二、y=xcosx+ccosx，2.y=

sinx+cosx

2

+ce

-x

，3.y=

12

e+ce

x-x

，4.y=xe+ce。

xx

三

（1）x2+y2=C；

（2）y2+2-x2=C；（3）y=1+tan（x+C）；（4）y=3tan（3t2+C）.

四.

（1）（x2+y2）3=Cx2;

（2）y=xeCx+1;（3）arctan五.

（1）xsinx+cosx+1=y6-y;

（2）y=-六.

（1）arctan

y+5x-1

-12

ln[（x-1）+（y+5）]=C

2

2

yx

-

12

ln（x+y）=C.

2

22

x

2

lnx+x

2

;

（2）2x+（x-y）2=C.

=

sinx+C

2

七.

（1）y=e-x（x+C）;

（2）y=Ccosx-2cos2x;（3）y

x-1

11

（4）2xlny=ln2y+C;（5）x=Cy3+y2;（6）x=Ce2y+（2y2+2y+1）

42

1111

（7）y=Ce2x-ex+x+,y=2e2x-ex+x+;（8）s=Ce-sint+sint-1.

2424

;

;

八.

（1）（4）x-1

y

-2

=Ce

2

2x

2

+x+

2

12

;

（2）

1y

112

=（x+C）cosx;

（3）

y2=C（-x）4+

13

（x-1）

2

;

=Ce

-

y

2

+2-y.

2

九.

（1）是，x2y-x=C；

（2）是，x4+y4-x2y2=C；（3）是，xy=C；（4）是，xsin（x+y）=C；（5）a=b=1时，是，yex+xey=C.十.

（1）（3）

1x

2

x-

yx

2

=C

;

（2）

1x+y

1

22

2

12,

ln（x+y）-arctan12

2

2

22

xy

=C;xy

23v0

1y

2

x-xy

=C

;（4）

x+y

2

ln（x+y）-arctan=C;

十一.

（2）当α+β=1时,是方程的解.十二

f（x）=

23

f（x）=e2xln2.十三.t=ln3;s=.

十四.y=3x-x2（0

x+

13x

.

第三节可降阶的高阶常微分方程

一、1．B，2．C，3．C，4．D，5．B，6．A。

二、求解下列各微分方程

kx-k

（1）y=c1+c2x+2xlnx+x，

（2）.，y=c1e+c2e。

三.

（1）y=（x-3）ex+C1x2+C2x+C3;

（2）y=C1e2x+C2;（3）y（4）y=C1e+C2x+C3;（5）y四.

y=1-x.

x

=

1C1x+C2

;及y=C

=

1+C1C1

2

2

ln+C1x-

xC1

+C2

;（6）y=2+ln（）2.

2

x

第四节高阶线性微分方程

一、1．C，2．D，3．D。

二.y=C1cosωx+C2sinωx.

三.

（1）线性无关;

（2）线性无关;（3）线性相关;（4）线性相关;（5）线性无关.

第五节常系数线性微分方程

一、1．C，2．A，3．D，4．C，5．D，6．A，7．A，8．B，9．B。

二、填空题1．y=ae

-x

+be

-3x

，2.y=axe+b，3.y=（a+bx）e+cxe，

x

xx2x

4.y=（ax+b）sinx+（cx+d）cosx，5.y"-y'=（a+bx）e+（c+dx）。

三.

（1）y=C1e-5x+C2e-3x;

（2）y=（C1+C2x）e-3x;（3）y=e-2x（C1cosx+C2sinx）;（4）y=C1cosx+C2sinx;（5）y=（C1+C2x+C3x2）eax;（6）y

=C1cos

2x+C2sin

2x+C3e

2x

+C4e

-2x

;

（7）y=C1+C2x+C3x2+C4e-3x;

（8）y=（C1+C2x）cosx+（C3+C4x）sinx.四.

（1）y=e-xcosx;

（2）y+2cos

3x+3sin

3x.

五.

（1）Axex;

（2）（Ax+B）xex;（3）（Ax2+Bx+C）xe2x;（4）A;（5）Ax（9）ex（Acosx+Bsinx）;（10）（Acos2x+Bsin2x）.六.

（1）y=C1ex+C2e2x-x（1+（3）y=C1e+C2e-（5）当a（6）y

x

6x

+B

;

（6）（Ax3+Bx2+Cx+D）e-x;（7）Ae3x;（8）Axex+（Bx+C）e3x;

1234

14

2

x）e;

5x

x

（2）y=C1ex+C2e-3x-

=（C1+C2x）e

3x

xe+

-3x

;

2

3x

14

（x+）e

;（4）y

1

2

+（

x12

12

）xe;

12

xcosx.

≠1时,y=C1cosax+C2sinax+

x

a-1

sinx

当a

=1

时,y=C1cosx+C2sinx-

12

=e（C1cosx+C2sinx）+

xe41

x

（cosx+xsinx）;

（7）y=C1cos2x+C2sin2x-

xcos2x

;

（8）y=C1cosx+C2sinx+x+

18

2

xsinx.

七.y=（C1+C2x）e2x+cos2x.八.

（1）y

=（1-

ba

22

）cosax+

ba

22

;

（2）y=（1+）sin2x;（3）y=ex-（1+2x）e-2x.

4

x

第六节欧拉方程

一.

（1）y=C1x-1+C2x2;

（2）y=C1x2+C2x3+（3）y=C1cos[ln（x+1）]+C2sin[ln（x+1）]+1.二.11.55%

三.

（1）N（t）=694e0.366t;

（2）N（0）=694.

13

;

第七节常微分方程在经济管理中的应用

一.-30℃.二.u

=

8（e

8kt

-1）+1）

k（e

8kt

.

三.Q（t）=20e-t/20.四.p=五.P=（P0-

a+1b）e

-bx

a+cb+d.

t

+Ce

-k（b+d）t

.

-x+

a+1b

六.

（1）Y（t）=（Y0-

I（t）=（1-a）（Y0-

b1-a

b

）e

1-a

）e

1-aka

t

ka

+

b1-a

lim

t→∞

;

C（t）=a（Y0-

b1-a

1-a

）e

ka

t

+

b1-a

;

1-a

;

（2）

Y（t）I（t）

=

11-a

.

七.R=（20x2-2x3）1/3八.C（t）=

at

+（C0-

at0）（tt0）

b-1

.

第十