学年湘教版八年级数学下册 22平行四边形.docx
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学年湘教版八年级数学下册22平行四边形
2.2平行四边形
2.2.1平行四边形的性质
第1课时平行四边形的边、角性质
要点感知1两组对边分别平行的四边形叫作__________四边形.
预习练习1-1如图所示,DE∥BC,DF∥AC,EF∥AB,图中共有__________个平行四边形.
要点感知2平行四边形的对边__________,平行四边形的对角__________.
预习练习2-1在□ABCD中,AB=3cm,BC=5cm,∠A=30°,则CD=__________,AD=__________,∠B=__________,∠C=__________,∠D=__________.
要点感知3夹在两条平行线间的平行线段__________.
预习练习3-1如图,AB和CD是夹在两平行线l1、l2之间的平行线段,则AB__________CD(填“>”“<”或“=”).
知识点1平行四边形边的性质
1.如图,在□ABCD中,AD=3cm,AB=2cm,则□ABCD的周长等于()
A.10cmB.6cmC.5cmD.4cm
2.(2014·十堰)如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=6,AC的垂直平分线交AD于点E,则△CDE的周长是()
A.7B.10C.11D.12
3.(2014·宿迁)如图,□ABCD中,BC=BD,∠C=74°,则∠ADB的度数是()
A.16°B.22°C.32°D.68°
4.(2013·乐山)如图,点E是□ABCD的边CD的中点,AD、BE的延长线相交于点F,DF=3,DE=2,则□ABCD的周长是()
A.5B.7C.10D.14
5.如图,四边形ABCD是平行四边形,AC是对角线,BE⊥AC,垂足为E,DF⊥AC,垂足为F.求证:
DF=BE.
知识点2平行四边形角的性质
6.(2013·黔西南)已知□ABCD中,∠A+∠C=200°,则∠B的度数是()
A.100°B.160°C.80°D.60°
7.在□ABCD中,已知∠A=110°,则∠D=__________.
8.如图,在□ABCD中,BE⊥AD于点E,若∠ABE=50°,则∠C=__________.
9.如图,四边形ABCD是平行四边形,E、F分别是BC、AD上的点,∠1=∠2.求证:
△ABE≌△CDF.
知识点3夹在两条平行线间的平行线段相等
10.如图,已知l1∥l2,AB∥CD,CE⊥l2于点E,FG⊥l2于点G,下列结论不一定成立的是()
A.AB=CDB.CE=FGC.EG=CFD.BD=EG
11.(2014·益阳)如图,平行四边形ABCD中,E、F是对角线BD上的两点,若添加一个条件使△ABE≌△CDF,则添加的条件不能是()
A.AE=CFB.BE=FDC.BF=DED.∠1=∠2
12.在□ABCD中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是()
A.1∶2∶3∶4B.3∶4∶4∶3C.1∶2∶2∶1D.3∶4∶3∶4
13.(2013·杭州)如图,在□ABCD中,下列结论中一定正确的是()
A.∠A=∠BB.∠A+∠B=180°C.AB=ADD.∠A≠∠C
14.如图,过□ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH,那么图中的□AEMG的面积S1与□HCFM的面积S2的大小关系是()
A.S1>S2B.S1 15.下面图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成,其中,图1一共有1个平行四边形,图2一共有5个平行四边形,图3一共有11个平行四边形,…则图6中平行四边形的个数为() A.55B.42C.41D.29 16.(2013·江西)如图,□ABCD与□DCFE的周长相等,且∠BAD=60°,∠F=110°,则∠DAE的度数为__________. 17.(2014·福州)如图,在□ABCD中,DE平分∠ADC,AD=6,BE=2,则□ABCD的周长是__________. 18.(2014·怀化)如图,在平行四边形ABCD中,∠B=∠AFE,EA是∠BEF的平分线,求证: (1)△ABE≌△AFE; (2)∠FAD=∠CDE. 挑战自我 19.(2013·重庆)已知: 在□ABCD中,AE⊥BC,垂足为点E,CE=CD,点F为CE的中点,点G为CD上的一点,连接DF、EG、AG,∠1=∠2. (1)若CF=2,AE=3,求BE的长; (2)求证: ∠CEG= ∠AGE. 参考答案 课前预习 要点感知1平行 预习练习1-13 要点感知2相等相等 预习练习2-13cm5cm150°30°150° 要点感知3相等 预习练习3-1= 当堂训练 1.A2.B3.C4.D 5.证明: ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴BC=AD,BC∥AD. ∴∠BCA=∠DAC. ∵BE⊥AC,DF⊥AC, ∴∠CEB=∠AFD=90°. ∴△CEB≌△AFD(AAS). ∴BE=DF. 6.C7.70°8.40° 9.证明: ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠B=∠D,AB=DC. 又∵∠1=∠2, ∴△ABE≌△CDF(ASA). 10.D 课后作业 11.A12.D13.B14.C15.C16.25°17.20 18.证明: (1)在△ABE与△AFE中,∠B=∠AFE,∠AEB=∠AEF,AE=AE,∴△ABE≌△AFE(AAS); (2)平行四边形ABCD中,∵AD∥BC,∴∠ADF=∠DEC. ∵AB∥CD,∴∠C=180°-∠B. 又∠AFD=180°-∠AFE,∠B=∠AFE, ∴∠AFD=∠C. 在△ADF与△DEC中,由三角形内角和定理,得∠FAD=180°-∠ADF-∠AFD,∠CDE=180°-∠DEC-∠C, ∴∠FAD=∠CDE. 19. (1)∵点F为CE的中点, ∴CE=CD=2CF=4. 又∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AB=CD=4. 在Rt△ABE中,由勾股定理得BE= = . (2)证明: 延长AG、BC交于点H. ∵CE=CD,∠1=∠2,∠ECG=∠DCF, ∴△CEG≌△CDF(AAS). ∴CG=CF. ∵CD=CE=2CF, ∴CG=GD. ∵AD∥BC, ∴∠DAG=∠CHG,∠ADG=∠HCG. ∴△ADG≌△HCG(AAS). ∴AG=HG. ∵∠AEH=90°, ∴EG=AG=HG. ∴∠CEG=∠H. ∵∠AGE=∠CEG+∠H, ∴∠AGE=2∠CEG.即∠CEG= ∠AGE. 第2课时平行四边形的对角线的性质 要点感知平行四边形的对角线互相__________. 预习练习1-1(2014·长沙)平行四边形的对角线一定具有的性质是() A.相等B.互相平分C.互相垂直D.互相垂直且相等 1-2如图,在□ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,若AC=8,BD=14,AB=10,则△OAB的周长为__________. 知识点平行四边形的对角线互相平分 1.(2014·广东)如图,□ABCD中,下列说法一定正确的是() A.AC=BDB.AC⊥BDC.AB=CDD.AB=BC 2.如图,平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,将△AOD平移至△BEC的位置,则图中与OA相等的其他线段有() A.1条B.2条C.3条D.4条 3.(2013·襄阳)如图,□ABCD的对角线交于点O,且AB=5,△OCD的周长为23,则□ABCD的两条对角线的和是() A.18B.28C.36D.46 4.已知□ABCD的周长为60cm,对角线AC、BD相交于点O,△AOB的周长比△BOC的周长长8cm,则AB的长度为() A.11cmB.15cmC.18cmD.19cm 5.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,AC、BD相交于点O.若AC=6,则线段AO的长度等于__________. 6.若点O为□ABCD的对角线AC与BD的交点,且AO+BO=11cm,则AC+BD=__________cm. 7.在平行四边形ABCD中,对角线相交于点O,AC⊥CD,AO=3,BO=5,则CD=__________,AD=__________. 8.(2014·广州)如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,EF过点O且与AB、CD分别交于点E、F,求证: △AOE≌△COF. 9.如图所示,平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,过点O的直线分别交AD、BC于点M、N,若△CON的面积为2,△DOM的面积为4,求△AOB的面积. 10.(2014·河南)如图,□ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB⊥AC.若AB=4,AC=6,则BD的长是() A.8B.9C.10D.11 11.如图所示,在□ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,如果AC=10,BD=12,AB=m,那么m的取值范围是() A.10<m<12B.2<m<22C.1<m<11D.5<m<6 12.如图,□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,EF过点O,与AD、BC分别相交于点E、F,若AB=4,BC=5,OE=1.5,则四边形EFCD的周长为() A.16B.14C.12D.10 13.(2014·泸州)一个平行四边形的一条边长为3,两条对角线的长分别为4和2 ,则它的面积为__________. 14.如图,在□ABCD中,对角线AC、BD相交于点O.请找出图中的一对全等三角形,并给予证明. 15.如图,在□ABCD中,AC、BD相交于点O,两条对角线的和为20cm,△OCD的周长为18cm,求AB的长. 16.如图所示,在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,AB⊥AC,∠DAC=45°,AC=2,求BD的长. 挑战自我 17.在一次数学实践探究活动中,小强用两条直线把□ABCD分割成四个部分,使含有一组对顶角的两个图形全等; (1)根据小强的分割方法,你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有__________组; (2)请在图中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线; (3)由上述实验操作过程,你发现所画的两条直线有什么规律? 参考答案 课前预习 要点感知平分 预习练习1-1B 1-221 当堂训练 1.C2.B3.C4.D5.36.227.42 8.证明: ∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O, ∴AO=CO,AB∥CD. ∴∠EAO=∠FCO. 在△AOE和△COF中,∵∠EAO=∠FCO,AO=CO,∠AOE=∠COF, ∴△AOE≌△COF(ASA). 9.∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠CAD=∠ACB,OA=OC, 而∠AOM=∠NOC, ∴△CON≌△AOM(ASA). ∴S△AOD=4+2=6. 又∵OB=OD, ∴S△AOB=S△AOD=6. 课后作业 10.C11.C12.C13.4 14.△AOB≌△COD,△BOC≌△DOA,△ABC≌△CDA,△ABD≌△CDB. 下面证明△AOB≌△COD. 证明: ∵四边形ABCD为平行四边形, ∴OA=OC,OB=OD. 又∵∠AOB=∠COD, ∴△AOB≌△COD(SAS). 15.∵AC+BD=20cm, ∴OC+OD=10cm. 又∵OC+OD+CD=18cm, ∴CD=8cm. ∴AB=CD=8cm. 16.∵AB⊥AC,∠DAC=45°, ∴AB=AC=2. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA= AC=1. 在Rt△AOB中,根据勾股定理得OB= , ∴BD=2BO=2 . 17. (1)无数 (2)作图的时候要首先找到对角线的交点,只要过对角线的交点,任画一条直线即可.图略. (3)这两条直线过平行四边形的对角线的交点. 2.2.2平行四边形的判定 第1课时平行四边形的判定定理1,2 要点感知1一组对边平行且__________的四边形是平行四边形. 预习练习1-1如果□ABCD和□ABEF有公共边AB,那么四边形DCEF是__________. 要点感知2两组对边分别相等的四边形是__________四边形. 预习练习2-1如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BC=AD,若∠A=110°,则∠C=__________. 知识点1一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 1.如图,在四边形ABCD中,点E是BC边的中点,连接DE并延长,交AB的延长线于F点,AB=BF.添加一个条件,使四边形ABCD是平行四边形.你认为下面四个条件中可选择的是() A.AD=BCB.CD=BFC.∠A=∠CD.∠F=∠CDE 2.如图,□ABCD中,点E、F分别为边AB、DC的中点,则图中共有平行四边形的个数是() A.3B.4C.5D.6 3.(2014·淮安)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,要使得四边形ABCD是平行四边形,应添加的条件是__________.(只填写一个条件,不使用图形以外的字母和线段) 4.如图,已知四边形ABCD中,AB=CD,∠BAC=∠DCA,求证: 四边形ABCD是平行四边形. 5.已知: 如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,对角线AC、BD相交于点O,BO=DO.求证: 四边形ABCD是平行四边形. 知识点2两组对边分别相等的四边形是平行四边形 6.四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,∠B=50°,则∠A=__________. 7.(2013·长春)如图,以△ABC的顶点A为圆心,以BC长为半径作弧,再以顶点C为圆心,以AB长为半径作弧,两弧交于点D,连接AD、CD.若∠B=65°,则∠ADC的大小为__________. 8.已知四边形ABCD的四条边长满足(AB-CD)2+(AD-BC)2=0,求证: AB∥CD. 9.(2013·广元)点A、B、C、D在同一平面内,从①AB∥CD;②AB=CD;③BC∥AD;④BC=AD这四个条件中任意选两个,能使四边形ABCD是平行四边形的有() A.3种B.4种C.5种D.6种 10.(2013·十堰)如图,□ABCD中,∠ABC=60°,点E、F分别在CD和BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BC,EF= ,则AB的长是__________. 11.(2013·郴州)如图,已知BE∥DF,∠ADF=∠CBE,AF=CE.求证: 四边形DEBF是平行四边形. 12.如图,在□ABCD中,分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF,连接BE、DF.求证: 四边形BEDF是平行四边形. 13.(2014·云南)如图,在平行四边形ABCD中,∠C=60°,M、N分别是AD、BC的中点,BC=2CD. (1)求证: 四边形MNCD是平行四边形; (2)求证: BD=3MN. 挑战自我 14.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=6,BC=16,点E是BC的中点.点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发,沿AD向点D运动;点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发,沿CB向点B运动.点P停止运动时,点Q也随之停止运动.求当运动时间t为多少秒时,以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形? 参考答案 课前预习 要点感知1相等 预习练习1-1平行四边形 要点感知2平行 预习练习2-1110° 当堂训练 1.D2.B3.答案不唯一,如AB=CD或BC∥AD 4.证明: ∵∠BAC=∠DCA, ∴AB∥CD. 又∵AB=CD, ∴四边形ABCD是平行四边形. 5.证明: ∵AB∥CD, ∴∠ABO=∠CDO,∠BAO=∠DCO. 又∵BO=DO, ∴△AOB≌△COD(AAS). ∴AB=CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. 6.130°7.65° 8.证明: ∵(AB-CD)2+(AD-BC)2=0, ∴AB-CD=0,AD-BC=0. ∴AB=CD,AD=BC. ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴AB∥CD. 课后作业 9.B10.1 11.证明: ∵BE∥DF, ∴∠AFD=∠CEB. 又∵∠ADF=∠CBE,AF=CE, ∴△ADF≌△CBE(AAS). ∴DF=BE. 又∵BE∥DF, ∴四边形DEBF是平行四边形. 12.证明: ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴CD=AB,AD=CB,∠DAB=∠BCD. 又∵△ADE和△CBF都是等边三角形, ∴DE=BF,AE=CF,∠DAE=∠BCF=60°. ∴∠BCD-∠BCF=∠DAB-∠DAE,即∠DCF=∠BAE. ∴△DCF≌△BAE(SAS). ∴DF=BE. ∴四边形BEDF是平行四边形. 13.证明: (1)∵ABCD是平行四边形, ∴AD=BC,AD∥BC. ∵M、N分别是AD、BC的中点, ∴MD=NC,MD∥NC. ∴MNCD是平行四边形; (2)连接ND, ∵MNCD是平行四边形, ∴MN=DC. ∵N是BC的中点, ∴BN=CN. ∵BC=2CD,∠C=60°, ∴△NCD是等边三角形. ∴ND=NC,∠DNC=60°. ∵∠DNC是△BND的外角, ∴∠NBD+∠NDB=∠DNC. ∵DN=NC=NB, ∴∠DBN=∠BDN= ∠DNC=30°. ∴∠BDC=90°. ∴BC=2DC,BD= = = DC. 又DC=MN,∴BD= MN. 14.由题意可知,AP=t,CQ=2t,CE= BC=8. ∵AD∥BC, ∴当PD=EQ时,以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形. 当2t<8即t<4时,点Q在C、E之间,如图甲. 此时,PD=AD-AP=6-t,EQ=CE-CQ=8-2t,由6-t=8-2t得t=2. 当8<2t<16即4 此时,PD=AD-AP=6-t,EQ=CQ-CE=2t-8,由6-t=2t-8得t= . ∴当运动时间为2或 时,以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形. 第2课时平行四边形的判定定理3 要点感知1对角线__________的四边形是平行四边形. 预习练习1-1在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若要证明ABCD是平行四边形,则要证明OA=__________,OB=__________. 要点感知2两组对角__________的四边形是平行四边形. 预习练习2-1在四边形ABCD中,已知∠A=20°,∠B=160°,∠C=20°,则四边形ABCD是__________四边形. 知识点1对角线互相平分的四边形是平行四边形 1.在四边形ABCD中,AC,BD交于点O,且OA=OC,OB=OD,则下列结论不一定成立的是() A.AB∥CDB.BC∥ADC.AB=ADD.BC=AD 2.将两根木条AC,BD的中点重叠,并用钉子固定,则四边形ABCD为平行四边形,理由是____________________. 3.四边形ABCD中,AC,BD交于点O,且OA=OC,OB=OD,∠ABC=80°,则∠ADC=__________. 4.如图,□ABCD的对角线AC,BD交于点O,点E,F在AC上,点G,H在BD上,AF=CE,BH=DG. 求证: GF∥HE. 知识点2两组对角分别相等的四边形是平行四边形 5.下列条件中,能说明四边形ABCD是平行四边形的是() A.∠A=30°,∠B=150°,∠C=30°,∠D=150° B.∠A=60°,∠B=60°,∠C=120°,∠D=120° C.∠A=60°,∠B=90°,∠C=60°,∠D=150° D.∠A=60°,∠B=70°,∠C=110°,∠D=120° 6.下列条件中不能判断四边形是平行四边形的是() A.两组对边分别相等B.一组对边平行且相等 C.对角线相等D.两组对角分别相等 7.在下列条件中,不能确定四边形ABCD为平行四边形的是() A.∠A=∠C,∠B=∠D B.∠A=∠B=∠C=90° C.∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180° D.∠A=∠B,∠C=∠D 8.在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠A=∠C,添加下列一个条件后,能判定四边形ABCD是平行四边形的是() A.∠A=∠BB.∠C=∠DC.∠B=∠DD.AB=CD 9.下面给出了四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比,其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是() A.1∶2∶2∶1B.2∶2∶1∶1C.1∶2∶1∶2D.1∶1∶2∶2 10.在四边形ABCD中,已知∠A=75°,∠B=105°,∠C=75°,则四边形ABCD是__________四边形. 11.在四边形ABCD中,已知∠A=45°,∠B+2∠C=225°,∠B-∠C=90°,求证: 四边形ABCD是平行四边形. 12.下列说法正确的是() A.对角线相等的四边形是平行四边形 B.对角线互相平分的四边形是平行四边形 C.对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D.对角线互相垂直且相等的四边形是平行四边形 13.在四边形ABCD中,AD∥BC,若要使四边形ABCD是平行四边形,则应添加条件() A.∠A+∠C=180°B.∠B+∠D=180°C.∠A+∠B=180°D.∠A+∠D=180° 14.(2014·昆明)如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是() A.AB∥CD,AD∥BCB.OA=OC,OB=OD C.AD=BC,AB∥CDD.AB=CD,AD=BC 15.在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,要使四边形ABCD是平行四边形应符合下列条件中的() A.AB∥CD,BC=ADB.AB=CD,OA=OC C.AB∥CD,OA=OCD.AB=CD,AC=BD 16.在四边形ABCD中,已知∠A=∠C=60°,则当∠B的度数为__________时,四边形ABCD是平行四边形. 17.如图,直线c,d与直线a,b相交于点A,B,C,D,∠1=∠3,∠2=∠4,求证: AB=CD. 18.(2014·徐州)已知: 如图,在□ABCD中,点E、F在AC上,且AE=CF.求证: 四边形BEDF是平行四边形. 19.如图,在△ABC中,点D是BC边的中点,点F,E分别是AD及其延长线上的点,CF∥BE. (1)求证: △BDE≌△CDF. (2)请连接BF,CE,试证明四边形BECF是平行四
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