数学建模A题动物群落的稳定发展.docx
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数学建模A题动物群落的稳定发展
A题:
动物群落的稳定发展
摘要:
本文通过对某公园近两年内被运出的某种动物的年龄和性别的数据进行统计分析,并针对题目的四个问题分别建立了符合实际的数学模型,在模型的求解
过程中,应用C语言进行编程调试,通过统计学软件SAS数学软件MATLAB等计算工具,编写相应的程序,对建立的模型进行求解,得出了符合实际的结果。
问题一:
我们假设新生幼仔的数量为xo,然后通过对各年龄阶段的存活率、被运走的动物数量Bj以及该动物的总体数量的分析来建立该群落的动态变化模
卄(k)t6060
型")=送塔)-送煜,利用该群落近两年内被运走的各年龄阶段的个体数
dti4i吕
量分布,用C语言编程计算,推测出当前该动物的年龄结构(具体结果见7页表一)o并利用MATLAB软件对得出的数据用图形表示,利用对比分析法,得到该动物群落的基本分布轨迹,最后用统计软件SAS对模型进行相关性的分析检验,求得相关系数R与P的值,验正了模型的稳定性。
问题二:
由于现在采用注射避孕药的方法来维持该种群的稳定,而且已经没有个体被运走或被偷猎的情况,为此我们把该种群的稳定性转化为求目标函数
;1・'lXo-[(1」2心C3](该种群每年的新生幼仔的数量减去该年死亡个体的数
6060
量的差值);另外从tXi(k)-瓦x(0)(即年头的数量与该年年底的数量的差值)
i=1i=1
当;趋于0时,即认为该群落的个体数量是稳定的,从而把问题的稳定性问题转化为求单目标的最优化问题建立模型;利用MATLAB寸模型进行求得,得出当不考虑不确定性因素影响时要注射药物的雌性动物数量为276头,而当考虑了双胞
胎和被重复注射这两个不确定性因素影响后,得到要注射药物的雌性动物数量为352头,其中有110头是被重复注射的。
问题三:
其大致模型与问题二相近,不同之处在于要考虑到被运走的动物的数量(b),即目标函数名应考虑上被运走的数量,即只是对问题二的模型进行扩
6060
充建立新的目标模型;可=丫低0-[(1—笃心七]-b和"迟Xi(k)—EXi(0)—b;利
imiT
用MATLAB寸不同b值进行求解,从而得出相应的避孕措施。
(具体结果见19页表二)
问题四:
我们引进了增量加速度的概念,利用c语言进行编程求解,然后用MATLAB软件对得到的数据进行线性回归分析,得到该群落在减少至M时重新壮大该动物群落能力的模型:
M=3.9010+0.0047D。
最后应用统计软件SAS对模型进行稳定性分析。
关键字:
存活率年龄结构新生幼仔数稳定性最优目标增量加速度
位于非洲某国的国家公园中栖息着近11000头某种野生动物。
管理员要求有一个健康稳定的环境以便维持这个11000头该动物的稳定群落。
过去的20年中,整个该动物群是通过一些偷猎枪杀以及转移到外地而稳定下来的。
但是近年来,偷猎被禁止,而且每年要转移这些动物也比较困难,因此,要控制现在的数量就使用了一种避孕注射法。
用这种方法注射一次可以使得一头成熟雌性动物在两年内不会受孕。
要探讨这种避孕注射法的实用性,我们需要完成以下问题:
1.探讨该动物年龄在2岁到60岁之间的合理的存活率的模型,推测这个动物群落的当前的年龄结构。
2.估计每年在该群落中有多少雌性动物要注射避孕药,可以式群落固定在11000头左右。
这里不免有些不确定性,也要估计这种不确定性的影响。
3.假如每年转移50至300头此动物到别处,那么上面的避孕措施将可以有怎样的改变?
4.如果由于某种原因,突然使得注射避孕的方法不得不停止(例如由于一场灾难导致大量该动物的死亡),那时重新壮大该动物群的能力如何?
.基本假设与符号说明
一)模型假设
1.该公园是非开放式的,它与外界不发生关系,从而构成独立的生物群落,该动物群落不存在与其它动物种群的竞争,或虽有竞争,但其影响只局限于该动物群落的死亡率内。
2.种群是通过雌性个体的繁殖而增长的,所以用雌性个体数量的变化为主要研究对象。
3.为了讨论的必要,我们把新生的幼儿的存活率定为75%,而其后的存活
率为95%,直到60岁为止。
各年龄组的该动物经过一年后即进入高一级的年龄组,而龄超过60即认为全部死亡,退出该系统。
4.由于该公园加强了对该动物群落的保护,我们认为该动物没有再被偷猎
射杀。
而该动物群落个体数量的减少只是因为自然死亡以及被运走。
5•假设同一年龄组的动物个体之间是同质的,我们只考虑其平均水平,不讨论个别差异。
6•题设该动物在10〜12岁开始怀孕,我们这里设定为11岁开始,经过22个月(约两年)的怀孕期后生幼仔,即可认为该雌性动物在13〜60岁的
时间内可以生幼仔。
7•该群落的自然死亡是在生完幼仔后才发生的,产幼仔只发生在每年的年初时段,而被运走只发生在年底时段。
(二)符号说明
1:
新生幼儿的存活率,其值为0.75;
2:
1〜60岁个体的存活率,其值为0.95;
3:
双胞胎出生的几率,其值为0.0135;
X(k)(t):
该动物第k年时刻的数量;
X(0):
该动物第k年初i龄动物的数量;
X(:
):
该动物第k年初底i龄动物的数量
Bj:
第j年被运走的动物的数量;
工(k)0:
表示该动物第k年初时的总数量;
1
1:
表示每年没有注射避孕药的雌性动物生幼仔的几率,其值为丄;
3.5
2:
表示被注射过避孕药但在两年内不再被注射的雌性动物生幼仔的几率,其值为55;
其值
'3:
表示被注射过避孕药但在两年内被重复注射的雌性动物生幼仔的几率,
1
6.5
q:
表示从13〜60岁该动物的雌性个体的总数;
C2:
表示从1〜59岁该动物的个数总和;c3:
表示60岁该动物的个体总和;
Vi:
表示13〜60岁雌性动物没有被注射避孕药部分的数量;
y2:
表示13〜60岁雌性动物被注射过避孕药但在两年内不再被注射部分的数
量;
y3:
表示13〜60岁雌性动物被注射过避孕药但在两年内被重复注射部分的数量;
v:
表示每年出生幼仔的数量与该年个体死亡的数量的差值;
;2:
表示该种群每年的新生幼仔的数量减去该年死亡个体的数量与运走个体数量
的和的差值;
;3:
表示该动物群落在年底时的总数量与年初的数量加上被运走的个体数量b
的差值。
三.问题分析与模型建立
问题一:
1•我们要研究该动物群落的稳定性问题,首先要根据存活率确定其当前的年龄
结构。
该动物的新生幼仔存活率较低,题设是70%到80%之间,为了讨论的需要,我们这里设定为75%。
在1岁后的存活率比较高,在这里设为95%,直到60岁,而超过60岁则认为退出该系统。
因此,我们先建立出该动物群落中年龄在2岁到60岁之间的合理的存活率的模型。
模型一:
式
(1)表示该动物第k年增长的数量;
式
(2)表示该动物第k年初时的总数量,可由已有的数据计算出X(k)(0)来;
式(3)表示该动物被运走的数量;
式(4)和(5)表示该动物第i龄到了年底全部转化为(i+1)龄;
式(6)和(7)表示该动物各年龄段的变化;
式(8)表示该动物新生的幼仔数量。
2•通过对该公园近两年内从这个地区运出的该动物的年龄和性别的数据进行统
计分析,并利用编程工具TurboC2.0对该模型进行编程计算(源程序及计
算过程见附录1),可得到当前该动物群落的年龄结构,如下表所示:
刖一年数量
(头)
刖一年运走刖一年剩下
前兩年数前兩年运走前两年剩下
假设无运走
数量(头)
数量(头)
数量(头)
量(头)
数量(头)
数量(头)
792
786
806
806
746
594
0
594
604
0
604
559
564
0
564
573
20
553
531
535
0
535
544
21
523
504
508
3
505
516
13
503
478
482
4
478
490
12
478
454
457
7
450
465
13
452
431
434
20
414
441
22
419
409
412
9
403
418
14
404
388
391
15
376
397
40
357
368
371
9
362
377
14
363
349
352
22
330
358
26
332
331
334
3
331
340
13
327
314
317
23
294
322
14
308
298
301
5
296
305
27
278
283
285
13
272
289
3
286
268
270
21
249
274
14
250
254
256
0
256
260
12
248
241
243
22
221
246
20
226
228
230
14
216
233
25
208
216
218
5
213
221
17
204
205
207
13
194
209
14
195
194
196
10
186
198
10
188
184
186
0
186
188
0
188
174
176
13
163
178
2
176
165
今年数
量(头)
800
600
569
540
512
486
461
437
415
394
374
355
337
320
303
287
272
258
245
232
220
208
197
187
年龄(岁)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
167
30
137
169
3
166
156
168
158
14
144
160
4
156
148
159
150
12
138
151
4
147
140
151
142
0
142
143
3
140
132
143
134
20
114
135
2
133
125
135
127
6
121
128
3
125
118
128
120
3
117
121
13
108
112
121
113
5
108
114
16
98
106
114
107
8
99
108
13
95
100
108
101
12
89
102
10
92
94
102
95
10
85
96
10
86
89
96
90
3
87
91
12
79
84
91
85
7
78
86
16
70
79
86
80
14
66
81
12
69
75
81
75
10
65
76
10
66
71
76
71
16
55
72
12
60
67
72
67
21
46
68
19
49
63
68
63
13
50
64
13
51
59
64
59
10
49
60
24
36
56
60
56
12
44
56
17
39
53
56
53
6
47
53
16
37
50
53
50
3
47
50
25
25
47
50
47
6
41
47
12
35
44
47
44
9
35
44
45
-1
41
44
41
13
28
41
23
18
38
41
38
10
28
38
34
4
36
38
36
3
33
36
13
23
34
36
34
6
28
34
16
18
32
34
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
32
21
11
32
10
22
30
32
54
30
15
15
30
17
13
28
30
55
28
4
24
28
13
15
26
28
56
26
13
13
26
13
13
24
26
57
24
10
14
24
12
12
22
24
58
22
32
-10
22
3
19
20
22
59
20
14
6
20
22
-2
18
20
60
18
0
18
18
20
-2
17
18
生幼仔的
雌性数量
784
792
734
789
13—60岁
雌性数量
2735
232
2503
2772
302
2470
2569
总数量
11714
622
11092
11876
876
11000
11006
11808
注1:
0岁表示新生幼仔。
注2:
由于每个年龄段的数据均为推测值,而实际上运走的各年龄段的数量不一定全部与预
测值相符,故表中“剩下数量”两组数据中出现负数可认为是独异点,不影响模型整体的准
确性。
60
迟Xi/2
每年新生幼仔的数量(Xo)减去生幼仔的雌性的数量(13,由于雄性3.5
与雌性的数量比接近1:
1,我们可近似地认为1360岁个体的雌雄数量相等),
其差值即为双胞胎的数量,这个差值与生幼仔的雌性数量之比即为双胞胎的几率
792-784806—792
(3)1.35%。
由表中数据可得,:
0.0102,:
0.0177,
784792
746一7340.0163,800一789:
0.0139,这些比例都基本上接近题设的双胞胎的
735789
几率0.0135,说明以上推测得出的数据是准确的。
利用Matlab软件对以上四组数据用图形表示,并进行比较,得到该动物群
落的基本分布情况图(源程序见附录2),如下图所示
图1
分析该图,可以看出,这四组曲线的轨迹、分布情况基本相同。
由于“预测当前的年龄结构情况(无运走)”一组数据没有减去被运走的个体数量,故其每个年龄层的数量都略多于前三组的数量,因此其曲线比前三组的曲线略高一点,
利用SAS软件对模型进行相关性的分析检验(源程序见附录3),得到如下
结果:
4
Variables:
xl
x3
x4
SIbpIsStatistics
Variable
N
血mn
StdDev
Sum
MiniHtn
Maiximum
汕
171.66667
1G2.23E20
10800
-10.00000
E94.00000
GO
1G9.90000
163.75102
10194
-2.00000
604.00000
汕
151.45699
17.00000
EE9.00000
&0
W3.46GC7
162J5788
none
16.00000
600.00000
TheSASSystem
TheCORRProceddre
21:
38Saturday,April24P20051
PearsonCarreIationCoefficients,N~80Prob>IrllunderHO:
Rho-0
xl
x2
x3
x4
xl
L00000
0,99744
DJ900B
<,0001
<,0001
<0001
x2
0.99744
LQQ000
0.88B54
<.0001
<.0001
<.0001
x3
0.S8899
<.0001
<+0001
<0001
0.99B96
0.99854
0.99999
1.00000
<.0001
<+000l
<0001
图2
程序的分析及统计结论:
程序中的x1是前一年的该动物群落的年龄结构,x2是前两年该动物群落的年龄结构,x3是该动物群落没有被运出是的年龄结构,x4是预测的当前的该动物群落的年龄结构。
过程中的PROCCOR是分析变量中两两变量之间的PEAROS简单相关的。
输出结果中的结果1是一些基本的描述统计量,结果2是两两变量之间的相关矩阵,其中包括相关系数和显著性检验的概率。
由结果可知前一年的该动物群
落的年龄结构(x1)与前两年的该动物群落的年龄结构(x2)的相关系数R=0.99744,P=0.0001<0.01,所以前一年的该动物群落的年龄结构(x1)与前两年的该动物群落的年龄结构(x2)之间存在着极显著的正相关;前一年的该动物群落的年龄结构(x1)与没有运走是的该动物群落的年龄结构(x3)的相关系数R=0.99896,P=0.0001<0.01,所以前一年的该动物群落的年龄结构(x1)与没有运走时的该动物群落的年龄结构(x3)之间存在着极显著的正相关;同理可知x1与x4的相关系数R=0.99896,P=0.0001<0.01;x2与x3的相关系数R=0.99846,P=0.0001<0.01;x2与x4的相关系数R=0.99854,P=0.0001<0.01;x3
由以上的分析可知,x1,x2,x3,x4之间的相关系数接近1,可见模型一的稳定行很强,而且由公式推出的前一两年的数据与该公园已有的数据基本相符合,可见模型是很优的。
问题二:
由于目前该动物已经很少被移出或移入,而且偷猎枪杀的情况微乎其微,所以暂时不列入考虑范围内。
因此对该动物群落若不采用人工手段控制,则其在一定时间范围内会大幅度增加,从而破坏该种群的动态平衡。
为了保持该种群的平衡,而又不必每年运走一定数量动物,现在使用一种避孕注射法,可使该动物群落的数量固定在一定范围内,用这种方法注射一次可以使得一头成熟雌性动物在两年内不会受孕,但不会引起其它附加的反应。
我们所要做的就是估计出每年在该群落中要注射避孕药的雌性动物的数量,并且要考虑到各种不确定性因素的影响。
为了分析的方便,我们先建立初步模型,该模型暂时不考虑注射避孕药所产生的不确定性因素的影响,即不考虑两年内被重复注射的雌性数量及双胞胎的几率。
在这里我们只认为新生幼仔的数量由两部分组成,一部分为没注射过避孕药的雌性个体所生,另一部分为被注射过避孕药的雌性个体所生。
另外,由于已经没有个体被运走或被偷猎的情况,为此我们把该种群的稳定性转化为求目标函数
;(该种群每年的新生幼仔的数量减去该年死亡个体的数量的差值),当;趋于0
时,即认为该群落的个体数量是稳定的,从而把问题的稳定性问题转化为求单目标的最优化问题。
从而建立模型如下:
模型
minz二
‘byi+Jy?
—x°=0
〈y^y^ci
,-Jx。
-[(1-h)C2+C3]
1
其中:
!
二丄,表示每年没有注射避孕药的雌性动物生幼仔的几率。
3.5
■2-,表示被注射过避孕药但在两年内不再被注射的雌性动物生幼仔
5.5
的几率;
这里设C-=2596,表示从-3〜60岁该动物的雌性个体的总数为2596;
设C2=-0243,表示从-〜59岁该动物的个数总和为10243;
设C3=-7,表示60岁该动物的个体总和为-7;
;:
表示该种群每年的新生幼仔的数量与该年死亡个体的数量总和的差值。
把已知的数据代入上述模型,从而得到以下模型:
minz二;
0.2857y-+0.-8-8y2-x0=0
0.75x0=529十£ 利用Matlab软件进行编程(源程序见附录4),求得 y厂2293,y厂276,x^=705,二2.028610一16. _-6 其中;-2.028610: 0,说明该模型是稳定的,即该动物群落的数量被 控制在一定的范围内。 由y^276可知,每年大约有276头雌性动物要注射避孕药,才能使该群落的数量保持在11000头左右。 模型三(模型二的改进): 由于每年被注射的雌性动物数量一定,所以被注射过后两年有可能又被注 射,则将其归入到“被注射过避孕药但在两年内不再被注射的雌性动物”内。 因此,注射避孕药所产生的不确定性因素之一即为“被注射过避孕药但在两年避孕期内被重复注射的雌性动物”。 另外不确定因素之二即双胞胎的几率问题,所以这里我们加入一个参数3。 当第一年采用注射避孕药的方法时,是不会发生有雌性个体被重复注射的情 况的,故有以下模型: minz= iyi+2y2+3(丫1+丫2)-Xo=0 <%+y2=q .八了*-[(1-丫2)C2+G] 其中: 1 「=——,表示每年没有注射避孕药的雌性动物生幼仔的几率; 3.5 1 二一,表示被注射过避孕药但在两年内不再被注射的雌性动物生幼仔的 5.5 几率; 1 '3—,表示被注射过避孕药但在两年内被重复注射的雌性动物生幼仔的 6.5 几率; 1=0.75,表示新生幼仔的存活率; 2=0.95,表示1〜60岁动物的存活率; 3=0.0135,表示新出生的幼仔中双胞胎的概率。 minz=; 0.2857y+0.1818%+0.0135(0.2857片0.1818y)-x0=0 \%+y2=2569 八0.75^-[(1-0.95)1024317] 利用Matlab软件求解(源程序见附录5),求得 y厂2202,y厂367,x0=705,=2.47911016 V6 其中;=2.479110: 0,说明该模型是稳定的,即该动物群落的数量被控制在一定的范围内。 由『2=367可知,每年大约有367头雌性动物要注射避孕药,才能使该群落的数量保持在11000头左右。 由于考虑双胞胎的机率,故必须增加注射的数量。 当注射避孕药一年后再次注射时,就会有某些数量的雌性个体被重复注射的 情况出现,但这部分一定比前一年注射的雌性个体的数量少,故建立以下模型 模型四: minz= y+沙3丫3+3(y+汨'曲xo=o I%+y? 十y3y i一仏一【(u)q+Q] 代入已
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