湖南省顶级名校届高三第一次月考数学文试题含答案.docx
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湖南省顶级名校届高三第一次月考数学文试题含答案
湖南省顶级名校
2019届高三月考试卷
(一)
数 学(文科)
试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共8页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设全集U=R,A={x|2x(x-2)<1},B={x|y=ln(1-x)},则A∩∁UB表示的集合为(D)
A.{x|x≥1}B.{x|x≤1}
C.{x|0<x≤1}D.{x|1≤x<2}
【解析】∵2x(x-2)<1,∴x(x-2)<0,∴0<x<2;∴A={x|2x(x-2)<1}=(0,2);又∵B={x|y=ln(1-x)}=(-∞,1),∴A∩∁UB表示的集合为[1,2),故选D.
2.已知复数z=,给出下列四个结论:
①|z|=2;②z2=2i;③z的共轭复数=-1+i;④z的虚部为i.其中正确结论的个数是(B)
A.0B.1C.2D.3
【解析】由已知z=1+i,则|z|=,z2=2i,=1-i,z的虚部为1.所以仅结论②正确,选B.
3.已知命题p:
若a>,则a2>b2;命题q:
若x2=4,则x=2.下列说法正确的是(A)
A.“p∨q”为真命题B.“p∧q”为真命题
C.“綈p”为真命题D.“綈q”为假命题
【解析】由条件可知命题p为真命题,q为假命题,所以“p∨q”为真命题,故选择A.
4.如图,已知=a,=b,=4,=3,则=(D)
A.b-a,B.a-b,
C.a-b,D.b-a,
【解析】=+=+=(--=b-a.选D.
5.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则得到的这个新三角形的形状为(A)
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.由增加的长度决定
【解析】设增加同样的长度为x,原三边长为a、b、c,且c2=a2+b2,a+b>c.新的三角形的三边长为a+x、b+x、c+x,知c+x为最大边,其对应角最大.而(a+x)2+(b+x)2-(c+x)2=x2+2(a+b-c)x>0,由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正,则为锐角,那么它为锐角三角形.故选A.
6.与直线2x-y+4=0的平行的抛物线y=x2的切线方程是(D)
A.2x-y+3=0B.2x-y-3=0
C.2x-y+1=0D.2x-y-1=0
【解析】设P(x0,y0)为切点,则切点的斜率为y′|x=x0=2x0=2,∴x0=1.由此得到切点(1,1).故切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0,故选D.
7.右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩(成绩为整数),其中一个数字被污损,则乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为(D)
A.B.C.D.
【解析】记其中被污损的数字为x.依题意得甲的5次综合测评的平均成绩为90,乙的5次综合测评的平均成绩为(442+x)
,令(442+x)≥90,由此解得x≥8,即x的可能取值为8和9,由此乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为=,故选D.
8.将函数y=3sin的图象向右平移个单位,所得图象对应的函数(A)
A.在区间上单调递增B.在区间上单调递减
C.在区间上单调递增D.在区间上单调递减
【解析】将函数y=3sin的图象向右平移个单位,所得函数变为y=3sin,令2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),解得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),令k=0,≤x≤.故函数在区间上单调递增,故选A.
9.设f(x)=则不等式f(x)>2的解集为(C)
A.(1,2)∪(3,+∞)B.(,+∞)
C.(1,2)∪(,+∞)D.(1,2)
【解析】令2ex-1>2,解得1
10.执行如图所示的程序框图,若输入a,b,c分别为1,2,0.3,则输出的结果为(D)
A.1.125B.1.25C.1.3125D.1.375
【解析】模拟程序的运行,可得a=1,b=2,c=0.3
执行循环体,m=,不满足条件f(m)=0,
满足条件f(a)f(m)<0,b=1.5,不满足条件|a-b|<c,m=1.25,不满足条件f(m)=0,不满足条件f(a)f(m)<0,a=1.25,满足条件|a-b|<c,
退出循环,输出的值为1.375.故选D.
11.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知(a8-1)3+2018(a8-1)=1,(a2011-1)3+2018(a2011-1)=-1,则下列结论正确的是(A)
A.S2018=2018,a2011
C.S2018=-2018,a2011≤a8D.S2018=-2018,a2011≥a8
【解析】设f(x)=x3+2018x,则由f(-x)=-f(x)知函数f(x)是奇函数.由f′(x)=3x2+2018>0知函数f(x)=x3+2018x在R上单调递增.因为(a8-1)3+2018(a8-1)=1,(a2011-1)3+2018(a2011-1)=-1,所以f(a8-1)=1,f(a2011-1)=-1,得a8-1=-(a2011-1),即a8+a2011=2,且a2011 12.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,则使得f(x)<0成立的x的取值范围是 A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞) 【解析】设g(x)=(x≠0),则g′(x)=. 当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,∴g′(x)<0,∴g(x)在(0,+∞)上为减函数, 且g (1)=f (1)=-f(-1)=0. ∵f(x)为奇函数,∴g(x)为偶函数,∴g(x)的图象的示意图如右图所示. 当x>0时,由f(x)<0,得g(x)<0,由图知x>1, 当x<0时,由f(x)<0,得g(x)>0,由图知-1 ∴使得f(x)<0成立的x的取值范围是(-1,0)∪(1,+∞).故答案选B. 选择题答题卡 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 A B A D A D D A C D A B 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题: 本题共4小题,每小题5分. 13.已知α为锐角,a=,b,且a∥b,则α为__15°或75°__. 【解析】因为a ∥b,×-cosα×sinα=0? sin2α=,故α为15°或75°. 14.在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点A、B满足||=||=·=2,由点集{P|=λ+μ,|λ|+|μ|≤1,λ、μ∈R}所表示的区域的面积是__4__. 【解析】由||=||=·=2知,〈,〉=. 设=(2,0),=(1,),=(x,y),则 解得由|λ|+|μ|≤1,得|x-y|+|2y|≤2. 作出可行域,如右图阴影部分所示. 则所求面积S=2××4×=4. 15.在平面直角坐标系xOy中,以点A(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为__(x-1)2+y2=2__. 【解析】直线mx-y-2m-1=0恒过定点P(2,-1),当AP与直线mx-y-2m-1=0垂直,即点P(2,-1)为切点时,圆的半径最大,∴半径最大的圆的半径r==.故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2. 16.在平面几何里,已知直角△SAB的两边SA,SB互相垂直,且SA=a,SB=b则AB边上的高h=;拓展到空间,如图,三棱锥S-ABC的三条侧棱SB、SB、SC两两相互垂直,且SA=a,SB=b,SC=c,则点S到面ABC的距离h′=____. 【解析】把结论类比到空间: 三棱锥S-ABC的三条侧棱SA,SB,SC两两相互垂直,SH⊥平面ABC,且SA=a,SB=b,SC=c,则点S到平面ABC的距离h′=. 三、解答题: 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本 小题满分12分) 在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知a+b=c(m>0). (1)当m=3时,若B=,求sin(A-C)的值; (2)当m=2时,若c=2,求△ABC面积最大值. 【解析】 (1)∵a+b=c,∴sinA+sinB=sinC, ∴sinA+=sin=,4分 化简得sinA+cosA=,∴sin=, ∴A+=,即A=,∴C=, ∴sin(A-C)=sin=.6分 (2)∵c=2,∴a+b=2,∴b=2-a, ∴S△ABC=absinC≤ab,8分 ∴S△ABC≤ab=a(2-a)=-a2+a,10分 ∴当a=时,-a2+a取最大值1, 此时a=b=,c=2满足C=,∴△ABC面积最大值为1.12分 18.(本题满分12分) 如图,四棱锥P-ABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC=AD,E、F分别为线段AD、PC的中点. (1)求证: AP∥平面BEF; (2)设∠PDA=30°,∠BAD=60°,求直线BF与平面PAC所成的角的大小. 【解析】 (1)证明: 设AC∩BE=O,连接OF、EC. ∵E为AD的中点,AB=BC=AD,AD∥BC, ∴AE∥BC,AE=AB=BC, ∴四边形ABCE为菱形.2分 ∴O为AC的中点.3分 又F为PC的中点,在△PAC中,可得AP∥OF.4分 又OF? 平面BEF,AP? 平面BEF.5分 ∴AP∥平面BEF.6分 (2)由题意知ED∥BC,ED=BC. ∴四边形BCDE为平行四边形,∴BE∥CD. 又AP⊥平面PCD,∴AP⊥CD,∴AP⊥BE. ∵四边形ABCE为菱形,∴BE⊥AC. 又AP∩AC=A,AP、AC? 平面PAC,∴BE⊥平面PAC. ∴直线BF与平面PAC所成的角为∠BFO.8分 不妨设AP=2,∵∠PDA=30° ,∴AE=AD=2, 又∵四边形ABCE为菱形,∠BAD=60°,∴OB=1, ∵Rt△BOF中,OF=AP=1,OB=1,∴∠BFO=45°.11分 故直线BF与平面PAC所成的角的大小为45°.12分 19.(本小题满分12分) 已知数列{an}中,Sn为其前n项和,且a1≠a2,当n∈N+时,恒有Sn=pnan(p为常数). (1)求常数p的值; (2)当a2=2时,求数列{an}的通项公式; (3)在 (2)的条件下,设bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,求证: Tn<. 【解析】 (1)当n=1时,a1 =S1,∴a1=pa1,p=1或a1=0, 当p=1时,Sn=nan则有S2=2a2? a1+a2=2a2? a1=a2与已知矛盾, ∴p≠1,只有a1=0.2分 当n=2时,由S2=2pa2? a1+a2=2pa2,∵a1=0又a1≠a2,∴a2≠0, ∴p=.4分 (2)∵a2=2,Sn=nan,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an-an-1,6分 (n-2)an=(n-1)an-1? =, ∴=? an=2n-2.8分 当n=1时,a1=2×1-2=0也适合,∴an=2n-2.9分 ( 3)bn==<=- .10分 当n=1,2时,显然成立,当n≥3时有 ∴Tn<1+++…+=-<.12分 20.(本题满分12分) 已知椭圆C: +=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,设点F1、F2与椭圆短轴的一个端点构成斜边长为4的直角三角形. (1)求椭圆C的标准方程; (2)设A、B、P为椭圆C上三点,满足=+,记线段AB中点Q的轨迹为E,若直线l: y=x+1与轨迹E交于M、N两点,求|MN|. 【解析】 (1)由已知得2c=4,b=2,故c=2,a=2. ∴椭圆C的标准方程为+=1.4分 (2)设A(x1,y1),B(x2,y2), ∵=+,∴=, ∴点P坐标为.5分 ∵点P在椭圆C上, ∴+=1, ∴++=1, 即++=1,即+=0.6分 令线段AB的中点坐标为Q(x,y),则7分 ∵A、B在椭圆C上,∴8分 ? +=2, ∴+=2. ∵+=0, ∴+=2, 即Q点的轨迹E的方程为+=1.9分 联立得3x2+4x-2=0. 设M(x3,y3)、N(x4,y4), 则x3+x4=-,x3·x4=-.10分 故|MN|=|x3-x4|==.12分 第 (2)问也可以用椭圆的参数方程解决,且可参考上述解答酌情给分. 21.(本题满分12分) 已知函数f(x)=ex+e-x,g(x)=2x+ax3,a为实常数. (1)求g(x)的单调区间; (2)当a=-1时,证明: ? x0∈(0,1),使得y=f(x)和y=g(x)的图象在x=x0处的切线互相平行. 【解析】 (1)g′(x)=3 ax2+2,1分 当a≥0时,g′(x)>0故g(x)的单调增区间为(-∞,+∞).3分 当a<0时,令g′(x)≥0得-≤x≤,g(x)的单调增区间为, g(x)的单调减区间为,.5分 (2)当a=-1时,f′(x)=ex-e-x,g′(x)=2-3x2, ? x0∈(0,1),使得y=f(x)和y=g(x)的图象在x=x0处的切线互相平行. 即? x0∈(0,1)使得f′(x0)=g′(x0),且f(x0)≠g(x0),6分 令h(x)=f′(x)-g′(x)=ex-e-x-2+3x2, h(0)=-2<0,h (1)=e--2+3>0, ∴? x0∈(0,1)使得f′(x0)=g′(x0).7分 ∵当x∈时g′(x)>0,当x∈(,1)时g′(x)<0, ∴所以g(x)在区间(0,1)的最大值为 g,g=<2.9分 而f(x)=ex+e-x≥2=2,10分 ∴x∈(0,1)时f(x)>g(x)恒成立,∴f(x0)≠g(x0). 从而当a=-1时,x0∈(0,1),使得y=f(x)和y=g(x)的图象在x=x0处的切线互相平行. 12分 请考生在第22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号. 22.(本小题满分10分)选修4-4: 极坐标与参数方程 在直角坐标系xOy中,曲线M的参数方程为(α为参数),若以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴位极轴建立极坐标系,曲线N的极坐标方程ρsin=t(t为参数). (1)求曲线M和N的直角坐标方程; (2)若曲线N和曲线M有公共点,求t的取值范围. 【解析】 (1)由x=cosα+sinα=2sin得x∈[-2,2], 又∵x2=(cosα+sinα)2=2cos2α+2sinαcosα+1, 所以曲线M的普通方程为y=x2-1,x∈[-2,2]. 由ρsin=t得ρsinθ+ρcosθ=t, 即ρsinθ+ρcosθ=t,所以曲线N的直角坐标方程为x+y=t.4分 (2)若曲线M、N有公共点,则当曲线N过点(2,3)时满足要求,此时t=5,并且向左下方平行移动直到相切之前总有公共点,相切时仍然只有一个公共点, 联立得x2+x-t-1=0,Δ=1+4(1+t)=0? t=-. 综上所述,t的取值范围是.10分 23.(本小题满分10分)选修4-5: 不等式选讲 已知函数f(x)=. (1)解不等式f(x)<4-; (2)已知m+n=1(m,n>0),若-f(x)≤+(a>0)恒成立,求实数a的取值范围. 【解析】 (1)不等式f(x)<4-即为<4-. 当x<-时,即-3x-2-x+1<4? - 当-≤x≤1时,即3x+2-x+1<4? -≤x<; 当x>1时,即3x+2+x-1<4无解. 综上所述,原不等式的解集为.5分 (2)+=(m+n)=1+1++≥4, 令g(x)=-f(x)=-= 所以当x=-时,g(x)max=+a,要使不等式恒成立,只需g(x)max=+a≤4? 0 10分
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