化二次型为标准型的方法.docx
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化二次型为标准型的方法
化二次型为标准型的方法
二次型及其矩阵表示
在解析几何中,我们看到,当坐标原点与中心重合时,一个有心二次曲线的一般方程
ax"+2bxy+cy'=f.
(1)
为了便于研究这个二次曲线的几何性质,我们可以选择适当的角度作转轴(反时针方
X=Xcos&-ysin&
••
y=Xsin0+ycos0
把方程
(1)化成标准方程。
在二次曲而的研究中也有类似的情况。
(1)的左端是一个二次齐次多项式。
从代数的观点看,所谓化标准方程就是用变量的线性替换
(2)化简一个二次齐次多项式,使它只含平方项。
二次齐次多项式不但在几何中出现,而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。
现在就来介绍它的一些最基本的性质。
向转轴)
(2)
设P杲一数感,一个系数在数域PI:
的X|.X2,•…Xn的二次齐次多项式
f(XpXx・・・,Xn)=a„xf+2apX]X》+・•・+2d]nX]Xn+a"X分2+・・・+2a*nXjXn+・・・+annXn2
称为数域P上的一个n元二次型,或者在不致引起混淆时简称二次型。
设X|,X2■…,x„:
y^y,y„是两组文字,系数在数域P中的一组关系式
X|=勺』|+匂汙2+・・・5人
X2=C2.yi+c„y,+...c,„y„
X3=C3y+。
32『2+…(3"九
(4)
1/"=5』2+%九+…5肌
称为由XpX2x„到yid?
人的一个线性替换八如果
GH0,那么线性替换(4)就
称为非退化的。
在讨论二次型时,矩阵是一个有力的工具,因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。
另
那二ivj・由于XjXj=XjXi,所以
f(X|,X2,・・・,x„)=a]]X/+2di2X|X2+・・・+2a]nX|Xn+3,2X2"+...+2a2„X2Xj,+
nn
=工工a/iXj
i—1
它的系数排成一个n*n矩阵
州2…%幻2…幻n
它就称为二次型的矩阵。
显然它是对称矩阵。
X|
X,
于是二次型可写成f(XpX,xJ=XAX
非退化线性替换可以表示成X=CY
三、化二次型为标准形的方法之一:
配方法定理:
数域P上任意二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和的形式•即标准形。
证明:
下而的证明实际就是一个具体的把二次型化成平方和的方法,也就是“配方法”。
我们对变量的个数做数学归纳法。
对于n=l,而二次型就是f(X|)=如已经是平方和的形式了。
现假ik对nJ元二次
nn
型,世理的结论成立。
再假设f(X"X2…Xn)=为工"ijXjXj(3ij=an)i-l>)
分三种情况来讨论:
1)a„(i=h2,…,n)中是少有一个不为零,例如a,,*0.这时
nnnn
fg'X?
,…,xj=a„x?
+工a|产E+Eazx严工工
i-2i-21-2j=2
nnn
=十2工aijXjXj+E工a..x.x.
j・2i-2>2
n
X|+2>i>ijXj
j-2丿
nnIn
工SbijXjXjda];1-2j=2
-nn
十工工bijX,Xj,
1-2j=2
这里
nn
S如jXj+ZZ®jX,Xj
j・2丿i-2j=2
是一个X2…rXn的二次型Q令
lyn=Xn
Xn=yn
这是一个非退化线性替换,它使f(XpX,,…,x„)fy:
+i±b,jX"
有归纳法假定,对ff坷丫:
丹有非退化线性替换
1-2j-2
72=勺2『2+。
23力+・・・勺訝"
2厂32+。
心+・心儿能使它变成平方和d2Z;+d3晴+..%:
。
&=5汀2+<;小3+...<;曲
于是非退化的线性替换
Z|=y.
22=^22X2+C,3y3+...c2„y„
*6=。
32儿+。
33丫3+…。
3"九
就使f(XpX,,…,xj变成f(X「X2■…,Xn)=d2Z:
+d3Z;+…gz:
由归纳法,即证。
2)所有aji都等于0,但至少一aijMO(j>l),不是一般性,设a】?
工0。
令
X,=Z,+Z2
Xj=Z(-Zj
"■它是非退化线性替换,且使f(X],X2xj=2a,2X1X2+...
=2a门(Z|+Z^)(Z|-zJ+•・•=2apZ,—2QpZ;+...
这时上式右端是Z"Z2Zn的二次型,且Z;的系数不为0,属于第一种情况,;^^理成立0
3)a,,=a|2=•••»!
„=0由于对称性,有a?
]=322=・・・d2n=0
这时f(XpX,,…,x„y=iiUjjXjXj是n-1元二次型。
根摇归纳假设,它能用非退化线性替>-2i-2
换变成平方和。
这样就完成了左理得证明。
说明:
虽然配方法是基础方法,但在应用化简二次型时比较麻烦。
配方法需要通过观察来配方,对初学者来讲,具有一世的盲目性。
四、化二次型为标准形方法之二:
合同变换法(初等变换法)
由上述配方法即得:
定理在数域P匕任意一个对称矩阵都合同于以对角矩阵•
即对于任意一个对称矩阵A,都可以找到一个可逆矩阵C使CTAC成对角形。
即任意对称矩阵都可用同样类型的初等行变换和初等列变换化成与之合同的对角矩阵。
典型例题:
用合同变换法化二次型为标准型,并写出非退化的线性替换。
/(X|9吃■兀)=xf+—Xy+2a,^2-2斗大3
1一1、
2
解,/(心勺/3)的矩阵为A=1
0
0-1
以下为合同变换过程:
一1\
3+1*0)
0
、0
100、
‘1-12、
因此D=
010
»c=
01-1
、00-3,
.001.
令X=CY.得rCs心%3)=”+拧-3拧
五、化二次型为标准形方法之三;正交变换法(实二次型)
利用欧式空间的理论,我们得到这样的结论:
对于任意一个n级是对称矩阵A,都存在一个n级是正交矩阵T,使
T^AT=T"AT成对角形。
nn
定理任意一个实二次型f(Xi,X2.・・・,Xn)=Y》aijXjXj(aij=ajj
1-1j-i
都可经过正交的线性替换变成平方和f(X「X2Xn)=d2Z;+d3Z;+…gZ:
其中平方项系数dpd?
■…,g就使矩阵A的特征多形式全部的根。
因此只要求出特征根•二次型标准形也就求出来了。
正交变换更具实用性。
如:
典型例题:
作直角变换,把下述二次曲而方程化成标准方程,并指出它是什么二次曲而?
=%'+2y~+3v一4秽-4yz
(2+1)A的全部特征值是2,5,
x"+2y"+3z"-4xy-4yz=1
1
-2
0、
2-1
2
0
它的矩阵A=
-2
2
-2
|/l£-A|=
2
2-2
2
0
\
-2
3,
0
2
2-3
解:
此方程左端的二项式部分为:
/(x,y,z)
下把它正交替换成标准型:
=(/1-2)(2-5)
•1•对于特征值2,求出(2E-A)X=0的一个基础解系:
丄
~3
13丿
所以原二次型在新的宜角坐标系中的方程为:
2x*-+5y*'-z*-=l
由此看出,这是单叶双曲而。
六、化二次型为标准形方法之四S雅可比方法
(一)相关定义
1、双线性函数定义
1)
2)
V是数域P上一个线性空间,f(a,B)是V上一个二元函数,即对V中任意两个向量«、根据f都唯一地对应于P中一个数f(o,P)。
如果f(a,B)有下列性质:
c(a,k|卩严2卩2)=k]fa0))+k2fa02)
f(1<0|+匕00)=k|f( 英中久厲心2,0,久02是V中任意向島kpk,是P中任意数,则称C(jB)为V上的 一个双线性函数。 例如: 欧式空间V的内积是V上双线性函数。 2、对成双线性函数的定义 f(a.P)线性空间V上的一个双线性函数,如果对V中任总两个向量a,P都有f(U, P)二f(B・0),则称f(5P)为对称双线性函数0 3、度量矩阵定义 设f(jP)是数域PI: n维线性空间vr: 的一个双线性函数。 是V的一组 务…f(6Gj 结论: 双线性函数是对称的,当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称矩阵。 (二)化二次型为标准型的雅可比方法 设V是数域P上一个n维线性空间,取;iV的一组基司,习•…,务,令 nn 工X吾,=》y点, 1=1i=t x=(X]…X"),尸(y「…•人), 那么给定一个F上的n元二次型xTAy(其中A是n阶对称矩阵九则由A可以定义一 A= 在固定的基£"勺…"6下,二次型x^Ax和对称双线性函数f(0,PAx^Ay是互相唯-确定的(都是由A确企的)。 这种方法的中心问®是: 对在V的基环勺务下游二次型xTAx确定的对称双 线性函数f(a,P)=x^Ay,满足条件 f(弘4)=0,对••…n) 我们知逍,设{〃〃n}是V的另一组基,而B=(bjj)2n=(f(“4))是f(SB) 关于这个基的矩阵,又设C=(Cjj)E是由基斫®4到基“I久的过渡矩阵,即 n 〃i=,Cjj&i*1=1,.,nJ-l 即一个双线性函数关于V的两个基的两个矩阵式合同的。 由于任一对称矩阵必能合同于对角矩阵。 设可逆矩阵C使CTAC成对角阵, fbu B= I0…bnn丿 再设C是基g"••厶到基q%的过渡矩阵,由 (1)式知,f(a,P)关于基□…•心的矩阵是对角矩阵 (2)式,即 这表明,对于每一个对称双线性函数都存在一个适当的基使它可以写成如下形式 faP)=zBu^biiZM+匕2込112+・・・+“石11「 艮中a=f召弘,0=fu/z,从而它所确定的二次型zTBz可以写成标准形i-li・l ZBzhbidi+»22乙2+•・•+“£ 且二次型xTAx化为z^Bz所作的非退化线性替换为 X=CZr 次中C是由基斫…颯到基Z7,7n的过渡矩阵,它使C'AC=Bo 于是,化二次型xTAx为标准形的问题就可以归结为上述关于对称双线性函数的“中心问题X为此,需要寻找满足条件 (2)得V的一个基〃I…久。 在RB中,从一个基司•习名出发,利用施密特正交化方法.可以构造一个与之等价的正交基〃久。 该方法的实质就是设 7=C]]£], 7: =^,2^1+022^2. 然后用待泄系数法求使得(%〃j)=0(其中iHj,ij=b2.…n)的系数Cjj。 为此我们先解决下问题: 1)设V是数域P上一个n维线性空间,f(a,P^x^Ay使V上对称双线性函数,其中 nn %£»・・・,%是V的一组基,0=工Xj刍,B=》yj£i> i=li=l x=(Xp...,x^),y=(y「・・・9y.)I A是n阶对称矩阵,那么从基{£「£2£}出发,是否能构造如下形式的基巾…吟 7=C]百, “2=勺2坷^22^2* 7n=C|n^|+C,„^2+-+Cnn^n. 解: 将"j=5斫+。 2卢2+・・・+。 诒代入得 f(77i,〃j)=f(%〃j=C]j£i+C2卢2+•••+(»£) 二cJSgJ+c#(弘习)+・・・+Cjjf(〃igj), 所以,若对任意的i及jvi有f(%£j)=O,则对jvi,也有 f(Mj)=0' 又因双线性函数f(<i,B)是对称的,则对jAi,有 f("Sj)=fa7j4)=0, 即〃「…,久是所求的基。 于是,问题归结为求待世系数c,%,“C,,i=t2n,使向量 显然,若Q满足f(7.£j)=0,则7的数量倍切也满足 f(C%£j)=O, 故为了确圧我们再要求满足条件 这样,7可以利用条件(4)(5)唯一确崔了•将(3)式代入(4)和(5),得到关于Cjj的 线性方程组 cj(坷可)+C2if(坷&2)+・・・+耳£(£占)=0Chf(占沙])+C/(勺勺)+…+Ciif(邑坊)=0 C•占)+C2if(殆6)+…+cjG■占)=0 cj(吕百)+。 玄£(吕£)+・・・+。 』(吕点)=1 这方程组的系数行列式为 I(环务…f(£|占)、 △i= (fG占)…f(£i占J 因此,当2HO时,方程组(6)由唯一解,从而可求得向量7。 于是,当A/a/m=("£")) 311 幻I 都不等于0时,可以由方程组(6)求出向量 2)由1)可知,在AiHO.i=b2,…,n的情形下,由方程组(6)可求出上三角矩阵 C|! C=(Cij)E= 从而由(3)式求得i=b2,…,n,它们满足 b广f(7〃j)=0・对iHj,ij=h2…・•n 使得双线性函数f(o,P)关于基M…久的矩阵为 10 B=C^AC=: bQ 是对角矩阵,由此可见,二次型xTAx叮经非退化线性替换x=Cz.化成标准形 ZBz=b||Z|+^22^2+...+b,j„z„ .其中X=(x,,…,Xn)T,Z=(Z|,…,ZjT. 下面il•算bj|=f(77jz/j)i=h2,….n,由(3)(4)(5)可得 bii=f(〃i4)=f(7・CM}+C2j£2+・・・+Cij£j =Cii=f(%£j 再由克拉默法则,由方程组(6)可解得 Ci严也(其中令△o=l)。 △i 因此,bii=A^,i=L2♦…,n 综上所述,我们可得以下结论: 设二次型(其中ay=ap中,顺序主子式纠,...,亠都不等于零, 1-1>1 则该二次型必可化为下而的标准形: 这个化二次型为标准形的方法称为雅可比方法。 典型例题: 用雅可比方法化二次型为标准型,并写出非退化的线性替换。 /{XpX,,x^)=2%,"+x/+x/+3V];Vj+4/]%3 解: 由于矩阵A= |2 ,它的顺序主子式△产2,A,=--,A3=-4-都 "44 T ‘0、 ‘0、 设气= 0 = 1 '习= 0 0 \/ 0 \/ 不等于零,故可用雅可比方法。 £2,^3的矩阵为A,则 双线性函数f(u.P)关于基 "f(习占)f(£|屁)f(£|,£3)' A=f(£2")f(^2*^2)f(£p£3) 、f(£3占)f(£3®)f(g)' 设< =^12^)+^22^2 6=C/+^23^2+^33*3 系数C|i可由条件f(巾占)=1求出,即勺/(£|占)=2切=1 故5=7故有〃)=5£|=-司= 求出, qJ(久£i)+gJ(£i心)=0系数巾心可由方程组1Z;Z\ .52/(£|'£2)+&2』(£2'£: ! )=1 因此/3/2內)经线性替换X=CZ化成 (三)雅可比方法在判定二次型的正定性问題上的应用 1)实一次型f(XpX,,.2丿迄&內X-xTAx是正定的充要条件是: I-)i-i 矩阵A的顺序主子式•…全大于零: n («1 2)实一次型f(XpX”-xTAx是负宦的充要条件是: (-1)*亠>(Xk=12・・・n・ 证: 1)必要性显然成立,下正充分性。 由于矩阵A的顺序主子式全大于零,故该二次型必可化为 —zf+—z? +...+^s±zJ △i亠■亠由于护0(+..m故该二次型的正惯性臟等于n,丽以它是正定的. 2)证明与1)类似,只是因(-I)'a,>0,k=l,2,...n.故学<0(i=l-2,.…n) 所以该二次型的负惯性指数等于n•是负泄的。
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- 二次 标准型 方法