《数与形》课堂实录.docx
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《数与形》课堂实录
《数与形》临沂李彬然老师教学实录
12月17日这一天,因为有了临沂外国语学校李彬然老师的一节《数与形》而有所不同,幸好,我找到了邻座老师的录音,又幸好,午餐时间与李老师同桌,李老师答应将PPT课件分享,这一天因此而精彩,闲话不再赘述,整理李老师课堂实录如下,与诸位分享,且留待自己以后慢慢品味。
全文共计5600余字,纯手打,历时大约四小时。
哎?
这个这么有毅力的人是谁?
这个打字龟速的人我不认识!
《数与形》课堂实录
我的思考:
如何结合教学内容,使学生在问题解决的完整过程中,体验数与形的相互作用,实现数形认识上的跨越?
一、谈话导入
1、师:
同学们,我们学过了哪些数学知识?
生:
分数乘法。
师:
这是关于数的知识。
生:
我们学过小数乘法。
师:
这也是关于数的知识。
生:
我们学过长方体正方体的体积。
师:
这是关于形的知识。
生:
我们学过比。
师:
这是关于数的知识。
生:
我们还学过奇数偶数。
师:
这也是关于数的知识。
(将以前学过的知识进行整理,都可以分为“数”和“形”两类)
2、图片欣赏。
师:
让我们来看一幅图片,图片中有什么?
生:
花坛。
师:
说具体点。
生:
一个正方形花坛。
师:
在这句话中就既有数、又有形。
(演示:
数:
一个形:
正方形物:
花坛)
师小结:
(录音中不包括)
二、探究新知。
1、从1开始的n个连续奇数相加的和是多少?
师:
n个是几个?
生:
无数个。
师:
这个n代表多少?
可以代表300吗?
生:
可以。
师:
有可能是300个,有没有可能是30个?
有没有可能是3个?
也就是说,它的个数是不固定的。
那它的个数不固定,它的和呢?
生:
也不固定。
师:
可见这个和必定和这个n有关系。
那它到底有什么联系呢?
怎么才能知道它有什么联系?
师:
你有方法吗?
想一想你有没有好的思路?
生:
可以自己先算一算。
师:
怎么算?
生:
先算出10个,然后再进行推算。
师:
真好。
他的意思是把n先假定在10个以内,对吗?
很好的策略。
复杂的问题往往要从简单的开始。
那我们就听你的,把n的个数假定在10个以内,举一些例子来看一看他们有什么联系。
几个最简单?
生:
1个。
师:
1个最简单,那我们来看。
如果有1个这样的奇数那算式也只能是1,和也是1。
师:
如果有两个这样的奇数相加,那算式应该是什么样子的?
生:
1+3
师:
对吗?
和呢?
生:
4
师:
它们是不是有联系?
继续。
3个。
生:
1+3+5
师:
同意吗?
和呢?
生:
9
师:
再来一个。
生:
1+3+5+7
师:
同意吗?
和是?
生:
16.
师:
我想是不是有同学观察到了什么?
你有什么发现?
先在小组说说你的发现,关键是下面的算式是不是都有这个规律?
任选一个验证一下。
师:
(巡视指导)任选一个验证一下,看看下面的算式是不是也有这样的规律,规律应该是有连续性的。
2、小组汇报交流。
师:
同学们有发现吗?
谁来说一下你有什么发现。
生:
每个后面的数都是加2,而且都是奇数。
生:
后面得的这个数都是前面这个数的平方倍。
师:
你能找一个数解释一下吗?
生:
5,算式是1+3+5+7+9=25
师:
那你说一下5和25的关系。
生:
25是5的平方倍。
师:
25是5的平方。
你们有没有这样的发现?
你们验证的是哪一个?
生:
我们验证的是6.
师:
6,6个这样的奇数相加是多少?
生:
36.
师:
算式是1+3+5+7+9+11=36,也有这个规律。
那大家再来看这些是不是都有这个规律?
为了便于观察,我们可以将算式先隐藏起来,大家看一看,确认一下,有这个规律吗?
3、小结。
师:
按照刚才这个同学的说法,当有1个这样的奇数相加的时候,它的和就是1×1;也就是1的平方;当有2个这样的奇数相加,它的和4就是2的平方;9呢?
3的平方;16呢?
4的平方;25呢?
5的平方。
依次这样下去,看来真的有这样的规律。
以此类推,如果有20个这样的连续奇数相加,你觉得它的和应该是多少?
生:
400.
师:
怎么算的?
生:
20×20=400
师:
那如果有100个这样的连续奇数的和应该是多少?
生:
100×100=10000.
师:
以此类推,如果有n个这样连续奇数相加的和应该是多少?
生:
n的平方。
师:
齐读。
生:
从1开始的n个连续奇数相加的和是n的平方。
师:
这个规律有意思吗?
从1开始的几个连续奇数,它的和竟然可以用它的个数的平方来算。
你觉得奇怪吗?
你不奇怪能不能来解释一下?
为什么这样连续奇数相加是它的和可以用个数的平方来算?
生:
比如说5,就是5个数相加,它的和就是5的平方。
生:
可以用简便算法来试试。
10个连续奇数,可以看做是1+19,3+17,5+15,7+13,9+11,就是5个20相加。
师:
你用了另一种算法,但是仍然不能解释为什么它们的和要用个数的平方来算。
4、小组交流。
师:
说实话,同学们,如果这个道理从数的道理来解释,还真的不太好解释,那该怎么办?
华罗庚说过:
“不懂就画图”,我们为了让大家听得更清楚,老师准备了一幅画,我们来拼图。
我来做个示范。
哪个最简单?
生:
1
师:
我用1个红色的正方形来代表1,1行而且1个,1乘1还是1,下一个1+3,你能用这样的图形来表示出来吗?
拼出个1+3行不行?
大家小组内都有这样的小正方形,拼一拼。
(巡视指导)
5、小组展示。
师:
请问,这可以表示1+3吗?
(指着横排成一排的)
师:
“1”在哪里?
(红色)“3”呢?
(黄色)这个是不是可以表示1+3?
师:
这个正方形可以表示1+3吗?
生:
可以。
师:
“1”在哪里?
(红色)“3”呢?
(黄色)。
这都表示1+3.关键是我们不光是能够表示1+3,还要解释1+3为什么用2×2来算。
那哪一个图形既能表示1+3,又能表示2×2呢?
师:
说一说,2×2在哪里?
生:
每行有两个,有两个2,就是2×2。
师:
有两列,而且有两行,就表示2×2。
看来,拼成正方形,就可以表示从1开始的这样的连续奇数相加,还可以表示一个数的平方。
这样的1+3是不是也可以用2×2来算?
那下一个,1+3+5又该怎么拼?
你来试试看。
(学生拼图:
1+3+5,教师巡视。
)
6、
师:
大家看,你们拼成一个正方形了吗?
我看到大家拼的正方形的样子都不太一样,颜色的排列不同,这位同学排的好不好?
好在哪里?
生:
最小的数量在最里面,中间的数量在中间,最大的数量在最外边。
师:
对,大家虽然都拼成了正方形,但是我们数学上要讲究顺序、规律、条理,这位同学拼的非常好。
这样,你能解释1+3+5用3的平方来算呢?
生:
因为他们横着竖着都是三个。
师:
横着每行有三个,而且有三行,所以可以用3的平方来计算。
那1+3+5+7你会拼了吗?
方块已经没有了,让我们来想一想,如果在这个(1+3+5)的基础上再加上7个,你觉得这7个可以怎么摆?
生:
按照原来的方法再摆一层。
师:
继续想,拼完之后又是什么图形?
生:
正方形。
师:
这个正方形的每条边上有几个小方块?
有几行?
(课件演示不同的颜色),这些不同的颜色分别表示几?
为什么1+3+5+7可以用4的平方来算?
生:
因为这几个不同颜色的方块拼在一起就组成了大大的正方形,这个正方形可以拼成4行,每行有4个,可以用4的平方来计算。
师:
同学们,如果继续这样拼下去,再加上一个奇数,9,现在有几个奇数?
而且小正方形每条边上的个数也变成5个,而且有这样的5行,所以它的和可以用5的平方来算。
那,继续这样拼下去,再增加一个奇数,11,它的总和可以用6的平方来算。
再来一行呢?
可以用7的平方,以此类推,如果有n个这样的连续奇数,那就可以用n的平方来算。
师:
这个规律你现在弄明白了吗?
我们是怎么弄明白的?
生:
在我们不懂得时候就可以用形状来解。
生:
形可以很简便的了解不会的问题。
7、小结
师:
是的,数是很抽象的,很多道理我们需要借助形的力量来理解,把数化成形之后,可以使复杂的数量关系变得更加的清楚、明白,我们把这样的过程叫做“化数为形”,然后以形来助数,帮助理解数量关系。
8、
师:
那数的规律可以借助图形来帮助思考,那形的变化背后是不是也隐藏着数的规律呢?
师:
我来口述一个问题,大家来思考。
有一种桌子,四面坐人可以坐8个人,如果两个桌子拼到一起就可以坐12个人,3张桌子拼到一起可以坐16个人,这样的100张桌子拼到一起可以坐多少个人?
师:
你听懂了吗?
其实这个事挺简单的,但是用话说却说不明白,你们有没有好的方法?
生:
画图。
师:
如果画出来的话,(课件演示)1张桌子可以坐8个人,2张桌子可以坐12个人,3张桌子可以坐16个人,100张桌子可以坐多少人?
小组讨论交流,把答案写在作业纸上。
(小组讨论交流。
)
师:
小组同学来说一说你们的做法。
师:
请你借助图形来说一说你为什么这样做?
生:
我们组算的是一共有404人。
100张桌子拼在一起,这一边也就是它的长边一共有400个人,再加上两头有4个人,一共有404人。
生:
它每张桌子的两边坐4个人,他有100张桌子,再加上边上就是它的宽分别坐2人,400+4=404人。
师:
算式就是100×4,100×4的意思就是每张桌子两边都坐4个人,100张桌子就做400个人,旁边还有4人,所以需要在加上4,等于404人。
师:
还有其他做法吗?
生:
我们小组是这样想的,把第一张桌子去掉的话,每增加一张桌子就增加4个人,8+4×99=404人。
师:
算式是这样的,8先不看,多了99张桌子,每多一张桌子就多4个人,所以多了4×99这些人,然后再加上8人等于404人
师:
我想问一下,这是一个图形的问题,为什么你们不去画图,却用数来算呢?
生:
老师我感觉画图太麻烦了,因为它有100张桌子。
师:
对,画图太麻烦了,这时候需要借助数的力量,把形的计算问题用数来做会更加的快速、简便而且准确。
那我们把这样的过程叫做化形为数,然后以数来解形。
(板书)
师:
同学们,回顾这两个例子,在第一个例子当中,数的问题可以借助图形来思考,而第二个例子当中,形的知识可以借助数来计算,数和形各有优点,它们一一对应而且可以互相转化,互为补充,这就意味着要求我们在解决问题的时候要把数和形结合起来,这在数学上是一种重要的思想,就叫“数形结合思想”。
师:
对于“数形结合”,我国数学家华罗庚先生有一段话非常好。
让我们一起读一遍:
生:
数缺形时少直觉,形缺数时难入微。
数形结合百般好,隔离分家万事休。
师:
数形结合百般好,可是怎样做到数与形的结合呢?
我想,这既然是一种思想,那我们还是要落脚到这两个数上,“思”和“想”,也就是要见“数”思“形”,见“形”想“数”。
试试你能不能够做到。
9、巩固练习
师:
有这样一道算式(3×2),你能够想到什么图形?
生:
我能想到一个长方形。
师:
为什么?
生:
因为可以想象它的长是3,高是2,6就是他们的面积。
师:
大家说有没有道理?
可见数的变化背后却是隐藏着形。
师:
再来看,这是一位同学画的一副图形,它用来表示一个数,你觉得它是那一个数呢?
生:
我觉得是3.5,因为前面它画的三根一样的线表示3个整数,后边画了前面一根线的二分之一,所以变成3.5
师:
有没有道理?
它可以表示35吗?
生:
可以
师:
为什么可以?
生:
比如说他前面三个整数可以想象一个整数为10,然后就是35.
师:
有这样一个数量关系,一袋大米中60千克,吃了四分之三,你能够想到用什么图形来表示它?
生:
我想到用一个边长为4厘米的的长方形来表示。
生:
把一个长方形平均分成四份,每份是1厘米。
师:
那即是说把它平均分成4份,吃了的是3份。
10、
师:
这样一个图形,你会想到是几的平方?
为什么?
生:
因为这个正方形边长均为3,
师:
边长为3可以用3的平方来表示,我们把3的平方还原成像第一张那样几个连续奇数的相加这个算式,这应该是什么样子的?
生:
1+3+5
师:
那这样的一个算是又可以用几的平方来表示?
生:
应该是4的平方,因为把它倒过来后就等于1+3+5+7,所以可以用4的平方来表示,
师:
那4的平方你又能想到什么图形?
生:
可以想象出一个正方形。
师:
多大的正方形?
生:
边长为4的正方形。
师:
如果把上边的算式合起来,和应该是多少?
师:
想一想,3的平方等于几?
4的平方等于几?
9+16=25,是5的平方
师:
5的平方你又能想到什么图形?
生:
边长都是5厘米的正方形。
师:
大家看,一个有趣的算式出现了,3的平方加4的平方等于5的平方,这个有趣的算式背后还隐藏着有趣的图形,大家看,直角三角形它的一条直角边如果是3,另一条直角边是4,那他的斜边就一定是5,这是我们初中要学的一个重要的定理,叫做勾股定理。
师:
大家看,数形结合的思想不但从小学阶段一直在陪伴着我们,更重的是对于我们初中乃至以后的学习有着十分重要的意义,我想,这也正是我们为什么要在这里讲这样一节课的目的和价值所在。
下面给大家介绍一些有意思的数。
像当中的这些书化成图形都是正方形,我们就把这样的数叫做“正方形数”;按照这样的叫法,这些数叫做“三角形数”;这些可以叫“梯形数”这些呢?
“五边形数”,像这样的数还有很多。
我们现在再来感受一下这些数。
你觉得这些数它还只是数吗?
它有形状吗?
这些形它还只是形吗?
它有数吗?
数和形,形和数能分得开吗?
所以数学上也没把他们分开,我们就把这样有形状的数叫做“形数”,知道形数是谁发现的吗?
他叫“毕达哥拉斯”,他有一个著名的理论,他认为世界上万事万物的背后都隐藏着数的规律,它还举了一个例子,1可以用1个点来表示,2用两个点来表示,那它就可以练成一条线,3个点就可以炼成一个平面,不同平面的4个点连在一起,他就是一个立体图形。
大家想,世界上的万事万物背后,是不是都是以或点、或线、或面、或体这样的形式存在的,所以他们认为,“万物皆数”。
这节课马上就要结束了,老师问问大家,学完这一节课后你有什么体会?
或者说你对于数和形的认识有没有发生一些改变?
生:
数和形它们两个是不能相离得的。
师:
你以前是怎么认识的?
生:
我以前认为给我一个数我就去想他做题的答案。
生:
我以前认为光用一个数就能解开一个题,现在我知道了数和形是形影不离的。
师:
接着这位同学的话来说,如果把你们以前那种认识归结为“看形是形、看数是数”的话,那只是数学学习的第一境界;那你觉得第二境界应该是什么样子的?
“看形不是形,看数不是数”。
看形不是形,是什么?
看数不是数是什么?
也就是说,数形要结合。
下课!
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