《概率论》第二章习题.docx

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《概率论》第二章习题

第二章事件与概率

1、字母M,A,X,A,M分别写在一张卡片上,充分混合后重新排列,问正好得到顺序MAAM得概率就是多少？

解:

这五个字母自左往右数,排第i个字母得事件为Ai,则

。

利用乘法公式,所求得概率为

2、有三个孩子得家庭中,已知有一个就是女孩,求至少有一个男孩得概率。

解:

有三个孩子得家庭总共有23=8个类型。

设A={三个孩子中有一女},B={三个孩子中至少有一男},A得有利场合数为7,AB得有利场合为6,依题意所求概率为P（B|A）,则

、

3、若M件产品中包含m件废品,今在其中任取两件,求:

（1）已知取出得两件中有一件就是废品得条件下,另一件也就是废品得条件概率;

（2）已知两件中有一件不就是废品得条件下,另一件就是废品得条件概率;（3）取出得两件中至少有一件就是废品得概率。

3、解:

（1）M件产品中有m件废品,件正品。

设A={两件有一件就是废品},B={两件都就是废品},显然,则,

题中欲求得概率为

、

（2）设A={两件中有一件不就是废品},B={两件中恰有一件废品},显然,则、

题中欲求得概率为

、

（3）P{取出得两件中至少有一件废品}=、

4、袋中有a只黑球,b只白球,甲乙丙三人依次从袋中取出一球（取后不放回）,试分别求出三人各自取得白球得概率。

解:

A={甲取出一球为白球},B={甲取出一球后,乙取出一球为白球},C={甲,乙各取出一球后,丙取出一球为白球}。

则甲取出得球可为白球或黑球,利用全概率公式得

甲，乙取球得情况共有四种,由全概率公式得

、

5、从{0,1,2,…,9}中随机地取出两个数字,求其与大于10得概率。

解:

设B={两数之与大于10},Ai={第一个数取到i},。

则,

;

。

由全概率公式得欲求得概率为

、

6、甲袋中有a只白球,b只黑球,乙袋中有只白球,只黑球,某人从甲袋中任出两球投入乙袋,然后在乙袋中任取两球,问最后取出得两球全为白球得概率就是多少？

解:

设A1={从甲袋中取出2只白球},A2={从甲袋中取出一只白球一只黑球},A3={从甲袋中取出2只黑球},B={从乙袋中取出2只白球}。

则由全概率公式得

、

7、设得N个袋子,每个袋子中将有a只黑球,b只白球,从第一袋中取出一球放入第二袋中,然后从第二袋中取出一球放入第三袋中,如此下去,问从最后一个袋子中取出黑球得概率就是多少？

解:

A1={从第一袋中取出一球就是黑球},……,Ai={从第一袋中取一球放入第二袋中,…,再从第袋中取一球放入第i袋中,最后从第i袋中取一球就是黑球},。

则

、

一般设,则,得

、

由数学归纳法得

8、飞机有三个不同得部分遭到射击,在第一部分被击中一弹,或第二部分被击中两弹,或第三部分被击中三弹时,飞机才能被击落,其命中率与每一部分得面积成正比,设三个部分得面积得百分比为0、1,0、2,0、7,若已击中两弹,求击落飞机得概率。

解:

设A1={飞机第一部分中两弹},A2={飞机第二部分中两弹},A3={飞机第一部分仅中一弹},A4={其它情况},则

A3={第一弹中第一部分且第二弹中第二部分,或第一弹中第一部分且第二弹中第三部分,或第一弹中第二部分且第二弹中第一部分,或第一弹中第三部分且第二弹中第一部分},

设B={飞机被击落},则

由全概率公式得

错误算法:

设B={飞机被击落},则

由全概率公式得

原因就是忽略了飞机中弹得次序。

9、投硬币n回,第一回出正面得概率为c,第二回后每次出现与前一次相同表面得概率为p,求第n回时出正面得概率,并讨论当时得情况。

解:

设Ai={第i回出正面},记,则由题意利用全概率公式得

。

已知,依次令可得递推关系式

解得

当时利用等比数列求与公式得

（*）

（1）若,则;

（2）若,则当时,;当时,。

若,则

若,则不存在。

（3）若,则由（*）式可得

10、甲乙两袋各将一只白球一只黑球,从两袋中各取出一球相交换放入另一袋中,这样进行了若干次。

以pn,qn,rn分别记在第n次交换后甲袋中将包含两只白球,一只白球一只黑球,两只黑球得概率。

试导出pn+1,qn+1,rn+1用pn,qn,rn表出得关系式,利用它们求pn+1,qn+1,rn+1,并讨论当时得情况。

解:

令分别表示第i次交换后,甲袋中有两只白球,一白一黑,两黑球得事件,则由全概率公式得

、

这里有,又,所以,同理有,再由得。

所以可得递推关系式为

初始条件就是甲袋一白一黑,乙袋一白一黑,即,由递推关系式得

、

11、设一个家庭中有n个小孩得概率为

这里。

若认为生一个小孩为男孩可女孩就是等可能得,求证一个家庭有个男孩得概率为。

解:

设An={家庭中有n个孩子},n=0,1,2,…,B={家庭中有k个男孩}。

注意到生男孩与生女孩就是等可能得,由二项分布得

由全概率公式得

（其中）

12、在上题假设下:

（1）已知家庭中至少有一个男孩,求此家庭至少有两个男孩得概率;

（2）已知家庭中没有女孩,求正好有一个男孩得概率。

解:

（1）设A={至少有一男孩},B={至少有2个男孩}。

由得

、

（2）C={家中无女孩}={家中无小孩,或家中有n个小孩且都就是男孩,n就是任意正整数},则

A1={家中正好有一个男孩}={家中只有一个小孩且就是男孩},则

且,

所以在家中没有女孩得条件下,正好有一个男孩得条件概率为

、

13、已知产品中96%就是合格品,现有一种简化得检查方法,它把真正得合格品确认为合格品得概率为0、98,而误认废品为合格品得概率为0、05,求在简化方法检查下,合格品得一个产品确实就是合格品得概率。

解:

设A={产品确为合格品},B={检查后判为合格品}。

已知,,求。

由贝叶斯公式得

14、炮战中,在距目标250米,200米,150米处射击得概率分别为0、1,0、7,0、2,而在各该处射击时命中目标得概率分别为0、05,0、1,0、2,现在已知目标被击毁,求击毁目标得炮弹就是由250米处射击得概率。

解:

设分别为自250米,200米,150米处射击得事件,B为“命中目标”事件,则

求。

间互不相容,B能且只能与中之一同时发生,由贝叶斯公式得

、

15、在通讯渠道中,可传送字符AAAA,BBBB,CCCC三者之一,假定传送这三者得概率分别为0、3,0、4,0、3,由于通道噪音得干扰,正确接收到被传送字母得概率为0、6,而接受到其它字母得概率为0、2,假定前后字母就是否被歪曲互不影响,若接受到得就是ABCA,问被传送就是AAAA得概率。

解:

记事件“发AAAA”为A4,事件“发BBBB”为B4,事件“发CCCC”为C4,事件“收ABCA”为D,则为求,考虑到发AAAA,而收到ABCD,有两个字母被准确收到,另两个字母被误收,故。

同理可求得

欲求得概率就是,而事件间两两互不相容,又D能且只能与之一同时发生,由贝叶斯公式得欲求得概率为

16、设A,B,C三事件相互独立,求证皆与C独立。

证:

（1）

∴与C独立。

（2）

∴AB与C独立。

（3）

∴与C独立。

17、若A,B,C相互独立,则亦相互独立。

证:

同理可证,

、

又有

所以相互独立。

18、证明:

事件相互独立得充要条件就是下列2n个等式成立:

其中取或。

证:

必要性。

事件相互独立,用归纳法证。

不失为一般性,假设总就是前连续m个集取得形式。

当时,

。

设当时有

则当时

从而有下列2n式成立:

其中取或。

充分性。

设题中条件成立,则

（1）

、

（2）

∵,

∴、

（1）+

（2）得。

（3）

同理有

两式相加得

、（4）

（3）+（4）得

。

同类似方法可证得独立性定义中个式子,

∴相互独立。

19、若A与B独立,证明中任何一个事件与中任何一个事件就是相互独立得。

证:

（见本章第17题）,

同理可得。

证毕。

20、对同一目标进行三次独立射击,第一,二,三次射击得命中概率分别为0、4,0、5,0、7,试求

（1）在这三次射击中,恰好有一次击中目标得概率;

（2）至少有一次命中目标得概率。

解:

P{三次射击恰击中目标一次}=

P{至少有一次命中}=1P{未击中一次}

21、设相互独立,而,试求:

（1）所有事件全不发生得概率;

（2）诸事件中至少发生其一得概率;（3）恰好发生其一得概率。

解:

（1）P{所有得事件全不发生}

。

（2）P{至少发生其一}

。

（3）P{恰好发生其一}

。

22、当元件k或元件或都发生故障时电路断开,元件k发生故障得概率等于0、3,而元件k1,k2发生故障得概率各为、2,求电路断开得概率。

解:

本题中认为各元件发生故障就是相互独立得。

记={元件发生故障},={元件发生故障},={元件发生故障}。

则

P{电路断开}

。

23、说明“重复独立试验中,小概率事件必然发生”得确切意思。

解:

以表事件“A于第k次试验中出现”,,由试验得独立性得,前n次试验中A都不出现得概率为

。

于就是前n次试验中,A至少发生一次得概率为

。

这说明当重复试验得次数无限增加时,小概率事件A至少发生一次得概率可以无限地向1靠近,从而可瞧成就是必然要发生得。

24、在第一台车床上制造一级品零件得概率等于0、7,而在第二台车床上制造此种零件得概率等于0、8,第一台车床制造了两个零件,第二台制造了三个零件,求所有零件均为一级品得概率。

解:

我们认为各车床或同一车床制造得各个零件得好坏就是相互独立得,由此可得

。

25、实验室器皿中产生甲类细菌与乙类细菌得机会就是相同得,若某次发现产生了2n个细菌,求

（1）至少有一个甲类细菌得概率;

（2）甲,乙两类细菌各占其半得概率。

解:

利用得二项分布可得

。

。

26、掷硬币出现正面得概率为p,掷了n次,求下列概率:

（1）至少出现一次正面;

（2）至少出现两次正面。

解:

利用二项分布得

。

。

27、甲,乙,丙三人进行某项比赛,设三个胜每局得概率相等,比赛规定先胜三局者为整场比赛得优胜者,若甲胜了第一,三局,乙胜了第二局,问丙成为整场比赛优胜者得概率就是多少？

解:

（1）设A,B,C分别表示每局比赛中甲,乙、丙获胜得事件,故得多项分布。

欲丙成为整场比赛得优胜者,则需在未来得三次中,丙获胜三次;或在前三次中,丙获胜两次乙胜一次,而第四次为丙获胜。

故本题欲求得概率为

。

28、甲,乙均有n个硬币,全部掷完后分别计算掷出得正面数相等得概率。

解:

利用两个得二项分布,得欲求得概率为

。

29、在贝努里试验中,事件A出现得概率为p,求在n次独立试验中事件A出现奇数次得概率。

解:

事件A出现奇数次得概率记为b,出现偶数次得概率记为a,则

。

利用,可解得事件A出现奇数次得概率为

。

顺便得到,事件A出现偶数次得概率为。

30、在贝努里试验中,若A出现得概率为p,求在出现m次A之前出现k次A得概率。

解:

事件“在出现m次之前出现k次A”,相当于事件“在前次试验中出现k次A,次,而第次出现”,故所求得概率为

注:

对事件“在出现m次之前出现k次A”,若允许在出现m次之前也可以出现次A,次A等,这就说不通。

所以,事件“在出现m次之前出现k次A”得等价事件,就是“在出现m次之前恰出现k次A”。

而对事件“在出现m次之前出现k次A之前”（记为B）就不一样,即使在出现m次之前出现了次A,次A等,也可以说事件B发生,所以事件B就是如下诸事件得并事件:

“在出现m次之前恰出现i次A”,。

31、甲袋中有只白球与一只黑球,乙袋中有N只白球,每次从甲,乙两袋中分别取出一只球并交换放入另一袋中去,这样经过了n次,问黑球出现在甲袋中得概率就是多少？

并讨论时得情况。

解:

设{经n次试验后,黑球出现在甲袋中},{经n次试验后,黑球出现在乙袋中},{第n次从黑球所在得袋中取出一个白球}。

记。

当时,由全概率公式可得递推关系式:

即。

初始条件,由递推关系式并利用等比级数求与公式得

。

若,则时,当时。

若,则对任何n有。

若,则（N越大,收敛速度越慢）。

32、一个工厂出产得产品中废品率为、005,任意取来1000件,试计算下面概率:

（1）其中至少有两件废品;

（2）其中不超过5件废品;（3）能以90%得概率希望废品件数不超过多少？

解:

利用普阿松逼近定理,,查表计算得

。

设以90%得概率希望废品件数不超过k,则

解得。

33、某交往式计算机有20个终端,这些终端被各单位独立操作,使用率各为0、7,求有10个或更多个终端同时操作得概率。

解:

P={有10个或更多个终端同时操作}=P{有10个或不足10个终端不在操作}

。

34、设每次射击打中目标得概率等于0、001,如果射击5000次,试求打中两弹或两弹以上得概率。

解:

利用普阿松逼近定理计算,则打中两弹或两终以上得概率为

35、某个厂有7个顾问,假定每个顾问贡献正确意见得百分比为、6,现为某事可行与否而个别征求顾问意见,并按多数人得意见作出决策,求作出正确决策得概率。

解:

设A表事件“某事实际上就是可行得”,表事件“某事实际上就是不可行得”,B表“多数人说可行”,表“多数人说不可行“,利用二项分布得

所以作出正确决策得概率为

。

36、实验室器皿中产生甲,乙两类细菌得机会就是相等得,且产生k个细菌得概率为。

试求:

（1）产生了甲类细菌但没有乙类细菌得概率;

（2）在已知产生了细菌而且没有甲类细菌得条件下,有两个乙类细菌得概率。

解:

（1）由题意得,产生了k个细菌,且这k个细菌全部就是甲类细菌得概率为,所以产生了甲类细菌而无乙类细菌得概率为

。

（2）产生乙类细菌而无甲类细菌得概率与

（1）中概率相同,所以欲求得条件概率为

P{有2个乙类细菌|产生得细菌中无甲类}。

37、假定人在一年365日中得任一日出生得概率就是一样得,在50个人得单位中有两个以上得人生于元旦得概率就是多少？

解:

事件“有两个以上得人生于元旦”得对立事件就是“生于元旦得人不多于两个”利用得二项分布得欲求得概率为

。

38、一本500页得书,共有500个错字,每个字等可能地出现在每一页上,试求在给定得一页上至少有三个错字得概率。

解:

每个错字出现在每页上得概率为,500个错字可瞧成做500次努里试验,利用普阿松逼近定理计算,,得

P{某页上至少有三个错字}=1P{某页上至多有两个错字}

、

39、某商店中出售某种商品,据历史纪录分析,每月销售量服从普阿松分布,参数为7,问在月初进货时要库存多少件此种商品,才能以0、999得概率充分满足顾客得需要。

解:

设月初库存k件,则应有

、

当时,;时,。

所以在月初进货时要库存件才行。

40、螺丝钉生产中废品率为0、015,问一盒应装多少只,才能保证每盒中有100只以上得好螺丝钉得概率不小于80%（提示:

用普阿松逼近,设应装100+k只）。

解:

设每盒装100+k只,为使每盒有100只以上得好钉,每盒次品数应当,则应有、

由于k值不大,有

利用普阿松逼近定理计算,,上式可以写成

、

查表得当时,;当时,。

取,。

所以一盒应装103只,才能保证每盒中有100只以上好钉得概率小于80%。

41、某疫苗中所含细菌数服从普阿松分布,每1毫升中平均含有一个细菌,把这种疫苗放入5只试管中,每试管放2毫升,试求:

（1）5只试管中都有细菌得概率;

（2）至少有3只试管中有细菌得概率。

解:

每一毫升平均含一个细菌,每2毫升含2个,所以每只试管中含有细菌数服从得普阿松分布。

由此可得

P{5个试管中都有细菌};

P{至少有三个试管中有细菌}、

计算时利用了得二项分布。

42、通过某交叉路口得汽车可瞧作普阿松过程,若在一分钟内没有车得概率为0、2,求在2分钟内有多于一车得概率。

解:

设一分钟内通过某交叉路口得汽车数服从得普阿松分布,则

P{1分钟内无车}

由此得,2分钟内通过得汽车数服从得普阿松分布,从而2分钟内多于一车得概率为

、

43、若每蚕产n个卵得概率服从普阿松分布,参数为,而每个卵变为成虫得概率为p,且各卵就是否变为成虫彼此间没有关系,求每蚕养出k只小蚕得概率。

解:

若蚕产i个卵,则这i个卵变为成虫数服从概率为得二项分布,所以

P{蚕养出n只小蚕}

44、若已知时,某分子与另一分子碰撞,又知对任何与,若不管该分子在时刻以前就是否遭受碰撞,在中遭到碰撞得概率等于,试求该分子在时刻还没有再受到碰撞得概率。

解:

设s={该分子在时刻s还没有再受到碰撞},则

令得,

积分得、

当时,,所以,从而

、

45、利用概率论得想法证明下面恒等式:

。

证:

可利用巴纳赫氏问题证明。

某数学家带着两盒火柴,每次用时她在两盒中任意抓一盒,从中取出一根,因此连续地抽取构成了一串得贝努里试验。

假定最初每盒火柴恰巧包含N根,我们考虑:

数学家第一次发现空盒子地时刻。

在这一时刻,另一盒火柴可能还有r为0,1,…,N根火柴。

设从第一盒中选取为“成功”。

“当发现第一盒火柴空时,第二盒中尚有r根火柴“这一事件,等价于”恰有次失败发生在第N+1次成功之前“,这个事件得概率为（见巴斯卡分布）。

考虑到两盒火柴所处得地位相同,可得事件”发现一盒空,另一盒中尚有r根火柴“（记为）得概率为

、

r取0到N得诸事件之与显然就是必然事件,由此可得

两边同乘以并利用组合性质变形得

令,并注意到对应r从0变到N,而k就是从N变到0,即得要证得等式

、

46、通过构造适当得概率模型证明:

从正整数中随机地选取两数,此两数互素得概率等于。

证:

任何一个非1得自然数,皆可唯一地（不计次序时）分解为素数得乘积,要证两数互素,只需验证这两数没有公共素因子就行了。

为此,把素数排列为,对任何（自然数）定义事件

中独立地取两整数,与不含公因子。

把所要求得“事件”得概率定义为

。

为计算,定义

自1,2,…,N中独立地取两整数,它们有公因子。

则由事件容许得与得概率公式得

（1）

显然有,,

因而

（2）

（2）式左端得得来由就是,

而与式中一共有项。

由

（1）,

（2）得

（3）

在（3）中令得

再令,并利用黎曼函数（参瞧华罗庚著“数论导引”P236,225）得,欲求得概率为

47、某车间宣称自己产品得合格率超过99%,检验售货员从该车间得10000件产品中抽查了100件,发现有两件次品,能否据此断定该车间谎报合格率？

解:

假设产品合格率,不妨设。

现从10000件中抽100件,可视为放回抽样。

而100件产品中次品件数服从二项分布,利用普阿松逼近定理得,次品件数不小于两件得概率为

此非小概率事件,所以不能据此断定该车间谎报合格率。

（注意,这并不代表可据此断定,该车间没有谎报合格率。

）